Koko luentomoniste - FMI

6.6. REUNA-ARVOTEHTÄVIÄ MAGNEETTIKENTÄSSÄ 83
ja tämän jatkuvuus reunalla edellyttää, että
∂ψ 1
−µ 0
∂r = −µ ∂ψ 2
0
∂r + µ 0M cos θ (6.45)
Sijoittamalla näihin ψ:n lausekkeet saadaan yhtälöt
∞∑
(C 1n a −(n+1) − A 2n a n )P n (cos θ) = vakio (6.46)
n=0
µ 0 C 10 a −2 ∑ ∞
+ µ 0 P n (cos θ)[C 1n (n + 1)a −(n+2) + A 2n na n−1 ] (6.47)
n=1
−µ 0 M cos θ = 0
Muistetaan, että Legendren polynomit ovat ortogonaalisia funktioita. Kun
n = 0, saadaan ehdot
C 10 a −1 − A 20 = vakio (6.48)
µ 0 C 10 a −2 = 0 (6.49)
Siis C 10 = 0 ja myös A 20 voidaan valita nollaksi ilman, että sillä on vaikutusta
kenttiin B tai H. Termeille n = 1 on voimassa
C 11 a −3 − A 21 = 0 (6.50)
2C 11 a −3 + A 21 − M = 0 (6.51)
jonka ratkaisuna on C 11 = Ma 3 /3 ; A 21 = M/3.
Kun n ≥ 2, yhtälöt toteutuvat ainoastaan kertoimilla C 1n = A 2n = 0.
Ongelma on ratkaistu 1 . Potentiaalit ovat
ja H-kentät saadaan näiden gradientteina
ψ 1 (r, θ) = 1 3 M(a3 /r 2 ) cos θ (6.52)
ψ 2 (r, θ) = 1 Mr cos θ (6.53)
3
H 1 = 1 3 M(a3 /r 3 )[2e r cos θ + e θ sin θ] (6.54)
H 2 = − 1 3 Me z (6.55)
Ulkoinen B-kenttä on µ 0 H 1 . Koska pallon magnetoituma M = Me z , jää
pallon sisäiseksi B-kentäksi
B 2 = 2 3 µ 0Me z = 2 3 µ 0M (6.56)
joka on siis vastakkaissuuntainen H-kentälle. Ongelman voisi ratkaista myös
suoraan integroimalla magnetoitumaa (yhtälö 6.17). Tasaisesti magnetoitunut
pallo on analoginen tasaisesti polarisoituneen pallon kanssa.
1 Olisi voitu myös päätellä suoraan, että sisäkentät ovat vakioita ja z-akselin suuntaisia.
Tällöin potentiaalin kehitelmässä kyseeseen tulevat vain cos θ-termit.