Koko luentomoniste - FMI
Koko luentomoniste - FMI
Koko luentomoniste - FMI
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
6.6. REUNA-ARVOTEHTÄVIÄ MAGNEETTIKENTÄSSÄ 83<br />
ja tämän jatkuvuus reunalla edellyttää, että<br />
∂ψ 1<br />
−µ 0<br />
∂r = −µ ∂ψ 2<br />
0<br />
∂r + µ 0M cos θ (6.45)<br />
Sijoittamalla näihin ψ:n lausekkeet saadaan yhtälöt<br />
∞∑<br />
(C 1n a −(n+1) − A 2n a n )P n (cos θ) = vakio (6.46)<br />
n=0<br />
µ 0 C 10 a −2 ∑ ∞<br />
+ µ 0 P n (cos θ)[C 1n (n + 1)a −(n+2) + A 2n na n−1 ] (6.47)<br />
n=1<br />
−µ 0 M cos θ = 0<br />
Muistetaan, että Legendren polynomit ovat ortogonaalisia funktioita. Kun<br />
n = 0, saadaan ehdot<br />
C 10 a −1 − A 20 = vakio (6.48)<br />
µ 0 C 10 a −2 = 0 (6.49)<br />
Siis C 10 = 0 ja myös A 20 voidaan valita nollaksi ilman, että sillä on vaikutusta<br />
kenttiin B tai H. Termeille n = 1 on voimassa<br />
C 11 a −3 − A 21 = 0 (6.50)<br />
2C 11 a −3 + A 21 − M = 0 (6.51)<br />
jonka ratkaisuna on C 11 = Ma 3 /3 ; A 21 = M/3.<br />
Kun n ≥ 2, yhtälöt toteutuvat ainoastaan kertoimilla C 1n = A 2n = 0.<br />
Ongelma on ratkaistu 1 . Potentiaalit ovat<br />
ja H-kentät saadaan näiden gradientteina<br />
ψ 1 (r, θ) = 1 3 M(a3 /r 2 ) cos θ (6.52)<br />
ψ 2 (r, θ) = 1 Mr cos θ (6.53)<br />
3<br />
H 1 = 1 3 M(a3 /r 3 )[2e r cos θ + e θ sin θ] (6.54)<br />
H 2 = − 1 3 Me z (6.55)<br />
Ulkoinen B-kenttä on µ 0 H 1 . Koska pallon magnetoituma M = Me z , jää<br />
pallon sisäiseksi B-kentäksi<br />
B 2 = 2 3 µ 0Me z = 2 3 µ 0M (6.56)<br />
joka on siis vastakkaissuuntainen H-kentälle. Ongelman voisi ratkaista myös<br />
suoraan integroimalla magnetoitumaa (yhtälö 6.17). Tasaisesti magnetoitunut<br />
pallo on analoginen tasaisesti polarisoituneen pallon kanssa.<br />
1 Olisi voitu myös päätellä suoraan, että sisäkentät ovat vakioita ja z-akselin suuntaisia.<br />
Tällöin potentiaalin kehitelmässä kyseeseen tulevat vain cos θ-termit.