Koko luentomoniste - FMI

80 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSA
∆S
1
2
B 1
n 1
B 2
n 2
n 2
H 1
l 0
x n
l
H 2
Kuva 6.2: Magneettikenttävektoreiden rajapintaehtojen määrittäminen.
6.5 Magneettikenttävektoreiden rajapintaehdot
Tarkastellaan kuvan 6.2 mukaista kahden väliaineen rajapintaa. Magneettivuon
tiheyden B reunaehto on analoginen sähkövuon tiheyden D reunaehdon
kanssa. Kuvan pillerirasian pinnan yli laskettu B:n integraali on
∮
∫
B · n dS = ∇ · B dV = 0 (6.26)
S
Litistämällä pillerirasian vaippa infinitesimaaliseksi saadaan
∮
B · n dS = B 2 · n 2 △S + B 1 · n 1 △S = 0 (6.27)
S
missä △S on rasian kannen pinta-ala. Koska n 1 = −n 2 , niin
V
B 2n − B 1n = 0 (6.28)
eli magneettivuon tiheyden normaalikomponentti on jatkuva rajapinnan
läpi.
Magneettikentän voimakkuudelle saadaan reunaehto Stokesin lauseen
avulla tarkastelemalla H:n lenkki-integraalia kuvan suorakaidetta pitkin
∮ ∫
∫
H · dl = (∇ × H) · n dS = J · n dS (6.29)
S
missä n on normaalikomponentti integroimislenkin läpi (n = n 2 × l 0 ). Litistettäessä
integroimislaatikko jälleen infinitesimaaliseksi silmukan läpi kulkeva
virta voi olla ainoastaan pintavirtaa K, joten
S
J · n△S = △l K · (n 2 × l 0 ) (6.30)
jonka avulla saadaan
∮
H · dl = (H 2 − H 1 ) · l 0 △l = △l K · (n 2 × l 0 ) = △l (K × n 2 ) · l 0 (6.31)