Koko luentomoniste - FMI

More documents

Recommendations

Info

66 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ Tarkastellaan magneettikentän derivaattaa z-akselilla. Kun z = b, niin dB z /dz = 0. Myös toinen derivaatta on nolla tässä pisteessä, jos 2b = a. Asettamalla siis kelat niiden säteen etäisyydelle toisistaan, on kenttä pisteen z = a/2 ympäristössä mahdollisimman homogeeninen. Kolmaskin derivaatta häviää ja kentän epähomogeenisuus ilmenee vasta Taylorin sarjan neljännessä termissä ∣ (z − a/2)4 d 4 B ∣∣∣∣z=a/2 z B z (z) = B z (a/2) + 24 dz 4 + . . . [ ≈ B z (a/2) 1 − 144 ( ) z − a/2 4 ] 125 a (5.39) 5.3 Ampèren laki Tarkastellaan stationaarista virtaa, siis ∇·J = 0. Lasketaan magneettikentän roottori lähtien Biot’n ja Savartin laista { ∫ µ0 ∇ × B(r) = ∇ × 4π V J(r ′ ) × (r − r ′ ) |r − r ′ | 3 dV ′ } (5.40) Roottori kohdistuu paikkavektoriin r. Kun se viedään integraalin sisään ja kirjoitetaan ristitulot auki, niin saadaan ∇ × B(r) = µ ∫ [ ( 0 J(r ′ r − r ′ ) ) ∇ · 4π V |r − r ′ | 3 − J(r ′ ) · ∇ r − ] r′ |r − r ′ | 3 dV ′ (5.41) Muistetaan kaava ∇ · r − r ′ |r − r ′ | 3 = −∇2 1 |r − r ′ | = 4πδ(r − r′ ) (5.42) joten integraalin ensimmäinen termi on µ 0 J(r). Jälkimmäisessä termissä voidaan r − r ′ :n antisymmetrisyyden vuoksi vaihtaa derivointi tapahtuvaksi r ′ :n suhteen vaihtamalla merkki. Koska jälkimmäinen termi sisältää ∇:n ja (r − r ′ ):n välisen dyaditulon, käsitellään se (r − r ′ ):n komponentti kerrallaan. Muokataan x-komponenttia kaavalla J · ∇ ′ x ′ − x |r − r ′ | 3 = ∇′ · ( ) J x′ − x |r − r ′ | 3 − x′ − x |r − r ′ | 3 ∇′ · J (5.43) Oikean puolen jälkimmäinen termi on nolla oletuksen ∇ · J = 0 perusteella. Jäljellä oleva tilavuusintegraali voidaan muuttaa pintaintegraaliksi ∫ V ( ) ∮ ∇ ′ · J x′ − x |r − r ′ | 3 dV ′ = J x′ − x S |r − r ′ | 3 · dS′ (5.44)
5.4. VIRTASILMUKAN MAGNEETTIMOMENTTI 67 Tämän on oltava voimassa pinnan valinnasta riippumatta, joten pinta voidaan siirtää virtajakautuman ulkopuolelle eli integraalin on oltava nolla. Sama pätee kaikille komponenteille, joten jäljelle on jäänyt Ampèren laki differentiaalimuodossa ∇ × B = µ 0 J (5.45) joten ∮ C S B · dl = µ 0 ∫ S C J · n dS = µ 0 I (5.47) Integraalimuotoon Ampèren laki saadaan käytämällä Stokesin lausetta muodossa ∫ ∮ ∇ × B · n dS = B · dl (5.46) Siis suljettua lenkkiä pitkin integroitu magneettivuon tiheys on µ 0 kertaa lenkin läpi kulkeva kokonaisvirta. Tätä tulosta kutsutaan Ampèren kiertosäännöksi (vrt. sähköstatiikan Gaussin laki). Sen avulla voi laskea suoraan magneettikentän sopivissa symmetrisissä tapauksissa. Integraaleissa on muistettava, että pinnan S normaalivektori n määrittelee oikeakätisesti käyräalkion dl. Esimerkki. Kenttä toroidikäämin sisällä Tarkastellaan toruksen ympärille kierrettyä käämiä (N kierrosta). Kentän voidaan päätellä (HT) olevan sylinterikoordinaateissa ilmaistuna muotoa B = B(r, z)e φ , missä φ on toruksen keskipistettä kiertävä kulma ja r etäisyys toruksen keskipisteestä toruksen sisällä olevaan pisteeseen. Sovelletaan Ampèren kiertosääntöä pitkin r-säteistä ympyrää toruksen sisällä: ∮ B · dl = B(r, z)2πr = µ 0 NI (5.48) C joten kenttä riippuukin vain radiaalietäisyydestä: B = µ 0NI 2πr e φ (5.49) Toroidin ulkopuolella magneettikenttä on nolla, sillä geometrian perusteella B = B(r, z)e φ ja lenkin läpäisevä virta on nolla. 5.4 Virtasilmukan magneettimomentti Tarkastellaan virtajohdinta, joka muodostaa suljetun silmukan C. Tällöin koko silmukkaan vaikuttaa voima 5.28 ∮ F = I dl × B (5.50) C
Page 1 and 2:
Elektrodynamiikka Hannu Koskinen ja
Page 3 and 4:
Luku 1 Johdanto It requires a much
Page 5 and 6:
1.3. ELEKTRODYNAMIIKAN PERUSRAKENNE
Page 7 and 8:
1.4. PARI SANAA LASKENNASTA 7 ei yl
Page 9 and 10:
Luku 2 Staattinen sähkökenttä T
Page 11 and 12:
2.2. SÄHKÖKENTTÄ 11 Taulukko 2.1
Page 13 and 14:
2.3. SÄHKÖSTAATTINEN POTENTIAALI
Page 15 and 16: 2.4. GAUSSIN LAKI 15 missä n on ti
Page 17 and 18: 2.5. SÄHKÖINEN DIPOLI 17 E h σ E
Page 19 and 20: 2.7. POISSONIN JA LAPLACEN YHTÄLÖ
Page 21 and 22: 2.8. LAPLACEN YHTÄLÖN RATKAISEMIN
Page 29 and 30: 2.9. KUVALÄHDEMENETELMÄ 29 joka r
Page 31 and 32: 2.10. GREENIN FUNKTIOT 31 kulkee va
Page 33 and 34: 2.10. GREENIN FUNKTIOT 33 Esimerkki
Page 35 and 36: Luku 3 Sähkökenttä väliaineessa
Page 37 and 38: 3.3. SÄHKÖVUON TIHEYS 37 missä S
Page 39 and 40: 3.5. SÄHKÖKENTTÄ RAJAPINNALLA 39
Page 45 and 46: 3.6. MOLEKULAARINEN POLARISOITUVUUS
Page 47 and 48: Luku 4 Sähköstaattinen energia Vo
Page 49 and 50: 4.3. SÄHKÖSTAATTISEN KENTÄN ENER
Page 51 and 52: 4.3. SÄHKÖSTAATTISEN KENTÄN ENER
Page 53 and 54: 4.4. SÄHKÖKENTÄN VOIMAVAIKUTUKSE
Page 55 and 56: 4.5. MAXWELLIN JÄNNITYSTENSORI SÄ
Page 57 and 58: Luku 5 Staattinen magneettikenttä
Page 59 and 60: 5.1. SÄHKÖVIRTA 59 Taulukko 5.1:
Page 61 and 62: 5.1. SÄHKÖVIRTA 61 Useimmilla met
Page 63 and 64: 5.2. MAGNEETTIVUON TIHEYS - BIOT’
Page 65: 5.2. MAGNEETTIVUON TIHEYS - BIOT’
Page 69 and 70: 5.5. MAGNEETTIKENTÄN POTENTIAALIES
Page 71 and 72: 5.5. MAGNEETTIKENTÄN POTENTIAALIES
Page 73 and 74: 5.6. LORENTZIN VOIMA 73 äärettöm
Page 75 and 76: Luku 6 Magneettikenttä väliainees
Page 77 and 78: 6.2. MAGNETOITUNEEN AINEEN AIHEUTTA
Page 79 and 80: 6.4. SUSKEPTIIVISUUS JA PERMEABILIT
Page 81 and 82: 6.6. REUNA-ARVOTEHTÄVIÄ MAGNEETTI
Page 83 and 84: 6.6. REUNA-ARVOTEHTÄVIÄ MAGNEETTI
Page 85 and 86: 6.8. PARA- JA DIAMAGNETISMISTA 85 T
Page 87 and 88: 6.9. FERROMAGNETISMI 87 b magneetti
Page 89 and 90: Luku 7 Sähkömagneettinen induktio
Page 91 and 92: 7.1. FARADAYN LAKI 91 B ja E on mä
Page 93 and 94: 7.2. ITSEINDUKTIO 93 käytännöss
Page 95 and 96: 7.4. PÄHKINÄ PURTAVAKSI: FEYNMANI
Page 97 and 98: Luku 8 Magneettinen energia Luvussa
Page 99 and 100: 8.2. MAGNEETTIKENTÄN ENERGIATIHEYS
Page 101 and 102: 8.3. RCL-PIIRI 101 Koaksiaalikaapel
Page 103 and 104: 8.4. EPÄLINEAARISET ENERGIAHÄVIÖ
Page 105 and 106: 8.5. MAGNEETTIKENTÄN VOIMAVAIKUTUS
Page 107 and 108: 8.6. MAXWELLIN JÄNNITYSTENSORI MAG
Page 109 and 110: Luku 9 Maxwellin yhtälöt Nyt meil
Page 111 and 112: 9.2. MAXWELLIN YHTÄLÖT 111 Varauk
Page 113 and 114: 9.3. SÄHKÖMAGNEETTINEN KENTTÄ RA
Page 115 and 116: 9.4. SÄHKÖMAGNEETTINEN ENERGIA JA
Page 117 and 118:
9.5. AALTOYHTÄLÖ JA KENTTIEN LÄH
Page 119 and 120:
Page 121 and 122:
Page 123 and 124:
9.6. MITTAINVARIANSSI 123 johon voi
Page 125 and 126:
Luku 10 Sähkömagneettiset aallot
Page 127 and 128:
10.1. TASOAALLOT ERISTEESSÄ 127 E
Page 129 and 130:
10.2. AALTOJEN POLARISAATIO 129 ja
Page 131 and 132:
10.4. TASOAALLOT JOHTEESSA 131 Ener
Page 133 and 134:
10.5. DRUDEN JA LORENTZIN OSKILLAAT
Page 135 and 136:
10.5. DRUDEN JA LORENTZIN OSKILLAAT
Page 137 and 138:
10.6. PALLOAALLOT 137 Suoraviivaine
Page 139 and 140:
Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja t
Page 141 and 142:
11.2. SAAPUVA AALTO MIELIVALTAISESS
Page 143 and 144:
Page 145 and 146:
Page 147 and 148:
Luku 12 Aaltoputket ja resonanssika
Page 149 and 150:
12.1. SYLINTERIPUTKI 149 TEM-moodit
Page 151 and 152:
12.2. SUORAKULMAINEN AALTOPUTKI 151
Page 153 and 154:
12.3. RESONANSSIKAVITEETIT 153 Funk
Page 155 and 156:
Luku 13 Liikkuvan varauksen kenttä
Page 157 and 158:
13.2. KENTTIEN LASKEMINEN 157 r (t
Page 159 and 160:
13.2. KENTTIEN LASKEMINEN 159 y (x,
Page 161 and 162:
13.2. KENTTIEN LASKEMINEN 161 v Kuv
Page 163 and 164:
Luku 14 Elektrodynamiikka ja suhtee
Page 165 and 166:
14.1. LORENTZIN MUUNNOS 165 Sijoite
Page 167 and 168:
14.2. TENSORILASKENTAA 167 missä
Page 169 and 170:
14.3. LORENTZIN MUUNNOKSET JA DYNAM
Page 171 and 172:
Page 173 and 174:
Page 175 and 176:
14.4. ELEKTRODYNAMIIKAN KOVARIANTTI
Page 177 and 178:
14.5. KENTTIEN MUUNNOKSET 177 Vasta
Page 179 and 180:
14.7. SÄILYMISLAIT 179 14.7 Säily
Page 181 and 182:
Luku 15 Varatun hiukkasen liike SM-
Page 183 and 184:
15.2. HOMOGEENINEN JA STAATTINEN B
Page 185 and 186:
15.4. LIIKEYHTÄLÖ KANONISESSA FOR
Page 187 and 188:
Luku 16 Ihan oikea esimerkki 16.1 A
Page 189 and 190:
16.2. GI-VIRRAN LASKEMINEN SÄHKÖV
Page 191 and 192:
16.2. GI-VIRRAN LASKEMINEN SÄHKÖV
Page 193 and 194:
Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä t
Page 195 and 196:
SISÄLTÖ 195 6 Magneettikenttä v
Page 197:
SISÄLTÖ 197 14 Elektrodynamiikka
show all

Koko luentomoniste - FMI

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?