Koko luentomoniste - FMI

66 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ
Tarkastellaan magneettikentän derivaattaa z-akselilla. Kun z = b, niin
dB z /dz = 0. Myös toinen derivaatta on nolla tässä pisteessä, jos 2b = a.
Asettamalla siis kelat niiden säteen etäisyydelle toisistaan, on kenttä pisteen
z = a/2 ympäristössä mahdollisimman homogeeninen. Kolmaskin derivaatta
häviää ja kentän epähomogeenisuus ilmenee vasta Taylorin sarjan
neljännessä termissä
∣
(z − a/2)4 d 4 B ∣∣∣∣z=a/2 z
B z (z) = B z (a/2) +
24 dz 4 + . . .
[
≈ B z (a/2) 1 − 144 ( ) z − a/2 4
]
125 a
(5.39)
5.3 Ampèren laki
Tarkastellaan stationaarista virtaa, siis ∇·J = 0. Lasketaan magneettikentän
roottori lähtien Biot’n ja Savartin laista
{ ∫ µ0
∇ × B(r) = ∇ ×
4π V
J(r ′ ) × (r − r ′ )
|r − r ′ | 3 dV ′ }
(5.40)
Roottori kohdistuu paikkavektoriin r. Kun se viedään integraalin sisään ja
kirjoitetaan ristitulot auki, niin saadaan
∇ × B(r) = µ ∫ [ (
0
J(r ′ r − r ′ )
) ∇ ·
4π V
|r − r ′ | 3 − J(r ′ ) · ∇ r − ]
r′
|r − r ′ | 3 dV ′ (5.41)
Muistetaan kaava
∇ ·
r − r ′
|r − r ′ | 3 = −∇2 1
|r − r ′ | = 4πδ(r − r′ ) (5.42)
joten integraalin ensimmäinen termi on µ 0 J(r).
Jälkimmäisessä termissä voidaan r − r ′ :n antisymmetrisyyden vuoksi
vaihtaa derivointi tapahtuvaksi r ′ :n suhteen vaihtamalla merkki. Koska jälkimmäinen
termi sisältää ∇:n ja (r − r ′ ):n välisen dyaditulon, käsitellään se
(r − r ′ ):n komponentti kerrallaan. Muokataan x-komponenttia kaavalla
J · ∇ ′ x ′ − x
|r − r ′ | 3 = ∇′ ·
( )
J x′ − x
|r − r ′ | 3 − x′ − x
|r − r ′ | 3 ∇′ · J (5.43)
Oikean puolen jälkimmäinen termi on nolla oletuksen ∇ · J = 0 perusteella.
Jäljellä oleva tilavuusintegraali voidaan muuttaa pintaintegraaliksi
∫
V
( ) ∮
∇ ′ · J x′ − x
|r − r ′ | 3 dV ′ = J x′ − x
S |r − r ′ | 3 · dS′ (5.44)