Koko luentomoniste - FMI

64 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ
y
e x x (r 2 –r 1 )
z
a
I
r 2 –r 1
θ
dx
x
Kuva 5.1: Suoran virtajohtimen aiheuttaman magneettikentän laskeminen.
magneettivuota neliömetrin läpi: magneettivuo Φ pinnan S läpi on
∫
Φ = B · dS (5.32)
S
Magneettivuo suljetun pinnan läpi on nolla:
∮
∫
Φ = B · dS = ∇ · B dV = 0 (5.33)
S
Tätä voi havainnollistaa epätäsmällisellä toteamuksella, että jokaisesta avaruuden
alueesta lähtee yhtä paljon magneettikentän kenttäviivoja kuin niitä
sinne tulee.
Magneettikentän lähteettömyys on puhtaasti kokeellinen laki eikä sille
ole mitään teoreettista tai matemaattista välttämättömyyttä. Modernit
sähköistä, heikkoa ja vahvaa vuorovaikutusta yhdistävät yhtenäiskenttäteoriat
mahdollistavat magneettisten monopolien olemassaolon. Ne voidaan periaatteessa
ottaa klassisestikin mukaan kirjoittamalla ∇ · B = ρ m , missä ρ m
on magneettinen varaustiheys. Tähän ei kuitenkaan ole mitään syytä, koska
monopolien vaikutuksia ei havaita klassisen elektrodynamiikan puitteissa.
V
Esimerkki. Pitkän suoran virtajohtimen aiheuttama kenttä
Olkoon johdin x-akselilla ja lasketaan magneettikenttä pisteessä r 2 y-akselilla.
Merkitään dl = dxe x ; r 1 = xe x ; r 2 = ae y , jolloin dl×(r 2 −r 1 ) = a dx e z .
Biot’n ja Savartin lain suoraviivainen käyttö antaa
B(r 2 ) = µ 0I
4π
= µ 0Ia
4π
∫
C
+∞
∣
−∞
dl × (r 2 − r 1 )
|r 2 − r 1 | 3 = µ 0I
4π
+∞ ∫
−∞
adx
(x 2 + a 2 ) 3/2 e z
x
a 2 (a 2 + x 2 ) 1/2 e z = µ 0I
2πa e z (5.34)