Koko luentomoniste - FMI

5.1. SÄHKÖVIRTA 61
Useimmilla metalleilla v T ≈ 10 6 m/s ja v d yleensä alle 10 −2 m/s. Metalleilla
l mfp ≈ 10 −8 m huoneenlämmössä, joten τ ≈ 10 −14 s. Puolijohteilla relaksaatioaika
voi olla kertalukua suurempi, mutta joka tapauksessa sähkövirta reagoi
käytännössä välittömästi sähkökentän muutokseen. Tämän vuoksi ennen
1800-luvun loppua kentänmuutosvirtaa (∂D/∂t) ei ollut havaittu missään
koetilanteessa.
5.1.4 Samoilla yhtälöillä on samat ratkaisut
Ohmin laki on siis rakenneyhtälö kuten E:n ja D:n välinen yhteys. Analogia
menee pidemmällekin. Stationaarisen virtauksen jatkuvuusyhtälö ∇ · J = 0
on samaa muotoa kuin ∇ · D = 0 tai yksinkertaisen väliaineen tapauksessa
∇ · E = 0. Stationaarisen sähkövirran virtaviivat voidaan määrittää
ratkaisemalla Laplacen yhtälö tutuilla menetelmillä. Ensin on etsittävä sopivat
reunaehdot virrantiheydelle. Tarkastellaan esimerkkinä johdetta, jossa
on toisesta johdeaineesta koostuva pitkä sylinterinmuotoinen este. Kaukana
sylinteristä sähkökenttä on kohtisuorassa sylinterin akselia vastaan.
Merkitään sylinteriä (sisäalue) alaindeksillä i ja johdetta (ulkoalue) alaindeksillä
u. Sylinterin akseli on z-akseli ja sylinterin säde a. Kaukana sähkökenttä
on vakio E 0 e x . Koska ∇ · J = 0, reunaehdoksi saadaan J un = J in
(vrt. sähkövuon tiheys) eli
σ u E un = σ i E in (5.16)
eli
∂ϕ i
σ i
∂r = σ ∂ϕ u
u
∂r
sylinterin pinnalla r = a. Toisaalta potentiaali on jatkuva, joten
Kaukana sylinteristä virta on häiriintymätön, joten
(5.17)
ϕ u (a, θ) = ϕ i (a, θ) (5.18)
ϕ = −E 0 r cos θ , kun r → ∞ (5.19)
Tehdään origossa ja kaukaisuudessa hyvin käyttäytyvät ratkaisuyritteet
(vrt. luku 2.9.3)
ϕ i = Ar cos θ (5.20)
ϕ u = −E 0 r cos θ + B cos θ
(5.21)
r
Tässä on rohkeasti arvattu, että vain cosθ:aan verrannolliset termit tulevat
kyseeseen, sillä ainoastaan ne kytkeytyvät ulkoiseen kenttään. Nyt reunaehdot
antavat
Aa cos θ = −E 0 a cos θ + B cos θ
a
(
σ i A cos θ = σ u −E 0 cos θ − B cos θ )
a 2
(5.22)
(5.23)