Koko luentomoniste - FMI

4.5. MAXWELLIN JÄNNITYSTENSORI SÄHKÖSTATIIKASSA 55
missä f = ρE = ɛ 0 (∇ · E)E on voimatiheys eli voima tilavuusalkiota kohti.
Jälleen kerran pyritään muuttamaan tilavuusintegraali pintaintegraaliksi.
Todetaan ensin, että
f x = ɛ 0 ( 1 2 ∂ x(E 2 x ) + ∂ y(E y E x ) + ∂ z (E z E x ) − E y ∂ y E x − E z ∂ z E x ) (4.40)
Koska sähköstaattinen kenttä on pyörteetön eli ∇ × E = 0, niin
∂ x E y = ∂ y E x , ∂ y E z = ∂ z E y , ∂ z E x = ∂ x E z (4.41)
Saadaan
f x = ɛ 0 (∂ x (E 2 x − 1 2 E2 ) + ∂ y (E y E x ) + ∂ z (E z E x )) (4.42)
ja vastaava tulos muille komponenteille (HT).
Vektorilaskennasta tunnetaan divergenssiteoreeman sukuinen tulos
∫
∫
∇ψ dV = n ψ dS (4.43)
V
Tämän avulla saadaan kokonaisvoiman x-komponentiksi
∫
∫
F x = f x (r)dV = ɛ 0 (n x (Ex 2 − 1 2 E2 ) + n y E y E x + n z E z E x ) dS (4.44)
V
ja koko vektoriksi
S
S
∂V
∫
F = (ɛ 0 (n · E)E − 1 2 ɛ 0nE 2 ) dS (4.45)
Alueeseen V vaikuttava kokonaisvoima F voidaan siis korvata vain alueen
pintaan S kohdistuvalla pintavoimalla F S , jonka pintatiheyden f S komponentti
i on
3∑
fi S = T ij n j (4.46)
j=1
missä on määritelty Maxwellin jännitystensori
T ij = ɛ 0 (E i E j − 1 2 δ ijE 2 ) (4.47)
Voimatiheys voidaan esittää tensorin divergenssinä:
3∑
f i = ∂ j T ij (4.48)
j=1
Voimien F ja F S ekvivalenssin toteamiseksi on vielä osoitettava niiden
momenttien yhtäsuuruus mielivaltaisen pisteen suhteen. On siis näytettävä,
että N = ∫ V r × f dV on sama kuin NS = ∫ S r × f S dS. Laskennallisesti
suoraviivainen todistus perustuu jännitystensorin ja permutaatiosymbolin
käyttöön (HT). Jännitystensoriin palataan magnetostatiikassa analogisella
tavalla ja se tulee vastaan myös liikemäärän säilymislain yhteydessä.