Koko luentomoniste - FMI

¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢
¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢
54 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
d
E
F
¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢
¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
L–x
L
x
Kuva 4.2: Eristepalkki levykondensaattorin sisällä.
Esimerkki. Levykondensaattorin sisällä olevaan eristepalkkiin vaikuttava
voima
Olkoon kondensaattorin levyjen sisällä koko kondensaattorin täyttävä eristepalkki,
jonka permittiivisyys on ɛ (kuva 4.2). Kondensaattorin levyjen
etäisyys on d, niiden pituus L ja leveys w. Ulkoinen virtalähde pitää kondensaattorin
jännitteen vakiona △ϕ. Lasketaan, kuinka suuri voima vetää
palkkia kondensaattoriin.
Kondensaattorissa on sekä ilmassa että eristeessä sama sähkökenttä E =
△ϕ/d, joten sen energiasisältö on
U = 1 ∫
ɛE 2 dV (4.36)
2
V
jättämällä kondensaattorin reunavaikutukset huomiotta. Systeemin energia
kuvan tilanteessa on
U(x) = ɛ ( ) △ϕ 2
wxd + ɛ ( )
0 △ϕ 2
w(L − x)d (4.37)
2 d
2 d
Voima
F x = ∂U
∂x = ɛ − ɛ 0
w (△ϕ)2 = ɛ r − 1
ɛ 0 E 2 wd (4.38)
2 d 2
osoittaa kasvavan x:n suuntaan vastustaen ulosvetämistä. HT: miten tämän
voi selittää eristepalkkiin indusoituvien varausten avulla
4.5 Maxwellin jännitystensori sähköstatiikassa
Tutustutaan lopuksi tyylikkääseen tapaan laskea voimavaikutukset jännitystensorin
avulla. Oletetaan, että muuten tyhjässä avaruudessa on staattinen
sähkökenttä E ja äärellisessä alueessa V varausjakautuma ρ. Alueeseen V
vaikuttava kokonaisvoima on Coulombin lain mukaan
∫
∫
F = ρ(r)EdV = f(r)dV (4.39)
V
V