Koko luentomoniste - FMI

42 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSA
kaukana pallosta ϕ = −E 0 r cos θ. Asetetaan origo pallon keskipisteeseen
ja todetaan kiertosymmetria z-akselin suhteen: ϕ = ϕ(r, θ). ɛ r on vakio
eristeessä ja ɛ = ɛ 0 muualla. Ilman ulkoisia varauksia ρ = 0 kaikkialla ja
Laplacen yhtälö on voimassa eristeessä ja sen ulkopuolella. Kirjoitetaan ratkaisu
jälleen vyöhykeharmonisten funktioiden sarjana (2.80):
ϕ(r, θ) =
∞∑
n=0
(
A n r n + B n r −(n+1)) P n (cos θ) (3.34)
Merkitään termejä pallon ulkopuolella (r > a) indeksillä 1 ja sisäpuolella
(r < a) indeksillä 2. Etäällä pallosta ratkaisu lähenee alkuperäistä potentiaalia
−E 0 r cos θ, joten pallon ulkopuolella
jolloin
A 1n = 0, kun n ≥ 2 ; A 11 = −E 0
∞∑
ϕ 1 = B 1n r −(n+1) P n (cos θ) − E 0 r cos θ (3.35)
n=0
Pallon sisällä potentiaalin on oltava äärellinen origossa, joten kaikki kertoimet
B 2n ovat nollia ja sisäratkaisu on muotoa
∞∑
ϕ 2 = A 2n r n P n (cos θ) (3.36)
n=0
Käytetään sitten potentiaalin reunaehtoja rajapinnalla. Potentiaalin on
oltava jatkuva eli ϕ 1 (a, θ) = ϕ 2 (a, θ), joten
−E 0 a cos θ + B 10
a + B 11
a 2 cos θ + B 12
a 3 P 2(cos θ) + . . .
= A 20 + A 21 a cos θ + A 22 a 2 P 2 (cos θ) + . . . (3.37)
Toisaalta potentiaalin derivaatan reunaehdosta
∂ϕ 1 (r, θ)
∂ϕ 2 (r, θ)
= ɛ
∂r ∣ r ∣
r=a
∂r
seuraa
∣ r=a
−E 0 cos θ − B 10
a 2 − 2 B 11
a 3 cos θ − 3 B 12
a 4 P 2 (cos θ) + . . .
= ɛ r A 21 cos θ + 2ɛ r A 22 aP 2 (cos θ) + . . . (3.38)
Koska Legendren polynomit muodostavat ortonormaalin kannan, kunkin P n -
termin täytyy toteuttaa yhtälöt erikseen. Nyt molemmat yhtälöt (3.37) ja
(3.38) toteutuvat vain, jos A 2n = 0 ja B 1n = 0 kaikilla n ≥ 2. Yhtälön (3.38)