Koko luentomoniste - FMI

3.5. SÄHKÖKENTTÄ RAJAPINNALLA 41
sivut AB ja CD kumpikin eri väliaineessa ja pituudeltaan △l. Väliaineesta
toiseen kulkevat sivut BC ja DA oletetaan häviävän lyhyiksi. Tällöin
∮
E · dl = (E 2 − E 1 ) · △l = 0 (3.28)
joten
E 2t = E 1t (3.29)
eli sähkökentän tangentiaalikomponentti on jatkuva rajapinnan yli. Tämä
tulos on voimassa riippumatta mahdollisesta pintavarauksesta.
Tutkitaan sitten vektorin D taittumista rajapinnalla tapauksessa σ = 0.
Olkoon α 1 ”rajapinnalle tulevan” vektorin D 1 ja n 1 :n välinen kulma ja α 2
”rajapinnalta lähtevän” vektorin D 2 ja n 2 :n välinen kulma. Koska väliaineet
on oletettu yksinkertaisiksi, niin
Tällöin
D 1t = ɛ 1 E 1t ; D 2t = ɛ 2 E 2t (3.30)
tan α 2
tan α 1
= D 2t
D 2n
D 1n
D 1t
= ɛ 2E 2t
ɛ 1 E 1t
= ɛ 2
ɛ 1
= ɛ r2
ɛ r1
(3.31)
Sähkövuon tiheysvektori taittuu siis poispäin normaalin suunnasta mentäessä
huonommasta parempaan eristeeseen. Tämä on sukua aaltojen taittumiselle
eri väliaineiden rajapinnalla, johon tutustutaan luvussa 11.
Tarkastellaan sitten potentiaalin reunaehtoa rajapinnalla. Oletetaan jälleen
σ = 0, jolloin D 2n = D 1n ja ɛ r2 ɛ 0 E 2n = ɛ r1 ɛ 0 E 1n . Koska E n = −∂ϕ/∂n,
tulee reunaehdoksi
∂ϕ 2
ɛ r2
∂n = ɛ ∂ϕ 1
r1
(3.32)
∂n
Tämän lisäksi ϕ on jatkuva reunan yli. Tämä nähdään tarkastelemalla kahta
pistettä r 1 ja r 2 reunan molemmin puolin. Tällöin
∫ r2
E · dr = ϕ 1 − ϕ 2 → 0 (3.33)
r 1
kun r 1 ja r 2 lähestyvät toisiaan eri puolilta rajapintaa sillä fysikaalisella
oletuksella, että sähkökenttä on äärellinen rajapinnalla.
3.5.1 Eristepallo sähkökentässä
Yksinkertaisessa väliaineessa D = ɛE, joten ∇ · E = ρ/ɛ. Ainoa muodollinen
ero edellisten lukujen käsittelyyn on korvata ɛ 0 → ɛ. Useissa käytännön
ongelmissa eristeessä ei ole ulkoista varausta, joten ∇ 2 ϕ = 0 koko eristeessä.
Tarkastellaan a-säteistä eristepalloa homogeenisessa sähkökentässä
E 0 . Ratkaisumenetelmä on samanlainen kuin johdepallon tapauksessa. Valitaan
z-akseli alkuperäisen sähkökentän suuntaiseksi: E 0 = E 0 e z , jolloin