Koko luentomoniste - FMI

40 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSA
makroskooppisessa mielessä ohueksi. Tämä tarkastelu voidaan ulottaa myös
epähomogeenisiin eristeisiin, jos eriste voidaan kuvata eri eristevakiolla varustettuina
kerroksina. Merkitään väliaineita indekseillä 1 ja 2 ja olkoon
σ pintavaraustiheys rajapinnalla. Tarkastellaan pientä sylinterinmuotoista
pillerirasiaa, jonka kannet ovat eri väliaineissa (kuva 3.1).
Sovelletaan Gaussin lakia
∮
D · n dS = D 1 · n 1 △S 1 + D 2 · n 2 △S 2 +
∮
vaippa
D · n dS = Q (3.24)
Annetaan pillerirasian korkeuden lähestyä nollaa. Tällöin integraali vaipan
yli on nolla ja pillerirasian sisällä oleva varaus on pintavaraus kerrottuna
pinta-alalla: Q = σ△S, missä △S = △S 1 = △S 2 . Koska n 1 = −n 2 , voidaan
kirjoittaa reunaehto sähkövuon tiheyden normaalikomponentille:
tai
(D 2 − D 1 ) · n 2 = σ (3.25)
D 2n − D 1n = σ (3.26)
Mikäli kahden eristeen rajapinnalla ei ole ulkoista varausta, sähkövuon tiheyden
normaalikomponentti on jatkuva rajapinnan läpi. Koska eristeet polarisoituvat,
on tarkasteltava nimenomaan sähkövuon tiheyttä eikä sähkökenttää.
Myös sähköstaattiselle kentälle löytyy reunaehto rajapinnalla. Koska E =
−∇ϕ, niin viivaintegraali ∮
E · dl = 0 (3.27)
pitkin mitä tahansa suljettua silmukkaa. Sovelletaan tätä suorakulmaiseen
silmukkaan ABCD eristeiden rajapinnalla. Olkoot rajapinnan suuntaiset
1
2
n D 1
1
∆S 1
α 1
1
σ
D 2
1
2
Kuva 3.1: Pillerirasia kahden väliaineen rajapinnalla ja sähkövuon tiheyden
taittumiskulmien määritelmä.