Koko luentomoniste - FMI
Koko luentomoniste - FMI
Koko luentomoniste - FMI
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
40 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSA<br />
makroskooppisessa mielessä ohueksi. Tämä tarkastelu voidaan ulottaa myös<br />
epähomogeenisiin eristeisiin, jos eriste voidaan kuvata eri eristevakiolla varustettuina<br />
kerroksina. Merkitään väliaineita indekseillä 1 ja 2 ja olkoon<br />
σ pintavaraustiheys rajapinnalla. Tarkastellaan pientä sylinterinmuotoista<br />
pillerirasiaa, jonka kannet ovat eri väliaineissa (kuva 3.1).<br />
Sovelletaan Gaussin lakia<br />
∮<br />
D · n dS = D 1 · n 1 △S 1 + D 2 · n 2 △S 2 +<br />
∮<br />
vaippa<br />
D · n dS = Q (3.24)<br />
Annetaan pillerirasian korkeuden lähestyä nollaa. Tällöin integraali vaipan<br />
yli on nolla ja pillerirasian sisällä oleva varaus on pintavaraus kerrottuna<br />
pinta-alalla: Q = σ△S, missä △S = △S 1 = △S 2 . Koska n 1 = −n 2 , voidaan<br />
kirjoittaa reunaehto sähkövuon tiheyden normaalikomponentille:<br />
tai<br />
(D 2 − D 1 ) · n 2 = σ (3.25)<br />
D 2n − D 1n = σ (3.26)<br />
Mikäli kahden eristeen rajapinnalla ei ole ulkoista varausta, sähkövuon tiheyden<br />
normaalikomponentti on jatkuva rajapinnan läpi. Koska eristeet polarisoituvat,<br />
on tarkasteltava nimenomaan sähkövuon tiheyttä eikä sähkökenttää.<br />
Myös sähköstaattiselle kentälle löytyy reunaehto rajapinnalla. Koska E =<br />
−∇ϕ, niin viivaintegraali ∮<br />
E · dl = 0 (3.27)<br />
pitkin mitä tahansa suljettua silmukkaa. Sovelletaan tätä suorakulmaiseen<br />
silmukkaan ABCD eristeiden rajapinnalla. Olkoot rajapinnan suuntaiset<br />
1<br />
2<br />
n D 1<br />
1<br />
∆S 1<br />
α 1<br />
1<br />
σ<br />
D 2<br />
1<br />
2<br />
Kuva 3.1: Pillerirasia kahden väliaineen rajapinnalla ja sähkövuon tiheyden<br />
taittumiskulmien määritelmä.