Koko luentomoniste - FMI

36 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSA
Tämä määritelmä edellyttää, että △V on makroskooppisessa mielessä pieni.
Varsinaisesta raja-arvosta △V → 0 ei ole kysymys, koska tilavuusalkiossa
täytyy olla monta molekyyliä, jotta polarisaatio ylipäänsä syntyisi. Makroskooppiselta
kannalta polarisoitumaa voi kuitenkin tarkastella jatkuvana
paikan funktiona. Polarisoituman SI-yksikkö on C/m 2 , joten [P] = [ɛ 0 ][E].
Cgs-yksiköissä tyhjön permittiivisyys on 1/4π, joten niissä polarisoitumalla
on sama yksikkö kuin sähkökentällä.
3.2 Polarisoituman aiheuttama sähkökenttä
Tarkastellaan pisteessä r ′ sijaitsevan pienen eristealkion dV ′ dipolimomenttia
dp = PdV ′ . Oletetaan, että korkeampien multipolien vaikutus voidaan
jättää huomiotta. Vaihtoehtoisesti voidaan ajatella, että havaintopiste r on
niin etäällä, että tämän alkion aiheuttama sähköinen potentiaali saadaan
laskemalla pelkän dipolimomentin potentiaali
dϕ(r) = dp · (r − r′ )
4πɛ 0 |r − r ′ | 3 = P(r′ ) · (r − r ′ )dV ′
4πɛ 0 |r − r ′ | 3 (3.4)
Kokonaispotentiaali pisteessä r on tämän integraali
ϕ(r) = 1 ∫
P(r ′ ) · (r − r ′ ) dV ′
4πɛ 0 V 0
|r − r ′ | 3 (3.5)
Mikäli polarisoituma tunnetaan, potentiaali voidaan laskea tästä suoraan.
Käytännössä sama asia on hyödyllistä ilmaista hieman eri tavalla. Koska
( )
∇ ′ 1
|r − r ′ = r − r′
| |r − r ′ | 3 (3.6)
voidaan potentiaalin integrandi kirjoittaa
P(r ′ ) · (r − r ′ ( )
)
|r − r ′ | 3 = P(r ′ ) · ∇ ′ 1
|r − r ′ |
(3.7)
Käyttämällä kaavaa ∇ · (fF) = f∇ · F + F · ∇f saadaan
P(r ′ ) · (r − r ′ (
) P(r
|r − r ′ | 3 = ∇ ′ ′ )
) 1
·
|r − r ′ −
| |r − r ′ | ∇′ · P(r ′ ) (3.8)
Tämän avulla ja soveltamalla divergenssiteoreemaa potentiaali voidaan ilmaista
seuraavasti:
∮
1 P(r ′ ) · n ′ dS ′
ϕ(r) =
4πɛ 0 S 0
|r − r ′ + 1 ∫
(−∇ ′ · P(r ′ )) dV ′
| 4πɛ 0 V 0
|r − r ′ |
=
[∮
1
4πɛ 0
σ P (r ′ ) dS ′
S 0
|r − r ′ |
ρ P (r
+
∫V ′ ) dV ′ ]
0
|r − r ′ |
(3.9)