Koko luentomoniste - FMI
Koko luentomoniste - FMI
Koko luentomoniste - FMI
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
28 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ<br />
Pallon pintavaraustiheys on<br />
σ = ɛ 0 E r (r = a) = 3ɛ 0 E 0 cos θ (2.89)<br />
Indusoituva pintavarausjakautuma on θ:n funktio. Sen dipolimomentti on<br />
p =<br />
∫<br />
pallo<br />
rρ(r) dV =<br />
∫<br />
r=a<br />
(xe x + ye y + ze z )(3ɛ 0 E 0 cos θ)r 2 sin θ dθ dφ<br />
∫ π<br />
= 6πa 3 ɛ 0 E 0 e z cos 2 θ sin θ dθ = 4πɛ 0 a 3 E 0 e z (2.90)<br />
0<br />
Pallon ulkopuolella sen osuus kentästä on sama kuin origoon sijoitetun dipolin,<br />
jonka dipolimomentti on p = 4πɛ 0 a 3 E 0 e z .<br />
2.8.3 Sylinterikoordinaatisto<br />
Tarkastellaan sitten sylinterisymmetristä tilannetta ja oletetaan lisäksi, ettei<br />
tilanne muutu sylinterin suunnassa. Nyt ∂ϕ/∂z = 0 ja Laplacen yhtälö on<br />
1<br />
r<br />
(<br />
∂<br />
∂r<br />
r ∂ϕ<br />
∂r<br />
)<br />
+ 1 r 2 ∂ 2 ϕ<br />
∂θ 2 = 0 (2.91)<br />
Huom. Sylinterikoordinaatistossa r:llä ja θ:lla on eri merkitys kuin pallokoordinaatistossa!<br />
Kirjallisuudessa käytetään usein radiaalietäisyydelle symbolia<br />
ρ ja kiertokulmalle φ.<br />
Laplacen yhtälö separoituu yritteellä ϕ = Y (r)S(θ):<br />
r<br />
Y<br />
(<br />
d<br />
r dY )<br />
= − 1 d 2 S<br />
dr dr S dθ 2 = n2 (2.92)<br />
missä separointivakiolle n 2 tulee jälleen rajoituksia kulmayhtälöstä<br />
d 2 S<br />
dθ 2 + n2 S = 0 (2.93)<br />
Tämän ratkaisut ovat sin(nθ) ja cos(nθ). Jos kulma θ saa kaikki arvot välillä<br />
0 ≤ θ ≤ 2π, on oltava ϕ(θ) = ϕ(θ + 2π). Tästä seuraa, että n on kokonaisluku,<br />
joka voidaan rajoittaa positiiviseksi. Lisäksi tapauksessa n = 0 saadaan<br />
ratkaisu S = A 0 θ + C 0 (ehto ϕ(θ) = ϕ(θ + 2π) ei silloin toteudu, mutta<br />
pidetään tämäkin termi mukana täydellisyyden vuoksi). Radiaalisesta<br />
yhtälöstä tulee nyt<br />
r d dr<br />
(<br />
r dY )<br />
− n 2 Y = r 2 d2 Y<br />
dr<br />
dr 2 + r dY<br />
dr − n2 Y = 0 (2.94)