Koko luentomoniste - FMI

28 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ
Pallon pintavaraustiheys on
σ = ɛ 0 E r (r = a) = 3ɛ 0 E 0 cos θ (2.89)
Indusoituva pintavarausjakautuma on θ:n funktio. Sen dipolimomentti on
p =
∫
pallo
rρ(r) dV =
∫
r=a
(xe x + ye y + ze z )(3ɛ 0 E 0 cos θ)r 2 sin θ dθ dφ
∫ π
= 6πa 3 ɛ 0 E 0 e z cos 2 θ sin θ dθ = 4πɛ 0 a 3 E 0 e z (2.90)
0
Pallon ulkopuolella sen osuus kentästä on sama kuin origoon sijoitetun dipolin,
jonka dipolimomentti on p = 4πɛ 0 a 3 E 0 e z .
2.8.3 Sylinterikoordinaatisto
Tarkastellaan sitten sylinterisymmetristä tilannetta ja oletetaan lisäksi, ettei
tilanne muutu sylinterin suunnassa. Nyt ∂ϕ/∂z = 0 ja Laplacen yhtälö on
1
r
(
∂
∂r
r ∂ϕ
∂r
)
+ 1 r 2 ∂ 2 ϕ
∂θ 2 = 0 (2.91)
Huom. Sylinterikoordinaatistossa r:llä ja θ:lla on eri merkitys kuin pallokoordinaatistossa!
Kirjallisuudessa käytetään usein radiaalietäisyydelle symbolia
ρ ja kiertokulmalle φ.
Laplacen yhtälö separoituu yritteellä ϕ = Y (r)S(θ):
r
Y
(
d
r dY )
= − 1 d 2 S
dr dr S dθ 2 = n2 (2.92)
missä separointivakiolle n 2 tulee jälleen rajoituksia kulmayhtälöstä
d 2 S
dθ 2 + n2 S = 0 (2.93)
Tämän ratkaisut ovat sin(nθ) ja cos(nθ). Jos kulma θ saa kaikki arvot välillä
0 ≤ θ ≤ 2π, on oltava ϕ(θ) = ϕ(θ + 2π). Tästä seuraa, että n on kokonaisluku,
joka voidaan rajoittaa positiiviseksi. Lisäksi tapauksessa n = 0 saadaan
ratkaisu S = A 0 θ + C 0 (ehto ϕ(θ) = ϕ(θ + 2π) ei silloin toteudu, mutta
pidetään tämäkin termi mukana täydellisyyden vuoksi). Radiaalisesta
yhtälöstä tulee nyt
r d dr
(
r dY )
− n 2 Y = r 2 d2 Y
dr
dr 2 + r dY
dr − n2 Y = 0 (2.94)