Koko luentomoniste - FMI

2.8. LAPLACEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 27
Esimerkki. Johdepallo vakiosähkökentässä
Tuodaan tasaiseen sähkökenttään E 0 varaamaton a-säteinen johdepallo. Johde
pakottaa alunperin suorat kenttäviivat taipumaan siten, että ne osuvat
pintaan kohtisuoraan. Valitaan koordinaatisto siten, että origo on pallon
keskipisteessä ja z-akseli on sähkökentän suuntainen. Tällöin ongelma
on kiertosymmetrinen. Johteen pinta on kaikkialla samassa potentiaalissa
ϕ(a, θ) = ϕ 0 . Kaukana pallosta sähkökenttä lähestyy vakioarvoa
joten kaukana potentiaali lähestyy lauseketta
E(r, θ) r→∞ = E 0 e z (2.81)
ϕ(r, θ) r→∞ = −E 0 z + C = −E 0 r cos θ + C (2.82)
Kirjoitetaan auki potentiaalin muutama ensimmäinen termi lausekkeesta
2.80:
ϕ(r, θ) = A 0 + B 0
r + A 1r cos θ + B 1
+ B 2
r 3 [ 1
2
(
) ]
3 cos 2 θ − 1
[ 1
r 2 cos θ + A 2r 2 2
(
3 cos 2 θ − 1) ] + . . . (2.83)
Kun r → ∞, niin ϕ = −E 0 r cos θ, joten A n = 0 kaikille n ≥ 2 ja A 1 = −E 0 .
Koska pallon kokonaisvaraus on nolla, potentiaalissa ei ole 1/r-riippuvuutta,
eli B 0 = 0. Jäljellä olevat cos n θ-termit (n ≥ 2) ovat kaikki lineaarisesti
riippumattomissa polynomeissa P n , joten ne eivät voi kumota toisiaan pallon
pinnalla, missä ei ole θ-riippuvuutta, eli B n = 0 kaikille n ≥ 2. Jäljelle jää
ϕ(a, θ) = ϕ 0 (2.84)
ϕ(r, θ) = C − E 0 r cos θ + B 1
cos θ (2.85)
r2 Kun r = a, cos θ-termien on kumottava toisensa, joten C = ϕ 0 ja B 1 = E 0 a 3 .
Reunaehdot täyttävä Laplacen yhtälön ratkaisu on siis
ϕ(r, θ) = ϕ 0 +
(
a 3 E 0
r 2
Sähkökentän E = −∇ϕ komponentit ovat
− E 0 r
E r = − ∂ϕ
( )
∂r = E 0 1 + 2 a3
r 3
(
E θ = − 1 r
∂ϕ
∂θ = −E 0
)
cos θ (2.86)
cos θ (2.87)
1 − a3
r 3 )
sin θ (2.88)