Koko luentomoniste - FMI

2.8. LAPLACEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 21
eli
∫
V 0
(∇Φ) 2 dV = 0
Koska (∇Φ) 2 ≥ 0 koko alueessa V 0 , sen on oltava nolla kaikkialla. Tästä
seuraa, että Φ on vakio koko alueessa V 0 ja yksikäsitteisyyslause on siten
todistettu.
Tämä ei ole todistus ratkaisun olemassaololle vaan sille, että mahdolliset
ratkaisut ovat yksikäsitteisiä. Tuloksen tärkeys on siinä, että jos löydetään
millä keinolla tahansa annetut reunaehdot täyttävä Poissonin yhtälön ratkaisu,
se on Dirichlet’n reunaehdolla yksikäsitteinen ja von Neumannin reunaehdolla
vakiota eli potentiaalin nollatasoa vaille yksikäsitteinen.
2.8 Laplacen yhtälön ratkaiseminen
Laplacen yhtälö on fysiikan keskeisimpiä yhtälöitä. Sähköopin lisäksi se esiintyy
lämmönsiirtymisilmiöissä, virtausmekaniikassa jne. Kovin monimutkaisissa
tilanteissa yhtälöä ei voi ratkaista analyyttisesti, mutta joskus ongelman
symmetriasta on hyötyä. Laplacen yhtälö, joka on osittaisdifferentiaaliyhtälö,
saadaan separointimenetelmällä muunnettua ryhmäksi tavallisia
yhden muuttujan differentiaaliyhtälöitä. Laplacen yhtälö voidaan separoida
kaikkiaan 11 erilaisessa koordinaatistossa, joista tässä esiteltävät kolme
tapausta ovat tavallisimmat.
2.8.1 Karteesinen koordinaatisto
Kirjoitetaan Laplacen yhtälö ensin karteesisissa koordinaateissa
ja etsitään sille ratkaisua yritteellä
∂ 2 ϕ
∂x 2 + ∂2 ϕ
∂y 2 + ∂2 ϕ
∂z 2 = 0 (2.46)
ϕ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z) (2.47)
Sijoitetaan tämä yhtälöön (2.46) ja jaetaan tulolla XY Z, jolloin saadaan
1 d 2 X
X dx 2 + 1 Y
d 2 Y
dy 2 + 1 d 2 Z
Z dz 2 = 0 (2.48)
Nyt jokainen termi riippuu vain yhdestä muuttujasta, jotka ovat keskenään
riippumattomia. Niinpä kunkin termin on oltava erikseen vakioita
1 d 2 X
X dx 2 = α2 ;
1
Y
d 2 Y
dy 2 = β2 ;
1 d 2 Z
Z dz 2 = γ2 (2.49)