Koko luentomoniste - FMI

2.7. POISSONIN JA LAPLACEN YHTÄLÖT 19
Kehitetään |r − r ′ | −1 binomisarjaksi, kun r > r ′ :
|r − r ′ | −1 = (r 2 − 2r · r ′ + r ′2 ) −1/2
= 1 {
1 − 1 [
]
2r · r′
−
r 2 r 2 + r′2
r 2 + 3 }
8 [ ]2 + ...
(2.40)
Sijoitetaan tämä potentiaalin lausekkeeseen, jätetään r ′ :n toista potenssia
korkeammat termit pois ja järjestetään termit r ′ :n kasvavien potenssien mukaan.
Tämä antaa potentiaalin multipolikehitelmän kvadrupolimomenttia
myöten
ϕ(r) =
{ ∫
1 1
ρ(r ′ ) dV ′ + r ∫
4πɛ 0 r V
r 3 · r ′ ρ(r ′ ) dV ′
V
+
⎫
3∑ 3∑ 1 x i x ⎬ j
2 r
i=1 j=1
∫V
5 (3x ′ ix ′ j − δ ij r ′2 )ρ(r ′ ) dV ′ ⎭
(2.41)
missä x i :t ovat paikkavektoreiden karteesisia komponentteja ja δ ij on Kroneckerin
delta
{
0, i ≠ j
δ ij =
(2.42)
1, i = j
Multipolikehitelmän ensimmäinen tekijä vastaa origoon sijoitetun varausjakautuman
osuutta potentiaaliin. Toinen tekijä vastaa origoon sijoitettua
dipolimomenttien jakautumaa. Kolmas termi on muotoa
3∑
3∑
i=1 j=1
1
2
x i x j
r 5 Q ij
missä Q ij on kvadrupolimomenttitensori. Potentiaalin multipolikehitelmä
voidaan siis kirjoittaa sarjana
⎧
ϕ(r) = 1 ⎨ Q
4πɛ 0 ⎩ r + r · p
r 3 +
3∑
3∑
i=1 j=1
⎫
⎬
r 5 Q ij + ...
⎭
1 x i x j
2
(2.43)
Kaukana varausjakautumasta potentiaali on likimain ensimmäisen nollasta
poikkeavan termin aiheuttama potentiaali. Atomien ytimissä dipolimomentti
on nolla, mutta korkeammat multipolit ovat tärkeitä ydinfysiikassa.
2.7 Poissonin ja Laplacen yhtälöt
Sähköstatiikka olisi aika suoraviivaista, jos tietäisimme kaikkien varausjakautumien
paikkariippuvuudet. Näin ei kuitenkaan ole monissa käytännön