Koko luentomoniste - FMI
Koko luentomoniste - FMI
Koko luentomoniste - FMI
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
15.4. LIIKEYHTÄLÖ KANONISESSA FORMALISMISSA 185<br />
Sijoitetaan sähkö- ja magneettikentät Lorentzin voiman lausekkeeseen<br />
skalaari- ja vektoripotentiaalien avulla:<br />
F = q(−∇ϕ − ∂ t A + ṙ × (∇ × A)) (15.19)<br />
Muunnetaan tämä kanoniseen muotoon ilmaisemalla se riippumattomien<br />
muuttujien r ja ṙ = v avulla. Käytetään seuraavassa merkintöjä ∂/∂r i =<br />
∂ i = ∇ i ja oletetaan summaus toistetun indeksin yli. Suorilla laskuilla<br />
nähdään, että<br />
[ṙ × (∇ × A)] i = ṙ j ∂ i A j − ṙ j ∂ j A i = ∂ i (ṙ · A) − (ṙ · ∇)A<br />
Yhtälöiden dA/dt = ∂ t A + (ṙ · ∇)A ja ṙ j ∂ i A j = ∂ i (ṙ · A) avulla voiman<br />
lausekkeeksi saadaan<br />
F = q<br />
[−∇ϕ + ∇(ṙ · A) − d ]<br />
dt A (15.20)<br />
Koska ϕ ja A eivät riipu nopeudesta, voidaan kirjoittaa<br />
d<br />
dt A i = d ( ) ∂<br />
(ṙ · A) = d ( )<br />
∂<br />
(−ϕ + ṙ · A)<br />
dt ∂ṙ i dt ∂ṙ i<br />
minkä avulla voiman i:s komponentti saadaan muotoon<br />
F i = − ∂ (qϕ − q ṙ · A) + d ( )<br />
∂<br />
(qϕ − q ṙ · A)<br />
∂r i dt ∂ṙ i<br />
(15.21)<br />
Lorentzin voima on nyt ilmaistu Lagrangen mekaniikassa yleistetyn potentiaalin<br />
U = qϕ − q ṙ · A (15.22)<br />
avulla:<br />
m¨r i = − ∂U + d ∂U<br />
(15.23)<br />
∂r i dt ∂ṙ i<br />
Lagrangen funktion L = m ṙ 2 /2 − U avulla liikeyhtälö saa muodon<br />
∂L<br />
∂r i<br />
− d dt<br />
∂L<br />
∂ṙ i<br />
= 0 (15.24)<br />
Nämä Lagrangen liikeyhtälöt ovat toista kertalukua. Niistä voidaan muodostaa<br />
ensimmäisen kertaluvun yhtälöitä siirtymällä kanonisiin muuttujiin<br />
r i (kanoninen koordinaatti) ja π i = ∂L/∂ṙ i = mṙ i + qA i (kanoninen<br />
liikemäärä). Muodostetaan näiden muuttujien Hamiltonin funktio<br />
H(π, r, t) = ṙ i π i − L(r, ṙ, t) = ṙ i π i − 1 2 mṙ2 + qϕ − q ṙ · A<br />
= 1<br />
2m (π − qA)2 + qϕ (15.25)