Koko luentomoniste - FMI

180LUKU 14. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIA
Tämän toteamiseksi lasketaan tensorin komponentit. Tensorin määritelmässä
on mukana invariantti −(1/4)F αβ F αβ = (1/2)((E/c) 2 − B 2 ), joka tulee mukaan
diagonaalisiin termeihin. Nyt
T 00 = 1 [
F 0 α F α 0
+ 1 ( )] (
1
µ 0 2 c 2 E2 − B 2 ɛ0 E 2
= −
2
eli kentän energiatiheys w em = −T 00 .
+ B2
2µ 0
)
(14.89)
T 0i = 1 µ 0
F α 0 F αi = . . . (HT ) . . . = − 1 c (E × B)i = − 1 c Si (14.90)
ovat puolestaan Poyntingin vektorin komponentit. Pelkästään avaruusosia
sisältävät komponentit ovat
T kl = 1 [
F k α F α l
+ g kl 1 ( )]
1
µ 0 2 c 2 E2 − B 2
= ɛ 0 E k E l + g kl ɛ 0E 2
= T kl
e
+ T kl
m
2
+ 1 B k B l kl B2
+ g (14.91)
µ 0 2µ 0
eli luvussa 9 johdetun Maxwellin jännitystensorin T sähköiset ja magneettiset
komponentit. Tensori T αβ on Maxwellin jännistystensorin laajennus,
koska sen 0α-komponentit antavat suoraan sekä sähkömagneettisen energiatiheyden
että Poyntingin vektorin.
Tuloksista f µ = j α F αµ ja f µ = ∂ β T βµ saadaan yhtälö
Tämän nollas komponentti ∂ β T β0 = j α F α0 antaa
∂w em
∂t
∂ β T βµ = j α F αµ (14.92)
+ ∇ · S = −J · E (14.93)
eli differentiaalisen energian säilymislain (Poyntingin teoreeman). Avaruuskomponentit
∂ β T βi = j α F αi puolestaan antavat liikemäärän säilymislain
− ∂ ∂t (ɛ 0E × B) l + ∂ k (T kl
e
+ T kl
m ) = ρE l + (J × B) l (14.94)
Olemme siis onnistuneet kirjoittamaan olennaisesti koko klassisen mikroskooppisen
elektrodynamiikan kovariantissa muodossa, kun väliaineeksi oletetaan
tyhjö.
Luvussa 13 käsitelty liikkuvan varauksen säteily voidaan esittää hieman
tyylikkäämmin tässä luvussa käsitellyssä formalismissa. Asiasta kiinnostuneita
kehotetaan tutustumaan CL:n lukuun 13 tai Jacksonin säteilyteoriaa
käsitteleviin lukuihin.