Koko luentomoniste - FMI

176LUKU 14. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIA
Nelivirta on nelivektori, joten varaustiheys ρ ja virrantiheys J muuntuvat
samalla tavalla kuin aika t ja paikka r. Homogeeniset yhtälöt (∇ · B =
0, ∇ × E + ∂ t B = 0) saadaan muotoon (HT)
∂ α F βγ + ∂ β F γα + ∂ γ F αβ = 0 (14.63)
Koska Maxwellin yhtälöt voidaan kirjoittaa tensoriyhtälöinä, ne säilyttävät
muotonsa Lorentzin muunnoksissa. Näin siis Maxwellin 1860-luvulla kehittämä
teoria on osoittautunut ensimmäiseksi suppeamman suhteellisuusteorian
kanssa sopusoinnussa olevaksi fysiikan kuvailuksi.
HT: Totea toisen kertaluvun tensoreiden muunnoskaavojen avulla, että suure
F αβ F αβ on invariantti Lorentz-muunnoksessa. Lausu sitten tämä suure
kenttien avulla.
14.5 Kenttien muunnokset
Elektrodynamiikan Lorentz-kovarianssi tarkoittaa siis sitä, että Maxwellin
yhtälöt ovat samat inertiaalikoordinaatistosta riippumatta. Sitävastoin
sähkö- ja magneettikentät riippuvat havaitsijan liiketilasta. Muunnosten täytyy
olla sellaiset, että sijoitettaessa muunnetut kentät Maxwellin yhtälöihin
tuloksena ovat alkuperäiset yhtälöt. Kaikki tämä on jo edellisen kappaleen
formalismin sisällä, mutta johdetaan tässä vielä kenttien muunnoskaavat.
Valitaan koordinaattiakselit siten, että koordinaatistojen välinen suhteellinen
nopeus v on x-akselin suuntainen. Muunnosmatriisi on tällöin
⎛
⎞
γ −γβ 0 0
(Λ µ −γβ γ 0 0
ν) = ⎜
⎟
(14.64)
⎝ 0 0 1 0 ⎠
0 0 0 1
Muuntumaton sähkökentän 1-komponentti on F 01 = E 1 /c, mikä nähdään
laskemalla F ′ 01 :
F ′ 01 = Λ 0 µΛ 1 νF µν
= Λ 0 0Λ 1 0F 00 + Λ 0 0Λ 1 1F 01 + Λ 0 1Λ 1 0F 10 + Λ 0 1Λ 1 1F 11
= γ 2 1 c E1 + β 2 γ 2 (− 1 c E1 ) ⇒ E ′ 1 = E
1
(14.65)
Siis puskun suuntainen sähkökenttä säilyy ennallaan. Lasketaan seuraavaksi
F 02 = E 2 /c:n muunnos:
F ′ 02 = Λ 0 µΛ 2 νF µν = Λ 0 0Λ 2 0F 02 + Λ 0 0Λ 2 2F 02 + Λ 0 1Λ 2 2F 12
= γ 1 c E2 − βγB 3 ⇒ E ′ 2 = γE 2 − γvB 3 (14.66)