Koko luentomoniste - FMI

14.4. ELEKTRODYNAMIIKAN KOVARIANTTI FORMULOINTI 175
g µβ Λ µ νg να u α = (Λ −1 ) α β u α, missä käytettiin lopuksi tulosta 14.20. Muunnettu
liikeyhtälö on siis
dp ′ µ
dτ = qu′ βF ′ βµ
⇔ Λ µ dp ν
ν
dτ = qΛ β α u α F ′ βµ = qΛ µ νu α F αν
⇒ Λ β α F ′ βµ = Λ µ νF αν
⇔ (Λ −1 ) α β F ′ βµ = Λ µ νF αν
⇔ Λ γ α(Λ −1 ) α β F ′ βµ = Λ γ αΛ µ νF αν
⇔ F ′ γµ = Λ γ αΛ µ νF αν (14.58)
Tensoria (F µν ) kutsutaan sähkömagneettiseksi kenttätensoriksi ja
sen komponentit ovat
⎛
(F µν ) = ⎜
⎝
0 E 1 /c E 2 /c E 3 /c
−E 1 /c 0 B 3 −B 2
−E 2 /c −B 3 0 B 1
−E 3 /c B 2 −B 1 0
⎞
⎟
⎠
(14.59)
Kirjoitetaan sitten Maxwellin yhtälöt kenttätensorin komponenttien avulla.
Määritellään ensin operaattori ∂ α : ∂/∂x α = (∂/∂x 0 , ∇). Vastaavasti ∂ α =
∂/∂x α = (∂/∂x 0 , −∇). Indeksien sijoittelu on loogista: ∂ α muuntuu kuten
kovariantti vektori, koska ∂/∂x ′α = (∂x β /∂x ′α )∂x β .
Nyt ∇ · E = ρ/ɛ 0 ≡ µ 0 c 2 ρ tulee muotoon
∂ 1 F 01 + ∂ 2 F 02 + ∂ 3 F 03 = µ 0 cρ (14.60)
Ampèren ja Maxwellin lain kolme komponenttia ovat puolestaan
∂ 0 F 10 + ∂ 2 F 12 + ∂ 3 F 13 = µ 0 j 1
∂ 0 F 20 + ∂ 1 F 21 + ∂ 3 F 23 = µ 0 j 2 (14.61)
∂ 0 F 30 + ∂ 1 F 31 + ∂ 2 F 32 = µ 0 j 3
Ottamalla käyttöön nelivirta J = (j µ ) = (cρ, J) voidaan nämä yhtälöt
kirjoittaa muodossa
∂ ν F µν = µ 0 j µ (14.62)