Koko luentomoniste - FMI

174LUKU 14. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIA
14.4 Elektrodynamiikan kovariantti formulointi
Tarkastellaan seuraavaksi Lorentzin voiman lauseketta muodossa
F i = q(E i + ɛ i jk v j B k ) (14.52)
missä ɛ ijk on permutaatiotensori ja summataan toistettujen indeksien yli
(HT: kertaa ɛ ijk :n ominaisuudet). Varaus q oletetaan invariantiksi säilymislain
perusteella. Edellä saatiin hiukkasen liikeyhtälö muotoon
missä nelivoiman komponentit ovat
dp µ
dτ = Kµ (14.53)
K 0 = γ c F · v ; Ki = γF i (14.54)
Oletetaan nyt, että kyseisen voiman avaruusosa on juuri Lorentzin voima.
Kirjoitetaan liikeyhtälö komponenteittain. Aikakomponentista tulee
dp 0
dτ = K0 = γ c F · v = γ qE · v (14.55)
c
eli kentän tekemä työ. Paikkakomponenteista saadaan
( )
dp 1 (
) E
dτ = γq E 1 + (v 2 B 3 − v 3 B 2 1
) = q
c u0 + u 2 B 3 − u 3 B 2
dp 2
( )
(
) E
dτ = γq E 2 + (v 3 B 1 − v 1 B 3 2
) = q
c u0 + u 3 B 1 − u 1 B 3
dp 3
( )
(
) E
dτ = γq E 3 + (v 1 B 2 − v 2 B 1 3
) = q
c u0 + u 1 B 2 − u 2 B 1
(14.56)
Aika- ja paikkakomponentit voidaan koota yhtälöiksi
dp µ
dτ = qu βF βµ (14.57)
missä (F 01 , F 02 , F 03 ) = (1/c)(E 1 , E 2 , E 3 ), (F 23 , F 31 , F 12 ) = (B 1 , B 2 , B 3 ) ja
F µν = −F νµ . Tästä saa suoralla laskulla liikeyhtälön komponentit.
Osoitetaan sitten, että (F µν ) on kelvollinen toisen kertaluvun tensori eli
että se muuntuu oikein Lorentzin muunnoksissa. Todetaan aluksi, että kovariantin
vektorin muunnos on u ′ β = Λ β α u α = (Λ −1 ) α β u α, minkä voi päätellä
suoraan muunnoskaavojen avulla. Sen näkee teknisemminkin nostamalla
ja laskemalla indeksejä perustensorin avulla: u ′ β = g µβu ′µ = g µβ Λ µ νu ν =