Koko luentomoniste - FMI

172LUKU 14. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIA
Tarkastellaan sitten Newtonin liikeyhtälöä
dp
dt = F (14.33)
missä p = mv on liikemäärä. Tämä on kuitenkin Galilei-invariantti yhtälö,
missä mikään ei rajoita nopeutta alle valon nopeuden. Muodostetaan nelivektoriyhtälö
m 0
d
dτ uµ = K µ (14.34)
missä m 0 on massanlaatuinen vakiosuure ja K µ nelivoima. Jotta tämä olisi
kelvollinen liikeyhtälö pienen nopeuden rajalla (sama asia kuin raja c → ∞),
sen avaruusosasta on saatava Newtonin liikeyhtälö. Käyttäen koordinaattiaikaa
t kirjoitetaan yhtälön avaruuskomponentit muodossa
d m 0 v i
√
√1
dt
= 1 − β 2 Ki − β 2 (14.35)
Jos ulkoinen voima on nolla, liikemäärä on vakio, joten liikemäärän määritelmäksi
tulee
p i =
m 0v i
√ (14.36)
1 − β 2
joka rajalla β → 0 vastaa Newtonin mekaniikan liikemäärää. Näin kolmivoiman
ja nelivoiman välinen yhteys on
F i = K i √1 − β 2 (14.37)
Liikeyhtälön (14.34) nollannen komponentin määrittämiseksi kirjoitetaan se
nelikiihtyvyyden a µ avulla
m 0 a µ = K µ (14.38)
Laskemalla nelikiihtyvyyden ja nelinopeuden pistetulo saadaan
g µν a µ u ν = 1 d
2 dτ (g µνu µ u ν ) = 1 d
2 dτ c2 = 0 (14.39)
eli nelikiihtyvyys ja nelinopeus ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, joten
myös
g µν K µ u ν = 0 (14.40)
Sijoittamalla tähän nelinopeuden komponentit (u = (γc, γv)) ja nelivoiman
avaruusosa jää jäljelle
eli
c
√
1 − β 2 K0 =
3∑
i=1
K 0 = 1 c
v i F i
√ √
1 − β 2 1 − β 2
F · v
√
1 − β 2
(14.41)
(14.42)