Koko luentomoniste - FMI

14.3. LORENTZIN MUUNNOKSET JA DYNAMIIKKA 171
joka on sama kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa. Tarkastellaan nyt hiukkasta
koordinaatistossa, jossa se on hetkellisesti levossa. Tällöin
eli tässä koordinaatistossa vain aika kuluu. Nyt
dx ′ = (dx ′0 , 0, 0, 0) (14.25)
ds 2 = g 00 (dx ′0 ) 2 = c 2 (dt ′ ) 2 (14.26)
Ajanlaatuinen suure ds/c on invariantti aikaväli hiukkasen hetkellisessä lepokoordinaatistossa
eli se on hiukkasen mukana liikkuvan kellon mittaama
aikaväli. Määritellään kiinteästä maailmanpisteestä s A laskettu hiukkasen
ominaisaika integraalina
τ = 1 c
∫ s
s A
ds =
⎧ ⎡
⎨
dt
t A
⎩ 1 − 1 ( )
⎣ dx
1 2 ( )
dx
2 2 ( ) ⎤⎫
dx
3 2 ⎬
c 2 + + ⎦
dt dt dt ⎭
∫ t
Tässä esiintyy kolminopeus v koordinaatistossa K:
v =
( )
dx
1
dt , dx2
dt , dx3
dt
1/2
(14.27)
(14.28)
Ominaisajan differentiaalinen muoto on sama kuin luvussa 14.1 mainittu
dτ
√ = dt (14.29)
1 − v 2 /c2 joka kuvaa ajan venymistä liikkeessä olevassa koordinaatistossa.
Hiukkasen nelinopeus u määritellään sen nelipaikan derivaattana ominaisajan
suhteen. Sen komponentit ovat
u µ = dxµ
dτ
(14.30)
Kolminopeuden avulla ilmaistuna tämä on u = (γc, γv). Suoralla laskulla
nähdään, että nelinopeuden neliö on invariantti:
Vastaavasti määritellään nelikiihtyvyys
u 2 = g µν u µ u ν = c 2 (14.31)
a µ = duµ
dτ = d2 x µ
dτ 2 (14.32)
Nelinopeus on nelivektori, koska x µ on nelivektori ja d/dτ on invariantti.
Tällöin myös nelikiihtyvyys on nelivektori.