Koko luentomoniste - FMI

166LUKU 14. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIA
oletetaan, että heillä on yhteinen fysikaalisiin ilmiöihin perustuva standardi,
jonka perusteella he käyttävät samoja mittayksiköitä. Etsitään havaintojen
välinen yhteys käyttäen neljää yleistä ehtoa.
Ehto 1. Aika ja avaruus ovat homogeenisia ja isotrooppisia. Kahden infinitesimaalisen
lähekkäisen tapahtuman siirtymien ja aikavälien välinen muunnos
(dr, dt) ↔ (dr ′ , dt ′ ) on silloin sama aina ja kaikkialla eli niiden välillä on
lineaarinen yhteys. Tästä seuraa, että myös koordinaattien välinen yhteys
on lineaarinen:
missä a i , b i , c i , d i , e i ovat vakioita.
x ′ = a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 t + e 1
y ′ = a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 t + e 2
z ′ = a 3 x + b 3 y + c 3 z + d 3 t + e 3
t ′ = a 4 x + b 4 y + c 4 z + d 4 t + e 4
Yleisyyttä rajoittamatta voidaan sopia, että koordinaatistojen origot yhtyvät
kummankin nollahetkellä. Voidaan myös sopia, että koordinaattiakselit
ovat samansuuntaisia ja että K ′ liikkuu K:n x-akselia pitkin positiiviseen
suuntaan. Tällöin yhtälöryhmä yksinkertaistuu muotoon
x ′ = ax + bt
y ′ = y
z ′ = z
t ′ = hx + kt
Ehto 2. Koordinaatistojen suhteellinen nopeus on kummankin havaitsijan
mielestä sama. Tällöin K ′ :n origossa hetkellä t ′ sattuva tapahtuma havaitaan
K:ssa hetkellä t pisteessä x = vt tapahtuvaksi: (vt, t) ↔ (0, t ′ ). Vaaditun
symmetrian mukaan pätee vastaavasti (0, t) ↔ (−vt ′ , t ′ ). Sijoittamalla
muunnoskaavoihin saadaan
Muunnos siis pelkistyy muotoon
0 = avt + bt
t ′ = hvt + kt
−vt ′ = bt
t ′ = kt
x ′ = k(x − vt)
y ′ = y
z ′ = z
t ′ = k(t − αx)