Koko luentomoniste - FMI

13.2. KENTTIEN LASKEMINEN 157
r (t’) q
r (t) q
R(t’) = r–r (t’) q
r (t’) q
r
Kuva 13.1: Varauksellisen hiukkasen liiketila hetkellä t ′ määrää kentän
myöhempänä hetkenä t. Kenttä etenee pisteestä r q (t ′ ) havaintopisteeseen
r ajassa R(t ′ )/c, jolloin hiukkanen on ehtinyt radallaan pisteeseen r q (t).
Hakasulku viittaa lausekkeen laskemiseen viivästetyllä ajalla (jätetään sulut
pois välivaiheissa).
Aloitetaan R(t ′ ):n derivoinnista: koska t ′ riippuu paikkavektorista r, niin
∇R(t ′ ) = −c∇t ′ . Derivoidaan lauseketta 13.10 puolittain, jolloin esimerkiksi
gradientin x-komponentti on
∂t ′
∂x = −x − x q − cβ · (r − r q )(∂t ′ /∂x)
c|r − r q |
(13.13)
Tässä on käytetty derivoinnin ketjusääntöä ∂/∂x = (∂t ′ /∂x)(∂/∂t ′ ). Nyt
voidaan ratkaista
∂t ′
∂x = −(x − x q)
(13.14)
c(R − β · R)
joten
ja
∇t ′ R
= −
c(R − β · R)
∇R =
R
R − β · R
Tarvitaan myös ∇(β · R). Lasketaan taas x-komponentti:
Täten
(13.15)
(13.16)
(∇(β · R)) x = β x + ∂t′
∂x ( ˙β · R − β · ṙ q ) (13.17)
∇(β·R) = β+( ˙β·R−β·ṙ q )∇t ′ = (R − β · R)β + (β2 − ˙β · R/c)R
R − β · R
(13.18)