Koko luentomoniste - FMI

148 LUKU 12. AALTOPUTKET JA RESONANSSIKAVITEETIT
Kenttien Helmholtzin yhtälöt ovat
(∇ 2 + ω2
c 2 )E = 0 , (∇2 + ω2
)B = 0 (12.5)
c2 Valitaan koordinaatisto siten, että z-akseli osoittaa aallon etenemissuuntaan.
Sylinterigeometrian vuoksi tehdään yritteet
E(x, y, z) = E(x, y)e i(kz−ωt) , B(x, y, z) = B(x, y)e i(kz−ωt) (12.6)
(z-akselin negatiiviseen suuntaan etenevä aalto e −ikz käsitellään vastaavalla
tavalla.) On huomattava, että nyt ei enää yleensä ole k = ω/c. Sijoittamalla
yritteet aaltoyhtälöihin saadaan
missä
missä
(∇ 2 t + ω2
c 2 − k2 )E = 0 , (∇ 2 t + ω2
c 2 − k2 )B = 0 (12.7)
∇ t = ∇ − e z
∂
∂z , ∇2 t = ∇2 − ∂2
∂z 2 (12.8)
Jaetaan kentät pitkittäiseen ja poikittaiseen osaan, esimerkiksi
E = E z + E t (12.9)
E z = (E · e z )e z
(12.10)
E t = (e z × E) × e z
Nyt Maxwellin yhtälöt saadaan muotoon (HT)
∇ t · E t = − ∂E z
∂z = −ikE z (12.11)
∇ t · B t = − ∂B z
∂z = −ikB z (12.12)
e z · (∇ t × E t ) = iωB z (12.13)
∇ t E z − ∂E t
∂z = ∇ tE z − ikE t = iωe z × B t (12.14)
e z · (∇ t × B t ) = − iω
c 2 E z (12.15)
∇ t B z − ∂B t
∂z = ∇ tB z − ikB t = −i ω c 2 e z × E t (12.16)
Jos B z ja E z tunnetaan, voidaan poikittaiset kentät ratkaista yhtälöistä
12.14 ja 12.16. Yhtälöitä 12.11-12.16 ei pidä opetella ulkoa, vaan on ymmärrettävä
käsittelyn perusideat.