Koko luentomoniste - FMI

138 LUKU 10. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT
Yhtälön (10.76) ratkaisut ovat muotoa Φ m = e ±imφ ja yhtälön (10.77) ratkaisut
ovat tutut Legendren liittofunktiot (luku 2). Termi k 2 ψ muuttaa siis
ainoastaan radiaalista yhtälöä (10.78), josta muuttujanvaihdolla ξ = kr ja
sijoituksella R l = ξ −1/2 Z l saadaan Besselin yhtälö
ξ 2 d2 Z l
dξ 2
+ ξ dZ l
dξ − [(l + 1/2)2 − ξ 2 ]Z l = 0 (10.79)
Ratkaisuina ovat Besselin ja Neumannin funktiot J l+1/2 (kr) ja N l+1/2 (kr).
Pallokoordinaatistossa näistä muodostetaan pallobesseleitä
j l (kr) =
n l (kr) =
√
π/2kr J l+1/2 (kr)
√
(10.80)
π/2kr N l+1/2 (kr) (10.81)
Ne ovat alkeisfunktioita, joten niitä ei tarvitse pelätä: esimerkiksi j 0 (r) =
sin r/r, n 0 (r) = − cos r/r (enempi pohdiskelu jää FYMM II:lle).
Nyt on koossa yleinen ratkaisu skalaarimuotoiselle Helmholtzin yhtälölle
muodossa
√
ψ lm = π/2kr Z l (kr) Pl m (cos θ) e ±imφ (10.82)
Yksinkertaisin fysikaalisesti mielenkiintoinen valinta on
ψ 10 = 1 [
kr eikr 1 + i ]
cos θ (10.83)
kr
josta saadaan TE-moodille
ja
[ 1
E = r × ∇ψ 10 = −E 0 e ikr kr + i ]
k 2 r 2 sin θ e φ (10.84)
B = −i 1 ω ∇ × E (10.85)
= i {[ 1
ω E 0e ikr kr 2 + i ]
[ i
k 2 r 3 2 cos θ e r −
r − 1
kr 2 − i ] }
k 2 r 3 sin θ e θ
Tämä on itse asiassa magneettisen dipoliantennin säteilemä aaltokenttä.