Koko luentomoniste - FMI
Koko luentomoniste - FMI
Koko luentomoniste - FMI
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
132 LUKU 10. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT<br />
Tästä (tai suoraan aaltoyhtälöstä) saadaan dispersioyhtälö k = k(ω):<br />
k 2 = ω 2 ɛµ + iωσµ (10.39)<br />
Aaltoluku k on nyt kompleksiluku, joka voidaan kirjoittaa muodossa k =<br />
|k|e iα ja dispersioyhtälöstä voidaan ratkaista<br />
|k| =<br />
√<br />
µω √ ω 2 ɛ 2 + σ 2<br />
α = 1 2 arctan( σ<br />
ɛω ) (10.40)<br />
Numeerisia laskentaohjelmistoja käytettäessä ei useinkaan tarvitse kirjoittaa<br />
erikseen aaltoluvun reaali- ja imaginaariosia, vaan voi käyttää kompleksilukua<br />
k = √ ω 2 ɛµ + iωσµ. Neliöjuuren vaiheen oikea valinta on kuitenkin<br />
syytä tarkastaa huolellisesti.<br />
Lennätinyhtälön ratkaisu harmonisille aalloille on siis<br />
E = E 0 e x e i(Re(k)z−ωt) e −Im(k)z<br />
= E 0 e x exp[i(|k|z cos α − ωt)] exp[−|k|z sin α] (10.41)<br />
Tässä valitaan α:n vaihe siten, että Im(k) > 0 eli sin α > 0 (HT: piirrä kuva<br />
kompleksitasossa). Tällöin aalto vaimenee edetessään väliaineeseen (tekijä<br />
e −|k|z sin α ), mikä on fysikaalisesti mielekäs ratkaisu. Matka, jolla aallon<br />
amplitudi vaimenee tekijällä e, on väliaineen tunkeutumissyvyys (skin<br />
depth):<br />
δ = 1<br />
Im(k) = 1<br />
(10.42)<br />
|k| sin α<br />
Väliaineen impedanssi (aaltovastus) määritellään<br />
Z = E x<br />
H y<br />
= µω k<br />
√<br />
= µω<br />
√<br />
ω 2 ɛ 2 + σ exp[− i 2 2 arctan( σ )] (10.43)<br />
ωɛ<br />
Impedanssin yksikkö on sama kuin resistanssilla: [Z] = Ω (kertaa impedanssin,<br />
admittanssin ja reaktanssin käsitteet esimerkiksi KSII:sta).<br />
Esimerkki: hyvä johde. Siirrosvirtatermi on mitätön: σ >> ωɛ ⇒ α =<br />
45 ◦ ; δ = √ 2/(ωµσ), v p = δω tan α = δω<br />
{<br />
f = 50 Hz δ ≈ 1 cm vp ≈ 3 m/s<br />
Kuparille:<br />
f = 50 MHz δ ≈ 10 µm v p ≈ 3 × 10 3 m/s<br />
√ ωµ<br />
Z =<br />
σ e−iπ/4 ⇒ 45 ◦ vaihe-ero E:n ja H:n välillä.<br />
Esimerkki: eriste. σ = 0, ɛ > 0, µ = µ 0 ⇒ α = 0 eli aalto ei vaimene<br />
tunkeutuessaan eristeeseen. Z = √ √<br />
µ 0 /ɛ ≡ Z 0 ɛ0 /ɛ, missä Z 0 on tyhjön<br />
impedanssi: Z 0 = √ µ 0 /ɛ 0 ≈ 376,73 Ω.