Koko luentomoniste - FMI

132 LUKU 10. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT
Tästä (tai suoraan aaltoyhtälöstä) saadaan dispersioyhtälö k = k(ω):
k 2 = ω 2 ɛµ + iωσµ (10.39)
Aaltoluku k on nyt kompleksiluku, joka voidaan kirjoittaa muodossa k =
|k|e iα ja dispersioyhtälöstä voidaan ratkaista
|k| =
√
µω √ ω 2 ɛ 2 + σ 2
α = 1 2 arctan( σ
ɛω ) (10.40)
Numeerisia laskentaohjelmistoja käytettäessä ei useinkaan tarvitse kirjoittaa
erikseen aaltoluvun reaali- ja imaginaariosia, vaan voi käyttää kompleksilukua
k = √ ω 2 ɛµ + iωσµ. Neliöjuuren vaiheen oikea valinta on kuitenkin
syytä tarkastaa huolellisesti.
Lennätinyhtälön ratkaisu harmonisille aalloille on siis
E = E 0 e x e i(Re(k)z−ωt) e −Im(k)z
= E 0 e x exp[i(|k|z cos α − ωt)] exp[−|k|z sin α] (10.41)
Tässä valitaan α:n vaihe siten, että Im(k) > 0 eli sin α > 0 (HT: piirrä kuva
kompleksitasossa). Tällöin aalto vaimenee edetessään väliaineeseen (tekijä
e −|k|z sin α ), mikä on fysikaalisesti mielekäs ratkaisu. Matka, jolla aallon
amplitudi vaimenee tekijällä e, on väliaineen tunkeutumissyvyys (skin
depth):
δ = 1
Im(k) = 1
(10.42)
|k| sin α
Väliaineen impedanssi (aaltovastus) määritellään
Z = E x
H y
= µω k
√
= µω
√
ω 2 ɛ 2 + σ exp[− i 2 2 arctan( σ )] (10.43)
ωɛ
Impedanssin yksikkö on sama kuin resistanssilla: [Z] = Ω (kertaa impedanssin,
admittanssin ja reaktanssin käsitteet esimerkiksi KSII:sta).
Esimerkki: hyvä johde. Siirrosvirtatermi on mitätön: σ >> ωɛ ⇒ α =
45 ◦ ; δ = √ 2/(ωµσ), v p = δω tan α = δω
{
f = 50 Hz δ ≈ 1 cm vp ≈ 3 m/s
Kuparille:
f = 50 MHz δ ≈ 10 µm v p ≈ 3 × 10 3 m/s
√ ωµ
Z =
σ e−iπ/4 ⇒ 45 ◦ vaihe-ero E:n ja H:n välillä.
Esimerkki: eriste. σ = 0, ɛ > 0, µ = µ 0 ⇒ α = 0 eli aalto ei vaimene
tunkeutuessaan eristeeseen. Z = √ √
µ 0 /ɛ ≡ Z 0 ɛ0 /ɛ, missä Z 0 on tyhjön
impedanssi: Z 0 = √ µ 0 /ɛ 0 ≈ 376,73 Ω.