Koko luentomoniste - FMI

128 LUKU 10. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT
Sähkö- ja magneettikentän välinen suhde seuraa Faradayn lakia vastaavasta
yhtälöstä: B = (k/ω)E. Aaltoluvun itseisarvo saadaan laskemalla
k × (k × E) = ωk × B = −ɛ r
ω 2
Toisaalta k × (k × E) = (k · E)k − k 2 E = −k 2 E, joten
eli dispersioyhtälö saa muodon
c 2 E (10.13)
−ɛ r
ω 2
c 2 E = −k2 E (10.14)
k = √ ɛ r
ω
c = n ω c
(10.15)
Oikea aalto ei välttämättä ole monokromaattinen. Jos aalto koostuu joukosta
diskreettejä taajuuksia ω m , Maxwellin yhtälöiden lineaarisuuden vuoksi
kokonaissähkökenttä voidaan esittää summana (kertaa FYMM I:stä)
E(r, t) = ∑ m
E(k m , ω m ) exp[−i(ω m t − k m · r)] (10.16)
Vektoreita E(k m , ω m ) kutsutaan aallon Fourier-komponenteiksi. Jos k ja ω
käsitellään jatkuvina, funktio E(k, ω) on E(r, t):n Fourier-muunnos.
10.2 Aaltojen polarisaatio
Peruskurssilta tuttu lineaarinen polarisaatio on helppo käsittää, mutta ympyräpolarisaatio
kannattaa miettiä huolellisesti läpi. Asiaa ei lainkaan helpota,
että vasen- ja oikeakätisyys määritellään eri lähteissä eri tavoin.
Vektorit E(k, ω) ja B(k, ω) ovat kompleksivektoreita. Kirjoitetaan E oikeakätisessä
reaalisessa kannassa, jonka yksikkövektorit ovat (p, s, u):
E(k, ω) = Êpp + Êss + Êuu (10.17)
missä hattu viittaa kompleksilukuun. Valitaan u tasoaallon etenemissuunnaksi,
jolloin sähkökenttä on joka hetki ps-tasossa:
E(k, ω) = Êpp + Êss (10.18)
Ilmaistaan vielä komponentit kompleksitason vaihekulman φ avulla:
Ê p = E p e iφp ; Ê s = E s e iφs (10.19)
missä E p ja E s ovat reaalilukuja. Yleisyyttä rajoittamatta voidaan asettaa
φ s nollaksi, ja merkitä φ p = φ. Niinpä (k, ω)-avaruuden sähkökenttä on
E(k, ω) = E p e iφ p + E s s (10.20)