Koko luentomoniste - FMI

120 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖT
Näistä f(r − ct) etenee poispäin varauksesta ja g(r + ct) kohti varausta.
Koska halutaan ymmärtää varauksen vaikutus ympäristöönsä, tarkastellaan
ratkaisua f.
On siis löydetty homogeeniselle aaltoyhtälölle pallosymmetrinen ratkaisu
ϕ =
f(r − ct)
r
ja nyt on määritettävä funktio f. Staattisessa tapauksessa potentiaali on
ϕ =
q
4πɛ 0 r
(9.67)
(9.68)
ja nyt ilmeisesti q = q(t). Kirjoitetaan f ajan funktiona f(t − r/c), missä
vakio −c sisältyy määrättävään funktioon itseensä. Hetkellä t − r/c pätee
f(t − r/c) =
q(t − r/c)
4πɛ 0
(9.69)
ja yksittäisen varauksen epähomogeenisella aaltoyhtälöllä on ratkaisu
ϕ(r, t) =
q(t − r/c)
4πɛ 0 r
Integroimalla kaikkien varausten yli saadaan
missä
ϕ(r, t) = 1
4πɛ 0
∫V
ρ(r ′ , t ′ )
|r − r ′ | dV ′ = 1
4πɛ 0
∫V
ρ(r ′ , t − |r − r ′ |/c)
|r − r ′ |
(9.70)
dV ′ (9.71)
t ′ = t − |r − r ′ |/c (9.72)
on viivästynyt aika. Potentiaalia ϕ kutsutaan viivästyneeksi skalaaripotentiaaliksi,
koska se huomioi ajan, joka kuluu kustakin pisteestä tarkastelupisteeseen
nopeudella c etenevältä signaalilta (HT: piirrä kuva).
HT: Tarkka lukija lienee ihmetellyt ajasta riippuvaa pistevarausta, koska
varauksenhan pitäisi säilyä. Millä tavalla ristiriidasta selvitään helpoimmin
Nyt osataan välittömästi kirjoittaa viivästynyt vektoripotentiaali
A(r, t) = µ ∫
0 J(r ′ , t ′ )
4π |r − r ′ | dV ′ = µ ∫
0 J(r ′ , t − |r − r ′ |/c)
4π |r − r ′ dV ′ (9.73)
|
V
Sähkö- ja magneettikentät saadaan derivoimalla. Käytännössä derivaattojen
laskeminen on usein työlästä. Sitä kannattaa kokeilla sijoittamalla potentiaalien
integraalilausekkeet takaisin aaltoyhtälöön.
Suppeammassa suhteellisuusteoriassa vektori- ja skalaaripotentiaalien aaltoyhtälöt
kootaan nelipotentiaalin A α = (ϕ, A) aaltoyhtälöksi
(
∇ 2 − 1 ∂ 2 )
c 2 ∂t 2 A α = −j α (9.74)
V