Koko luentomoniste - FMI

116 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖT
Eliminoidaan ρ ja J Maxwellin yhtälöiden avulla, jolloin
( )
1 ∂E
f = ɛ 0 (∇ · E)E + ∇ × B − ɛ 0 × B (9.36)
µ 0 ∂t
Nyt
∂E
∂t × B = ∂ (E × B) + E × (∇ × E) (9.37)
∂t
missä viimeisessä termissä on käytetty Faradayn lakia. Voimatiheys on siten
f = ɛ 0 [(∇ · E)E − E × (∇ × E)] − 1 ∂
[B × (∇ × B)] − ɛ 0 (E × B) (9.38)
µ 0 ∂t
Lauseke saadaan symmetrisemmäksi lisäämällä termi (∇ · B)B/µ 0 , joka on
aina nolla. Kenttien roottorilausekkeet voi kirjoittaa auki kaavalla (HT)
E × (∇ × E) = 1 2 ∇(E2 ) − (E · ∇)E (9.39)
ja samoin B:lle. Näin voimatiheys on saadaan muotoon
f = ɛ 0 [(∇ · E)E + (E · ∇)E] + 1 µ 0
[(∇ · B)B + (B · ∇)B]
− 1 (
2 ∇ ɛ 0 E 2 + 1 )
B 2 ∂
− ɛ 0 (E × B) (9.40)
µ 0 ∂t
Tämä siistiytyy määrittelemällä Maxwellin jännitystensori T :
(
T ij = ɛ 0 E i E j − 1 )
2 δ ijE 2 + 1 (
B i B j − 1 )
µ 0 2 δ ijB 2
(9.41)
Tensorin T divergenssi on vektori, jonka komponentit ovat
[
(∇ · T ) j = ɛ 0 (∇ · E)E j + (E · ∇)E j − 1 ]
2 ∇ jE 2
+ 1 µ 0
[
(∇ · B)B j + (B · ∇)B j − 1 2 ∇ jB 2 ]
(9.42)
Nämä ovat Poyntingin vektorin aikaderivaattaa vaille voimatiheyden komponentit,
joten
∂S
f = ∇ · T − ɛ 0 µ 0 (9.43)
∂t
Integroidaan tämä tilavuuden V yli ja kirjoitetaan jännitystensorista riippuva
osa pintaintegraaliksi. Tällöin kokonaisvoima on
∮
∫
d
F = T · n da − ɛ 0 µ 0 S dV (9.44)
∂V
dt V
Staattisessa tilanteessa sähkömagneettinen kokonaisvoima määräytyy jännitystensorista
pelkästään tarkasteltavan alueen reunalla. Siis T laskettuna
alueen reunalla jotenkin sisältää voimien kannalta olennaisen tiedon kentistä
koko alueessa. Voimien laskeminen jännitystensorista ei rajoitu elektrodynamiikkaan.
Mekaniikasta tuttu energia-impulssitensori on formaalisti
samanlainen otus, yleinen suhteellisuusteoria formuloidaan Einsteinin tensorin
avulla jne.