Koko luentomoniste - FMI

9.3. SÄHKÖMAGNEETTINEN KENTTÄ RAJAPINNALLA 113
Sovelletaan tätä yksinkertaiseen aaltoliikkeeseen eli oletetaan sähkökentän
olevan muotoa E(t) = E 0 e −iωt . Tällöin voidaan korvata ∂/∂t → −iω. Olettamalla
lineaarinen väliaine ja käyttämällä rakenneyhtälöitä D = ɛE ja
J = σE voidaan D n :n ja J n :n reunaehdot kirjoittaa yhtälöparina
ɛ 2 E 2n − ɛ 1 E 1n = σ s
σ 2 E 2n − σ 1 E 1n = iωσ s (9.17)
Jos pintavaraustiheys häviää, on oltava ɛ 1 /σ 1 = ɛ 2 /σ 2 , mikä voidaan saada
aikaan valitsemalla sopivat väliaineet. Yleisesti σ s ei häviä, joten se voidaan
ratkaista yhtälöparista ja sähkökentän normaalikomponentille saadaan
(
ɛ 1 + i σ 1
ω
)
E 1n =
(
ɛ 2 + i σ 2
ω
)
E 2n (9.18)
Tarkasteltaessa H-vektorin tangentiaalikomponenttia täytyy kentänmuutosvirta
huomioida:
∇ × H = J + ∂D
(9.19)
∂t
Tangentiaalikomponentin reunehto löytyy jälleen suorakulmaisesta silmukasta.
Silmukkaa kutistettaessa oletetaan ∂D/∂t:n pysyvän äärellisenä, jolloin
jäljelle jää magnetostatiikasta tuttu reunaehto
n × (H 2 − H 1 ) = K (9.20)
missä K on pintavirran tiheys ja pinnan normaalivektori n osoittaa alueesta
1 alueeseen 2. Pintavirran tiheys on nolla, jos väliaineen johtavuus
on äärellinen. Siis ellei väliaineen johtavuus ole ääretön, magneettikentän
tangentiaalikomponentti on jatkuva.
Tarkastellaan lopuksi tilannetta, jossa väliaineen 2 johtavuus on ääretön.
Ampèren ja Maxwellin laki väliaineelle 2 on
∇ × H 2 = J 2 + ∂D 2
∂t
(9.21)
Olettamalla harmoninen aikariippuvuus e −iωt ja käyttämällä rakenneyhtälöitä
saadaan
1
E 2 = ∇ × H 2 (9.22)
σ 2 − iωɛ 2
Jos ∇ × H 2 on rajoitettu, niin ehto σ 2 → ∞ edellyttää, että E 2 = 0. Olettaen
myös H 2 :n aikariippuvuus harmoniseksi Faradayn laki ja lineaarinen
rakenneyhtälö B = µH antavat
H 2 = 1
iωµ 2
∇ × E 2 (9.23)
ja siten myös H 2 häviää. Tämä kaikki tarkoittaa sitä, että sähkömagneettinen
aalto ei etene äärettömän hyvään johteeseen.