Joustavasti tuettu tasopalkkielementti - Rakenteiden mekaniikan seura

JOUSTAVASTI TUETTU TASOPALKKIELEMENTTI
Jussi Jalkanen Rakenteiden Mekaniikka, Vol. 37
No. 1, 2004, ss. 22-35
TIIVISTELMÄ
Tässä esityksessä tarkastellaan tasopalkkielementtiä, jolla voidaan mallintaa liitoksiltaan
joustavia kehiä. Liitoksen jousto ajatellaan johtuvan liitoksessa vaikuttavasta taivutusmomentista,
ja ilmiö on mallinnettu käyttämällä lineaarisia rotaatiojousia elementin
päissä. Aluksi johdetaan käsitellyn elementin muotofunktiot ja sitten näiden avulla
jäykkyysmatriisi, konsistentti massamatriisi ja geometrinen jäykkyysmatriisi. Matriiseille
saadaan melko yksinkertaiset laskentakaavat. Lopussa käsiteltyä menetelmää on
havainnollistettu laskuesimerkillä.
JOHDANTO
Kehärakenteita analysoitaessa oletetaan yleensä laskennan yksinkertaistamiseksi, että
rakenteen liitokset ovat joko täysin jäykkiä tai toimivat kuten nivelet. Todellisuudessa
liitosten käyttäytyminen on kuitenkin näiden kahden harvoin puhtaasti esiintyvän
ääritapauksen välissä. Kuten periaatteellisesta kuvasta 1 nähdään, vaihtelee pilarin ja
palkin liitoksen jäykkyys hyvin paljon riippuen käytetystä kiinnitystavasta. Lisäksi
taivutusmomentin M ja sen aiheuttaman kulmanmuutoksen θ välinen yhteys on epälineaarinen.
Kuva 1. Pilarin ja palkin liitoksen jäykkyys.
22

Tämän työn ideana on tarkastella tasopalkkielementtiä, joka huomioi palkin kiinnityksen
joustamisen kiinnityksen kohdalla vaikuttavan taivutusmomentin johdosta. Palkin
pään tuenta on mallinnettu lineaarisella rotaatiojousella, jonka jäykkyys k tunnetaan.
Mikäli k = 0 , käyttäytyy liitos kuten nivel, ja mikäli k = ∞ , vastaa liitos täysin jäykkää
kiinnitystä.
Joustava tuenta voitaisiin periaatteessa mallintaa helposti myös erillisillä jousielementeillä.
Tällöin laskentamallin vapausasteiden määrä kuitenkin kasvaa ja siten tuntemattomien
solmusiirtymien ratkaiseminen tulee työläämmäksi. Johtamalla jäykkyys- ja
massamatriisi sekä geometrinen jäykkyysmatriisi elementille, joka huomioi tuennan
joustamisen, säilyy laskentamallin vapausasteiden lukumäärä entisellään.
Joustavasti tuettuja palkkeja koskevia artikkeleita löytyy kirjallisuudesta lukuisia.
Näistä voidaan mainita esimerkiksi [1], [2], [3] ja [4]. Aihe tuntuu olevan edelleen aktiivisen
tutkimuksen kohteena.
MUOTOFUNKTIOT
Tarkastellaan kuvan 2 mukaista molemmista päistään rotaatiojousella tuettua neljän
vapausasteen (v 1 , φ 1 , v 2 ja φ 2 ) tasopalkkielementtiä. Elementin päissä olevat jäykät
palkin palat oletetaan äärettömän lyhyiksi ja niiden tarkoitus on vain helpottaa tilanteen
hahmottamista. Mikäli kehän liitosten eksentrisyys halutaan huomioida, onnistuu tämä
lähteessä [4] esitetyllä tavalla.
x
φ 2
α θ
v 2
1
2
k 2
k 1
θ 1
α 2
φ 1
v 1
L
Kuva 2. Molemmista päistään rotaatiojousilla tuettu tasopalkki.
Lausutaan palkin taipuma v(x) solmusiirtymien v 1 , φ 1, v 2 ja φ 2 sekä vastaavien
~ ~
muotofunktioiden N ( ) , N ( ) , N ~
( ) ja ~
N ( ) avulla.
1
x
2
x
3 x
4
x
23

v
( x)
~
= N ( x)
v
=
1
~ ~
+ N ( x)
φ + N ( x)
v
~
+ N ( x)
φ
~ ~ ~ ~
1 ~
[ N ( x)
N ( x)
N ( x)
N ( x)
] ⎢ ⎥ = N q
~
1
1
2
2
1
3
3
4
2
4
⎡ v1
⎤
⎢ ⎥
⎢φ
⎥
⎢v
⎥
2
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣φ
2 ⎦
2
(1)
Jos kulmat θ
1
ja θ
2
sekä siirtymät v 1 ja v 2 tunnetaan, on taipuman lauseke muotoa
v
( x)
= N ( x)
v
=
1
+ N
( x)
θ + N
+ N
⎡ v1
⎤
⎢
θ
⎥
[ ] ⎢
1
N ( x)
N ( x)
N ( x)
N ( x)
⎥ = Nq
1
1
2
2
1
3
3
( x)
v
4
2
4
( x)
θ
⎢ v ⎥
2
⎢ ⎥
⎢⎣
θ
2 ⎥⎦
missä N ( ) , N ( ) , N ( ) ja N ( ) ovat tutut Hermiten polynomit
1 x
2 x
3
x
4 x
2
, (2)
2
x x
N1(
x)
= 1−
3 + 2
2
L L
2 3
x x
N
3
( x)
= 3 − 2
2 3
L L
3
3
2
x x
N
2
( x)
= x − 2 +
L L
2 3
x x
N
4
( x)
= − +
2
L L
3
2
. (3)
Kuvan 2 perusteella nähdään yhteydet
φ
1
= θ
1
+ α
1
ja φ
2
= θ
2
+ α
2
. (4)
Kulmat α
1
ja α
2
ovat rotaatiojousista johtuvat kulmanmuutokset palkin päissä. Koska
jouset oletettiin lineaarisiksi, voidaan kirjoittaa
M
1
M
2
α
1
= ja α
2
= , (5)
k
k
1
2
missä M 1 ja M 2 ovat momentit palkin päissä ja k 1 sekä k 2 jousien jäykkyydet.
Huomioimalla (4) ja (5) saadaan taipuman lauseke (2) muotoon
24

v
( x) = [ N ( x)
N ( x)
N ( x)
N ( x)
]
1
= N q
~
( + p)
2
3
4
⎡ v1
⎢ M
⎢ φ
1
−
⎢ k1
⎢ v2
⎢ M
⎢φ2
−
⎣ k2
1
2
⎤ ⎛ ⎡ 0
⎥ ⎜ ⎡v1
⎤ ⎢ M
⎥ ⎜ ⎢ ⎥ ⎢−
⎥ N
⎜ ⎢
φ
1⎥
k1
= + ⎢
⎥ ⎜ ⎢v
⎥ ⎢ 0
2
⎥ ⎜ ⎢ ⎥ ⎢ M
⎥ ⎜ ⎣φ
⎦ −
2
⎝
⎢
⎦
⎣ k2
Taivutusmomentit M 1 ja M 2 kytkeytyvät taipuman v(x) kanssa lausekkeilla
( ) M = EI v′
( L)
1
2
⎤⎞
⎥⎟
⎥
⎟
⎥⎟
⎥
⎟ (6)
⎥⎟
⎥
⎟
⎦⎠
M 1 = −EI
v′′
0 ja 2
′ . (7)
Derivoimalla (6) saadaan
( x) = N ′′( x)( q + p)
v ′ ~
(8)
ja siten palkin päissä
v′′
v′′
1
2
L
1
2
L
( 0) = [ − 6 − 4L
6 − 2L]( q + p)
( L) = [ 6 2L
− 6 4L]( q + p)
mistä edelleen momenteiksi M 1 ja M 2
M
M
1
2
EI
=
2
L
EI
=
2
L
~
~
[ 6 4L
− 6 2L]( q
~
+ p)
[ 6 2L
− 6 4L]( q
~
+ p)
Sijoittamalla lausekkeesta (6) vektori
termejä siirtelemällä päästään muotoon
M
M
1
2
EI ⎛ M
1L
M
2L
⎞
+ 4 2
2
L
⎜ +
k1
k
⎟
⎝
2 ⎠
EI ⎛ M
1L
M
2L
⎞
+ 2 4
2
L
⎜ +
k1
k
⎟
⎝
2 ⎠
, (9)
. (10)
T
⎡
1
2
⎢ 0 M M ⎤
− 0 − ⎥
k1
k
2 ⎦
p =
kaavaan (10) ja
⎣
EI
= [ 6 4L
− 6 2L]
q
~
2
L
. (11)
EI
= [ 6 2L
− 6 4L]q
~
2
L
Otetaan käyttöön lyhennysmerkinnät
EI
EI
γ
1
= ja γ
2
=
Lk
Lk
(12)
1
2
25

ja puetaan yhtälöt (11) matriisimuotoon, jolloin
⎡1
+ 4γ
1
⎢
⎣ 2γ
1
2γ
2 ⎤ ⎡M
1+
4γ
⎥ ⎢
2 ⎦ ⎣M
1
2
⎤
⎥
⎦
Yhtälöstä (13) ratkaisemalla saadaan
⎡M
⎢
⎣M
1
2
⎤
⎥
⎦
=
EI ⎡6
2 ⎢
L Δ ⎣6
( 1+
2γ
)
2
( 1+
2γ
)
1
4L
=
EI ⎡6
2 ⎢
L ⎣6
4L
2L
− 6
− 6
( 1+
3γ
) − 6( 1+
2γ
)
2L
2
− 6
missä lyhennysmerkintä Δ tarkoittaa lauseketta
( 1+
4γ
1
) ( 1+
4γ
2
) − 4γ
1γ
2
2
⎡ v1
⎤
⎢ ⎥
2L⎤
⎢
φ
1
⎥
⎥ . (13)
4L⎦
⎢v
⎥
2
⎢ ⎥
⎢⎣
φ
2 ⎥⎦
( 1+
2γ
) 4L
( 1+
3γ
)
1
2L
1
⎤
⎥
⎦
⎡ v1
⎤
⎢ ⎥
⎢
φ
1
⎥ , (14)
⎢v
⎥
2
⎢ ⎥
⎢⎣
φ
2 ⎥⎦
Δ =
. (15)
Huomioimalla momenttien M 1 ja M 2 lausekkeet saadaan p nyt muotoon
⎡ 0
⎢ 6γ
1
⎢−
1
p = ⎢ L
Δ ⎢ 0
⎢ 6γ
2
⎢−
⎣ L
0
1
( 1 + 2γ
) − 4γ
( 1 + 3γ
) ( 1 + 2γ
)
2
0
6γ
6γ
2
( 1 + 2γ
) − 2γ
( 1 + 2γ
) − 4γ
( 1 + 3γ
)
1
1
2
2
L
L
0
0
2
1
0
− 2γ
2
0
1
1
⎤ ⎡ v1
⎤
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢φ
1
⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢v
⎥
2
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎣φ
2
⎦ ⎦
(16)
1
= S q
~
Δ
Sijoittamalla (16) taipuman lausekkeeseen (6) päästään lopulta haettuun muotoon
⎛
( ) N q
~ 1
S q
~ ⎞ ⎛ 1 ⎞ ~
v x = ⎜ + ⎟ = N ⎜I
+ S⎟
q
~
= N q
~
. (17)
⎝ Δ ⎠ ⎝ Δ ⎠
Joustavasti tuetun tasopalkin muotofunktio ovat siten
~
s21
s41
N1(
x)
= N1(
x)
+ N
2
( x)
+ N
4
( x)
Δ Δ
~ ⎛ s22
⎞ s42
N
2
( x)
= ⎜1+
⎟ N
2
( x)
+ N
4
( x)
⎝ Δ ⎠ Δ
, (18)
~ s23
s43
N
3
( x)
= N
2
( x)
+ N
3(
x)
+ N
4
( x)
Δ
Δ
~ s24
⎛ s44
⎞
N
4
( x)
= N
2
( x)
+ ⎜1+
⎟ N
4
( x)
Δ ⎝ Δ ⎠
26

missä s ij viittaa matriisin S alkioon ja N 1(
x ) , N ( x)
, ( )
2
N
3
x ja N
4
( x ) ovat Hermiten
polynomit.
Mikäli liitokset ovat jäykkiä eli k 1
= k 2
= ∞ pelkistyvät N ~
1(
x ) , N ~
( x)
, N ~
( x)
ja
2 3
~
N
4
( x)
Hermiten polynomeiksi, sillä silloin γ
1
= γ
2
= 0 ja siten s
ij
= 0 ja Δ = 1. Jos
taas liitokset vastaavat niveliä eli k = k 0, sievenevät muotofunktiot muotoon
~
N ( x)
= 1−
1
~ x
N
3
( x)
=
L
x
L
1 2
=
~
N
2
( x)
= 0
. (19)
~
N ( x)
= 0
4
Poikittaisiirtymä muuttuu siten elementin alueella lineaarisesti, kuten sauvalla
kuuluukin muuttua.
JÄYKKYYSMATRIISI
Yksinkertaisin tapa johtaa rotaatiojousilla tuetun tasopalkin jäykkyysmatriisi lienee
staattinen tiivistys, missä tavallisen palkkielementin ja kahden jousielementin muodostamasta
mallista tiivistetään kaksi sisäistä rotaatiovapausastetta pois. Tuloksena saadaan
alkuperäiset elementit korvaava ns. superelementti. Jäljelle jäävien ulkoisten
vapausasteiden siirtymien arvojen kannalta on sama, käytetäänkö alkuperäistä palkkia ja
kahta jousta vai uutta superelementtiä. Staattisella tiivistyksellä tarkoitetaan statiikan
ongelman osittaista etukäteen tapahtuvaa ratkaisemista, joka ei hävitä informaatiota.
Rakenteen ominaistaajuuksia ja lineaarisen stabiilisuuteorian mukaista alinta positiivista
kuormituskerrointa laskettaessa päädytään ominaisarvotehtävän ratkaisemiseen.
Alkuperäisellä rakenteella ja staattisen tiivistyksen jälkeisellä superelementeistä
koostuvalla rakenteella on eri määrä vapausasteita ja siten myös eri määrä
ominaispareja. Ominaisarvotehtävien ratkaisut eivät ole siis samat ennen ja jälkeen
staattisen tiivistyksen. Tästä syystä joustavasti tuetun tasopalkin massamatriisin ja
geometrisen jäykkyysmatriisin muodostamisessa käytetään muotofunktioita.
Johdonmukaisuuden vuoksi on tässä esityksessä myös jäykkyysmatriisi johdettu
käyttäen muotofunktioita.
Rotaatiojousilla tuetun tasopalkin kimmoenergia U koostuu itse palkkiin sitoutuneesta
kimmoenergiasta U 1 ja jousiin sitoutuneesta kimmoenergiasta U 2
U = U 1
+ U 2
. (20)
Palkkiin varastoitunut kimmoenergia U 1 saadaan laskettua taipuman v(x) avulla kaavasta
L
1
2
U = ∫ EI v′
1 2
( x)
dx
. (21)
0
Lausekkeen (17) perusteella taipuman toiseksi derivaataksi tulee
27

⎛ 1 ⎞
v ′ ( x)
= N′′
⎜I
+ S⎟ q
~ . (22)
⎝ Δ ⎠
Sijoittamalla (22) U 1 :n lausekkeeseen ja sieventämällä päädytään tulokseen
U
1
L L L
L
q
~ ⎧
T
T EI T EI T T EI
= 1
2 ⎨∫EI
N′′
N′′
dx
+ ∫ N′′
N′′
S dx
+ S N′′
N′′
d + S
2
⎩
Δ
∫
x
Δ
∫
0 0 0
0
Δ
Koska tavallisen jäykästi tuetun tasopalkin jäykkyysmatriisi k 0 määritellään
L
T
N′′
T
⎫
N′′
S dx
q
~
⎬
⎭
(23)
T
k = ∫ EI ′′ ′
0
N N dx
, (24)
0
menee U 1 edelleen muotoon
1
q
~ T ⎛ 1 1 T 1 T ⎞
U k k S S k S k S q
~
1
=
2 ⎜ 0
+
0
+
0
+
2 0 ⎟ . (25)
⎝ Δ Δ Δ ⎠
Rotaatiojousiin varastoitunut kimmoenergia riippuu kulmista α
1
ja α
2
ollen muotoa
1 2 1 2
2 2
k
1α
1 2
k
2α
2
U = + . (26)
⎡
1
2
Yhteyden ⎢ 0 M M ⎤
p = − 0 − ⎥
⎣ k1
k2
⎦
M
−
k1
M
−
k
2
1
2
1
=
Δ
1
=
Δ
[ s s s s ]
21
[ s s s s ] q
~
= s q
~
41
22
42
23
43
24
44
T
ja lausekkeen (16) perusteella nähdään, että
missä s 2 on matriisin S toinen rivi ja s 4 vastaavasti neljäs rivi.
q
~ 1
= s 2q
~
Δ
, (27)
1
4
Δ
Huomioimalla (5) voidaan kirjoittaa edelleen
1
s 2
q
~
1
α
1
= − ja α s q
~
2
= −
4
. (28)
Δ
Δ
Sijoittamalla α
1
ja α
2
U 2 :n lausekkeeseen sekä sieventämällä saadaan
q
~ T
⎛ k 1 T
k 2 T
s s s s q
~
2 1
2 2 2 2 2 4 4 ⎟ ⎞
U = ⎜
+ . (29)
⎝ Δ Δ ⎠
Kun yhdistetään U 1 :n ja U 2 :n lausekkeet (25) ja (29) nähdään rotaatiojousilla tuetun tasopalkin
jäykkyysmatriisin olevan muotoa
k = k + k + , (30)
0 1
k
2
28

missä k 0 on tavallisen tasopalkin jäykkyysmatriisi
⎡ 12 6 12 6 ⎤
⎢
−
2
2
L L L L ⎥
⎢ 6
6 ⎥
⎢
⎥
EI
4 − 2
k = ⎢ L
L ⎥
0
(31)
L ⎢ 12 6 12 6 ⎥
⎢
− − −
2
2
L L L L⎥
⎢ 6
6 ⎥
⎢ 2 − 4 ⎥
⎣ L
L ⎦
ja k 1 sekä k 2 lasketaan lausekkeista
k
k
1
2
1 1 T
= k
0S
+ S k
Δ Δ
k1
T k2
= s
2 2
s
2
+ s
2
Δ Δ
0
1 T
+ S k
2
Δ
T
4
s
4
0
S
. (32)
Jos halutaan huomioida myös palkin akselin suuntaiset vapausasteet, käy tämä helposti
lisäämällä niitä vastaavat rivit ja sarakkeet. Tällöin uusi 6×6 jäykkyysmatriisi on
⎡ EA
EA ⎤
⎢ 0 0 − 0 0
L
L ⎥
⎢
⎥
⎢ 0 k11
k12
0 k13
k14
⎥
⎢
⎥
=
⎢ 0 k21
k
22
0 k23
k24
k
⎥
. (33)
⎢ EA
EA ⎥
⎢−
0 0 0 0 ⎥
⎢ L
L
⎥
⎢ 0 k31
k32
0 k33
k34
⎥
⎢
⎥
⎢⎣
0 k41
k
42
0 k43
k44
⎥⎦
MASSAMATRIISI
Palkin liike-energia T on siirtymän v = v( x,
t)
avulla lausuttuna muotoa
T
=
L
1 2
2 ∫ mv d
0
& x . (34)
Lauseketta (17) derivoimalla ajan suhteen saadaan
⎛ 1 ⎞
v & = N ⎜I
+ S ⎟⎠ q
~ & . (35)
⎝ Δ
Sijoittamalla (35) kaavaan (34) ja sieventämällä päädytään muotoon
29

T
L
L
L
L
= q
~ &
⎛
T
T m T m
⎞
1
T T
T T
⎜ N N d N NS d S N N d S N NS d ⎟ q
~ &
2
∫ + ∫
+
+
2
⎝
Δ
∫
Δ
∫
m
m x
x
x
x
0
0
0
0
Δ
⎠
(36)
Tavallisen jäykästi tuetun tasopalkin konsistentti massamatriisi on muotoa
L
∫
T
m
0
= m N N dx
, (37)
0
joten liike-energiaksi saadaan
1
q
~ & T ⎛ 1 1 T 1 T ⎞
T = m m S S m S m S q
~ &
2 ⎜ 0
+
0
+
0
+
2 0 ⎟ . (38)
⎝ Δ Δ Δ ⎠
Joustavasti tuetun tasopalkin konsistentti massamatriisi m on siten muotoa
m = m 0
+ m 1
, (39)
missä m 0 on tavallisen jäykästi tuetun palkin massamatriisi
m
0
⎡ 156
⎢
ρ AL ⎢ 22L
= ⎢
420 ⎢ 54
⎢
⎢
⎣−13L
22L
4L
2
13L
− 3L
2
54
13L
156
− 22L
−13L⎤
⎥
2
− 3L
⎥
⎥
− 22L⎥
⎥
2
4L
⎥
⎦
(40)
ja m 1 lasketaan kaavasta
1 1 T 1 T
= m
0S
+ S m
0
+ S m S . (41)
2
Δ Δ Δ
m1
0
Aksiaalisten vapausasteiden huomioiminen onnistuu lisäämällä niitä vastaavat rivit ja
sarakkeet, jolloin uudeksi 6×6 massamatriisiksi saadaan
1
1
⎡
3
ρ AL 0 0
6
ρ AL 0 0 ⎤
⎢
⎥
⎢
0 m11
m12
0 m13
m14
⎥
⎢ 0 m
⎥
21
m22
0 m23
m24
m = ⎢
1
1
⎥ . (42)
⎢ 6
ρ AL 0 0
3
ρ AL 0 0 ⎥
⎢ 0 m
⎥
31
m32
0 m33
m34
⎢
⎥
⎢⎣
0 m41
m42
0 m43
m44
⎥⎦
30

GEOMETRINEN JÄYKKYYSMATRIISI
Mikäli muotofunktiot ˆN
1
, ˆN
2
, … tunnetaan, elementin geometrinen jäykkyysmatriisi
saadaan niiden avulla lausekkeesta
L
T
k = P∫ ′ ′
g
N N dx
, (43)
0
missä P on normaalivoima.
Lausekkeen (17) perusteella nähdään, että tällä kertaa muotofunktioiden derivaatta on
muotoa
~ ⎛ 1 ⎞
N′ = N′
⎜I
+ S⎟
. (44)
⎝ Δ ⎠
Sijoittamalla (44) kaavaan (43)ja sieventämällä päädytään muotoon
L
L
L
T P T P T T P T T
k = ∫ P ′ ′ x + ∫
′ ′ x + ∫
′ ′ x + ∫
′ ′
g
N N d N N S d S N N d S N N S dx
. (45)
2
Δ
Δ
Δ
0
0
Koska jäykästi tuetun tasopalkin geometrinen jäykkyysmatriisi on muotoa
L
P
0
T
k = ∫ N′
N′
dx
, (46)
g0
0
tulee joustavasti tuetun tasopalkkielementin geometriseksi jäykkyysmatriisiksi
k = k + k , (47)
g
g0
g1
missä k g0 on tavallisen palkkielementin geometrinen jäykkyysmatriisi
⎡ 36 3L
− 36 3L
⎤
⎢
⎥
2
2
P ⎢ 3L
4L
− 3L
− L ⎥
k
g0
= ⎢
⎥
(48)
30L
⎢−
36 − 3L
36 − 3L⎥
⎢
⎥
⎢
2
2
⎣ 3L
− L − 3L
4L
⎥
⎦
ja k g1 on puolestaan muotoa
1 1 T 1 T
= k
g0S
+ S k
g0
+ S k
g
S . (49)
2
Δ Δ Δ
k
g1
0
Aksiaaliset vapausasteet huomioiden saadaan 6×6 geometriseksi jäykkyysmatriisiksi
L
0
31

⎡0
0 0 0 0 0 ⎤
⎢
⎥
⎢0
kg11
kg12
0 kg13
kg14
⎥
⎢
⎥
⎢0
k
⎥
g21
kg22
0 kg23
kg24
k = ⎢
⎥
g
. (50)
⎢0
0 0 0 0 0 ⎥
⎢
⎥
⎢0
k
⎥
g31
kg32
0 kg33
kg34
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣0
kg41
kg42
0 kg43
kg44
⎦
ESIMERKKITEHTÄVÄ
Tarkastellaan esimerkkitehtävässä kuvan 3 mukaista kymmenestä palkista koottua rakennetta.
Kehän palkit ovat suorakaiteen muotoisia 180 mm korkeita, 100 mm leveitä ja
seinämän paksuudeltaan 7,1 mm olevia putkipalkkeja. Risteäviä palkkeja ei ole liitetty
yhteen.
L
F
F
v
F=50 kN
A=3601 mm 2
I=1,463⋅10 7 mm 4
L=2 m
E=210 GPa
ρ=7850 kg/m 3
L
L
Kuva 3. Kymmenen palkin kehä.
Rakenteen laskentamallissa on kaksi edellä kuvatun kaltaista kuuden vapausasteen elementtiä
kutakin palkkia kohden, jolloin tuntemattomien vapausasteiden määräksi tulee
42. Ratkaistaan mallilla oikeanpuoleisen voiman vaikutuspisteen pystysiirtymä v, rakenteen
alin ominaistaajuus f 1 ja pienin lineaarisen stabiilisuusteorian mukainen kuormituskerroin
λ
kr
palkkien liitosten jäykkyyden k funktiona. Tällöin on oletettu, että arvo
k=10 15 vastaa saman palkin peräkkäisten elementtien välistä jäykkää liitosta. Saadut
tulokset on esitetty oheisissa kuvissa 4, 5 ja 6. Kuvissa olevat vaakasuorat katkoviivat
vastaavat Ansys-ohjelmalla 20 tasopalkkielementin mallilla saatuja tuloksia, kun kaikki
liitokset ovat jäykkiä (k=∞) tai palkkien liitoksista on taivutusjäykkyys poistettu (k=0).
Kuvaajia 4, 5 ja 6 laskettaessa jäykkyyttä k ei voitu asettaa tasan nollaksi. Saatujen
32

kokemusten perusteella k voi kuitenkin olla ilman suurempia numeerisia ongelmia
melko lähellä nollaa tai vastaavasti lukuarvoltaan hyvin suuri.
1.45
v
[mm]
1.445
1.44
1.435
1.43
1.425
0 1 2 3 4
k
x 10 8
Kuva 4. Pystysiirtymä v palkin päiden jäykkyyden k funktiona.
f 1
[Hz]
70
68
66
64
62
60
58
56
0 1 2 3 4
k
x 10 8
Kuva 5. Alin ominaistaajuus f 1 palkin päiden jäykkyyden k funktiona.
220
200
180
λ 160
kr
140
120
100
80
60
0 1 2 3 4
k
x 10 8
Kuva 6.
Lineaarisen stabiilisuusteorian mukainen kuormituskerroin λ kr palkin päiden
jäykkyyden k funktiona.
33

Kuvien 4 - 6 perusteella voidaan tehdä seuraavat päätelmät:
• Liitosten jäykkyyden kasvaessa nollasta käyttäytyy rakenne nopeasti kuten kehä.
• Kun liitosten jäykkyys lisääntyy, pienenevät siirtymät, alin ominaistaajuus kasvaa
ja stabiilisuus menetetään vasta suuremmalla kuormituksella.
• Pystysiirtymä v muuttuu vähän, mutta alin ominaistaajuus f 1 ja kriittinen kuormituskerroin
λ
kr
muuttuvat melko paljon, kun k kasvaa nollasta.
• Joustavasti tuetulla tasopalkkielementillä saadut tulokset sattuvat hyvin Ansysohjelmalla
laskettujen vertailuratkaisujen väliin.
YHTEENVETO
Palkin päiden tuennan jousto voidaan mallintaa melko yksinkertaisella tavalla käyttäen
palkin päissä lineaarisia rotaatiojousia. Esitetty menetelmä ei vastaa täysin todellista
epälineaarista käyttäytymistä, mutta on kuitenkin parempi vaihtoehto kuin olettaa
liitokset suoraan niveliksi tai täysin jäykiksi.
Esitetyllä tavalla FEM-mallin tuntemattomien vapausasteiden määrä ei kasva, vaikka
tuennan jousto huomioidaan. Tavallisen jäykästi tuetun tasopalkin jäykkyys- ja massamatriisi
sekä geometrinen jäykkyysmatriisi voidaan muuntaa vastaamaan joustavasti
tuettua palkkia kertomalla niitä tuennan jäykkyydestä riippuvalla vakiomatriisilla S.
Tällöin näiden matriisien laskenta ei muutu oleellisesti työläämmäksi.
Laskuesimerkin perusteella nähdään, että tuennan joustavuudella ei ole juuri vaikutusta
ristikkomaisen rakenteen siirtymiin, mutta sillä on melko suuri vaikutus alimpaan
ominaistaajuuteen f 1 ja lineaarisen stabiilisuusteorian mukaiseen kriittiseen
kuormituskertoimeen λ kr . f 1 :n ja λ kr :n herkkyys liitosten jäykkyydelle k liittynee
rakenteen käytöksen muuttumiseen ristikosta kehäksi. Ominaisarvojen muuttuessa myös
niitä vastaavat ominaismuodot muuttuvat, jolloin ei ole enää kyse samasta ilmiöstä.
Liitosten jäykkyyden ilmoittavat jousivakiot oletettiin tässä esityksessä etukäteen tunnetuiksi.
Niiden suuruuden arviointi voi olla kuitenkin hankala tehtävä. Kehän liitoksen
jäykkyyteen vaikuttaa valitun liitostyypin lisäksi liitettävien palkkien tyyppi, koko ja
lukumäärä.
LÄHTEET
[1] Pui, P., Chui, T. & Chan, S. L. 1997. Vibration and deflection characteristics of
semi-rigid jointed frames. Engineering Structurers 19, 12, s. 1001-1010.
[2] Sekulovic, M. & Salatic, R. 2001. Nonlinear analysis of frames with flexible
connections. Computers & Structures 79, s. 1097-1107.
[3] Sekulovic, M., Salatic, R. & Nefovska, M. 2001. Dynamic analysis of steel
frames with flexible connections. Computers & Structures 80, s. 935-955.
34

[4] Suarez, L. E., Singh, M. P. & Matheu, E. E. 1996. Seismic responcse of
structural frameworks with flexible connections. Computers & Structures 58, 1,
s. 27-41.
Jussi Jalkanen, tutkija
Tampereen teknillinen yliopisto,
Teknillisen mekaniikan ja optimoinnin
laitos, PL 589, 33101 Tampere
jussi.jalkanen@tut.fi
35