Logiikan peruskurssi, syksy 2005 Logiikan peruskurssi, syksy 2005
Logiikan peruskurssi, syksy 2005 Logiikan peruskurssi, syksy 2005
Logiikan peruskurssi, syksy 2005 Logiikan peruskurssi, syksy 2005
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Logiikan</strong> <strong>peruskurssi</strong>, <strong>syksy</strong> <strong>2005</strong><br />
<strong>Logiikan</strong> <strong>peruskurssi</strong>, <strong>syksy</strong> <strong>2005</strong><br />
KALVOT<br />
TOMMI VEHKAVAARA<br />
Tommi Vehkavaara<br />
työh. Pinni A5087<br />
e-mail: tommi.vehkavaara@uta.fi<br />
p. 3551 7575 tai 040-755 8109<br />
Kurssin kotisivu: http://mtl.uta.fi/~attove/lpk/LPK<strong>2005</strong>.htm<br />
Korvaa opintojakson Johdatus logiikkaan (PE7), 5 op (3 ov).<br />
Luennot (30 t): ti 14-16 ja to 12-14, Attila ls. B661, 6.9.-3.11.<br />
Luentoja 4 t/vko, joinakin viikkoina vain 2 t/vko.<br />
Harjoitukset (16 t): pe 10-12 tai 12-14, Pinnink. 47 ls. 301,<br />
16.9.-11.11. Harjoitusten ohjaaja: Antti Keskinen.<br />
Perioditauolla 24-30.10. ei luentoja eikä harjoituksia.<br />
Suoritus: luentotentti viimeisellä luennolla (15.11. tai 17.11.),<br />
uusinta joulukuun yleisenä tenttipäivänä 8.12.<br />
Oheismateriaali:<br />
– Luennoilla esitetyt kalvot ja harjoitustehtävät kurssin kotisivuilla.<br />
Tampereen yliopisto<br />
– Rantala & Virtanen: <strong>Logiikan</strong> <strong>peruskurssi</strong> (2003)<br />
Saatavilla: http://mtl.uta.fi/modaalilogiikka/logpk2003.pdf<br />
1<br />
(– Rantala & Virtanen: Joukko-opin alkeita (2003)<br />
Saatavilla: http://mtl.uta.fi/modaalilogiikka/liitejoukoista.pdf)<br />
2<br />
1. Mitä logiikka on?<br />
– Johtaminen ja päättely<br />
– Logiikka ja filosofia<br />
– Mahdolliset maailmat<br />
Kurssin eteneminen (alustavasti):<br />
2. Logiikka ja kieli<br />
– Lause ja propositio<br />
– Ilmauksen looginen rakenne<br />
– Meta- ja objektikieli sekä formaalikielen idea<br />
3. Klassinen logiikka ja lauselogiikan kieli<br />
– Klassisen logiikan kolme perusperiaatetta<br />
– Lauselogiikka ja sen kieli<br />
– Lauselogiikan kielen syntaksi<br />
4. Lauselogiikan semantiikka<br />
– Totuustaulumenetelmä ja tautologia<br />
– Totuusmääritelmä ja mallit<br />
– Looginen totuus ja epätotuus<br />
– Looginen ekvivalenssi<br />
5. Päättelyn looginen pätevyys<br />
– Päättelyn pätevyyden yleinen semanttinen kriteeri<br />
– ’Heikot’ päätelmät<br />
– Looginen seuraus ja pätevyys (päätelmän validius)<br />
6. Lauselogiikan todistusteoriaa<br />
– Päättelyn syntaktinen pätevyystarkastelu<br />
– Deduktio ja teoreema<br />
– Luonnollisen päättelyn systeemi<br />
– Todistuksen löytämisen heuristiikkaa<br />
– Päättelyn syntaktisen ja semanttisen tarkastelun suhde<br />
7. Predikaattilogiikkaa<br />
– Predikaattilogiikan aakkosto<br />
– Predikaattilogiikan kielet ja niiden syntaksi<br />
– Kaavojen muuntaminen loogisia ekvivalensseja käyttäen<br />
– Predikaattilogiikan mallit ja totuusmääritelmä<br />
3<br />
1. Mitä logiikka on?<br />
Klassinen lähtökohta:<br />
1. Art of reasoning — oikean/pätevän järkeilyn<br />
harjoittamista/taitamista<br />
2. Science of reasoning — teoria pätevän järkeilyn<br />
harjoittamisesta<br />
Mitä on 'järkeily'?<br />
- C.S. Peirce: "prosessi, jossa päädymme uuteen uskomukseeen,<br />
jota pidämme luonnollisena seurauksena aiemmasta<br />
tiedostamme"<br />
- Järkeilyssä johdetaan uusia uskomuksia toisista uskomuksista.<br />
- Kaikki johtaminen ei ole järkeilyä:<br />
- totuudellinen, pätevä<br />
johtaminen<br />
- virheellinen, "harhaan johtava"<br />
- vaistonvarainen – rationaalinen, harkittu<br />
– itsekontrolloitu: johtamisen<br />
1. lähtökohdat (premissit),<br />
2. tulos (johtopäätös) ja<br />
3. (johtamis)periaatteet<br />
ovat tiedostettuja tai eksplikoituja.<br />
Järkeily = rationaalista, totuudellisuutensa suhteen itsekontrolloitua<br />
johtamista, päättelyä<br />
4
Päättelyn looginen analyysi alkaa päättelymuodon eksplikoinnista:<br />
1. premissi<br />
2. premissi<br />
:<br />
n:s premissi<br />
⎯⎯⎯⎯⎯⎯<br />
Johtopäätös<br />
<strong>Logiikan</strong> varsinaisena tutkimuskohteena ovat ne perusteet, joilla<br />
johtopäätöksen ajatellaan seuraavan loogisesti pätevästi<br />
premisseistä.<br />
Esimerkki:<br />
1) "Sataa lunta. Aina kun sataa lunta on myös kylmä. On siis<br />
kylmä.".<br />
1')<br />
Sataa lunta.<br />
Aina kun sataa lunta on kylmä.<br />
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯<br />
On siis kylmä.<br />
– Päättelyn pätevyyden perusteet voivat olla<br />
syntaktisia (deduktiivisia) tai semanttisia<br />
- vetoaa johonkin päättelysysteemiin - tarkastelee pelkästään<br />
- pyrkii esittämään tai<br />
premissien ja johtopäätöksen<br />
rekonstruoimaan ajatuskulun, ts. totuusehtojen välistä suhdetta<br />
päättelyketjun tai todistuksen — - pätevyyden kriteerinä totuudensäilyttävyys<br />
miten ajatus voisi edetä askel<br />
'jokaisessa<br />
askeleelta premisseistä johtopäätökseen<br />
mahdollisessa maailmassa'<br />
valitun päättelysysteemin - yleisemmin kriteerinä<br />
mukaan<br />
’merkityksensäilyttävyys’<br />
(esim. kielenkäännöksissä)<br />
– Erikoistapauksen muodostavat päättelyt, joissa ei ole premissejä lainkaan.<br />
Tällöin johtopäätös seuraa pelkästään päättelyn perusteista ja kuvaa joko<br />
käytetyn päättelysysteemin tai oletetun semantiikan ominaisuuksia.<br />
Päättelyketjun päättelymuoto: 'välituloksia' tai päättelyn askeleita<br />
ei mainita — etsitään pelkät premissit ja johtopäätös.<br />
2) "Sataa lunta. Aina kun sataa lunta on myös kylmä. On siis<br />
kylmä. Jos on kylmä, niin elohopea laskee lämpömittarissa,<br />
joten elohopea laskee lämpömittarisssa."<br />
2')<br />
Sataa lunta.<br />
Aina kun sataa lunta on myös kylmä.<br />
Jos on kylmä, niin elohopea laskee lämpömittarissa.<br />
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯<br />
Elohopea laskee lämpömittarissa.<br />
5<br />
<strong>Logiikan</strong> kaksi tehtävää<br />
1. Järkeilyn tai päättelyn pätevyyden kriteerien määrittäminen:<br />
ts. päättelysysteemin tai semantiikan muodostaminen<br />
2. Näiden systeemien tai semantiikkojen käyttäminen loogiseen<br />
analyysiin — ts. päättelyjen pätevyyden ja käsitysten<br />
(uskomusten, väittämien yms.) merkityksen selvittämiseen.<br />
(järkeilyn harjoittamista)<br />
6<br />
Logiikka ja filosofia<br />
– Modernia (ts. klassista) logiikkaa (n. 1850-luvulta alkaen) on<br />
hallinnut kolme perinteistä logiikanfilosofiaa:<br />
1. Psykologismi: logiikka palautettavissa psykologiaan tai<br />
riippuvainen ihmisen psyykkisestä rakenteesta (klassinen<br />
positivismi, esim. J.S. Mill).<br />
2. ’Formalismi’: puhdas logiikka sisällyksetöntä tai filosofisesti<br />
neutraalia — logiikka osa matematiikkaa tai vain filosofian<br />
’aputiede’ (uuspositivismi, metamatematiikka, D. Hilbert).<br />
3. ’Normativismi’ tai ’transsendentalismi’: logiikka yksi<br />
normatiivisista filosofisista tieteistä (esim. Kant, Frege, Peirce).<br />
– Modernin logiikan syntyä leimasi voimakas antipsykologismi:<br />
Logiikka ei kuvaile miten (ihmiset) yleensä tai tosiasiallisesti<br />
ajattelevat – tätä tutkii kognitiopsykologia. Sen sijaan logiikka<br />
tarkastelee miten pitäisi ajatella tai mikä olisi hyvää ajattelua –><br />
logiikka normatiivisena tieteenä.<br />
Formaali tai matemaattinen logiikka:<br />
Missä muodossa ajatus (tms.) esiintyy tai voidaan ilmaista?<br />
Yhteenveto: Termin ”logiikka” kolme eri viittauskohdetta:<br />
–’Objektiivinen logiikka’ (esim. Hegel) viittaa metafyysisen<br />
(’maailmanjärki/-henki’, historian logiikka) tai ihmistieteellisen<br />
(’naisen logiikka’, hallinnon logiikka) aktuaalisen ilmiön muotoon.<br />
– ’Transsendentaalinen logiikka’ (esim. Kant) viittaa inhimillisen<br />
tietokyvyn välttämättömiin ehtoihin — rakenne tai muoto, jonka<br />
jokainen arvostelma/representaatio välttämättä sisältää.<br />
–’Formaali logiikka’ (esim. matemaattinen logiikka) viittaa<br />
formalisoituhin loogisiin systeemeihin, mahdollisiin logiikkoihin,<br />
joita voidaan käyttää eri ilmiöiden analysointiin ja mallinnukseen.<br />
Theoreia<br />
Praxis<br />
Poiesis<br />
8
Mahdolliset maailmat<br />
– Logiikka on periaatteessa riippumaton metafysiikasta — se ei<br />
vastaa kysymyksiin ’mitä on?’, vaan kysymykset esitetään<br />
ehdollisina muodossa: "jos olisi näin, niin tästä seuraisi …".<br />
–> Looginen totuus, pätevyys, yms. ei ole totta, pätevää, yms. vain<br />
’meidän’ tuntemassamme aktuaalisessa maailmassa, vaan<br />
jokaisessa kuviteltavissa olevassa tilanteessa, kaikissa<br />
mahdollisissa maailmoissa.<br />
Klassisessa logiikassa mahdollisia maailmoja kutsutaan usein<br />
malleiksi. (Modaalilogiikassa ’malli’ ja ’mahdollinen maailma’<br />
eivät tarkoita samaa.)<br />
2. Logiikka ja kieli<br />
– Tutkittaessa päätelmien pätevyyttä ja selvitettäessä ajatusten ja<br />
käsitteiden merkityksiä on päätelmät, ajatukset ja käsitteet<br />
yleensä ilmaistava kielellisesti.<br />
– Semantiikassa 'totuudenkantajina' pidetään tavallisesti vain<br />
sellaisia 'mentaalisia entiteettejä', joiden sisältö voidaan ilmaista<br />
indikatiivilauseella (ts. väitelauseella).<br />
Lause ja propositio<br />
Ilmaisu<br />
Sisältö/merkitys<br />
– Maailma on loogisesti ’mahdoton’ vain silloin kun sitä ei voi<br />
kuvitella, ts. kun se sisältää ristiriidan, kun kaksi keskenään<br />
yhteensopimatonta väittämää ovat molemmat tosia tässä<br />
maailmassa.<br />
lause merkkijonona (sentence) vs.<br />
väite, väittämä (statement)<br />
propositio<br />
ajatus (thought)<br />
arvostelma (judgement, Urteil)<br />
M 1 Tampere on<br />
M 2<br />
Suomen ainoa<br />
Moskova on<br />
pääkaupunki.<br />
Suomen ainoa<br />
pääkaupunki.<br />
M 0<br />
Helsinki on<br />
Suomen ainoa<br />
pääkaupunki.<br />
Aktuaalinen maailma<br />
Mahdollisten maailmojen joukko<br />
– Proposition voi ilmaista usealla eri lauseella.<br />
– Loogisissa tarkasteluissa jokaisen lauseen oletetaan usein<br />
ilmaisevan yksikäsitteisesti jonkin proposition.<br />
Moskova on<br />
– Lauseen ja proposition ero suorassa ja epäsuorassa ilmaisussa:<br />
M 3 Suomen ainoa<br />
pääkaupunki ja<br />
Epäsuorassa ilmaisussa viitataan ilmaistuun propositioon:<br />
Helsinki on<br />
Suomen ainoa<br />
'Pekka väitti olevansa huono ihminen.'<br />
pääkaupunki.<br />
Suorassa ilmaisussa viitataan ilmaistuun lauseeseen:<br />
’Mahdoton’ maailma<br />
'Pekka väitti: "Minä olen huono ihminen." '<br />
(paitsi jos Helsinki = Moskova).<br />
9<br />
10<br />
Kielellisen ilmauksen looginen rakenne<br />
– Koska ajatuksen ja sen kielellisen ilmauksen välistä eroa on<br />
vaikea todentaa, moderni logiikka on ajautunut pitkälti<br />
kielellisten ilmausten loogisen rakenteen tutkimukseksi.<br />
– Kielentutkimus jaetaan usein kolmeen eri osa-alueeseen:<br />
Syntaksiin (= kielioppi, grammar),<br />
keskeisiä formaalikielissä<br />
Semantiikkaan (= merkitysoppi) ja<br />
Pragmatiikkaan (= 'kielenkäyttöoppi').<br />
– Kielellisesti ilmaistun ajatuksen looginen muoto on erotettava<br />
sen kieliopillisesta muodosta (grammatical form): esim.<br />
"Pekka ja Pätkä ovat neekereitä."<br />
– Logiikassa on konstruoitu keinotekoisia loogisia kieliä, joilla<br />
ajatuksen looginen muoto voidaan ilmaista.<br />
Ongelma: eri kielet saattavat antaa käsitykselle erilaisen loogisen<br />
muodon<br />
–> Kääntäminen kieleltä toiselle ei ole koskaan täysin<br />
yksiselitteistä vaan aina idealisoivaa.<br />
Meta- ja objektikieli<br />
– Yleisesti: Tarkasteltavaa kieltä kutsutaan objektikieleksi.<br />
Kieli jolla objektikieltä tarkastellaan kutsutaan metakieleksi.<br />
Esim. lauseessa<br />
lause S<br />
S:n ilmaisema propositio<br />
"'Schnee ist weiß', tarkoittaa, että lumi on valkoista."<br />
metakielenä on suomi ja objektikielenä saksa. Jos sovitaan,<br />
että S viittaa lauseeseen 'Schnee ist weiß', niin voidaan kirjoittaa<br />
"S tarkoittaa, että lumi on valkoista."<br />
11<br />
Kielten luokittelu. (Niiniluoto 1980, s.95)<br />
– Formaalikielten syntaksi on muuttumaton, kunhan se on<br />
määritelty (jos sitä muutetaan kyse on uudesta kielestä).<br />
– Luonnollisten kielten syntaksi (kielioppisäännöstö) on johdettu<br />
(osittain empiirinen yleistys ja osittain olemassaolevaa kieltä<br />
muokkaava konstruktio) ja sitä muutetaan (puhe)kielen<br />
luonnollisten muutosten mukaan.<br />
– Formaalikielten syntaksi muodostuu kahdesta osasta:<br />
1. Aakkosto on joukko merkkejä, joita kielessä käytetään.<br />
2. Kaavanmuodostussäännöt ilmaisevat, mitkä ja minkälaiset<br />
'aakkosten' yhdistelmät (merkkijonot) ovat kielen ilmaisuja.<br />
12