Logiikan peruskurssi, syksy 2005 Logiikan peruskurssi, syksy 2005

Logiikan peruskurssi, syksy 2005
Logiikan peruskurssi, syksy 2005
KALVOT
TOMMI VEHKAVAARA
Tommi Vehkavaara
työh. Pinni A5087
e-mail: tommi.vehkavaara@uta.fi
p. 3551 7575 tai 040-755 8109
Kurssin kotisivu: http://mtl.uta.fi/~attove/lpk/LPK2005.htm
Korvaa opintojakson Johdatus logiikkaan (PE7), 5 op (3 ov).
Luennot (30 t): ti 14-16 ja to 12-14, Attila ls. B661, 6.9.-3.11.
Luentoja 4 t/vko, joinakin viikkoina vain 2 t/vko.
Harjoitukset (16 t): pe 10-12 tai 12-14, Pinnink. 47 ls. 301,
16.9.-11.11. Harjoitusten ohjaaja: Antti Keskinen.
Perioditauolla 24-30.10. ei luentoja eikä harjoituksia.
Suoritus: luentotentti viimeisellä luennolla (15.11. tai 17.11.),
uusinta joulukuun yleisenä tenttipäivänä 8.12.
Oheismateriaali:
– Luennoilla esitetyt kalvot ja harjoitustehtävät kurssin kotisivuilla.
Tampereen yliopisto
– Rantala & Virtanen: Logiikan peruskurssi (2003)
Saatavilla: http://mtl.uta.fi/modaalilogiikka/logpk2003.pdf
1
(– Rantala & Virtanen: Joukko-opin alkeita (2003)
Saatavilla: http://mtl.uta.fi/modaalilogiikka/liitejoukoista.pdf)
2
1. Mitä logiikka on?
– Johtaminen ja päättely
– Logiikka ja filosofia
– Mahdolliset maailmat
Kurssin eteneminen (alustavasti):
2. Logiikka ja kieli
– Lause ja propositio
– Ilmauksen looginen rakenne
– Meta- ja objektikieli sekä formaalikielen idea
3. Klassinen logiikka ja lauselogiikan kieli
– Klassisen logiikan kolme perusperiaatetta
– Lauselogiikka ja sen kieli
– Lauselogiikan kielen syntaksi
4. Lauselogiikan semantiikka
– Totuustaulumenetelmä ja tautologia
– Totuusmääritelmä ja mallit
– Looginen totuus ja epätotuus
– Looginen ekvivalenssi
5. Päättelyn looginen pätevyys
– Päättelyn pätevyyden yleinen semanttinen kriteeri
– ’Heikot’ päätelmät
– Looginen seuraus ja pätevyys (päätelmän validius)
6. Lauselogiikan todistusteoriaa
– Päättelyn syntaktinen pätevyystarkastelu
– Deduktio ja teoreema
– Luonnollisen päättelyn systeemi
– Todistuksen löytämisen heuristiikkaa
– Päättelyn syntaktisen ja semanttisen tarkastelun suhde
7. Predikaattilogiikkaa
– Predikaattilogiikan aakkosto
– Predikaattilogiikan kielet ja niiden syntaksi
– Kaavojen muuntaminen loogisia ekvivalensseja käyttäen
– Predikaattilogiikan mallit ja totuusmääritelmä
3
1. Mitä logiikka on?
Klassinen lähtökohta:
1. Art of reasoning — oikean/pätevän järkeilyn
harjoittamista/taitamista
2. Science of reasoning — teoria pätevän järkeilyn
harjoittamisesta
Mitä on 'järkeily'?
- C.S. Peirce: "prosessi, jossa päädymme uuteen uskomukseeen,
jota pidämme luonnollisena seurauksena aiemmasta
tiedostamme"
- Järkeilyssä johdetaan uusia uskomuksia toisista uskomuksista.
- Kaikki johtaminen ei ole järkeilyä:
- totuudellinen, pätevä
johtaminen
- virheellinen, "harhaan johtava"
- vaistonvarainen – rationaalinen, harkittu
– itsekontrolloitu: johtamisen
1. lähtökohdat (premissit),
2. tulos (johtopäätös) ja
3. (johtamis)periaatteet
ovat tiedostettuja tai eksplikoituja.
Järkeily = rationaalista, totuudellisuutensa suhteen itsekontrolloitua
johtamista, päättelyä
4

Päättelyn looginen analyysi alkaa päättelymuodon eksplikoinnista:
1. premissi
2. premissi
:
n:s premissi
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Johtopäätös
Logiikan varsinaisena tutkimuskohteena ovat ne perusteet, joilla
johtopäätöksen ajatellaan seuraavan loogisesti pätevästi
premisseistä.
Esimerkki:
1) "Sataa lunta. Aina kun sataa lunta on myös kylmä. On siis
kylmä.".
1')
Sataa lunta.
Aina kun sataa lunta on kylmä.
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
On siis kylmä.
– Päättelyn pätevyyden perusteet voivat olla
syntaktisia (deduktiivisia) tai semanttisia
- vetoaa johonkin päättelysysteemiin - tarkastelee pelkästään
- pyrkii esittämään tai
premissien ja johtopäätöksen
rekonstruoimaan ajatuskulun, ts. totuusehtojen välistä suhdetta
päättelyketjun tai todistuksen — - pätevyyden kriteerinä totuudensäilyttävyys
miten ajatus voisi edetä askel
'jokaisessa
askeleelta premisseistä johtopäätökseen
mahdollisessa maailmassa'
valitun päättelysysteemin - yleisemmin kriteerinä
mukaan
’merkityksensäilyttävyys’
(esim. kielenkäännöksissä)
– Erikoistapauksen muodostavat päättelyt, joissa ei ole premissejä lainkaan.
Tällöin johtopäätös seuraa pelkästään päättelyn perusteista ja kuvaa joko
käytetyn päättelysysteemin tai oletetun semantiikan ominaisuuksia.
Päättelyketjun päättelymuoto: 'välituloksia' tai päättelyn askeleita
ei mainita — etsitään pelkät premissit ja johtopäätös.
2) "Sataa lunta. Aina kun sataa lunta on myös kylmä. On siis
kylmä. Jos on kylmä, niin elohopea laskee lämpömittarissa,
joten elohopea laskee lämpömittarisssa."
2')
Sataa lunta.
Aina kun sataa lunta on myös kylmä.
Jos on kylmä, niin elohopea laskee lämpömittarissa.
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Elohopea laskee lämpömittarissa.
5
Logiikan kaksi tehtävää
1. Järkeilyn tai päättelyn pätevyyden kriteerien määrittäminen:
ts. päättelysysteemin tai semantiikan muodostaminen
2. Näiden systeemien tai semantiikkojen käyttäminen loogiseen
analyysiin — ts. päättelyjen pätevyyden ja käsitysten
(uskomusten, väittämien yms.) merkityksen selvittämiseen.
(järkeilyn harjoittamista)
6
Logiikka ja filosofia
– Modernia (ts. klassista) logiikkaa (n. 1850-luvulta alkaen) on
hallinnut kolme perinteistä logiikanfilosofiaa:
1. Psykologismi: logiikka palautettavissa psykologiaan tai
riippuvainen ihmisen psyykkisestä rakenteesta (klassinen
positivismi, esim. J.S. Mill).
2. ’Formalismi’: puhdas logiikka sisällyksetöntä tai filosofisesti
neutraalia — logiikka osa matematiikkaa tai vain filosofian
’aputiede’ (uuspositivismi, metamatematiikka, D. Hilbert).
3. ’Normativismi’ tai ’transsendentalismi’: logiikka yksi
normatiivisista filosofisista tieteistä (esim. Kant, Frege, Peirce).
– Modernin logiikan syntyä leimasi voimakas antipsykologismi:
Logiikka ei kuvaile miten (ihmiset) yleensä tai tosiasiallisesti
ajattelevat – tätä tutkii kognitiopsykologia. Sen sijaan logiikka
tarkastelee miten pitäisi ajatella tai mikä olisi hyvää ajattelua –>
logiikka normatiivisena tieteenä.
Formaali tai matemaattinen logiikka:
Missä muodossa ajatus (tms.) esiintyy tai voidaan ilmaista?
Yhteenveto: Termin ”logiikka” kolme eri viittauskohdetta:
–’Objektiivinen logiikka’ (esim. Hegel) viittaa metafyysisen
(’maailmanjärki/-henki’, historian logiikka) tai ihmistieteellisen
(’naisen logiikka’, hallinnon logiikka) aktuaalisen ilmiön muotoon.
– ’Transsendentaalinen logiikka’ (esim. Kant) viittaa inhimillisen
tietokyvyn välttämättömiin ehtoihin — rakenne tai muoto, jonka
jokainen arvostelma/representaatio välttämättä sisältää.
–’Formaali logiikka’ (esim. matemaattinen logiikka) viittaa
formalisoituhin loogisiin systeemeihin, mahdollisiin logiikkoihin,
joita voidaan käyttää eri ilmiöiden analysointiin ja mallinnukseen.
Theoreia
Praxis
Poiesis
8

Mahdolliset maailmat
– Logiikka on periaatteessa riippumaton metafysiikasta — se ei
vastaa kysymyksiin ’mitä on?’, vaan kysymykset esitetään
ehdollisina muodossa: "jos olisi näin, niin tästä seuraisi …".
–> Looginen totuus, pätevyys, yms. ei ole totta, pätevää, yms. vain
’meidän’ tuntemassamme aktuaalisessa maailmassa, vaan
jokaisessa kuviteltavissa olevassa tilanteessa, kaikissa
mahdollisissa maailmoissa.
Klassisessa logiikassa mahdollisia maailmoja kutsutaan usein
malleiksi. (Modaalilogiikassa ’malli’ ja ’mahdollinen maailma’
eivät tarkoita samaa.)
2. Logiikka ja kieli
– Tutkittaessa päätelmien pätevyyttä ja selvitettäessä ajatusten ja
käsitteiden merkityksiä on päätelmät, ajatukset ja käsitteet
yleensä ilmaistava kielellisesti.
– Semantiikassa 'totuudenkantajina' pidetään tavallisesti vain
sellaisia 'mentaalisia entiteettejä', joiden sisältö voidaan ilmaista
indikatiivilauseella (ts. väitelauseella).
Lause ja propositio
Ilmaisu
Sisältö/merkitys
– Maailma on loogisesti ’mahdoton’ vain silloin kun sitä ei voi
kuvitella, ts. kun se sisältää ristiriidan, kun kaksi keskenään
yhteensopimatonta väittämää ovat molemmat tosia tässä
maailmassa.
lause merkkijonona (sentence) vs.
väite, väittämä (statement)
propositio
ajatus (thought)
arvostelma (judgement, Urteil)
M 1 Tampere on
M 2
Suomen ainoa
Moskova on
pääkaupunki.
Suomen ainoa
pääkaupunki.
M 0
Helsinki on
Suomen ainoa
pääkaupunki.
Aktuaalinen maailma
Mahdollisten maailmojen joukko
– Proposition voi ilmaista usealla eri lauseella.
– Loogisissa tarkasteluissa jokaisen lauseen oletetaan usein
ilmaisevan yksikäsitteisesti jonkin proposition.
Moskova on
– Lauseen ja proposition ero suorassa ja epäsuorassa ilmaisussa:
M 3 Suomen ainoa
pääkaupunki ja
Epäsuorassa ilmaisussa viitataan ilmaistuun propositioon:
Helsinki on
Suomen ainoa
'Pekka väitti olevansa huono ihminen.'
pääkaupunki.
Suorassa ilmaisussa viitataan ilmaistuun lauseeseen:
’Mahdoton’ maailma
'Pekka väitti: "Minä olen huono ihminen." '
(paitsi jos Helsinki = Moskova).
9
10
Kielellisen ilmauksen looginen rakenne
– Koska ajatuksen ja sen kielellisen ilmauksen välistä eroa on
vaikea todentaa, moderni logiikka on ajautunut pitkälti
kielellisten ilmausten loogisen rakenteen tutkimukseksi.
– Kielentutkimus jaetaan usein kolmeen eri osa-alueeseen:
Syntaksiin (= kielioppi, grammar),
keskeisiä formaalikielissä
Semantiikkaan (= merkitysoppi) ja
Pragmatiikkaan (= 'kielenkäyttöoppi').
– Kielellisesti ilmaistun ajatuksen looginen muoto on erotettava
sen kieliopillisesta muodosta (grammatical form): esim.
"Pekka ja Pätkä ovat neekereitä."
– Logiikassa on konstruoitu keinotekoisia loogisia kieliä, joilla
ajatuksen looginen muoto voidaan ilmaista.
Ongelma: eri kielet saattavat antaa käsitykselle erilaisen loogisen
muodon
–> Kääntäminen kieleltä toiselle ei ole koskaan täysin
yksiselitteistä vaan aina idealisoivaa.
Meta- ja objektikieli
– Yleisesti: Tarkasteltavaa kieltä kutsutaan objektikieleksi.
Kieli jolla objektikieltä tarkastellaan kutsutaan metakieleksi.
Esim. lauseessa
lause S
S:n ilmaisema propositio
"'Schnee ist weiß', tarkoittaa, että lumi on valkoista."
metakielenä on suomi ja objektikielenä saksa. Jos sovitaan,
että S viittaa lauseeseen 'Schnee ist weiß', niin voidaan kirjoittaa
"S tarkoittaa, että lumi on valkoista."
11
Kielten luokittelu. (Niiniluoto 1980, s.95)
– Formaalikielten syntaksi on muuttumaton, kunhan se on
määritelty (jos sitä muutetaan kyse on uudesta kielestä).
– Luonnollisten kielten syntaksi (kielioppisäännöstö) on johdettu
(osittain empiirinen yleistys ja osittain olemassaolevaa kieltä
muokkaava konstruktio) ja sitä muutetaan (puhe)kielen
luonnollisten muutosten mukaan.
– Formaalikielten syntaksi muodostuu kahdesta osasta:
1. Aakkosto on joukko merkkejä, joita kielessä käytetään.
2. Kaavanmuodostussäännöt ilmaisevat, mitkä ja minkälaiset
'aakkosten' yhdistelmät (merkkijonot) ovat kielen ilmaisuja.
12