Osat 1-9: MAPU I + II

N
O
O
N
1. Vektorit
1.1 Vektorin käsite
Fysikaalisten suureiden spesifioimiseksi ei useinkaan
pelkkä suureen koko ole riittävä. Esimerkiksi liikettä
kuvattaessa on yleensä tarpeen kertoa myös liikkeen
suunta kolmiulotteisessa avaruudessamme. Liikkeen
puolestaan aiheuttaa johonkin suuntaan vaikuttava jonkin
suuruinen voima. Tällaisia suureita kuvaamaan on luotu
vektorit.
Vektori on suure, jolla on suunta ja suuruus. Skalaari
puolestaan on suure, jolla on vain suuruus.
Graafisesti vektori esitetään nuolena, jonka kärki osoittaa
vektorin suunnan ja pituus vektorin suuruuden.
) ) N ) O )
+ N
+
) O
+ O
* O
)
) N
+ + N + O +
* * N * O *
*
* N
Kuva 1.1 Vektorin esitys
Määritelmän mukaan vektorin paikalla avaruudessa ei ole
merkitystä. Esimerkiksi kuvan 1.1 kaikki kolme vektoria
ovat samoja, ts.
A = B = C.
Merkintöjä
Tekstissä vektoreita merkitään tavallisesti (mm. tässä esityksessä)
lihavoitetuilla symboleilla (A, r,β,...). Käsin kirjoitettaessa
vektoreiden päälle piirretään useimmiten yläviiva, Ā, joskus nuoli,
⃗A.
Valitussa koordinaatistossa vektori voidaan spesifioida
esim.
• antamalla kaksi suuntakulmaa, vaikkapa vektorin ja
z-akselin välinen kulma sekä vektorin xy-tasolla
olevan projektion ja x-akselin välinen kulma, ja
vektorin pituus.
• antamalla vektorin koordinaattiakseleilla olevien
projektioiden pituudet (merkki huomioiden).
Käytämme aluksi lähes yksinomaan jälkimmäistä esitystä.
Vektorin A spesifioivat siis sen projektiot
koordinaattiakseleille: kolmiulotteisessa avaruudessa
reaalilukukolmikko (A x ,A y ,A z ),
A = (A x ,A y ,A z ).
Projektioita A x ,... sanotaan vektorin koordinaateiksi tai
komponenenteiksi. Puhutaan myös vektorin
komponenttiesityksestä.
Koska vektorin paikalla ei ole merkitystä, voisimme
siirtää kaikki vektorit valitsemamme koordinaatiston
origoon, jolloin vektoria kuvaisivat sen kärjen
koordinaatit. Kääntäen, mitä tahansa avaruuden pistettä
voidaan pitää origosta lähtevän vektorin kärkenä. Tällöin
puhutaan usein paikka- eli radiusvektorista.
Kuva 1.2 Paikkavektori
H 2 N O N O
Esimerkiksi massapisteen paikkaa avaruudessa voisi
kuvata paikkavektori
r = (x,y,z).
Jos piste on liikkeessä, niin sen koordinaatit x, y ja z ovat
ajan funktioita, joten paikkavektorin r kärkikin liikkuu
ajan myötä:
H J
Kuva 1.3 Liikkuva piste
r = r(t) = (x(t),y(t),z(t)).
H J
Liikkuvan pisteen nopeus v määräytyy ilmeisestikin sen
koordinaattien muutosnopeuksista ẋ(t), ẏ (t) ja ż(t), ts.
v(t) = (ẋ(t),ẏ(t),ż(t)).
Jos vielä sovimme, että vektori derivoidaan derivoimalla
sen komponentit, voimme kirjoittaa ytimekkäästi
v(t) = ṙ(t).
Vektorin määritelmän perusteella vektorit a = (a x ,a y ,a z )
ja b = (b x ,b y ,b z ) ovat yhtäsuuria jos ja vain jos niiden
vastinkomponentit ovat yhtäsuuria, ts. jos ja vain jos
a x = b x , a y = b y ja a z = b z . Tällöin merkitään a = b.
1

)
)
)
*
*
*
)
Vektorin ajatellaan olevan jotakin absoluuttista; vektori on
olemassa ja pysyy samana käytettiinpä millaista koordinaatistoa
tahansa tai toimittiinpa ilman koordinaatistoa. Vektorin esitys
komponenttimuodossa sen sijaan riippuu valitusta
koordinaatistosta. Mittakaava ja koordinaattiakseleiden suunnat
vaikuttavat vektorin komponentteihin. Esimerkiksi vektoreiden
yhtäsuuruudesta päätettäessä on pidettävä huoli siitä, että ne
esitetään samassa koordinaatistossa.
Määritellään nollavektori 0 siten, että
) N
) O
) N ) O )
) N ) O
Kuva 1.4 Vektorin pituus
0 = (0,0,0). (1.1)
)
Vektorin suuruus on sama kuin vektorin pituus. Kuten
kuvasta 1.4 nähdään, on vektorin A = (A x ,A y ,A z )
pituus |A| Pythagoraan lauseen mukaan
√
|A| = A 2 x +A 2 y +A 2 z. (1.2)
Hyvin usein vektorista käytetty symboli ilman
vektorimerkintää tarkoittaa ko. vektorin pituutta, esim.
A = |A|.
Ilmeisestikin A = 0 jos ja vain jos |A| = 0. Tämän vuoksi
hyvin usein jätetään vektorimerkintä pois nollavektorista.
1.2 Vektorialgebra
Skalaarilla kertominen
Olkoon A = (A x ,A y ,A z ) jokin vektori ja λ jokin
reaalinen vakio. Silloin λA on vektori
λA = (λA x ,λA y ,λA z ). (1.3)
Skalaarilla λ kerrottaessa vektori siis säilyttää suuntansa
jos λ > 0 tai kääntyy vastakkaiseen suuntaan jos λ < 0.
Vektorin pituus muuttuu vakiolla λ kerrottaessa kuten
|λA| = |λ||A|.
Yhteen- ja vähennyslasku
Vektorien A = (A x ,A y ,A z ) ja B = (B x ,B y ,B z ) summan
määrittelee yhtälö
A+B = (A x +B x ,A y +B y ,A z +B z ). (1.4)
ja erotuksen yhtälö
A−B = A+(−1)B
= (A x −B x ,A y −B y ,A z −B z ).
(1.5)
) *
) *
Kuva 1.5 Vektorien yhteen- ja vähennyslasku
Graafisesti kahden vektorin A ja B summa siis
muodostetaan siirtämällä esim. vektori B siten, että sen
kanta yhtyy vektorin A kärkeen. Summa- eli
resultanttivektori A+B on silloin vektorin A kannasta
vektorin B kärkeen ulottuva vektori. Erotusvektori
voidaan puolestaan muodostaa siten, että siirretään
molempien vektorien kannat samaan kohtaan. Erotus
A−B on nyt vektorin B kärjestä vektorin A kärkeen
ulottuva vektori.
Laskutoimitusten ominaisuuksia
Suoraan määritelmistä on helppo todeta, että
• Vektoreiden yhteenlasku on kommutatiivinen, ts.
A+B = B+A.
• Vektoreiden yhteenlasku on assosiatiivinen, ts.
A+(B+C) = (A+B)+C.
Sulut voidaan siis tämän kaltaisissa lausekkeissa
jättää merkitsemättä.
• Skalaarilla kertominen on distributiivinen, ts.
λ(A+B) = λA+λB.
Yksikkövektorit
Yksikkövektori on sellainen vektori, jonka pituus on yksi.
Esim. Vektorin A = (5,3, √ 2) suuntainen yksikkövektori
Vektorin A pituus A on
√
A = |A| =
Tällöin vektori
5 2 +3 2 + √ 2 2 = √ 36 = 6.
a = 1 A A = 1 6 (5,3,√ 2) = ( 5 6 , 1 2 , 1
3 √ 2 )
on vektorin A suuntainen. Se on ilmeisestikin myös
yksikön mittainen, sillä
∣ |a| =
1 ∣∣∣
∣A A = 1 A |A| = 1 A A = 1.
2

Yksikkövektorit erotetaan usein kirjoittamalla ˆ-merkki vektorin
yläpuolelle, kuten esim. ˆb. Jos samassa yhteydessä puhutaan
myös vektorista b, niin silloin ˆb tarkoittaa yleensä vektorin b
suuntaista yksikkövektoria.
Koordinaattiakseleiden suuntaisia yksikkövektoreita
sanotáan yksikkökoordinaattivektoreiksi tai lyhyesti
kantavektoreiksi. Niitä merkitään usein kuten
e x = (1,0,0)
e y = (0,1,0)
e z = (0,0,1).
. Toinen hyvin paljon käytetty merkitsemistapa on
(1.6)
i = e x , j = e y ja k = e z . (1.7)
Koska vektori voidaan kirjoittaa kuten
A = (A x ,A y ,A z )
= (A x ,0,0)+(0,A y ,0)+(0,0,A z )
= A x (1,0,0)+A y (0,1,0)+A z (0,0,1),
saadaan sille komponenttiesitykset
A = A x e x +A y e y +A z e z
= A x i+A y j+A z k.
1.3 Vektoreiden tulot
1.3.1 Pistetulo
Vektoreiden A = (A x ,A y ,A z ) ja B = (B x ,B y ,B z )
Pistetulon eli skalaaritulon A·B määrittelee kaava
A·B = A x B x +A y B y +A z B z . (1.8)
Merkintä A 2 tarkoittaa vektorin A skalaarituloa itsensä
kanssa eli
A 2 = A·A = A 2 x +A 2 y +A 2 z
= |A| 2 .
Vektorin pituus on siis ilmaistavissa skalaaritulon avulla
kuten
|A| = √ A·A = √ A 2 .
Suoraan määritelmästä nähdään, että pistetulo
• on kommutatiivinen, ts. A·B = B·A.
• on distributiivinen: A·(B+C) = A·B+A·C.
• skalaarilla kerrottaessa toteuttaa relaatiot
λ(A·B) = (λA)·B = A·(λB).
Esim. Cauchy-Schwartzin epäyhtälö
Olkoot A ja B nollasta poikkeavia vektoreita ja λ
mielivaltainen skalaari. Tarkastellaan vektoreiden λA ja
B resultanttia λA+B ja erikoisesti sen pituuden neliötä
q(λ) = |λA+B| 2 .
Kuten näimme, vektorin pituuden neliö on vektorin
skalaaritulo itsensä kanssa, ts.
q(λ) = (λA+B)·(λA+B)
= λ 2 A·A+λA·B+λB·A+B·B
= λ 2 |A| 2 +2λA·B+|B| 2
(
= |A| 2 λ 2 +2λ A·B )
|A| 2 +|B| 2 ,
missä olemme käyttäneet hyväksi skalaaritulon
ominaisuksia (distributiivisuus, kommutatiivisuus jne.).
Täydennetään sulkujen sisällä oleva lauseke neliöksi ja
saadaan
(
q(λ) = |A| 2 λ 2 +2λ A·B )
|A| 2 + (A·B)2
|A| 4
− (A·B)2
|A| 2 +|B| 2 .
Hieman sieventäen ja ryhmittäen voimme kirjoittaa
edellisen lausekkeen muotoon
(
q(λ) = |A| 2 λ+ A·B ) 2
|A| 2
+ 1
|A| 2 (
|A| 2 |B| 2 −(A·B) 2)
Tämän muodon ensimmäinen termi on neliönä aina
ei-negatiivinen, joten funktiolla q(λ) on minimi kun
neliötermi on minimissään. Valitsemalla λ = −A·B/|A| 2
saadaan neliötermi häviämään joten funktion q(λ) minimi
q min on sama kuin jälkimmäinen termi. Pituuden neliönä
q(λ) ei voi olla negatiivinen olipa λ mitä hyvänsä, joten
myös sen minimille täytyy olla voimassa q min ≥ 0. Siis on
|A| 2 |B| 2 −(A·B) 2 ≥ 0.
Tämä on kirjoitettavissa Cauchy-Schwartzin epäyhtälönä
tunnettuun muotoon
|A·B| ≤ |A||B|. (1.9)
Oletimme, että A ≠ 0 ja B ≠ 0. Jos nyt jompi kumpi tai
molemmat ovat nollia, niin epäyhtälö on edelleenkin
voimassa (yhtäsuuruutena).
Esim. Kolmioepäyhtälö
Vektorit A, B ja A+B muodostavat kolmion, jonka
sivujen pituudet ovat |A|, |B| ja |A+B|. Kääntäen,
3

)
)
D
*
*
jokainen kolmio voidaan esittää kahtena vektorina ja
niiden resultanttina.
) *
Kuva 1.6 Kolmioepäyhtälö
Nyt on
|A+B| 2
= (A+B)·(A+B)
= |A| 2 +2A·B+|B| 2
≤ |A| 2 +2|A·B|+|B| 2
≤ |A| 2 +2|A||B|+|B| 2
= (|A|+|B|) 2 ,
missä viimeistä edellisessä muodossa olemme soveltaneet
Cauchy-Schwarzin epäyhtälöä. Päädymme siten
kolmioepäyhtälönä tunnettuun relaatioon
|A+B| ≤ |A|+|B|, (1.10)
joka kertoo sen tutun tosiasian, että kolmiossa kahden
sivun summa on aina suurempi tai yhtäsuuri kuin kolmas
sivu.
Pistetulon geometrinen merkitys
Tarkastellaan nyt vektoreiden A, B ja A−B
muodostamaa kolmiota.
G
) *
) ? I G
* ) ? I G
Kuva 1.7 Pistetulon geometrinen merkitys
Sivun A−B pituuden neliö on
|A−B| 2
= (A−B)·(A−B)
= |A| 2 +|B| 2 −2A·B
= A 2 +B 2 −2A·B,
missä A ja B tarkoittavat vektoreiden A ja B pituuksia.
Kuviosta 1.7 nähdään, että vektoreiden A, B ja A−B
muodostaman kolmion korkeuden h neliö on
h 2 = A 2 −A 2 cos 2 θ,
missä θ on vektoreiden A ja B välinen kulma.
Edelleen Pythagoraan lausetta soveltaen saamme
|A−B| 2 = h 2 +(B −Acosθ) 2
= A 2 −A 2 cos 2 θ
+B 2 +A 2 cos 2 θ −2ABcosθ
= A 2 +B 2 −2ABcosθ.
Vertaamalla tätä aikaisempaan suureen |A−B| 2
lausekkeeseen näemme, että
A·B = ABcosθ. (1.11)
Kuviosta 1.7 on luettavissa myös tulkinnat: A·B on
• vektorin A projektion pituus vektorilla B kertaa
vektorin B pituus tai
• vektorin B projektion pituus vektorilla A kertaa
vektorin A pituus.
Vektoreiden välisen kulman θ kosini on lausuttavissa
pistetulon avulla kuten
cosθ = A·B
|A||B| . (1.12)
Ilmeisestikin vektorit A ja B ovat kohtisuorassa toisiaan
vastaan jos A·B = 0 ja yhdensuuntaisia jos
A·B = |A||B|. Erikoisesti kantavektoreille i, j ja k on
voimassa
i·j = i·k = j·k = 0
eli ne ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, ts.
ortogonaalisia. Koska vielä on
i·i = j·j = k·k = 1,
sanotaan näiden kantavektoreiden olevan ortonormaalisia.
Kirjoitetaan vektori A komponenttimuodossa
A = A x i+A y j+A z k.
Kantavektoreiden ortonormaalisuuden perusteella on mm.
A·i = A x i·i+A y j·i+A z k·i = A x
Vektorin komponentit voidaan siten lausua skalaarituloina
A x = A·i, A y = A·j ja A z = A·k.
Kantavektoreiden ortonormaalisuudesta seuraa samoin se,
että muodossa A = A x i+A y j+A z k ja
B = B x i+B y j+B z k esitettyjen vektoreiden skalaaritulo
on
A·B = A x B x +A y B y +A z B z
4

E
)
.
H
*
)
H
eli yhtäpitävä määritelmän (1.8) kanssa. Esim. Voiman F = 2i−j−k tekemä työ sen siirtäessä
kappaletta vektorin r = 3i+2j−5k kannasta kärkeen
Määritelmän mukaan voiman tekemä työ on siirroksen
suuntainen voima kerrottuna siirron pituudella.
C
= >
G
Kuva 1.8 Suuntakulmat
Vektorin ja yksikkövektorin i välisen kulman eli vektorin . ? I G
ja x-akselin välisen kulman α kosini on
Kuva 1.9 Voiman tekemä työ
cosα = A·i
|A||i| = A x
A , Kuvan mukaisesti voiman F tekemä työ on
W = (F cosθ)r. Pistetulon avulla tämä saadaan
missä A = |A|. Vastaavat lausekkeet saadaan vektorin ja kirjoitettua muotoon
y-akselin välisen kulman β sekä vektorin ja z-akselin
välisen kulman γ kosineille. Näemme siis, että vektori on
W = F·r.
kirjoitettavissa suuntakulmiensa α, β ja γ avulla mm.
Tässä tapauksessa työ on siis
muodossa
A = A(cosα,cosβ,cosγ).
W = (2i−j−k)·(3i+2j−5k)
Olkoon nyt a vektori
= (2)(3)+(−1)(2)+(−1)(−5)
a = 1 A A.
= 6−2+5 = 9.
Esim. Vektoria A = 2i+3j+6k vastaan kohtisuorassa
Ensinnäkin on
a·a = 1 olevan ja vektorin B = i+5j+3k kärjen kautta kulkevan
A 2 A2 = 1 tason yhtälö
ja toiseksi vektorien a ja A väliselle kulmalle θ aA on
voimassa
cosθ aA = a·A
|a||A| = 1 A A·A1 A = 1,
joten a on vektorin A suuntainen yksikkövektori.
Vektorin B projektio p vektorin A suuntaan voidaan nyt
lausua yksikkövektorin a avulla kuten
* H
p = 1 A·B = a·B.
A
Esim. Vektorin A = i−2j+k projektio vektorille
B = 4i−4j+7k
Vektorin B suuntainen yksikkövektori on
b = B B = 4i−4j+7k
√ Kuva 1.10 Tason yhtälö
42 +(−4) 2 +7 2
= 4 9 i− 4 9 j+ 7 9 k.
Olkoon r jokin tason piste. Tällöin vektori B−r on
jonkin vektoreitten r ja B kärkien kautta kulkevan tason
suuntainen. Koska tason piti olla kohtisuorassa vektoria A
Vektorin A projektio tähän suuntaan on
vastaan, täytyy vektorin B−r olla kohtisuorassa vektoria
p = A·b = (i−2j+k)·( 4 9 i− 4 9 j+ 7 9 k) A vastaan osoittipa r mihin tahansa tason pisteeseen.
Saamme siis ehdon
= (1)( 4 9 )+(−2)(−4 9 )+(1)(7 9 ) = 19 9 .
(B−r)·A = 0
5

tason pisteille r. Sijoittamalla tähän r = xi+yj+zk
sekä vektoreiden A ja B eksplisiittiset lausekkeet saadaan
0 = ((1−x)i+(5−y)j+(3−z)k)
·(2i+3j+6k)
= −2x−3y −6z +(1)(2)+(5)(3)+(3)(6)
= −2x−3y −6z +35.
Kysytyn tason yhtälö on siis
2x+3y +6z = 35.
1.3.2 Ristitulo
Vektoreiden A = (A x ,A y ,A z ) ja B = (B x ,B y ,B Z )
ristitulon eli vektoritulon A×B määrittelee kaava
A×B = (A y B z −A z B y ,A z B x −A x B z ,A x B y −A y B x ).
(1.13)
Vektoritulon muodostamista auttanee muistisääntö:
Tulo A×B lasketaan siten, että kolmirivisen
determinantin ylimmäksi riviksi kirjoitetaan kantavektorit
i, j ja k (tässä järjestyksessä), keskimmäisen rivin
muodostavat vektorin A komponentit A x , A y ja A z (tässä
järjestyksessä) sekä alimman rivin vektorin B
komponentit B x , B y ja B z (tässä järjestyksessä), ts.
A×B =
∣
i j k
A x A y A z
B x B y B z
∣ ∣∣∣∣∣
. (1.14)
Determinanteista
Determinantit ovat muotoa
∣ a 11 a 12 ··· a 1n ∣∣∣∣∣∣
a 21 a 22 ··· a 2n
. . .. ..
. .
∣
a n1 a n2 ··· a nn
olevia taulukoita. Niissä siis sarakkeiden ja rivien lukumäärä on
sama. Puhutaan n×n-determinanteista tai n-rivisisistä
determinanteista. Determinanteilla on lukuarvo.
Meidän tarkoituksiimme riittävät kaksi- ja kolmiriviset
determinantit. Kaksirivisen determinantin arvon määrittelee kaava
∣ ∣ a 11 a 12 ∣∣ = a11 a
a 21 a 22 −a 12 a 21 ,
22
ts. kaksirivisen determinantin arvo saadaan vähentämällä
lävistäjäalkioden tulosta sivulävistäjäalkioiden tulo.
Kolmirivinen determinantti lasketaan helpoimmin kehittämällä se
alideterminanttien avulla:
1. kuhunkin determinantin alkioon liittyy merkki taulukon
+ − +
− + −
∣ + − + ∣
mukaisesti.
2. valitaan jokin vaaka- tai pystyrivi.
3. kuhunkin valitun rivin tai sarakkeen alkioon liittyy
2×2-alideterminantti, joka muodostetaan alkuperäisestä
determinantista pyyhkimällä siitä pois ko. alkion kautta
kulkeva vaaka- ja pystyrivi.
4. käydään läpi kaikki valitun rivin tai sarakkeen alkiot kertoen
keskenään alkio varustettuna siihen liittyvällä merkillä ja
sen alideterminantti. Muodostettujen termien summa on
determinantin arvo.
Esim. Determinantti
D =
∣
2 1 −2
1 −2 3
4 −3 4
Kehitetään vaikkapa oikeanpuoleisimman sarakkeen mukaan.
Tämän ylimpään alkioon −2 liittyy merkki +. Vastaava
alideterminantti saadaan pyyhkimällä pois ylin rivi ja
oikeanpuoleisin sarake. Päädymme termiin
+(−2) ∣ 1 −2
4 −3 ∣ = (−2)[(1)(−3)−(4)(−2)] = −10.
Vastaavasti kehityssarakkeen toinen alkio antaa termin
∣ −(3) ∣∣ 2 1
4 −3 ∣ = −3[(2)(−3)−(1)(4)] = 30
ja alin alkio termin
+(4) ∣ 2 1
1 −2
∣
∣ = 4[(2)(−2)−(1)(1)] = −20.
Determinantin arvo D on näiden termien summa eli
D = (−10)+(30)+(−20) = 0.
Determinantteihin liittyy useita laskusääntöjä. Tässä vaiheessa
meille riittänee tieto siitä, että
• determinantin merkki vaihtuu vaihdettaessa kaksi vaakariviä
(tai kaksi pystyriviä) keskenään.
• determinantti on nolla, jos sen kaksi vaakariviä (tai kaksi
pystyriviä) ovat samoja.
Kehitetään determinantti (1.14) ylimmän rivin mukaan,
jolloin
∣ i j k ∣∣∣∣∣ A x A y A z = i
∣ A ∣ y A z ∣∣∣ −j
∣
B
B x B y B y B z
∣ A ∣
x A z ∣∣∣
B x B z
z +k
∣ A ∣
x A y ∣∣∣
B y
B x
= (A y B z −A z B y )i
−(A x B z −A z B x )j
+(A x B y −A y B x )k.
Nähdään, että tämä todellakin yhtyy määritelmään
(1.13).
Determinanttiesityksestä nähdään mm. ominaisuus
A×B =
∣
∣
i j k ∣∣∣∣∣
A x A y A z = −
B x B y B z
= −B×A.
∣
∣
i j k ∣∣∣∣∣
B x B y B z
A x A y A z
6

N
O
)
*
Siten ristitulon merkki vaihtuu vaihdettaessa tekijöiden
järjestystä:
A×B = −B×A. (1.15)
Ristitulo ei siis ole kommutatiivinen. Ominaisuudesta
(1.15) seuraa mm.
A×A = −A×A,
joten vektorin ristitulo itsensä kanssa on nolla,
A×A = 0. (1.16)
Suoraan määritelmästä nähdään vektoritulon
distributiivisuus
A×(B+C) = A×B+A×C. (1.17)
Skalaarilla kerrottaessa ristitulo noudattaa yhtälöä
λ(A×B) = (λA)×B = A×(λB). (1.18)
Katsotaan, millaisia ovat yksikkövektoreiden ristitulot
toistensa kanssa. Lasketaan esimerkkinä
i×j = (1,0,0)×(0,1,0) = (0−0,0−0,1−0)
= (0,0,1) = k.
Samalla tavoin voimme todeta, että muutkin kaavoista
i×j = k
j×k = i
k×i = j
(1.19)
pitävät paikkansa. Koordinaatistoa, jonka kantavektorit
toteuttavat relaatiot (1.19) sanotaan oikeakätiseksi.
Kuva 1.11 Oikeakätinen koordinatisto
Oikeakätisessä xyz-koordinaatistossa z-akselin suuntainen
oikeakätinen ruuvi postiiviseen kiertosuuntaan
kierrettäessä (kierretään lyhintä kautta positiiviselta
x-akselilta positiiviselle y-akselille) etenee positiivisen
z-akselin suuntaan. Sama asia voidaan ilmaista myös ns.
oikean käden kolmisormisääntönä:
oikean käden peukalon osoittaessa x-akselin suuntaan ja
etusormen y-akselin suuntaan osoittaa keskisormi
z-akselin suunnan.
Ristitulon geometrinen merkitys
Vektorin A×B pituuden neliö on
|A×B| 2 = (A y B z −A z B y ) 2 +(A z B x −A x B z ) 2
+(A x B y −A y B x ) 2 .
Suoraviivainen lasku osoittaa, että tämä voidaan
kirjoittaa muotoon
|A×B| 2 = (A 2 x +A 2 y +A 2 z)(B 2 x +B 2 y +B 2 z)
Tämä taas on sama kuin
−(A x B x +A y B y +A z B z ) 2 .
|A×B| 2 = A 2 B 2 −(A·B) 2 ,
missä jälleen A ja B tarkoittavat vektoreiden A ja B
pituuksia. Kirjoitetaan pistetulo vektoreiden välisen
kulman θ avulla, jolloin
|A×B| 2 = A 2 B 2 (1−cos 2 θ) = A 2 B 2 sin 2 θ.
Näemme siis, että ristitulovektorin A×B pituus on
|A×B| = AB|sinθ|.
Vektoreiden A×B ja A skalaaritulo on
A·(A×B) = A x (A y B z −A z B y )
= 0.
+A y (A z B x −A x B z )
+A z (A x B y −A y B x )
Samoin nähdään, että B·(A×B) = 0. Vektori A×B on
siis kohtisuorassa molempia tekijöitään vastaan eli
kohtisuorassa tekijöiden muodostamaa tasoa vastaan.
Tulovektorin suunta on pääteltävissä yksikkövektoreitten
ristituloista (1.19):
Vektoreiden A ja B ristitulo on
A×B = (|A||B|sinθ)n, (1.20)
missä θ on vektoreiden välinen kulma ja n vektoreiden
muodostamaa tasoa vastaan kohtisuorassa oleva sellainen
yksikkövektori että vektoreiden A, B ja n kolmikko (tässä
järjestyksessä) muodostaa oikeakätisen systeemin. Oikean
käden kolmisormisääntö lienee havainnollisempi: Jos A
osoittaa oikean käden peukalon suuntaan ja B etusormen
suuntaan niin A×B osoittaa keskisormen suuntaan (ja
on kohtisuorassa vektoreita A ja B vastaan).
) *
G
) *
Kuva 1.12 Ristitulon geometrinen merkitys
7

2
H
.
)
D
2
H
+
L
*
Kuvassa 1.12 vektoreiden A ja B muodostaman kolmion
korkeus on Bsinθ jos kolmion kantana pidetään vektoria
A. Tämän kolmion pinta-ala on siten 1 2ABsinθ, joten
ristitulo on suuruudeltaan tekijävektoreiden
muodostaman suunnikkaan pinta-ala.
Esim. A = 2i−3j−k ja B = i+4j−2k, a) A×B, b)
B×A ja c) (A+B)×(A−B)
a)
i j k
A×B =
2 −3 −1
∣ 1 4 −2 ∣
∣ ∣ = i
−3 −1
∣∣∣ ∣ 4 −2 ∣ −j 2 −1
∣∣∣ 1 −2 ∣ +k 2 −3
1 4 ∣
= 10i+3j+11k.
b)
i j k
B×A =
1 4 −2
∣ 2 −3 −1 ∣
∣ ∣ = i
4 −2
∣∣∣ ∣ −3 −1 ∣ −j 1 −2
∣∣∣ 2 −1 ∣ +k 1 4
2 −3 ∣
c)
H I E G
= −10i−3j−11k = −A×B.
(A+B)×(A−B) = A×(A−B)
G
+B×(A−B)
= A×A−A×B
+B×A−B×B
= 0−A×B−A×B−0
= −2A×B
= −20i−6j−22k.
Kuva 1.13 Vääntömomentti
Esim. Vääntömomentti: Määritelmän mukaan voiman
F vääntömomentti pisteen P suhteen on suuruudeltaan F
kertaa pisteen P kohtisuora etäisyys voiman
vaikutussuorasta. Olkoon nyt r pisteestä P voiman
vaikutuspisteeseen suunnattu vektori ja θ tämän vektorin
ja voiman välinen kulma. Kuvasta nähdään, että pisteen
P kohtisuora etäisyys vaikutussuorasta on r|sinθ|, joten
vääntömomentti on suuruudeltaan
M = Fr|sinθ| = |r×F|.
Vääntömomentin suunnasta on sovittu, että voiman
kiertämä vaikutuspisteeseen asetettu vaikutustasoa
(vektoreiden r ja F muodostama taso) vastaan
kohtisuorassa oleva oikeakätinen ruuvi etenee
vääntömomentin suuntaan. Voimme siis kirjoittaa
G
M
M
H I E G
M = r×F.
Kuva 1.14 Kulmanopeus ja lineaarinen nopeus
Esim. Lineaarinen nopeus pyörivässä
kappaleessa: Oletetaan, että kiinteä kappale pyörii origon
O kautta kulkevan akselin ω ympäri kulmanopeudella ω.
Vektori ω orientoidaan siten, että vektorin suuntaan
katsottuna kappale pyörii myötäpäivään. Tarkastellaan
kappaleen pistettä P. Kappaleen pyöriessä piste P seuraa
sellaisen ympyrän kehää, joka on kohtisuorassa
keskipisteensä kautta kulkevaa vektoria ω vastaan. Jos
nyt r on pisteen P paikka sekä θ vektorien r ja ω välinen
kulma, niin tämän ympyrän säde on rsinθ.
Ympyräliikkeen lineaarinen nopeus on suuruudeltaan
ympyrän säde kertaa kulmanopeus, ts. rωsinθ.
Lineaarisen nopeuden suunta taas on ympyrän tangentin
suuntainen eli nyt kohtisuorassa vektoreita ω ja r
vastaan. Oikean käden kolmisormisäännön perusteella
voimme siten kirjoittaa
1.3.3 Kolmitulot
v = ω×r.
Skalaarikolmitulo
Tarkastellaan muotoa A·(B×C) olevia kolmen vektórin
tuloja. Vektoreiden A ja B×C pistetulona tämä on
skalaari. Siksi sitä nimitetäänkin skalaarikolmituloksi.
Skalaarikolmitulon geometrinen merkitys selvinnee alla
olevasta kuvasta.
* +
Kuva 1.15 Skalaarikolmitulo
8

Vektoreiden A, B ja C muodostaman suuntaissärmiön
tilavuus on pohjasuunnikkaan pinta-ala |B×C| kertaa
särmiön korkeus h. Korkeus taas on vektorin A projektio
pohjatasoa vastaan kohtisuoralle suunnalle, esim.
vektorille B×C. Särmiön tilavuus V on siis
V = |A·(B×C)|. (1.21)
Komponenttimuodossa skalaarikolmitulo on
eli
A·(B×C) = (A x i+A y j+A z k)·
∣ i j k ∣∣∣∣∣
B x B y B z
∣ C x C y C z
= (A x i+A y j+A z k)·
(
i
∣ B ∣ y B z ∣∣∣ −j
C y C z
∣ B x
C x
+k
∣ B ∣)
x B y ∣∣∣
C x C y
∣
B z ∣∣∣
C z
∣ ∣ ∣ ∣ ∣∣∣ B
= A y B z ∣∣∣ ∣∣∣ B
x −A x B z ∣∣∣
C y C y
z C z
=
A·(B×C) =
∣
∣ ∣ ∣∣∣ B
+A x B y ∣∣∣
z
C x C y ∣ A x A y A z ∣∣∣∣∣
B x B y B z
∣ C x C y C z
C x
A x A y A z
B x B y B z
C x C y C z
∣ ∣∣∣∣∣
. (1.22)
Koska vaihdettaessa kaksi riviä keskenään determinantti
vaihtaa merkkinsä, saamme
∣ A x A y A z ∣∣∣∣∣
A·(B×C) =
B x B y B z
∣ C x C y C z ∣ C x C y C z ∣∣∣∣∣
= −
B x B y B z
∣ A x A y A z ∣ C x C y C z ∣∣∣∣∣
=
A x A y A z = C·(A×B).
∣ B x B y B z
Vektorikolmitulo
Vektorikolmitulolla tarkoitetaan kolmen vektorin
ristituloja A×(B×C) ja (A×B)×C. Nämä ovat
yleensä erisuuria, joten sulkumerkit ovat oleellisia.
Käsitellään edellistä muotoa olevia kolmituloja
(jälkimmäisen käsittely menee samalla tavoin). Koska
kyseessä on vektoreiden A ja B×C vektoritulo, on
tuloskin vektori. Lasketaan näytteeksi sen x-komponentti:
(A×(B×C)) x
= i·(A×(B×C))
∣ 1 0 0 ∣∣∣∣∣∣∣
=
∣ A x A y A z
∣ ∣ B ∣ y B z ∣∣∣ −
C z
∣ B ∣ ∣ ∣
x B z ∣∣∣ ∣∣∣ B x B y ∣∣∣
C x C z C y
C y
C x
= A y (B x C y −B y C x )+A z (B x C z −B z C x )
= B x (A x C x +A y C y +A z C z )
−C x (A x B x +A y B y +A z B z )
= (A·C)(B·i)−(A·B)(C·i)
= i·[(A·C)B−(A·B)C].
Samalla tavoin voisimme laskea niin tämän kolmitulon
muut komponentit kuin myös jälkimmäisen muodon
komponentit jolloin päätyisimme yhtälöihin
A×(B×C) = (A·C)B−(A·B)C
(A×B)×C = (A·C)B−(B·C)A.
(1.24)
Muistamista helpottanee molempiin tapauksiin soveltuva
sääntö:
vektorikolmitulo = (kauempi·ulko)lähempi
-(lähempi·ulko)kauempi,
missä ”ulko”tarkoitaa sulkujen ulkopuolista tekijää,
”lähempi”lähempänä ja ”kauempi”kauempana
”ulko”-tekijästä olevaa sulkujen sisäpuolista vektoria.
Koska skalaaritulo on kommutatiivinen, voimme
kirjoittaa tämän myös muotoon
A·(B×C) = (A×B)·C (1.23)
eli skalaarikolmitulossa pisteen ja ristin paikan voi vaihtaa
(sulkumerkkien paikat toki vaihtuvat tässä operaatiossa).
9

Lineaarinen riippumattomuus
Vektorit v 1 , v 2 , ...v n ovat lineaarisesti riippumattomia,
jos
n∑
a k v k = 0 vain jos a 1 = ... = a n = 0 (1.25)
k=1
Muussa tapauksessa vektorit ovat lineaarisesti riippuvia.
Kolmiulotteisessa avaruudessa on enintään 3 vektorin
joukko keskenään lineaarisesti riippumaton.
Esim. kantavektorit i, j, k ovat lineaarisesti
riippumattomia:
a 1 i+a 2 j+a 3 k = 0
vain jos a 1 = a 2 = a 3 = 0.
Esim. v 1 = i, v 2 = j, v 3 = i+j ovat lineaarisesti
riippuvia:
v 3 = v 1 +v 2 ⇒ v 1 +v 2 −v 3 = 0
Jos vektorit ovat lineaarisesti riippuvia, ainakin yksi
vektoreista voidaan kirjoittaa lineaarikombinaationa
muista.
Skalaarikolmitulon ja lineaarisen riippumattomuuden
välillä on seuraava yhteys:
Vektorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippumattomia jos ja
vain jos a·(b×c) ≠ 0.
Esim. i·(j×k) = 1, joten i, j, k ovat lineaarisesti
riippumattomia.
Esim. a = (1,0,1), b = (1,2,3), c = (3,2,5):
1 0 1
a·(b×c) =
1 2 3
∣ 3 2 5 ∣
= 1
∣ 2 3
∣ ∣ ∣∣∣ 2 5 ∣ −0 1 3
∣∣∣ 3 5 ∣ +1 1 2
3 2 ∣
= 4−0−4 = 0
Vektorit eivät ole lineaarisesti riippumattomia. Helposti
nähdään että a = (c−b)/2.
Huom: jos meillä on kolme lineaarisesti riippumatonta
vektoria v 1 , v 2 , v 3 , niin mielivaltainen vektori voidaan
esittää näiden lineaarikombinaationa:
a = a 1 v 1 +a 2 v 2 +a 3 v 3 . Sanotaan että vektorit v i
virittävät 3-ulotteisen avaruuden.
Tutuin esimerkki näistä on tietysti i, j, k.
2. Raja-arvo ja derivaatta
2.1 Raja-arvon määritelmä
Funktiolla f(x) on raja-arvo f 0 pisteessä x 0 jos f(x)
lähestyy arvoa f 0 kun x lähestyy arvoa x 0 .
Merkitään
f(x) → f 0 kun x → x 0 (2.1)
tai
Raja-arvo matemaattisemmin:
lim f(x) = f 0 . (2.2)
x→x 0
Intuitiivisesti raja-arvon käsite on varsin selvä. Matemaattisesti se
määritellään seuraavasti: funktiolla f(x) on raja-arvo f 0 pisteessä
x 0 , jos
∀ǫ ∃δ > 0 siten että |f(x)−f 0 | < ǫ
jos 0 < |x−x 0 | < δ
Tässä merkintä “∀: kaikille”, “∃: on olemassa”.
Eli: f on mielivaltaisen lähellä f 0 :aa, jos x on riittävän lähellä
x 0 :aa.
Raja-arvo on selkeä esim. tapauksissa
lim
x→1 x2 +x = 2,
1
lim
x→∞ x = 0,
lim sinx = sinπ/4 = 1/√ 2,
x→π/4
lim x a
x→∞ e x = 0, a ∈ R
(Huom: eksponenttifunktio pesee minkä tahansa
potenssin!)
Kavalia ovat esim. tapaukset jotka lähenevät muotoa
Esim:
0
0 , 0×∞, ∞
∞ , ∞−∞, 00 ,...
2x 4 +x 2 +1 2x 4
lim
x→∞ −x 4 +x 3 = lim = −2 (2.3)
x→∞ −x4 Suurin potenssi voittaa kun x → ∞. (vastaavasti pienin
jos x → 0).
Usein raja-arvojen laskemisessa auttavat seuraavat
approksimaatiot, kun |x| on pieni:
sinx = x− 1 6 x3 +O(x 5 ) (2.4)
cosx = 1− 1 2 x2 +O(x 4 ) (2.5)
(1+x) a = 1+ax+O(x 2 ) (2.6)
ln(1+x) = x+O(x 2 ) (2.7)
e x = 1+x+O(x 2 ) (2.8)
Tässä merkintä O(x n ) tarkoittaa että kaikissa lopuissa
termeissä x:n potenssi on vähintään n.
Esim. √ 1+x = 1+x/2+O(x 2 )
10

Esim.
sinx
lim
x→0 x
= lim
x→0
x−x 3 /6+O(x 5 )
x
= lim
x→0
(1−x 2 /6+O(x 4 )) = 1.
Määritellään vielä oikeanpuoleinen raja-arvo:
f 0 = lim f(x) (2.9)
x→x 0+
tai f(x) → f 0 , kun x → x 0 +. Merkintä tarkoittaa että x
lähestyy arvoa x 0 oikealta (positiiviselta) puolelta.
Vastaavasti vasemmanpuoleinen:
f 0 = lim f(x) (2.10)
x→x 0−
Eli x lähestyy arvoa x 0 vasemmalta (negatiiviselta)
puolelta.
Epäjatkuvalla funktiolla oikeanpuoleinen ja
vasemmanpuoleinen raja-arvo voivat olla erilaiset:
Esim. askelfunktio eli Heavisiden funktio:
⎧
⎨
θ(x) =
⎩
1, x > 0
1/2, x = 0
0 x < 0
(2.11)
Ilmeisesti lim x→0+ θ(x) = 1, mutta lim x→0− θ(x) = 0.
Huom: askelfunktiolla ei ole tavallista raja-arvoa pisteessä
x = 0!
Huom: merkitään myös ilmeiset raja-arvot
1 1
lim = ∞, lim = −∞, lim
x→0+ x x→0− x x = ∞
x→∞
2.2 Jatkuva funktio
Funktio f(x) jatkuva pisteessä x 0 , jos f on määritelty
jossain pisteen x 0 ympäristössä ja
lim f(x) = f(x 0 ) (2.12)
x→x 0
Fysiikassa funktiot ovat jatkuvia (melkein) kaikkialla.
Esim. Heavisiden askelfunktio (2.11) ei ole jatkuva
pisteessä x = 0, mutta on jatkuva kaikissa pisteissä x ≠ 0.
Esim. Funktio f(x) = 1/x 2 ei ole jatkuva pisteessä x = 0
(ei edes määritelty)
Raja-arvoille pätevät myös seuraavat ominaisuudet: jos
funktioilla f(x) ja g(x) on raja-arvot kun x → x 0 , niin
lim [f(x)+g(x)] = lim f(x)+ lim g(x)
x→x 0 x→x 0 x→x 0
lim [f(x)g(x)] = lim f(x) lim g(x)
x→x 0 x→x 0 x→x 0
lim [f(x)/g(x)] = lim f(x)/ lim g(x)
x→x 0 x→x 0 x→x 0
missä viimeisin edellyttää että lim x→x0 g(x) ≠ 0.
2.3 Derivaatan määritelmä
Funktion f(x) derivaatalla f ′ (x 0 ) pisteessä x 0
tarkoitetaan raja-arvoa
f ′ (x 0 ) = lim
x→x 0
f(x)−f(x 0 )
x−x 0
(2.13)
= lim
h→0
f(x 0 +h)−f(x 0 )
h
(2.14)
Geometrisesti derivaatta on funktion kuvaajan tangentin
kulmakerroin derivointipisteessä.
N N N N !
=
O B N
B N J = =
Kuva 2.1 Derivaatan geometrinen tulkinta
Määritelmässä (2.14) ei ole spesifioitu lähestymissuuntaa,
ts. voi olla joko x > x 0 tai x < x 0 . Molempien
lähestymistapojen täytyy johtaa samaan lopputulokseen.
Raja-arvo (2.14) ei välttämättä aina ole yksikäsitteinen
tai sitä ei ole olemassa. Tällaisessa tapauksessa
derivaattaa ei ole määritelty. Jos raja-arvo (2.14)on
(yksikäsitteisenä) olemassa, sanotaan, että funktio on
derivoituva pisteessä x 0 .
Esim. funktio f(x) = |x| on jatkuva kaikilla x ∈ R. Jos
x > 0, on
f ′ f(y)−f(x)
(x) = lim = 1,
y→x y −x
ja vastaavasti jos x < 0 on f ′ (x) = −1. Pisteessä x = 0 ei
raja-arvoa ole olemassa (on vain vasemman- ja
oikeanpuoleiset raja-arvot), eikä |x| ole derivoituva
pisteessä x = 0.
Merkintöjä
Olkoon y = f(x) jokin derivoituva funktio. Derivaattaa f ′ (x)
merkitään usein myös
f ′ (x) = y ′ = d df(x)
f(x) = = Dy = Df(x).
dx dx
Monesti jätetään funtion f argumenttikin merkitsemättä. Kun
halutaan painottaa, että derivaattafunktio f ′ (x) halutaan laskea
nimenomaan pisteessä x 0 , merkitään joskus
f ′ (x 0 ) = df(x)
∣
.
dx
∣x=x 0
Kun kyseessä on derivointi ajan suhteen, käytetään fysiikassa
usein merkintää
d
f(t) = ḟ(t).
dt
Leibnitzin merkintätapa df
dx
funktion muutos
muuttujan muutos
on intuitiivisin:
kun muutos → 0
11

Huom:
f ′ (x) = 0: funktio vaakasuora pisteessä x
f ′ (x) = 1: funktion kulmakerroin = 1 (45 ◦ ) pisteessä x)
f ′ (x) → ∞: funktio lähestyy pystysuoraa
2.4 Derivaattojen lasku
Derivaatta suoraan määritelmästä
Lasketaan esimerkiksi potenssifunktion f(x) = x n
derivaatta. Määritelmän mukaan derivaatta f ′ (x) on
raja-arvo
f ′ f(y)−f(x)
(x) = lim
y→x y −x
= lim
∆x→0
f(x+∆x)−f(x)
.
∆x
Tässä tapauksessa on siis laskettava raja-arvo
f ′ (x) = lim
∆x→0
(x+∆x) n −x n
.
∆x
Käyttäen (1+δ) a = 1+aδ +O(δ 2 ) (2.6) saamme
(x+∆x) n = x n (1+ ∆x
x )n = x n [1+n ∆x
x +O((∆x x )2 )]
joten
(x+∆x) n −x n
lim
∆x→0 ∆x
= lim
∆x→0 [nxn−1 +x n−1 O( ∆x
x )]
= nx n−1 .
Siis saimme dxn
dx = nxn−1 .
Käsitellään toisena esimerkkinä funktion f(x) = sinx
derivaatan laskua. Nyt
sin(x+∆x) = sinxcos∆x+cosxsin∆x,
joten derivaatan määritelmän mukaan on
f ′ sin(x+∆x)−sinx
(x) = lim
∆x→0 ∆x
sinxcos∆x+cosxsin∆x−sinx
= lim
∆x→0
= lim
∆x→0
[
∆x
sinx cos∆x−1 +cosx sin∆x
∆x ∆x
missä olemme käyttäneet sinin ja kosinin
yhteenlaskukaavoja.
Pienillä argumentin arvoilla trigonometriset funktiot
käyttäytyvät kuten (2.4,2.5):
sinδ = δ − 1 6 δ3 +O ( δ 5)
]
,
joten
ja
cos∆x−1
lim
∆x→0 ∆x
sin∆x
lim
∆x→0 ∆x
Derivaataksi saamme siis
− 1 2
= lim
(∆x)2 +O ( (∆x) 4)
∆x→0 ∆x
= lim O(∆x)
∆x→0
= 0
∆x−O ( (∆x) 3)
= lim
∆x→0 ∆x
[ (
= lim 1−O (∆x)
2 )]
∆x→0
= 1.
d
sinx = cosx.
dx
Trigonometristen funktioiden yhteenlaskukaavoja
Sini- kosinifunktiot toteuttavat yhteenlaskukaavat
sin(x+y) = sinxcosy +cosxsiny
cos(x+y) = cosxcosy −sinxsiny.
Koska
tanx = sinx
cosx ,
voidaan tangentin yhteenlaskukaava kirjoittaa mm. muotoon
tan(x+y) =
sinxcosy +cosxsiny
cosxcosy −sinxsiny = tanx+tany
1−tanxtany .
Erikoistapauksena saadaan kaksinkertaisille kulmille kaavat
sin2x = 2sinxcosx
cos2x = cos 2 x−sin 2 x
tan2x =
Pythagoraan lauseen perusteella on
2tanx
1−tan 2 x .
sin 2 x+cos 2 y = 1.
Kaksinkertaisen kulman kosini voidaan siten kirjoittaa myös
muotoihin
cos2x = 2cos 2 x−1 = 1−2sin 2 x.
Muutamien tavallisimpien funktioiden derivaattoja on
esitetty taulukossa
f(x) Df(x)
c (vakio) 0
x n
e x
nx n−1
e x
lnx 1/x
. (2.15)
sinx cosx
cosx −sinx
tanx 1/cos 2 x = 1+tan 2 x
cosδ = 1− 1 2 δ2 +O ( δ 4) ,
12

Derivaatan laskusääntöjä
Olkoot f ja g derivoituvia funktioita ja a ja b vakioita.
Tällöin on voimassa
d
dx [af(x)+bg(y)] = af′ (x)+bg ′ (x). (2.16)
Derivointi on lineaarinen operaatio. Funktioiden tulo
f(x)g(x) derivoidaan kuten
d
dx [f(x)g(x)] = f′ (x)g(x)+f(x)g ′ (x) (2.17)
ja osamäärä f(x)/g(x) kuten
d f(x)
dx g(x) = f′ (x)g(x)−f(x)g ′ (x)
g 2 . (2.18)
(x)
Tulon derivointi
Osoitetaan tulon derivoimissääntö. Suoraan derivaatan
määritelmästä nähdään
Nyt
d
dx (f(x)g(x))
= lim
h→0
f(x+h)−f(x) = hf ′ (x)+O(h 2 )
f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)
h
(f(x)+hf ′ (x))(g(x)+hg ′ (x))−f(x)g(x)+O(h 2 )
= lim h→0 h
h(f ′ (x)g(x)+f(x)g ′ (x))+O(h 2 )
= lim h→0 h
= f ′ (x)g(x)+f(x)g ′ (x)
Yhdistetyn funktion f(g(x)) derivointiin soveltuu
ketjusääntö
d
dx f(g(x)) = f′ (g(x))g ′ (x). (2.19)
Tämä tulee erityisen selväksi käyttäen Leibnitzin
notaatiota: jos merkitään y = f(z) ja z = g(x), saadaan
d dy
f(g(x)) =
dx dx = dy dz
dz dx = f′ (g(x))g ′ (x)
Tämän avulla nähdään muun muassa että
Esimerkkejä:
d
dx [f(x)]µ = µ[f(x)] µ−1 f ′ (x)
d
dx ef(x) = e f(x) f ′ (x)
d
dx lnf(x) = f′ (x)
f(x)
d
dx ex2 = e x2 d
dx x2 = e x2 2x
d
dx sinex = cos(e x ) d
dx ex = cos(e x )e x
d
dx xx
= d
dx exlnx = e xlnx d
dx xlnx
= x x (1lnx+x 1 x ) = xx (1+lnx)
Käänteisfunktion derivaatta
Olkoon meillä funktion y = f(x), käänteisfunktio
x = f −1 (y). Nyt käänteisfunktion derivaatta saadaan
funktion derivaatan avulla seuraavasti:
Df −1 (y) =
1
f ′ (f −1 (y)) = 1
f ′ (x) . (2.20)
Leibnitzin notaatiolla tämä on yksinkertaisesti
dx
dy = 1 dy
dx
(2.21)
(miten todistetaankin käänteisfunktion derivoimissääntö,
kun ajatellaan raja-arvoja ∆x, ∆y.)
Esim. Johdetaan logaritmin derivoimissääntö. Nyt
y = e x , x = lny:
dlny
dy
= dx
dy = 1 dy
dx
= 1
de x
dx
tai Dlny = 1/(De x ) = 1/e x = 1/y.
Syklometriset funktiot
Trigonometrisillä funktioilla ei ole yksikäsitteistä
käänteisfunktiota. Esimerkiksi yhtälön
sinx = 1 2
= 1
e x = 1 y
ratkaisee mikä tahansa äärettömän joukon
{
π
x = 6 +2nπ
5π
6 +2nπ, n kokonaisluku
luvuista. Kun rajoitetaan sinin argumentti välille − π 2 ≤ x ≤ π 2 ,
on yhtälöllä sinx = a yksikäsitteinen ratkaisu, jota nimitetään
arkussiniksi ja merkitään
x = arcsina, − π 2 ≤ x ≤ π 2 .
Arkussini on siis se sinin käänteisfunktio, jonka arvoalue on
rajoitettu välille − π 2 ≤ x ≤ +π . Kosinilla puolestaan on
2
yksikäsitteinen arkuskosiniksi sanottu käänteisfunktio, kun
rajoitetaan kosinin argumentti välille 0 ≤ x ≤ π. Tästä käytetään
merkintää
x = arccosz, 0 ≤ x ≤ π.
Tangentin käänteisfunktio on nimeltään arkustangentti. Sen
arvoalue on
y = arctanx, − π 2 ≤ y ≤ π 2 .
Koska sinin ja kosinin arvoalueet kattavat välin [−1,1], voivat
arkussinin ja arkuskosinin argumenttit olla väillä [−1,1].
Arkustangentin argumentti taas voi olla mikä tahansa reaaliluku,
sillä tangentin arvoalueena on koko reaaliakseli.
13

Joskus halutaan määritellä trigonometristen funktioiden
käänteisfunktiot monikäsitteisiksi, esim. halutaan että
z = arcsinx antaa kaikki ne arvot z, joilla sinz = x. Tällöin
arvoalueelle − π 2 ≤ arcsinx ≤ π rajattua arkussiniä sanotaan ko.
2
funktion päähaaraksi. Päähaarasta käytetään merkintää arcsinx.
Vastaavat nimitykset ja merkinnät ovat käytössä muillekin
trigonometrisille käänteisfunktioille.
Trigonometristen funktioiden käänteisfunktioita sanotaan
syklometrisiksi funktioiksi tai useimmiten niiden nimen mukaisesti
tuttavallisesti arkus-funktioiksi.
Lasketaan esimerkkinä funktion arcsinx derivaatta. Nyt
arcsin on sinifunktion käänteisfunktio, ts. jos x = siny
niin y = arcsinx. Säännön (2.20) perusteella on
Darcsinx =
1
Dsiny = 1
cosy .
Trigonometristen funktioiden ominaisuuksien perusteella
voidaan kirjoittaa
√
cosy = 1−sin 2 y = √ 1−x 2 ,
joten saamme
Samoin voidaan osoittaa
d
dx arcsinx = 1
√
1−x
2 . (2.22)
d
dx arctanx = 1
1+x2. (2.23)
Kaavat (2.22,2.23) ovat hyödyllisiä integraalien laskuissa.
2.5 Korkeamman kertaluvun derivaatat
Jos funktion f(x) derivaatta f ′ (x) on myöskin
derivoituva, voimme laskea senkin derivaatan:
Df ′ (x) = lim
∆x→0
f ′ (x+∆x)−f ′ (x)
. (2.24)
∆x
Sanomme, että funktio f(x) on kahdesti derivoituva ja
suure Df ′ (x) funktion f(x) toinen derivaatta. Jos vielä
tämä toinen derivaattakin on derivoituva, voisimme
edelleen määrätä sen derivaatan DDf ′ (x) jne. Vastaavasti
funktion sanotaan tällöin olevan kolmesti, ..., n kertaa,
derivoituva ja puhutaan kolmansista, ..., n:stä
derivaatoista.
Merkintöjä
Olkoon funktio f(x) n-kertaisesti derivoituva. Sen n:ttä
derivaattaa merkitään mm. kuten
f (n) (x) = D n f(x) = dn f(x)
dx n .
Alhaisen kertaluvun derivaatoista voidaan myös käyttää sellaisia
merkintöjä kuin
f (2) (x) = f ′′ (x) = DDf(x).
Jos kyseessä on derivointi ajan suhteen, merkitään usein
d 2 f(t) ..
dt 2 = f(t).
2.6 Sovelluksia
Differentiaalilaskennan lukemattomista käyttökohteista
käsitellään muutamia fysiikan kannalta ehkä tärkeähköjä
sovelluksia.
Suureiden muodostus
Intuitiivisesti nopeudella ymmärretään aikayksikössä
kuljettua matkaa. Matemaattisen täsmälliseksi nopeuden
käsite saadaan määrittelemällä se rajarvona
v(t) = lim
∆t→0
x(t+∆t)−x(t)
, (2.25)
∆t
kun oletetaan tarkasteltavan objektin liikkuvan pitkin
x-akselia ja sen olevan paikassa x(t) hetkellä t.
Derivaatan määritelmästä (2.14) nähdään, että nopeus
v(t) hetkellä t on
v(t) = dx(t)
dt
= ẋ(t). (2.26)
Kiihtyvyys puolestaan on nopeuden muutos aikayksikössä.
Derivaattojen avulla ilmaistuna on siis pitkin x-akselia
liikkuvan kappaleen kiihtyvyys a kirjoitettavissa kuten
a(t) = dv(t)
dt
= d2 x(t)
dt 2
= v(t) . = .ẋ(t). (2.27)
Muista lukemattomista derivaattojen avulla määritellyistä
fysiikan käsitteistä mainittakoon vaikkapa sähkövirta
I = dQ
dt
sähkövarauksen Q muuttuessa ajan t funktiona tai teho
P = dW dt ,
missä W on hetkeen t mennessä tehty työ tai, kolmantena
esimerkkinä kappaleen tilavuuden V muutoksesta
aiheutuvasta paineen P muutoksesta kertova
puristusmoduuli (kompressibiliteetti)
B = − 1 V
Approksimaatio
Derivaatan määritelmästä (2.14)
dP
dV .
f ′ f(x+∆x)−f(x)
(x) = lim
∆x→0 ∆x
voidaan ratkaista f(x+∆x) likimääräisesti:
f(x+∆x) ≈ f(x)+f ′ (x)∆x. (2.28)
Tämä relaatio on sitä tarkempi mitä pienempi ∆x on.
14

N
N
N
Väliarvolause
Tarkasti ottaen on voimassa ns. väliarvolause:
Olkoon f derivoituva funktio. Tällöin pisteiden x ja x+∆x
välissä on olemassa sellainen piste x 0 että
f ′ (x 0 ) = f(x+∆x)−f(x) .
∆x
Lauseen mukaan on siis tarkasti voimassa
f(x+∆x) = f(x)+f ′ (x 0 )∆x,
missä x < x 0 < x+∆x (olettaen, että ∆x > 0).
Esim. sinx kun x on pieni
Kaavan (2.28) mukaan on
sinx ≈ xsin ′ 0 = xcos0 = x.
Esim. Newton-Raphsonin menetelmä
Tehtävänä on etsiä funktion f(x) nollakohta, ts. ratkaista
yhtälö
f(x) = 0.
Oletetaan, että f(x) on derivoituva. Olkoon x 0 jokin
likiarvo ratkaisulle (saatu esim. arvaamalla tai piirtämällä
funktion kuvaaja). Approksimoidaan funktiota pisteen x 0
läheisyydessä (ks. kuva 2.2) lineaarisella kuvaajalla
f(x) ≈ f(x 0 )+f ′ (x 0 )(x−x 0 ).
Tämän suoran ja x-akselin leikkauspiste
x 1 = x 0 − f(x 0)
f ′ (x 0 )
on (yleensä) parempi nollakohdan likiarvo kuin
alkuperäinen x 0 .
B N
Ääriarvot
Funktion maksimikohta on sellainen piste, että
poistuttaessa siitä mihin tahansa suuntaan funktion arvo
pienee. Vastaavasti minimikohdasta poistuttaessa
funktion arvo kasvaa. Maksimi (minimi) on paikallinen eli
lokaali, jos funktiolla on muita arvoltaan tätäkin
suurempia (pienempiä) maksimeja (minimejä). Jos
kyseessä on funktion suurin (pienin) arvo, puhutaan
globaalista tai absoluuttisesta maksimista (minimistä).
Esim. kuvassa 2.3 minimi kohdassa x 0 ja maksimi
kohdassa x 1 ovat paikallisia. Kohdan x 2 minimi saattaisi
olla globaali.
B N
N N N N !
Kuva 2.3 Funktion ääriarvot
Derivoituvan funktion f(x) ääriarvokohdissa, ts.
maksimeissa ja minimeissä funktion tangentti on
x-akselin suuntainen (ks. kuva 2.3) eli
Derivoituvan funktion derivaatta ääriarvopisteissä on
nolla.
Tarkasti ottaen derivaatta häviää sellaisissa ääriarvopisteissä,
jotka sijaitsevat funktion määrittelyalueen sisällä. Jos esim.
funktio f(x) on määritelty siten, että
f(x) = x 2 , kun −1 ≤ x ≤ 1,
maksimit (arvoltaan 1) sijaitsevat reunapisteissä x = ±1.
N
N
Pisteitä, joissa derivaatta häviää sanotaan kriittisiksi
pisteiksi. Derivaatan häviäminen on siis ääriarvon
välttämätön ehto. Se ei kuitenkaan ole riittävä. Esim.
kuvassa 2.3 kohdan x 3 vasemmalla puolen funktio on
pienempi ja oikealla puolen suurempi kuin pisteessä x 3 .
Jos funktio on kahdesti derivoituva, voimme toisesta
derivaatasta päätellä kriittisen pisteen luonteen:
Kuva 2.2 Newton-Raphsonin iteraatio
Toistetaan sama menettely käyttäen pistettä x 1
lähtöarvona, jolloin saadaan taas (toivottavasti) parempi
likiarvo x 2 . Jatketaan samalla tavoin iteroiden, ts.
lasketaan likiarvosta x n likiarvo
x n+1 = x n − f(x n)
f ′ (x n ) ,
niin kauan kunnes f(x n ) on halutulla tarkkuudella nolla
tai kunnes x n+1 poikkeaa riittävän vähän edellisestä
arvosta x n .
• Jos toinen derivaatta on negatiivinen, siirryttäessä
pisteen yli vasemmalta oikealle ensimmäinen
derivaatta pienenee positiivisesta negatiiviseksi, ts.
kyseessä on maksimi.
• Jos toinen derivaatta on positiivinen, siirryttäessä
pisteen yli vasemmalta oikealle ensimmäinen
derivaatta kasvaa negatiivisesta positiiviseksi, ts.
minimi.
• jos toinen derivaatta on nolla kriittisessä pisteessä,
täytyy tarkastella korkeampia derivaattoja: jos pienin
nollasta poikkeava derivaatta on:
15

A) parillista kertalukua (2,4,...), kyseessä on Esim. lim x→0 sin 2 2x/x 2
maksimi/minimi jos derivaatan etumerkki on -/+. l’Hospitalin sääntö on ilmeisestikin sovellettavissa ja
B) pariton (1,3,...), kyseessä ei ole ääriarvo. saamme
Esim. Funktion f(x) = 3x 4 −4x 3 kriittiset pisteet sin 2 2x 4sin2xcos2x
lim
Derivaatta on nyt
x→0 x 2 = lim
x→0 2x
sin2x
f ′ (x) = 12x 3 −12x 2 = 12x 2 (x−1).
= lim 2cos2x = lim
x→0 x 2sin2x
x→0 x .
Kriittiset pisteet saadaan asettamalla f ′ (x) = 0, ts.
Päädymme siten edelleen muotoa 0/0 olevaan
ratkaistaan yhtälö
lausekkeeseen. Sovelletaan tähän uudelleen l’Hospitalin
12x 2 (x−1) = 0.
sääntöä, jolloin saadaan
Kriittiset pisteet ovat siten 0 ja 1. Funktion toinen
lim
derivaatta on
2sin2x = lim 4 cos2x = 4.
x→0 x x→0 1
f ′′ (x) = 36x 2 −24x,
Esim. lim x→0+ xlnx
joten f ′′ (0) = 0 ja f ′′ (1) = 12. Piste 1 on siis minimi. Tässä merkintä x → 0+ tarkoittaa, että x lähestyy nollaa
mutta piste 0 ei ole maksimi eikä minimi. positiiviselta puolelta. Tämä rajoitus on asetettu, jotta
l’Hospitalin sääntö
logaritmifunktio olisi määritelty. Nyt x → 0 ja
Hyvin monesti raja-arvoja laskettaessa päädytään
lnx → −∞, joten l’Hospitalin säännön soveltamiseksi
muotoa 0/0, ∞/∞ tai 0·∞ oleviin lausekkeisiin. Jos
kirjoitetaan raja-arvo muotoon
kyseessä ovat derivoituvat funktiot, voidaan useimmiten
lnx
soveltaa l’Hospitalin sääntöä
lim xlnx = lim
x→0+ x→0+ 1
.
Jos
f ′ x
(x)
lim
x→a g ′ (x) = A
Nyt sekä osoittaja että nimittäjä lähestyvät ääretöntä ja
l’Hospitalin sääntö on jälleen käyttökelpoinen:
ja jos joko
1
f(x) → 0 ja g(x) → 0 kun x → a
x
lim xlnx = lim
x→0+ x→0+ − 1 = lim (−x) = 0.
x
tai
2 x→0+
g(x) → ±∞ kun x → a,
Implisiittinen derivointi
niin
Joskus funktiota y(x) määritellään esim. ehdolla
f(x)
lim
x→a g(x) = A.
F(x,y) = F(x,y(x)) = c, (2.29)
Perusteluja
missä c on vakio. Periaatteessa tästä yhtälöstä voitaisiin
Tarkastellaan esimerkkinä tapausta, missä a on äärellinen ja missä (ehkä) ratkaista muuttuja y. Tämä ratkaisu riippuisi
sekä f(a) = 0 että g(a) = 0. Voimme siis kirjoittaa
tietenkin muuttujasta x. Voimme siis ajatella, että yhtälö
f(x) f(x)−f(a)
lim = lim
x→a g(x) x→a g(x)−g(a) . (2.29) määrää implisiittisesti funktion y(x).
Funktion y(x) derivaatta voidaan usein ratkaista suoraan
[f(x)−f(a)]/(x−a)
= lim
x→a [g(x)−g(a)]/(x−a) . derivoimalla ehtoa F:
= limx→a[f(x)−f(a)]/(x−a)
d
lim .
F(x,y(x)) = 0 (2.30)
x→a[g(x)−g(a)]/(x−a) dx
= f′ (x)
g ′ (x)
ja ratkaisemalla y ′ (x).
jos derivaatat ovat olemassa.
Esim. Tason origokeskeinen ympyrä x 2 +y 2 = a 2
määrittelee implisiittisesti funktion y(x).Nyt
Esim. lim x→0 sinx/x
Sekä osoittaja että nimittäjä lähestyvät nollaa
d
argumentin lähestyessä nollaa ja funktiot ovat
dx (x2 +y(x) 2 ) = 2x+2y(x)y ′ (x) = 0
derivoituvia. Voimme siis soveltaa l’Hospitalin sääntöä: ⇒ y ′ (x) = −x/y
sinx
lim
x→0 x = lim cosx
= 1
x→0 1 1 = 1. mikä on ympyrän tangentin kulmakerroin.
16

Esim. Muodosta implisiittisesti derivaatta dy
dx yhtälöstä
sin(xy)+y = x
Tässä tapauksessa siis F(x,y(x)) = sin(xy)+y−x = 0, ja
d
dx F(x,y(x)) = d
dx
= 0
= cos(xy)
(sin(xy)+y −x)
(
y +x dy
dx
Hieman ryhmittäen voidaan kirjoittaa
(1+xcos(xy)) dy
dx = 1−ycos(xy),
josta saamme derivaataksi
dy
dx = 1−ycos(xy)
1+xcos(xy) .
)
+ dy
dx −1
Parametrisesti annetun funktion derivaatta
Esim. x = cost ja y = sint määrittelee parametrisesti
funktion (yksikköympyrän kaari) y(x) (kun 0 ≤ t ≤ π).
Yleisemmin: olkoon annettu x = g(t) ja
y = f(t) = f(g −1 (x)). Nyt ketjusäännön mukaan
dy
dx = f′ (t) d
dx g−1 x = f ′ 1
(t)
g ′ (t) = y′ (t)
x ′ (t)
Tai yksinkertaisesti
Ympyrälle siis
dy
dy
dx = dt
dx
dt
dy
dx = cost
√
1−x
−sint = − 2
x
(2.31)
(2.32)
3. Potenssisarjoja
3.1 Äärettömät sarjat
Olkoon {a n } jokin lukujono. Summaa
S =
∞∑
a n = a 0 +a 1 +a 2 +···+a n +··· (3.1)
n=0
sanotaan äärettömäksi sarjaksi. Lukuja
S n =
n∑
k=0
kutsutaan osasummiksi. Äärettömän sarjan, tai lyhyesti
vain sarjan, sanotaan suppenevan (konvergoituvan) jos
raja-arvo lim n→∞ S n on olemassa. Jos raja-arvoa ei ole,
sarja hajaantuu (divergoi).
Alkaako sarja nollannesta, ensimmäisestä, toisesta tai jostakin ∑ ∞
muusta termistä on vain numerointikysymys. Summat
∑ ∑ ∑ k=1 a k,
∞
k=2 a ∞
k, ... tai lyhyemmin
1 a ∞
k,
2 a k, ... ovat myöskin
(äärettömiä) sarjoja.
Katsotaan esimerkkinä geometrista sarjaa ∑ ∞
0 xn .
Osasummat ovat
n∑
S n = x k = 1+x+···+x n
0
= 1−xn+1
=
a k
1−x
1
1−x − xn+1
1−x .
Tiedämme, että x n+1 → 0 kun |x| < 1. Tällöin siis
limS n = 1
1−x .
Toisaalta sarja selvästikin hajaantuu kun |x| ≥ 1.
Olemme siis saaneet tuloksen
∞∑
0
x n = 1 , kun |x| < 1. (3.2)
1−x
Se, että sarjan termit lähestyvät nollaa, ei takaa sarjan
suppenemista. Esimerksi harmoninen sarja
∞∑ 1
n = 1+ 1 2 +···+ 1 n +···
n=1
hajaantuu.
On olemassa useita testejä, joilla sarjojen suppenemista
voi tutkia. Näistä ehkä käytetyin on suhdetesti:
Olkoon ∑ a n sellainen positiivisten termien sarja, että
raja-arvo
lim
n→∞ a n+1/a n = q
on olemassa. Silloin
17

• jos q < 1, niin sarja suppenee,
• jos q > 1, niin sarja hajaantuu ja
• jos q = 1, niin sarja voi supeta tai hajaantua.
Vaikka suhdetesti käsitteleekin vain positiivitermisiä
sarjoja, sitä voidaan soveltaa yleisempiinkin tapauksiin.
Sanotaan että sarja ∑ ∑
a n suppenee itseisesti jos sarja
|an | suppenee. Voidaan osoittaa, että sarjan supetessa
itseisesti myös itse sarja suppenee. Jos siis suhdetestillä
todetaan sarjan suppenevan itseisesti niin voidaan
päätellä sarjan suppenevan sellaisenaankin.
Esim. Osoita, että sarja ∑ ∞ (−1) n n
1 2
suppenee
n
Kyseessä on ns. vuorotteleva sarja: joka toinen termi on
positiivinen ja joka toinen negatiivinen. Osoitetaan, että
sarja suppenee itseisesti, ts. että ∑ ∣
∞
1 ∣ (−1)n n ∣∣
2 suppenee.
n
Nyt a n = n 2
ja n
a n+1
a n
= (n+1)2n
n2 n+1 = 1 (
1+ 1 )
2 n
→ 1 2 < 1.
Suhdetestin mukaan sarja suppenee itseisesti ja niin ollen
suppenee sellaisenaankin.
3.2 Potenssisarjat
Geometrinen sarja (3.2) ∑ 0 xn esittää funktiota
1/(1−x). Itseasiassa hyvin monet funktiot voidaan
esittää tyyppiä
∞∑
a n (x−x 0 ) n
0
olevina potenssisarjoina. Jatkossa käsittelemme
enimmäkseen tapauksia, joissa x 0 = 0, sillä vaihtamalla
muuttujaan x ′ = x−x 0 mikä tahansa potenssisarja
saadaan muotoon
∞∑
a n x ′ n .
n
Potenssisarjan suppeneminen riippuu yleensä muuttujan
x arvosta. Voidaan osoittaa, että
On olemassa sellainen luku R ≥ 0 (mahdollisesti +∞,
että potenssisarja ∑ n a nx n suppenee itseisesti, kun
−R < x < R ja hajaantuu kun |x| > R.
Lukua R sanotaan suppenemissäteeksi.
Tärkein suppenemissäteen määräämismenetelmä on
jälleen suhdetesti:
Olkoon sarja ∑ n a nx n sellainen, että raja-arvo
lim|a n+1 /a n | = q on olemassa. Suppenemissäde on silloin
R = 1/q.
∑ Suhdetestin mukaan sarja
n anxn suppenee itseisesti, jos
termien suhteelle on voimassa
∣ lim
∣ a n+1x n+1 ∣∣∣ a nx n = lim∣ a ∣
n+1 ∣∣ |x| < 1.
a n
Sarja siis suppenee, jos muuttuja x toteuttaa ehdon
∣
1
|x| <
∣ lim∣ a = lim
n+1
∣ an ∣∣,
a n+1
a n
joten suppenemissäde R on
∣ R = lim∣ an ∣∣.
a n+1
Esim. Sarjan ∑ n xn /n! suppenemissäde
Nyt ∣ ∣ ∣∣∣ a n+1∣∣∣
n!
=
a n (n+1)! = 1
n+1 ,
joten suhdetestin q on 0. Suppenemissäde on niin ollen
ääretön eli sarja suppenee kaikilla muuttujan x arvoilla.
Esim. Sarjan ∑ ∞
1 10n
n xn suppenemissäde
Suhdetesti antaa
∣ a n ∣∣∣
∣ =
a n+1
10 n
n
10 n+1
n+1
= n+1 ·
n
1
10 → 1
10 = 1 q = R.
Kuten todettua potenssisarjoja voidaan pitää
argumenttinsa funktioina. Potenssisarjafunktioilla on mm.
ominaisuudet:
Suppenemissäteen sisällä sarjan ∑ a n x n esittämä funktio
• on jatkuva,
• voidaan integroida integroimalla sarja termeittäin,
• voidaan derivoida (mielivaltaisen monesti)
derivoimalla sarja termeittäin.
3.3 Taylorin sarjat
Olkoon funktio f(x) äärettömän monta kertaa
derivoituva pisteen x 0 ympäristössä. Tällöin se voidaan
esittää Taylorin sarjana pisteen x 0 suhteen kehitettynä
suppenemissäteen sisällä:
f(x) =
∞∑
n=0
f (n) (x 0 )
(x−x 0 ) n (3.3)
n!
Tässä siis f (n) (x 0 ) on funktion n:s derivaatta pisteessä
x 0 , ja f (0) (x 0 ) = f(x 0 ). Luku
n! ≡ n(n−1)(n−2)...1, 0! ≡ 1
on n:n kertoma.
Jos x 0 = 0, Taylorin sarja saadaan usein esiintyvään
muotoon
∞∑ f (n) (0)
f(x) = x n (3.4)
n!
n=0
18

Todistus: Olkoon meillä potenssisarja
f(x) =
∞∑
a n (x−x 0 ) n .
n=0
Asettamalla x = x 0 vain ensimmäinen termi on nollasta
poikkeava, ja nähdään heti a 0 = f(x 0 ) = f (0) (x 0 ).
Potenssisarjojen ominaisuuksien mukaan sarjaa voidaan
derivoida termeittäin. Silloin ensimmäinen derivaatta
suppenemissäteen sisällä on
f ′ (x) =
∞∑
0
a n
d
dx (x−x 0) n =
∞∑
a n n(x−x 0 ) n−1 .
Asettamalla tässä x = x 0 nähdään a 1 = f ′ (x 0 ) = f (1) (x 0 ).
Derivoimalla k kertaa saamme
∞∑
f (k) d k
(x) = a n
dx k(x−x 0) n
=
n=0
1
∞∑
a n n(n−1)...(n−k +1)(x−x 0 ) n−k
n=k
mistä jälleen seuraa f (k) (x 0 ) = k!a k , mikä jo osoittaakin
tuloksen (3.3).
Esim. Kosinifunktion Taylorin sarja
Nyt
d
cosx = −sinx
dx
d 2
2
cosx = −cosx
dx
d 3
3
cosx = sinx
dx
d 4
4
cosx = cosx
dx .
d 2n
dx 2n cosx = (−1)n cosx
d 2n+1
dx 2n+1 cosx = (−1)n+1 sinx
.
Nähdään, että tässä tapauksessa parittomat derivaatat
f (2n+1) (0) häviävät ja jäljelle jäävät ainoastaan parilliset
f (2n) (0) = (−1) n .
Funktion cosx Taylorin sarja on niin ollen
cosx = f(0)+f (1) (0)x+ f(2) (0)
x 2
2!
+ f(3) (0)
3!
x 3 + f(4) (0)
x 4 +···
4!
= 1− 1 2 x2 + 1 4! x4 +···
=
∞∑
n=0
(−1) n x2n
(2n)! .
Suhdetestin avulla todetaan helposti, että tämän sarjan
suppenemissäde on ääretön.
Tarkasti ottaen suhdetestillä määrätään sarjan ∑ n anxn
suppenemissäde. Sarja ∑ n anxβn saadaan muuttujan vaihdolla
y = x β suhdetestille sopivaan muotoon ∑ n anyn . Tämä sarja
suppenee kun muuttuja y on itseisarvoltaan pienempi kuin testin
antama suppenemissäde R. Muuttujalle x = y 1/β
suppenemissäde on niin ollen R 1/β .
Kääntäen, jos tunnetaan funktion f(x) Taylorin sarja
∑
f(x) = a nx n
ja sen suppenemissäde R, niin funktion f(x β ) Taylorin sarja on
yksinkertaisesti
∑
f(x β ) = a nx βn
ja sen suppenemissäde R 1/β .
Katsotaan nyt, miten muodostaisimme logaritmifunktion
Taylorin sarjan. Koska sen jokainen derivaatta,
d n
dx n lnx = (−1) n−1(n−1)!
x n ; (n > 0),
divergoi kun x = 0, emme voi origon (x 0 = 0)
ympäristössä Taylorin sarjaa muodostaa.
Kehittämällä sen sijaan Taylorin sarja (3.3) pisteen
x 0 = 1 ympäristössä, saame sarjan
lnx = ln1+(x−1)− (x−1)2
2
=
n
n
+ (x−1)3 − (x−1)4 +···
3 4
∞∑
(−1) n−1(x−1)n .
n
n=1
mikä on tapana esittää muodossa (y = x−1)
ln(1+y) =
∞∑
(−1) n−1yn n
n=1
Näiden sarjojen suppenemissäde on 1 (suppenee jos
|y| = |x−1| < 1)
Taylorin sarjat funktioiden approksimaatioina
Kirjoitetaan funktion f Taylorin sarja muotoon
f(x) = f(0)+f (1) (0)x+···+ f(n) (0)
x n +R(x).
n!
Intuitiivisesti on ilmeistä (ja voidaan osoittaa), että mitä
pienempi on argumetti x ja mitä suurempi on n sitä
pienempi on jäännöstermi R(x). Tämän perusteella
19

voimme approksimoida funktioita katkaistuilla Taylorin
sarjoilla:
f(x) ≈ f(0)+f (1) (0)x+···+ f(n) (0)
x n . (3.5)
n!
Approksimaatio on siis sitä tarkempi mitä pienempi on x
tai mitä suurempi on n. Yleensä approksimoitaessa
tyydytään lineaarisiin tai neliöllisiin termeihin.
Katkaistaessa yleistetty Taylorin sarja (3.3) tarkkuus on
vastaavasti sitä parempi mitä lähempänä argumentti on
kehityspistettä. Jotta tarkkuus olisi sitä parempi mitä
pienempi argumentti on, useimmiten muutetaan
tarkasteltavaa funktiota sen sijaan että kehitettäisiin
origosta poikkeavassa pisteessä.
Esimerkiksi logaritmifunktion tapauksessa saadaan
approksimaatio
Jos µ on positiivinen kokonaisluku, sarjassa on äärellinen
määrä termejä (n = 0...µ). Muussa tapauksessa sarjan
suppenemissäde on |x| < 1.
tai sinille
ln(1+x) = x− x2
2 + x3
3 +O(x4)
sinx = x− x3
6 +O(x5 ).
Alla olevaan taulukkoon on kerätty muutamia usein
tarvittavia Taylorin sarjoja.
∑
f(x) an x n
e x
sinx
cosx
sinhx
coshx
ln(1+x)
tanx
∑
0 xn
n!
x2n+1
∑0
(−1)n
(2n+1)!
x2n
∑0
(−1)n
(2n)!
∑0 x2n+1
(2n+1)!
∑0 x2n
(2n)!
∑
1 (−1)n−1xn n , |x| < 1
x+ x3
3 + 2 15 x5 +···, |x| < π 2
(3.6)
Näistä saamme suoraan aiemmin esitetyt approksimaatiot
(2.4–2.8).
Eksponenttifunktion sarjasta
e x = ∑ 0
x n
n!
seuraa d
dx ex = e x , jos sitä ei muuten tunnettaisi:
d
dx
∑
n
x n
n!
nx n−1
= ∑ n!
n
∞∑ x n−1
=
(n−1)! = ∑ n=1 k
missä k = n−1.
Toistuvasti derivoimalla saadaan myös sarja
x k
k!
(1+x) µ = 1+µx+ µ(µ−1) x 2 +...
2!
∞∑ µ(µ−1)...(µ−n+1)
=
x n
n!
n=0
20

4. Integraalilaskentaa
4.1 Integraalifunktio
Funktio F on funktion f integraalifunktio (integraali), jos
F ′ (x) = f(x). (4.1)
Integraalifunktion laskeminen (integrointi) on siis
derivoinnin käänteisoperaatio. Integraalifunktiosta on
tapana käyttää merkintää
∫
F(x) = f(x)dx (4.2)
Funktiota f sanotaan integroitavaksi.
Integraalifunktio ei ole yksikäsitteinen: Olkoon f
integroituva funktio, jonka eräs integraalifunktio on F.
Tällöin jokainen funktion f integraalifunktio on muotoa
F(x)+C.
Todistus:
1. (F(x)+C) ′ = F ′ (x) = f(x), joten F(x)+C on
integraalifunktio.
2. Olkoon G(x) toinen f(x):n integraalifunktio. Nyt
(F(x)−G(x)) ′ = F ′ (x)−G ′ (x) = f(x)−f(x) = 0, joten
F(x)−G(x) on vakio.
Yleisesti integrointi on huomattavasti vaikeampaa kuin
derivointi: alkeisfunktioiden derivaatat ovat
alkeisfunktioita, mutta alkeisfunktioiden integraalit eivät
yleisesti ottaen ole!
Koska derivointi on lineaarinen operaatio, myös
integrointi on lineaarinen, ts.
∫
∫ ∫
[αf(x)+βg(x)]dx = α f(x)dx+β g(x)dx, (4.3)
missä α ja β ovat vakioita.
Etenkin fysiikassa käytetään usein merkintää missä dx
tulee välittömästi integraalimerkin jälkeen, siis
∫ ∫
dxf(x) ≡ f(x)dx
4.1.1 Tavallisia integraaleja
Johto seuraaville: derivoimalla!
∫
x µ dx = xµ+1
µ+1 +C, µ ≠ 1
∫
adx = ax+C, a vakio
∫ 1
dx = ln|x|+C = ln|Ax|, missä C = ln|A|.
x
∫
e x dx = e x +C
∫
a x dx = ax
lna +C
∫
∫
∫
∫
∫
sinxdx = −cosx+C
cosxdx = sinx+C
tanxdx = −ln|cosx|+C
coshxdx = sinhx+C
sinhxdx = coshx+C
Usein esiintyvät myös
∫
1
dx = ln|1+x|+C
1+x
∫
1
dx = arctanx+C
1+x2 ∫
1
1−x 2 dx = 1 ∣ ∣∣∣
2 ln 1+x
1−x∣ +C
∫
1
√ dx = arcsinx+C
1−x
2
∫
1
√
x2 ±1 dx = ln|x+√ x 2 ±1|+C
4.2 Integraalien lasku
Toisin kuin derivointi integrointi ei yleensä ole
suoraviivainen mekaaninen toimenpide. Läheskään kaikki
alkeisfunktioista muodostetut funktiot eivät ole
integroituvia alkeisfunktioiden avulla! Integraalifunktion
etsinnässä on käytössä lukuisia menetelmiä, joista
tärkeimmät ovat muuttujan vaihto ja osittaisintegrointi.
Polynomit ja sarjat
Koska integrointi on lineaarinen operaatio, voimme laskea
esim. minkä tahansa polynomin integraalin. Jos polynomi
on muotoa,
P(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +···a n x n ,
on sen integraali
∫
P(x)dx = C+a 0 x+ 1 2 a 1x 2 +···+ 1
n+1 a nx n+1 . (4.4)
Samoin jos tunnemme funktion Taylorin sarjan,
f(x) = ∑ n a nx n , saamme välittömästi integraalifunktion
sarjan ∫
f(x)dx = C + ∑ a n
n+1 xn+1 (4.5)
n
Tämä sarja ei välttämättä vastaa mitään alkeisfunktiota.
4.2.1 Ketjusäännön käyttö
Derivoinnin ketjusäännön (2.19)
d
dx g(f(x)) = g′ (f(x))f ′ (x)
21

mukaan on
∫
g ′ (f(x))f ′ (x)dx = g(f(x)). (4.6)
Jos g(x) = x 2 , saadaan usein esiintyvä
∫
f ′ (x)f(x)dx = 1 2 f(x)2 +C (4.7)
Tai jos g(x) = lnx,
∫ f ′ (x)
dx = ln|f(x)|+C (4.8)
f(x)
Yleisemmin
∫
f ′ (x)(f(x)) n dx = 1
n+1 (f(x))n+1 +C, n ≠ −1 (4.9)
Esimerkkejä:
∫ ∫
sinxcosxdx =
sinx(sinx) ′ dx = 1 2 sin2 x+C
∫ ∫ sinx −(cosx)
′
cosx dx = dx = −ln|cosx|+C
cosx
4.2.2 Muuttujan vaihto
Ketjusääntöön perustuu myös muuttujanvaihto- eli
sijoitustekniikka. Olkoon F funktion f integraalifunktio,
joka siis toteuttaa relaation
d
F(x) = f(x).
dx
Oletetaan nyt että x on parametrin t funktio, x(t).
Ketjusäännön mukaan on
d
dt F(x(t)) = F′ (x(t))x ′ (t) = f(x(t))x ′ (t).
Integroimalla yhtälö puolittain saadaan siten
∫
F(x(t)) = f(x(t))x ′ (t)dt,
jonka voimme myös kirjoittaa muotoon
∫ ∫
f(x)dx = f(x(t))x ′ (t)dt. (4.10)
Lyhyesti, tämä vastaa sijoitusta
dx = dx
dt dt
eli siis muuttuja x “ylennetään” muuttujan t funktioksi.
Muuttujan vaihdon jälkeen integraali voi olla helpompi
laskea. Tulos on t’n funktio, mutta saadaan x:n funktioksi
kääntämällä x = x(t).
Valaistaan muuttujan vaihtoa esimerkillä: integroidaan
∫ lnx
x dx.
Sijoitetaan t = lnx, jolloin dt = 1/xdx eli
dx = xdt.
Integraali on siten
∫ lnx
x dx = ∫ t
x xdt = ∫
= 1 2 t2 .
tdt
Sijoitetaan takaisin t = lnx, jolloin saadaan lopulta
∫ lnx
x dx = 1 2 ln2 x.
Integroinnin tulos kannattaa yleensä tarkistaa derivoimalla.
Äskeisessä esimerkissä derivointi antaa
[
d 1
x]
dx 2 ln2 = 1 2 2lnx 1 x = lnx
x
kuten pitääkin.
Ongelma: kuinka löytää sopiva sijoitus t(x)? Löytyy
lukuisia sääntöjä, mutta yleispätevää ei. Kannattaa
yrittää tunnistaa sopiva kokonaisuus integroitavasta
funktiosta.
∫ Esimerkkejä tyypillisistä sijoituksista:
(ax+b) µ dx:
kokeillaan t = ax+b, dt = adx, joten
∫ ∫
(ax+b) µ dx =
t µdt
a
= tµ+1 (ax+b)µ+1
+C = +C
a(µ+1) a(µ+1)
Esim. ∫ (5x−6) 6 dx. Sijoitetaan t = 5x−6,
dt = 5dx ⇒ dx = dt/5, ja
∫ ∫
(5x−6) 6 dx = t 61 5 dt = 1 1
57 t7 +C = 1
35 (5x−6)7 +C
∫Viimeisessä √ vaiheessa sijoitetaan x takaisin.
a2 −x 2 dx:
kokeillaan x = asint, dx = acostdt. (Miksi tämä sijoitus?
Syy: √ √
a 2 −x 2 = a 2 −a 2 sin 2 t = |acost|.)
∫ √a2 ∫
−x 2 dx = acostacostdt
= a 2 ∫
= a2
= a2
2
= a2
2
cos 2 tdt = a2
2
∫
(1+cos2t)dt
2 (t− 1 2 sin2t)+C
(arcsin x a − 1 2 sin(2arcsin x )
a ) +C
(
arcsin x a + x √ )
1− x2
a a 2 +C
22

missä viimeisessä käytettiin cos2t = 2cos 2 t−1 ja
sin2t = 2sintcost = 2sint √ ∫ √ 1−sin 2 t.
a2 +x 2 dx:
√
Tässä toimii x = asinht, sillä 1+sinh 2 x = coshx
(vertaa ∫ edelliseen).
1
e x +e
dx: −x
Kokeillaan y = e x , dy = e x dx ja
∫ ∫
1
e x +e −xdx = 1 1
y +1/y y dy
∫
1
=
1+y 2dy = arctany +C = arctanex +C
∫ √
3x 1−2x2 dx:
Kokeillaan u = 1−2x 2 , du = −4xdx ⇒ xdx = − 1 4 du
∫
3x √ 1−2x 2 dx = − 3 ∫ √udu
4
= − 3 2
43 u3/2 +C = − 1 2 (1−2x2 ) 3/2 +C
Huom: sijoitukset eivät useinkaan ole yksikäsitteisiä.
Esim. yllä voidaan kokeilla myös t = √ 1−2x 2 ,
dt = −2x(1−2x 2 ) −1/2 dx = − 2x t dx ⇒ xdx = −1 2 tdt:
∫
3x √ ∫
1−2x 2 dx = 3t(− 1 2 t)dt
= − 1 2 t3 +C = − 1 2 (1−2x2 ) 3/2 +C
Vinkki: juurilausekkeen sisältävässä integraalissa
kannattaa kokeilla uudeksi muuttujaksi joko juuren
sisäpuolta ∫ tai juurilauseketta kokonaisuudessaan
√dx
1+x
:
Kokeillaan s = √ 1+x, ds = 1 2 (1+x)−1/2 dx ja
∫ ∫
dx
√ = 2ds = 2s+C = 2 √ 1+x+C
1+x
Usein juurilausekkeita sisältävät funktiot eivät ole
∫kuitenkaan integroitavissa alkeisfunktioiden avulla.
√ x+2
x+1+1
dx:
sijoitus t = √ x+1 ⇒ x = t 2 −1, dx = 2tdt:
∫ ∫
x+2 t 2 −1+2
√ dx = 2tdt
x+1+1 t+1
∫ t 3 +t
= 2
t+1 dt
Koska rationaalilausekkeen osoittaja on korkeampaa
kertalukua kuin nimittäjä, voimme “jakaa” lausekkeen
muotoon polynomi + jakojäännös. Tästä tarkemmin
rationaalifunktioiden integroinnin yhteydessä.
Tarkistamalla nähdään että integraali on
= 2
∫ (
t 2 −t+2− 2
t+1
)
dt
= 2( 1 3 t3 − 1 2 t2 +2t−2ln(t+1)+C
= 2 3 (x+1)3/2 −(x+1)+4(x+1) 1/2
−4ln( √ x+1+1)+C
4.2.3 Osittaisintegrointi
Integroimalla tulon derivointisäännön
d
dx [f(x)g(x)] = f′ (x)g(x)+f(x)g ′ (x)
saamme osittaisintegrointisäännön
∫
∫
f ′ (x)g(x)dx = f(x)g(x)− f(x)g ′ (x)dx. (4.11)
Sovelletaan osittaisintegrointia integraaliin ∫ xlnxdx.
Olkoon säännön (4.11) f ′ (x) = x ja g(x) = lnx. Silloin on
f(x) = 1/2x 2 ja g ′ (x) = 1/x ja saamme
∫
xlnxdx = 1 2 x2 lnx− 1 ∫
x 2 1 2 x dx
= 1 2 x2 lnx− 1 ∫
xdx
2
= 1 2 x2 lnx− 1 4 x2 .
Kuten nähtiin, funktiot “f” ja “g” täytyy valita
huolellisesti että osittaisintegrointi johtaisi helpommin
ratkeavaan integraaliin! Väärä valinta johtaa vain
huonompaan ∫ lopputulokseen.
Esim. arctanxdx. Valitaan nyt g(x) = arctanx ja
f ′ (x) ∫ = 1! Tästä seuraa g ′ (x) = ∫1/(1+x 2 ) ja f(x) = x, ja
x
arctanxdx = xarctanx−
1+x 2dx =
xarctanx− 1 2 ln(1+x2 )+C
missä x/(1+x 2 ) on muotoa 1 2 u′ (x)/u(x). Tapaus f ′ = 1
on yleisesti ∫ käytetty osittaisintegroinnissa.
Esim. lnxdx: valitaan jälleen f ′ = 1, g = lnx, jolloin
f = ∫ x, g ′ = 1/x, ja ∫
lnxdx = xlnx− x 1 dx = xlnx−x+C.
∫ x
Esim. xcosxdx: valitaan f ′ = cosx, g = x, jolloin
f = ∫ sinx, g ′ = 1 ja pääsemme ∫ eroon x:n potenssista. Siis
xcosxdx = xsinx− 1sinxdx = xsinx+cosx+C.
Esimerkin vuoksi katsotaan mitä tapahtuisi jos valitaan
f ′ = x, g = cosx: nyt f = x 2 /2, g ′ = −sinx ja
∫
xcosxdx = 1 2 x2 cosx+∫ 1
2 x2 sinxdx
Saatu integraali on pahempi kuin alkuperäinen! Funktiot
siis kannattaa valita huolella.
Osittaisintegrointia ∫ voi joutua toistamaan:
Esim. x 2 sinxdx:kuten edellä, otetaan f ′ = sinx,
g = x 2 , joten f = −cosx, g ′ = 2x ja
23

∫
∫
x 2 sinxdx = −x 2 cosx+
2xcosxdx =
−x 2 cosx+2xsinx+2cosx+C
missä saatu integraali laskettiin jo edellä.
Yleisesti: ∫ Muotoa∫
∫
x m sinxdx, x m cosxdx, x m e x dx
olevat integraalit voidaan laskea osittaisintegroimalla m
kertaa ∫
Esim. sin 2 xdx: otetaan
f ′ ∫= g = sinx ⇒ f = −cosx, ∫g ′ = cosx ja
sin 2 xdx = −cosxsinx+ cos 2 xdx = −cosxsinx+
∫
∫
(1−sin 2 x)dx = −cosxsinx+x− sin 2 xdx
Saimme siis alkuperäisen integraalin, joka voidaan
ratkaista yhtälöstä:
∫
sin 2 xdx = 1 2 (−cosxsinx+x)+C
(Tämän olisi nähnyt nopeamminkin käyttämällä
sin 2 x = 1 2 (1−cos2x))
Yleisemmin: tyyppiä ∫ sin n xdx olevat integraalit voidaan
laskea palautuskaavan avulla: valitaan f ′ = sinx,
g = sin n−1 x, joten f = −cosx, g ′ = (n−1)sin n−2 xcosx
∫
sin n xdx
∫
= −cosxsin n−1 x+(n−1) cos 2 xsin n−2 xdx
∫
= −cosxsin n−1 x+(n−1) (1−sin 2 x)sin n−2 xdx
∫
= −cosxsin n−1 x+(n−1) sin n−2 xdx
∫
−(n−1) sin n xdx
Saimme siis jälleen alkuperäisen integraalin.
Ratkaisemalla ∫ se saamme
sin n xdx = − 1 n cosxsinn−1 x+ n−1 ∫
sin n−2 xdx
n
Näin siis sin n x:n integraali saatiin palautettua sin n−2 x:n
integraaliksi. Toistamalla tätä päästään aina n = 1 tai 0,
ja sin 1 x ja sin 0 x integraalit tunnetaan.
Samalla menetelmällä saamme cos n x:n integraalille
palautuskaavan.
Näin ∫ esim.
sin 4 xdx = − 1 4 cosxsin3 x+ 3 ∫
sin 2 xdx =
4
− 1 4 cosxsin3 x+ 3 4 (−1 2 cosxsinx+ 1 ∫
sin 0 xdx) =
2
usein integroida standardisijoituksella
Tällöin
t = tan x 2
dt = (1+tan 2 x 2 )1 2
dx ⇒ dx =
2 1+t 2dt,
cosx = cos2 x 2 = cos2 x 2 −sin2 x 2
= cos 2 x 2 (1−tan2 x 2 ) = 1−tan2 x 2
1+tan 2 x 2
sinx = 2sin x 2 cos x 2 = 2tan x x 2 cos2 2
tan x 2
= 2
1+tan 2 x = 2t
1+t
2
2
(4.12)
= 1−t2
1+t 2
Tällä ratkeavat kaikki sinx, cosx rationaalifunktiot.
Esim: ∫ ∫
1 1+t
2
∫
sinx dx = 2 1
2t 1+t 2dt = dt = ln|t|+C =
t
ln|tan x 2 |+C
Helpompia sijoituksia usein kuitenkin ovat t = sinx,
t = cosx, t = tanx, joita voi myös kokeilla.
Monet trigonometrisia funktioita sisältävät integraalit
voidaan laskea helpommin kompleksilukujen ja Eulerin
kaavan avulla:
cosx = 1 2 (eix +e −ix ) (4.13)
sinx = 1 2i (eix −e −ix ) (4.14)
e ix = cosx+isinx (4.15)
Näiden käyttö nojautuu siihen että e x :n integraalit ovat
helppoja laskea. Imaginääriyksikö i on vakio, joka
toteuttaa i 2 = −1. Tästä puhutaan tarkemmin
kompleksilukujen yhteydessä.
Esim. ∫
sinaxcosbxdx
=
∫ (
e iax −e −iax
∫
2i
)
e ibx +e −ibx
dx
2
= 1 (e i(a+b)x +e i(a−b)x −e −i(a−b)x −e −i(a+b)x )dx
4i
(
)
= 1 e i(a+b)x
4i i(a+b) + ei(a−b)x
i(a−b) + e−i(a−b)x + e−i(a+b)x +C
i(a−b) i(a+b)
= − 1 cos(a+b)
− 1 cos(a−b)
+C
2 a+b 2 a−b
− 1 4 cosxsin3 x− 3 8 cosxsinx+ 3 8 x+C
4.2.4 Trignonometristen funktioiden integrointi:
jos integroitava funktio sisältää sinx, cosx, se voidaan
24

4.2.5 Rationaalifunktion integrointi
Viimeisenä menetelmänä tarkastelemme muotoa
R = P n
Q m
olevien murtolausekkeiden integrointia, kun P n ja Q m
ovat asteen n ja m polynomeja (siis suurimmat niissä
esiintyvät potenssit ovat m ja n). Jos osoittaja on
asteluvultaan suurempi kuin nimittäja, voidaan tehdä
polynomien jakolasku ja päädytään lausekkeeseen
R = T n−m + S
Q m
,
missä T n−m on astetta n−m oleva osamääräpolynomi ja
S jakojäännöspolynomi. Polynomi T n−m on helppo
integroida, joten jäljelle jää jälleen muotoa P n /Q m oleva
murtofunktio, missä nyt on n < m.
Kaikki muotoa
R = P n
Q m
; (n < m)
olevat rationaalifunktiot voidaan integroida, mikäli
tunnetaan polynomin Q m nollakohdat. Tällöin
rationaalifunktio voidaan hajoittaa osamurtoihin.
Polynomien jakolasku
Kuinka polynomit jaetaan? Esim. jakokulmassa, kuten
numerotkin. Esim:
x+6
x−1 x 2 +5x−3
– x 2 −x
6x−3
– 6x−6
3
Jakolaskun tulos on siis
P(x)
Q(x) = x2 +5x−3
=?
x−1
x 2 +5x−3
x−1
= x+6+ 3
x−1
mikä on helppo tarkistaa laventamalla.
Toinen esimerkki:
2x 4 +6x 2 +2
x 2 +x+1
=?
2x 2 −2x+6
x 2 +x+1 2x 4 +6x 2 +2
– 2x 4 +2x 3 +2x 2
−2x 3 +4x 2 +2
– −2x 3 −2x 2 −2x
6x 2 +2x+2
– 6x 2 +6x+6
−4x−4
Siis
? = 2x 2 −2x+6+ −4x−4
x 2 +x+1
Polynomi in välittömästi integroitavissa. Entä
jakojäännöksenjä jäävä rationaalifunktio?
Jako osamurtoihin
1-kertaiset reaalijuuret: Oletetaan että yhtälöllä
Q(x) = 0 on vain 1-kertaisia reaalijuuria; olkoon nämä
juuret x 1 , x 2 , ...x n (huom: Q:n asteluku on n, joten
löytyy n juurta.)
Tällöin voimme jakaa rationaalilausekkeen osamurtoihin
n
P(x)
Q(x) = ∑ A i
(4.16)
x−x i
i=1
missä A i ovat vakioita. Selvästi oikea puoli voidaan nyt
integroida.
Esim: jaetaan 4/(x 2 −1) osamurtoihin: nimittäjän
nollakohdat ovat x = ±1, mitkä ovat reaalisia ja
yksinkertaisia (x 2 −1 = (x−1)(x+1)). Siis
4
x 2 −1 = a
x−1 + b
x+1
ja määräämme vakiot a ja b siten, että yhtälö on
voimassa kaikilla muuttujan x arvoilla. Kerrotaan yhtälö
(x+1)(x−1):llä, joten
4 = a(x+1)+b(x−1) = (a+b)x+(a−b)
Jotta tämä olisi yhtäsuuri alkuperäisen lausekkeen kanssa,
täytyy olla a+b = 0 ja a−b = 4, joten a = 2 ja b = −2.
Osamurtojen avulla integraali
∫
4
x 2 −1 dx.
on heti laskettavissa:
∫ ∫ ∫
4
x 2 −1 dx = 2
x−1 dx− 2
x+1 dx
= 2ln|x−1|−2ln|x+1|+C
Sovelletaan edellistä integraaliin
= ln(x−1) 2 −ln(x+1) 2 +C
( ) 2 x−1
= ln +C.
x+1
F(x) =
∫ x 3 −2
x 2 −1 dx
Osoittaja on korkeampaa kertalukua, joten tehdään ensin
polynomien jakolasku. Nähdään että
x 3 −2 x−2
x 2 = x+
−1 x 2 −1
25

Jäännöslausekkeen nimittäjän nollakohdat ovat x = ±1,
1-kertaisia. Siis voimme jakaa
Siis
x−2 a
x 2 =
−1 x−1 + b
x+1 ⇒
x−2 = a(x+1)+b(x−1) = (a+b)x+(a−b)
F(x) =
⇒ a+b = 1, a−b = −2
⇒ a = −1/2, b = 3/2
∫ [
x+ −1/2
x−1 + 3/2 ]
dx
x+1
= 1 2 x2 − 1 2 ln|x−1|+ 3 2 ln|x+1|+C
= 1 2 x2 + 1 ∣ ∣∣∣
2 ln (x+1) 3
x−1 ∣ +C
Moninkertainen juuri: Yleisemmässä tapauksessa
polynomilla voi olla moninkertaisia juuria (joiden edelleen
oletamme olevan reaalisia). Yleisesti polynomi Q(x)
voidaan kirjoittaa muotoon
Q(x) = A(x−x 1 ) n1 (x−x 2 ) n2 ...
missä x i ovat polynomin nollakohtia, n i nollakohdan x i
kertaluku ja A vakio. Tässä tapauksessa
osamurtolausekkeella on yleinen muoto
n
P(x)
1
Q(x) = ∑
k=1
n
a
2
k
(x−x 1 ) k + ∑
missä a k , b k ...ovat vakioita.
Esim.
k=1
b k
(x−x 2 ) k +...
1
(x−1) 2 (x+2) = a 1
x−1 + a 2
(x−1) 2 + b
x+2
x = 1 on 2-kertainen nollakohta, ja x = −2 1-kertainen.
Määrätään vakiot kertomalla (x−1) 2 (x−2):lla:
1 = a 1 (x−1)(x+2)+a 2 (x+2)+b(x−1) 2
Tästä voidaan ratkaista vakiot vaatimalla että yhtälön
kaikkien x:n potenssien kertoimet ovat samat molemmin
puolin (x 0 ,x 1 ,x 2 ). Kuitenkin usein nopeampi menetelmä
on sijoittaa x ↦→ x i :
x = 1 ⇒ 1 = a 2 (1+2) ⇒ a 2 = 1 3
x = −2 ⇒ 1 = b(−2−1) 2 = b9 ⇒ b = 1 9
a 1 saadaan esim. x 2 :n kertoimista: 0 = a 1 +b ⇒ a 1 = − 1 9 .
Esimerkki: integroidaan
∫ 3x 2 −37x+83
F(x) =
(x−2) 3 (x+5)
Osoittaja (2) on alempaa astetta kuin nimittäjä (4), joten
voidaan jakaa suoraan osamurtoihin. Nimittäjän
nollakohdat ovat
x 1 = 2,
x 2 = −5,
3-kertainen
1-kertainen
Siis
3x 2 −37x+83
(x−2) 3 (x+5) = a 1
x−2 + a 2
(x−2) 2 + a 3
(x−2) 3 + b
x+5
Lavennetaan nimittäjät pois:
3x 2 −37x+83 = a 1 (x−2) 2 (x+5)
+a 2 (x−2)(x+5)+a 3 (x+5)+b(x−2) 3
Tästä tulee 4 yhtälöä 4 vakiolle (x:n potenssit x 0 ...x 3 ),
jotka ovat suoraan ratkaistavissa.
Määrätään kuitenkin vakiot jälleen käyttämällä
“pikamenetelmää” ja sijoitetaan nollakohdat:
x = 2: 3·4−37·2+83 = a 3 7 ⇒ a 3 = 3
x = −5: 3·25+37·5+83 = −b7 3 ⇒ b = −1
Muut vakiot vaativat muita ehtoja, helpoin lienee x:n
korkeimman potenssin kerroin, mikä voidaan lukea
suoraan:
x 3 : 0x 3 = a 1 x 3 +bx 3 ⇒ a 1 = −b = 1
Jäljelle jää a 2 . Tämän saa esim x 2 :n kertoimesta tai
sijoittamalla esim.
x = 0: 83 = a 1 4·5−a 2 2·5+a 3 5−b8 ⇒ a 2 = −4
Siis saimme a 1 = 1, a 2 = −4, a 3 = 3, b = 1, ja
F(x) =
∫ [ 1
x−2 + −4
(x−2) 2 + 3
(x−2) 3 + −1
x+5
= ln|x−2|+4(x−2) −1 − 3 2 (x−2)−2
=
−ln|x+5|+C
4
x−2 − 3 ∣ 1 ∣∣∣
2(x−2) 2 +ln x−2
x+5∣ +C
Kompleksijuuret: Yleisimmässä tapauksessa polynomin
Q(x) juuret ovat kompleksisia. Esim.
x 2 +1 = 0 ⇒ x = ±i
]
dx
Kompleksijuurisen rationaalifunktion integraalin voi
laskea yllä olevia sääntöjä noudattaen, ottaen vain
huomioon että joistain kertoimista tulee kompleksilukuja.
Näitä varten voidaan myös johtaa omat
integrointisäännöt. Tätä ei käsitellä MAPU I:llä
tarkemmin.
4.3 Määrätty integraali
Tarkastellaan suljetulla välillä [a,b] määriteltyä
paloittain jatkuvaa rajoitettua funktiota f(x). Jaetaan
väli [a,b] n yhtäsuureen h-mittaiseen osaan,
ja merkitään
ts.
h = b−a
n
(4.17)
x k = a+kh, (4.18)
x 0 = a,x 1 = a+h,x 2 = a+2h,...,x n = b. (4.19)
26

D
N
B N
) "
B N "
N = N N N $
Kuva 4.1 Porrassumma
> N %
Jakoon (4.19) liittyvä porrassumma on
n−1
∑
S n = h f(x k ). (4.20)
k=0
Geometrisesti summan jokainen termi
A k = hf(x k )
esittää suorakaiteen, leveydeltään h ja korkeudeltaan
f(x k ), pinta-alaa. Koska jakovälin pituus h on
positiivinen, pinta-ala A k on positiivinen jos f(x k ) on
positiivinen ja negatiivinen jos f(x k ) on negatiivinen.
Summa S n (4.20) approksimoi siten välillä [a,b] käyrän
y = f(x) ja x-akselin väliin jäävää pinta-alaa siten, että
x-akselin yläpuolinen osa lasketaan positiivisena ja
alapuolinen osa negatiivisena. Tämä approksimaatio on
ilmeisestikin sitä tarkempi mitä tiheämpi jako on, ts. mitä
pienempi on h tai mitä suurempi on n.
Voidaan osoittaa, että jaon (4.19) tihentyessä summa
(4.20) lähestyy äärellistä raja-arvoa, ts. raja-arvo
S = lim
n→∞ S n
on olemassa ja äärellinen. Tätä raja-arvoa sanotaan
funktion f(x) määrätyksi integraaliksi välillä [a,b]. Sitä
merkitään kuten
∫ b
a
f(x)dx = lim
n→∞ h n−1
∑
f(x k ). (4.21)
k=0
Geometrisesti määrätty integraali on ilmeisestikin käyrän
y = f(x) ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala.
4.3.1 Määrätyn integraalin ominaisuuksia
Tyhjä integroimisväli
Olkoon integrointiväli [a,a], ts. se sisältää vain yhden
pisteen. Tällöin on
∫ a
a
f(x)dx = 0, (4.22)
sillä integraalin määritelmässä (4.21) jakoväli
h = (a−a)/n on aina nolla riippumatta jakopisteiden
lukumäärästä.
Integrointirajojen vaihto
Määrittelimme (4.21) integraalin ”vasemmalta oikealle”eli
integroimisvälissä [a,b] oli a ≤ b. Tällöin jakoväli
h = (b−a)/n on positiivinen. Voimme myös ajatella
integrointia ”oikelta vasemmalle”, jolloin jakovälistä
(4.17) tulee negatiivinen. Tämän huomioonottaen
määrittelemme
∫ b
a
f(x)dx = −
∫ a
b
f(x)dx. (4.23)
Additiivisuus
Jos c on integroimisvälin [a,b] sisäpiste, nähdään
määritelmästä (4.21) että voimme koostaa integraalin
paloista, kuten
∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx. (4.24)
Ottaen huomioon rajojen vaihto-ominaisuuden (4.23)
näemme, että additiivisuus (4.24) on voimassa olivatpa a,
b ja c mitä tahansa funktion määrittelyalueen pisteitä.
Lineaarisuus
Integraalin määritelmästä (4.21) nähdään, että integrointi
on lineaarinen operaatio, ts.
∫ b
a
[αf(x)+βg(x)]dx = α
∫ b
a
f(x)dx+β
∫ b
a
g(x)dx.
(4.25)
Integroimismuuttujan vaihto
Integraalin ∫ b
f(x)dx arvo (käyrän ja x-akselin välinen
a
pinta-ala) ei ilmeisestikään riipu muuttujasta x. On siis
aivan samantekevää, millä symbolilla funktion
argumenttia merkitään, ts.
∫ b
a
f(x)dx =
∫ b
4.3.2 Kertymäfunktio
Funktion f kertymäfunktio K on
K(x) =
∫ x
a
a
f(s)ds. (4.26)
f(t)dt. (4.27)
Ilmeisestikin pisteessä a kertymäfunktio on nolla, sillä
K(a) =
∫ a
a
f(t)dt = 0.
Kertymäfunktio (4.27) ilmoittaa käyrän ja x-akselin
välisen pinta-alan kohdasta a kohtaan x. Annetaan
kertymäfunktion argumentille (pieni) lisäys ∆x.
27

Vastaava kertymäfunktion muutos
∆K = K(x+∆x)−K(x)
on silloin suuruudeltaan likimain kuvan 4.2 varjostetun
alueen pinta-ala ∆A = ∆xf(x), ts.
K(x+∆x)−K(x) ≈ ∆xf(x).
B N
N , )
= N N , N
Kuva 4.2 Kertymäfunktion derivaatta
Tämä relaatio on ilmeisestikin sitä tarkempi mitä
pienempi ∆x on, joten saamme
eli
K(x+∆x)−K(x)
lim = f(x)
∆x→0 ∆x
K ′ (x) = d
dx
∫ x
a
f(t)dt = f(x). (4.28)
Täten siis kertymäfunktio K(x) on f(x):n
integraalifunktio, katso (4.1), riippumatta määrätyn
integraalin alarajasta a. Kertymäfunktiokin on siis
muotoa
K(x) =
∫ x
a
f(t)dt = F(x)+C.
Integroimisvakio C määräytyy nyt alkuehdosta
eli
K(a) = F(a)+C = 0
C = −F(a),
joten saamme yhteyden määrätyn integraalin
(kertymäfunktion) ja integraalifunktion välille:
∫ b
a
f(x)dx = F(b)−F(a). (4.29)
Tämä ominaisuus on ilmeisestikin voimassa olipa F mikä
hyvänsä funktion f integraalifunktio.
Määrättyjä integraaleja laskettaessa käytetään usein
sijoitusmerkintää:
∫ b
a
f(t)dt = /
b F(t) = F(b)−F(a). (4.30)
a
Esim.
Esim.
∫ 2π
0
Huom: koska d
mukaan
d
dx
Esim.
∫ g(x)
a
∫ b
a
e x dx = /
b e x = e b −e a
a
sinxdx = − 2π
/ cosx = −cos2π +cos0 = 0
0
d
dx
∫ x
dx a
f(t)dt = f(x), on ketjusäännön
f(t)dt = dg d
dxdg
∫ 2x
0
∫ g
a
f(t)dt = f(g(x))g ′ (x)
sinxdx = sin(2x) d2x
dx = 2sin2x
Epäoleellinen integraali on määrätty integraali jossa
ainakin toinen raja = ∞:
∫ ∞
a
f(x)dx ≡ lim
L→∞
∫ L
a
f(x)dx (4.31)
Jos raja-arvo on olemassa, sanotaan että integraali
suppenee, muuten hajaantuu.
Esim.
∫ b
a
∫ ∞
1
b/
1
x 2dx =
∫ ∞
1
a
∞/
1
x 2dx =
−1
x = 1 a − 1 b
1
−1
x = 1
1
x dx = ∞ / lnx hajaantuu
1
Esim.
∫ ∞
dx ∞/
√ = 2 √ x = lim (2√ L−2) hajaantuu
1 x 1
L→∞
∫ 1
0
dx 1/
√ = 2 √ x = 2 x 0
Huom: kuten edellä, määrätty integraali voi olla olemassa
vaikka integroitava → ∞ jossain pisteessä!
Esim. Seuraava kaunis tulos pätee (ei näytetä tässä)
∫ ∞
−∞
Esim. Oletetaan p ≠ −1:
∫ ∞
1
x p dx =
∞/
1
e −x2 = √ π
x p+1
p+1 = 1
p+1 ( lim
L→∞ Lp+1 −1)
28

∫ 1
0
{ ∞ jos p > −1
=
1/(p+1) jos p < −1
x p dx =
1/
0
x p+1
p+1 = 1 (1− lim
p+1 a→0 ap+1 )
{ 1/(p+1) jos p > −1
=
∞ jos p < −1
4.3.3 Muuttujan vaihto määrätyssä integraalissa
Integrointimenetelmät määrätylle integraalille ovat samat
kuin integraalifunktiollekin, mutta lisäksi tulee ottaa
huomioon kuinka integroimisalueen rajat käyttäytyvät!
Integraalissa
I =
∫ b
a
f(x)dx
sijoitetaan x = g(t), jolloin dx = g ′ (t)dt ja kun x = a tai
b, on
Siis
I =
∫ g −1 (b)
0
g −1 (a)
a = g(t a ) ⇒ t a = g −1 (a)
b = g(t b ) ⇒ t b = g −1 (b)
f(g(t))g ′ (t)dt =
∫ tb
t a
f(g(t))g ′ (t)dt (4.32)
Rajojen vaihto on helppo muistaa seuraavasti: jos x:n
rajat ovat a, b, niin korvataan ne vain niitä vastaavilla t:n
arvoilla.
Esim. I = ∫ 1√ 1−x2 dx:
0
sopiva sijoitus on x = sint, ja dx = costdt. Nyt kun
x = 0, on t = 0, ja kun x = 1 on t = π/2. Siis
∫ π/2 √ ∫ π/2
I = 1−sin 2 tcostdt = cos 2 tdt =
∫ π/2
0
π/2
/
1
2 (cos2t+1)dt = 1
2 (1 2 sin2t+t) = π 4
4.3.4 Määrätyn integraalin osittaisintegrointi
Kuten arvata saattaa, on osittaisintegrointisääntö
määrätylle integraalille
∫ b
a
Esim. I =
f ′ (x)g(x)dx = /
b f(x)g(x)−
a
∫ ∞
0
xe −x dx:
0
0
∫ b
a
f(x)g ′ (x)dx (4.33)
olkoon f ′ = e −x , g = ∫x, joten f = −e −x , g ′ = 1:
∞/ ∞
∞/
I = x(−e −x )− (−e −x )dx = (0−0)− e −x =
0
−(0−1) = 1
0
0
Esim. I =
∫ 1
0
lnxdx:
valitaan f ′ = 1 ja g = lnx, joten f = x ja g ′ = 1/x:
I = /
1 xlnx−
0
∫ 1
0
x 1 x dx = (0−0)− /
1 x = 1
Huomaa että tässä on käytetty “0ln0 = 0”, sillä
alna = 0.
lim
a→0
Derivointi parametrin suhteen
Usein näppärä keino integraalien sieventämisessä on
derivoida integroitavaa jonkun parametrin suhteen: jos
f(x,t) on kahden muuttujan funktio, voimme määritellä
jolloin
I(x) =
I ′ (x) =
∫ b
a
∫ b
a
f(x,t)dt
0
∂f(x,t)
dt
∂x
Tässä osittaisderivaatta ∂f(x,t)/∂x tarkoittaa että f
derivoidaan muuttujan x suhteen pitäen t vakiona.
Esim. halutaan integroida
∫ ∞
0
t 2 e −at dt
Tämän voisi integroida osittain, mutta vaihtoehtoisesti
voimme määritellä
I(a) ≡
I ′ (a) =
I ′′ (a) =
∫ ∞
0
∫ ∞
0
∫ ∞
0
e −at dt =
∞/
0
− e−at
a
(−te −at )dt = − 1 a 2
t 2 e −at dt = 1 a 3
= 1 a
Derivointi parametrin suhteen korvaa usein
osittaisintegrointia, mutta voi olla huomattavasti
nopeampi.
Käyrän pituus
Funktio y = f(x) määrittelee (x,y) -tason käyrän kun
x ∈ [a,b]. Kun x muuttuu dx:n verran, y muuttuu
dy = dy
dx = f′ (x)dx:n verran.
ds
dy
Kuva 4.3
dx
Tästä saadaan käyrän pituuden differentiaali
ds = √ (dx) 2 +(dy) 2 = √ 1+[f ′ (x)] 2 dx
ja siis koko käyrän (funktion kuvaajan) pituus
L =
∫ b
a
√
1+[f′ (x)] 2 dx
29

Esimerkki: olkoon y = √ 1−x 2 , kun 0 ≤ x ≤ 1 (ympyrän
neljännes). Mikä on kaaren pituus?
L =
=
=
=
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
√
1+y′ (x) 2 dx
√
(
−x 2dx
1+ √
1−x 2)
√
1+ x2
1−x 2dx
dx
√
1−x
2
= /
1 arcsin(x) = π
0 2
mikä on tietysti tunnettu tulos.
Pyörähdyskappaleen pinta-ala ja tilavuus
z
y
r
x
ja tilavuus
V =
= π
∫ R
−R
[√ ] 2dx
∫ R
π R2 −x 2 = π (R 2 −x 2 )dx
R/
(R 2 x− 1 3 x3 ) = 4 3 πR3
−R
Integroinnin apuvälineet
−R
Kun omat neuvot eivät riitä, voi turvautua apuvälineisiin.
Integraaleja on taulukoitu lukuisiin kirjoihin, joista paras ja
tunnetuin lienee Gradshteyn and Ryzhik: Table of Integrals,
Series, and Products.
Toinen mahdollisuus on käyttää symboliseen laskentaan tehtyjä
tietokoneohjelmia. Näistä tunnetuimpia ovat Maple ja
Mathematica. Nämä osaavat huomattavasti enemmän
integrointitemppuja kuin MAPUlla on kuvattu.
Jos näitä ei ole saatavilla, löytyy Mathematicaan pohjautuva
ilmaiseksi käytettävä “laskin” www-sivulta
www.wolframalpha.com (ainakin v. 2010). Tämäkin tuntee
kaikki integointitemput mitkä Mathematicakin, ja sen avulla
kannattaa muun muassa tarkistaa MAPUn kotitehtävät.
Oletetaan että käyrä r = f(x) > 0 pyörähtää x-akselin
ympäri. Kun rajoitutaan a ≤ x ≤ b, käyrä rajaa
pyörähdyskappaleen pinnan, päädyissä x = a, x = b
olevien ympyröiden kanssa. Nyt käyrän pyyhkäisemän
pinnan alan differentiaali on
joten alaksi saadaan
A =
dA = 2πrds = 2πf(x) √ 1+[f ′ (x)] 2 dx
∫ b
a
2πf(x) √ 1+f ′ (x) 2 dx+πf(a) 2 +πf(b) 2
Samoin pyörähdyskappaleen tilavuuden differentiaali on
(ympyräkiekon tilavuus)
ja tilavuudeksi tulee
dV = πr 2 dx = πf(x) 2 dx
V =
∫ b
a
π[f(x)] 2 dx
Esim. Ympyrän kaari r = √ R 2 −x 2 , −R ≤ x ≤ R,
pyörähtää x-akselin ympäri määritellen
pyörähdyskappaleen (mikä on tässä tapauksessa tietysti
pallo). Sen pinta-ala on
A =
=
∫ R
−R
∫ R
−R
2π √ (
R 2 −x
√1+
2 −x
) 2dx
√
R2 −x 2
2πRdx = 2πR /
R x = 4πR 2
−R
30

4.3.5 Numeerinen integrointi
puolisuunnikassäännöllä
Usein integraalifunktiota ei osata (tai voida) laskea, vaan
joudutaan turvautumaan integraalin numeeriseen
laskemiseen. Lasku perustuu määrätyn integraalin
tulkintaan pinta-alana, lasketaan siis porrassumman
kaltainen summa äärellisellä askelvälillä. Porrassumma
(4.20) ei kuitenkaan ole käytännössä suositeltava tapa
laskea integraalia, sillä se on hyvin tehoton.
Yksinkertaisin suositeltava tapa on käyttää ns.
puolisuunnikassääntöä: Olkoon laskettavana integraali
∫ b
a
f(x)dx
• Jaetaan integroimisväli (a,b) N:ään tasaväliin
x 0 ,x 1 ,...x N (tässä x 0 = a ja x N = b). Yhden välin
pituus on siis h = (b−a)/N.
y
f(x)
x0 x1 x2 xN
Kuva 4.4
• Approksimoidaan integraalia summaamalla kunkin
välin ala puolisuunnikkaan pinta-alan avulla:
∫ xi+1
x i
f(x)dx ≈ h 1 2 [f(x i)+f(x i+1 )]
f( x i+1 )
f( x i )
x i x i+1
Kuva 4.5 Puolisuunnikkaan ala
x
tässä x 1 = x i , x 2 = x i+1 ):
V(h) =
=
∫ x2
x 1
f(x)dx− h 2 [f(x 1)+f(x 2 )]
∫ x1+h
x 1
[f(x 1 )+f ′ (x 1 )(x−x 1 )
+ 1 2 f′′ (x 1 )(x−x 1 ) 2 +...
− h 2 [f(x 1)+[f(x 1 )+f ′ (x 1 )h
+ 1 ]
2 f′′ (x 1 )h 2 +...]
= f(x 1 )h+f ′ (x 1 ) 1 2 h2 + 1 2 f′′ (x 1 ) 1 3 h3
− h 2 [2f(x 1)+f ′ (x 1 )h+ 1 2 f′′ (x 1 )h 2 ]+O(h 4 )
= − 1
12 h3 f ′′ (x 0 )+O(h 4 )
Siis virhe yhden välin pinta-alassa on O(h 3 ). Koko
summassa virhe tulee siis olemaan
V = NO(h 3 ) = O(Nh 3 ) = O( 1
N 2)
sillä h = (b−a)/N = O(1/N).
Siis: jos lisäämme jakopisteiden määrää tekijällä 2
(N → 2N), virhe pienenee tekijällä 4.
Harjoitustehtävä: mikä virhe tulee jos arvoidaan
integraalia summalla suorakaiteita, eli
∫ xi+1
x i
f(x)dx = hf(x i ) ?
Hiven tarkempi tulos integroinnissa saadaan jos
käytetään puolisuunnikassäännön sijasta Simpsonin
sääntöä: siinä arvoidaan funktiota sovittamalla siihen
parabeli (toisen asteen käyrä). Tässä tapauksessa virhe
koko integraalissa on vain O(1/N 4 ).
Vielä hienostuneemmat menetelmät eivät jaa
integroimisaluetta tasaväleihin, vaan tihentävät jakoa
niissä kohdissa missä funktio muuttuu nopeimmin.
Lisätietoja numeerisesta integroinnista saa erinomaisesta
kirjasta Numerical Recipes (Cambridge University
Press), ja sen verkkosivulta www.nr.com. Tämä kirja on
jokaisen numeriikkaa harrastavan perusteos!
• Näin siis koko integraaliksi tulee
∫ b
a
f(x)dx ≈ h N−1
2 f(x ∑
0)+h f(x k )+ h 2 f(x N)
k=1
Kuinka suuri virhe tehdään? Tätä voidaan estimoida
kehittämällä yhden välin virhe Taylorin sarjaksi (olkoon
31

5. Kompleksiluvut
5.1 Lukualueen laajennus
Luonnolliset luvut N : 1,2,3,...
Luonnollisille luvuille on määritelty
• yhteenlasku: a+b ∈ N, kun a,b ∈ N.
• kertolasku: a·b ∈ N, kun a,b ∈ N.
Kysymys: Löydetäänkö aina sellainen x ∈ N, että
a+x = b kun a,b ∈ N?
Vastaus: ei aina (esim. a = 5,b = 2).
Laajennetaan lukualuetta lisäämällä 0 ja negatiiviset
luvut.
Kokonaisluvut Z : ...,−2,−1,0,1,2,...
Kokonaisluvuille on määritelty
• yhteenlasku: a+b ∈ Z, kun a,b ∈ Z.
• vähennyslasku: a−b = a+(−b) ∈ Z, kun a,b ∈ Z.
• kertolasku: a·b ∈ Z, kun a,b ∈ Z.
Vähennyslasku a−b vastaa kysymykseen: paljonko on x,
jos x+b = a.
Kysymys: Onko olemassa sellainen x ∈ Z, että a·x = b,
kun a,b ∈ Z?
Vastaus: ei aina (esim. a = 3,b = 2).
Laajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut.
Rationaaliluvut Q : a ;a,b ∈ Z,b ≠ 0
b
Rationaaliluvuille on määritelty
• yhteenlasku: a+b ∈ Q, kun a,b ∈ Q.
• vähennyslasku: a−b ∈ Q, kun a,b ∈ Q.
• kertolasku: a·b ∈ Q, kun a,b ∈ Q.
• jakolasku: a b
∈ Q, kun a,b ∈ Q ja b ≠ 0.
Jakolasku a b
vastaa kysymykseen: paljonko on x, kun
x·b = a?
Kysymys: Onko olemassa sellainen x ∈ Q, että x·x = a,
kun a ∈ Q ja a > 0?
Vastaus: ei aina (esim. a = 2).
Laajennetaan lukualuetta lisäämällä irrationaaliluvut.
Reaaliluvut R
Reaaliluvuille on määritelty
• yhteenlasku: a+b ∈ R, kun a,b ∈ R.
• vähennyslasku: a−b ∈ R, kun a,b ∈ R.
• kertolasku: a·b ∈ R, kun a,b ∈ R.
Reaalilukujen
• jakolasku: a b
∈ R, kun a,b ∈ R ja b ≠ 0.
joukosta löytyy myös vastaus kysymykseen
paljonko on x, kun x·x = a ja a ≥ 0.
Kysymykseen, onko olemassa sellainen x ∈ R, että
x·x = a kun a < 0, vastaus on edelleenkin kielteinen.
Laajennetaan lukualuetta kompleksilukuihin C lisäämällä
imaginääriluvut.
5.2 Kompleksilukujen esitys ja algebra
5.2.1 Imaginääriyksikkö
Määritellään imaginääriyksikkö i siten, että
i 2 = −1. (5.1)
Jos nyt a ∈ R on jokin reaaliluku, niin ia on
imaginääriluku, joka toteuttaa relaation
(ia) 2 = i 2 a 2 = −1·a 2 = −a 2 .
Kompleksiluku z ∈ C voidaan esittää mm. reaaliluvun ja
imaginääriluvun summana
z = a+ib, (5.2)
missä a,b ∈ R. Sanotaan, että a on luvun z reaaliosa ja b
sen imaginääriosa. Kompleksiluvun reaaliosaa ja
imaginäärisosaa merkitään kuten
Rez = a
Imz = b,
kun z = a+ib.
Tutustuimme kompleksilukuun 2. asteen yhtälön
ratkaisuissa: yhtälön
ratkaisut ovat
ax 2 +bx+c = 0
x = 1
2a (−b±√ b 2 −4ac)
Jos b 2 ≥ 4ac, ratkaisut ovat reaalisia.
Jos b 2 < 4ac, niin ( √ ) 2 < 0 ja
x = 1
2a (−b±√ −(4ac−b 2 )) = 1
2a (−b±i√ 4ac−b 2 )
Esim.
z 2 −2z +5 = 0
(5.3)
ratkaisut ovat
z = 1 2 (2±√ 4−20) = 1 2 (2±√ −16) = 1±2i.
Kompleksiluku z on (puhtaasti) reaalinen, jos Imz = 0 ja
(puhtaasti) imaginäärinen, jos Rez = 0.
Kompleksiluvut ovat yhtäsuuria, jos niiden reaali- ja
imaginääriosat ovat yhtäsuuria, ts. u = v tarkoittaa, että
Reu = Rev ja Imu = Imv. Kompleksiluku on nolla jos ja
32

vain jos sen reaali- ja imaginääriosat ovat nollia, ts. z = 0
on sama kuin Rez = Imz = 0.
Kompleksiluvun z = a+ib liittoluku eli
kompleksikonjugaatti z ∗ on
z ∗ = a−ib, (5.4)
ts. konjugoitaessa vaihdetaan imaginääriosan merkki.
Kompleksiluvun z normi |z| 2 on
|z| 2 = zz ∗ = (Rez) 2 +(Imz) 2 . (5.5)
Normi on siis aina ei-negatiivinen ja nolla vain jos luku
itse on nolla.
z ∗ on fyysikoiden käyttämä merkintä. Matemaatikot piirtävät
kompleksikonjugoidun suureen päälle viivan, ¯z.
√
Normiksi kutsutaan silloin tällöin myös suuretta |z| 2 , jolloin
siitä käytetään merkintää |z|.
Insinöörit puolestaan merkitsevät imaginääriyksikköä symbolilla j.
5.2.2 Algebra
Kompleksilukujen algebra saadaan soveltamalla
reaalilukujen algebraa summiin z = a+ib muistaen
kuitenkin, että i 2 = −1. Tarkastellaan kompleksilukuja
u = a+ib ja v = c+id.
Yhteenlasku
Summa u+v voidaan muodostaa kuten
eli
u+v = a+ib+c+id = (a+c)+i(b+d),
Re(u+v) = Reu+Rev
Im(u+v) = Imu+Imv.
Vähennyslasku
Vastaavasti vähennyslasku antaa
u−v = a+ib−c−id = (a−c)+i(b−d)
(5.6)
Jakolasku
Jakolasku on hieman monimutkaisempi. Lavennetaan
ensin murtolauseke u/v nimittäjän
kompleksikonjugaatilla, jolloin päädytään reaaliseen (ja
positiiviseen) nimittäjään:
u
v = a+ib
c+id = (a+ib)(c−id)
(c+id)(c−id) .
Normin laskusäännön (5.5) mukaan nimittäjä on nyt
ja osoittaja
|v| 2 = vv ∗ = (c+id)(c−id) = c 2 +d 2 ∈ R
(a+ib)(c−id) = ac+bd+i(bc−ad).
Tämän jälkeen jakolasku on helppoa, jaetaan vain
osoittajan reaali- ja imaginääriosat reaalisella
nimittäjällä, ts.
Re u v
Im u v
= (Reu)(Rev)+(Imu)(Imv)
|v| 2
= (Imu)(Rev)−(Reu)(Imv)
|v| 2 .
Vastaavasti kompleksiluvun z käänteisluku z −1 = 1 z
saadaan seuraavasti: jos z = x+iy, niin
z −1 1
=
x+iy = x−iy
(x+iy)(x−iy)
= x−iy
x 2 +y 2 = x
|z| 2 −i y
|z| 2
Esim. Luvun z = 1+2i käänteisluku on
z −1 = 1
1+2i = 1−2i
(1+2i)(1−2i) = 1 5 −i2 5
(5.9)
eli
Re(u−v) = Reu−Rev
Im(u−v) = Imu−Imv.
(5.7)
Esim. Olkoot u = 3−i2 ja v = −1+i. Laske u+v,
u−v, uv ja u/v
Yhteen- ja vähennyslasku antavat
Kertolasku
Kahden kompleksiluvun tulo puolestaan on
u+v = 3−i2+(−1+i) = 3−1+i(−2+1)
= 2−i
tai
u·v = (a+ib)(c+id)
= ac+(ib)(id)+(ib)c+a(id)
= ac+i 2 bd+i(bc+ad)
= (ac−bd)+i(ad+bc)
Re(uv) = (Reu)(Rev)−(Imu)(Imv)
Im(uv) = (Reu)(Imv)+(Rev)(Imu).
(5.8)
ja
u−v = 3−i2−(−1+i) = 3+1+i(−2−1)
= 4−3i,
Kertolasku taas antaa
uv = (3−i2)(−1+i) = −3+3i+2i−2ii
= −1+5i
33

O
H
N
H
ja jakolasku
u
v
= 3−2i
−1+i = 3−2i
−1+i · −1−i
−1−i = −3−3i+2i−2
1+i−i+1
= −5−i = − 5 2 2 − 1 2 i.
5.2.3 Kompleksitaso
Kompleksiluku voidaan esittää myös x,y-tason pisteinä
(vektoreina): z = x+iy ↦→ (x,y) = (Rez,Imz). Tässä siis
y-akselin yksikkönä on i.
Tasoa, jossa kompleksilukuja esitetään sanotaan
kompleksitasoksi. Tason akseleita kutsutaan yleensä
reaali- ja imaginääriakseleiksi. Kääntäen, jokaista
(kompleksi)tason pistettä vastaa kompleksiluku.
1
Kuva 5.1 Kompleksitaso
N O
4 A
Kuvassa 5.1 r on pisteen etäisyys origosta. Pythagoraan
teoreeman mukaan on
ja
Suure
r 2 = x 2 +y 2 = |z| 2
r = |z| = √ (Rez) 2 +(Imz) 2 = √ zz ∗ . (5.10)
|z| = √ zz ∗ = √ |z| 2
on kompleksiluvun z itseisarvo, luvun suuruus. Joskus
puhutaan myös modulista ja käytetään merkintää
|z| = modz.
Kun z on puhtaasti reaalinen, on
|z| = √ (Rez) 2 = |Rez|
eli itseisarvon määritelmä yhtyy tässä tapauksessa
reaaliluvun itseisarvon määritelmään.
Huom: kompleksikonjugointi z → z ∗ vastaa heijastusta
x-akselin suhteen: iy → −iy.
Kompleksitason pisteiden esityksessä voidaan käyttää
myös napakoordinaatteja, ns. polaariesitystä:
O H I E B
1
B
N H ? I B
Kuva 5.2 Polaariesitys
Polaariesityksessä (r,φ)
H ? I B H I E B
4 A
• r on kompleksiluvun itseisarvo |z| = modz,
• φ on luvun z vaihekulma eli argumentti.
Polaariesityksessa kompleksiluvun z = x+iy koordinaatit
ovat
r = |z| = √ x 2 +y 2
φ = arctan y x . (5.11)
Jotta reaali- ja imaginääriosien merkit saataisiin oikein,
on tällä kertaa arkustangenttia pidettävä
monikäsitteisenä funktiona. Kaikista mahdollisista
kulman φ = arctan y x
arvoista on valittava se, jolla sekä
cosφ ja x keskenään että sinφ ja y keskenään ovat saman
merkkisiä. Kääntäen napakoordinaateista (r,φ) päästään
luvun z = x+iy karteesisiin koordinaatteihin kaavoilla
34
ts.
x = rcosφ
y = rsinφ,
(5.12)
z = x+iy = rcosφ+irsinφ = re iφ (5.13)
missä viimeisessä kohdassa käytettiin Eulerin kaavaa
e iφ = cosφ+isinφ. (5.14)
Tämä osoitetaan myöhemmin.
Esim. Luku 2+2 √ 3i polaariesityksessä
Nyt moduli on
Vaihekulma on
Nyt siis
r = |2+2 √ 3i| = √ 4+12 = 4.
φ = arctan 2√ 3
2
= arctan √ 3 = π 3 .
2+2 √ 3i = 4e iπ/3 = 4cos π 3 +4isin π 3 .
Esim. Luku −2+2 √ 3i polaariesityksessä
Kuten edellä, moduli on r = 4. Vaihekulma on nyt
φ = arctan 2√ 3
−2 = arctan(−√ 3).

Tangetille on voimassa
tan(φ+nπ) = tanφ.
Jos siis φ = arctanx, niin on myös φ+nπ = arctanx.
Vaihekulmaa määrättäessä on näistä mahdollisista
arvoista valittava sellainen, että reaali- ja
imaginäärisosien merkit tulevat oikein. Nyt vaihekulma on
φ = arctan(− √ 3)+nπ = − π 3 +nπ.
Reaaliosa on negatiivinen ja imaginääriosa positiivinen,
joten vaihekulma on välillä π/2 ≤ φ ≤ π, ts. on valittava
n = 1 eli
Polaariesitys on siis
φ = 2π 3 .
−2+2 √ 3i = 4e i2π/3 = 4cos 2π 3 +4sin 2π 3 i.
Huom: polaariesitys helpottaa kompleksilukujen kerto- ja
jakolaskuja:
Olkoon z 1 = r 1 e iθ1 ja z 2 = r 2 e iθ2 . Nyt
z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(θ1+θ2)
normaalien eksponenttifunktioiden laskusääntöjen
mukaan. Samoin
z 1
z 2
= r 1
r 2
e i(θ1−θ2)
Myös potenssit ovat helppoja:
z n = (re iθ ) n = r n e inθ
Sen sijaan yhteen- ja vähennyslasku on hankala suorittaa
polaariesityksessä.
Huom: jos z = re iθ , niin z ∗ = re −iθ .
z ∗ z = re −iθ re iθ = r 2 = |z| 2 .
5.3 Kompleksifunktiot
Tarkastellaan funktiota f(z), joka kuvaa kompleksiluvun
z kompleksiluvuksi w, ts.
Sanotaan, että f(z) on
w = f(z).
• yksiarvoinen funktio, jos ja vain jos jokainen z
kuvautuu täsmälleen yhdeksi luvuksi w.
• moniarvoinen funktio, jos ja vain jos jotkin
muuttujan z arvot kuvautuvat useammaksi kuin
yhdeksi luvuksi w.
Esimerkiksi w = f(z) = z 2 on yksiarvoinen. Funktio
w = f(z) = z 1/2 on puolestaan moniarvoinen
(kaksiarvoinen), mm. piste z = 1 kuvautuu pisteiksi
w = ±1.
Ellei toisin mainita, funktio tarkoittaa jatkossa
yksiarvoista funktiota.
Tulkinta
Olkoon w = f(z) jokin kompleksifunktio. Kirjoitetaan
ja
Nyt
w = u+iv, u,v ∈ R
z = x+iy, x,y ∈ R.
w = u+iv = f(z) = f(x+iy),
ts. funktion reaali- ja imaginääriosat,
u = u(x,y) ja v = v(x,y),
ovat muuttujien x ja y funktioita. Voidaan siis ajatella,
että kompleksifunktio kuvaa kompleksitason (z-tason)
pisteen (x,y) toisen kompleksitason (w-tason) pisteeksi
(u,v).
Funktion reaali- ja imaginääriosat
Tehtävänä on nyt jakaa funktio f(z) reaali- ja
imaginääriosiinsa. Polynomien ja polynomien
murtolausekkeiden tapauksessa kompleksilukujen algebra
määrää jaon. Esimerkiksi w = z 2 jakautuu reaali- ja
imaginääriosiinsa kuten
joten
w = u+iv = (x+iy) 2 = x 2 −y 2 +2ixy,
u = x 2 −y 2
v = 2xy.
Usein halutaan jatkaa (analyyttisesti) reaalimuuttujan
reaaliarvoinen funktio kompleksitasoon siten, että
alkuperäinen ja jatkettu funktio yhtyvät reaaliakselilla.
Jos reaalifunktio f(x) voidaan esittää Taylorin sarjana
(3.3), korvataan sarjassa reaalimuuttuja x
kompleksimuuttujalla.
Koska kompleksiluvut noudattavat samoja laskusääntöjä
kuin reaaliluvut, säilyttää analyttinen jatkaminen
funktionaaliset ominaisuudet. Esimerkiksi jatkettu
eksponenttifunktio toteuttaa edelleenkin relaation
e z1+z2 = e z1 e z2 , z 1 ,z 2 ∈ C.
Samoin trigonometristen funktioiden yhteenlaskukaavat
ovat voimassa jatketuillekin funktioille.
35

Eulerin kaava
Tarkastellaan eksponenttifunktiota w = e z . Koska
jatkaminen säilyttää funktionaaliset ominaisuudet, on
w = e x+iy = e x e iy .
Tässä e x on vanha tuttu reaalinen eksponenttifunktio.
Selvitetään siis, mitä on e ix , kun x ∈ R.
Eksponenttifunktion Taylorin sarja (3.6) on
e z = 1+z + z2
2! + z3
3! + z4
4! + z5
+···. (5.15)
5!
Sijoitetaan tähän z = ix. Imaginääriluvun ix potenssit
ovat
(ix) 2 = i 2 x 2 = −x 2
(ix) 3 = ix(ix) 2 = −ix 3
(ix) 4 = ix(ix) 3 = −i 2 x 4 = x 4
(ix) 5 = ix(ix) 4 = ix 5
(ix) 2n
.
= (−1) n x 2n
(ix) 2n+1 = i(−1) n x 2n+1
.
Sijoitetaan nämä potenssit Taylorin kehitelmään (5.15),
jolloin saadaan
e ix
= 1+ix− x2
2! −ix3 3! + x4
4! +ix5 5! +···
= 1− x2
2! + x4
4! +···
+i
(x− +···)
x3
3! + x5
.
5!
Vertaamalla reaali- ja imaginääriosia Taylorin sarjoihin
(3.6) todetaan niiden esittävän kosini- ja sinifunktioita.
Päädymme Eulerin kaavaan
e ix = cosx+isinx. (5.16)
Yleisesti kompleksinen eksponenttifunktio on siten
e z = e x (cosy +isiny), (5.17)
kun z = x+iy.
Muistetaan, että polaariesityksessa (5.13) kompleksiluku
z voitiin kirjoittaa muotoon
z = rcosφ+irsinφ.
josta, Eulerin kaavaa (5.16) soveltaen saamme
standardimuodon polaariesitykselle:
z = re iφ , (5.18)
missä siis r = |z| ja φ = arctanImz/Rez. Kuten edellä
mainittiin, polaariesityksen avulla kompleksilukujen
kerto- ja jakolaskut ovat suoraviivaisia:
ja
z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(φ1+φ2)
= r 1 r 2 (cos(φ 1 +φ 2 )+isin(φ 1 +φ2))
z 1
z 2
= r 1
r 2
e i(φ1−φ2)
= r 1
r 2
(cos(φ 1 −φ 2 )+isin(φ 1 −φ2)).
Potenssifunktiot
Kertolaskun erikoistapauksena saadaan
potenssiinkorotukselle De Moivren kaavana tunnettu
lauseke
z n = r n (cosφ+isinφ) n = r n e niφ
= r n (cosnφ+isinnφ).
(5.19)
Polaariesityksen napakulma ei ole yksikäsitteinen. Jos
nimittäin φ on luvun z napakulma, niin on myös mikä
tahansa muotoa φ+n2π, n = 0,±1,±2,..., oleva kulma,
sillä Eulerin kaavan mukaan on
e i(φ+n2π)
= e iφ e i2nπ
= e iφ (cos2nπ +isin2nπ)
= e iφ (1+i0)
= e iφ .
Kompleksiluku z voidaan siis esittää kuten
z = re iφ+i2nπ , n = 0,±1,±2,....
Luvun z n:s juuri w = z 1/n on se luku mikä toteuttaa
w n = z. Käyttäen polaariesitystä
w = ρe iφ ,
nähdään että on oltava voimassa
ja
z = re iθ
ρ n = r ⇒ ρ = n√ r
e inφ = e iθ ⇒ nφ = θ +k2π, k ∈ N
koska e ik2π = 1. Siis saamme
z 1/n = n√ re i(θ/n+k2π/n) , k ∈ N (5.20)
Helposti nähdään, että vain luvut k = 0,1,...(n−1)
tuottavat erisuuruisen tuloksen:
e 0 ,e i2π/n ,e i4π/n ,...,e i2(n−1)π/n (5.21)
36

Toisaalta positiivinen kokonaisluku k voidaan aina
kirjoittaa muodossa k = qn+r, missä q on jakolaskun
k/n osamäärä ja r, 0 ≤ r < n, sen jakojäännös. On siis
voimassa
e i2kπ/n = e i2rπ/n e i2qπ = e i2rπ/n ,
joten jokainen muotoa exp(i2kπ/n), k ≥ 0, oleva
kompleksiluku on joukossa (5.21). Samalla tavoin voidaan
todeta, että myös luvut exp(i2kπ/n) kokonaisluvun k
ollessa negatiivinen ovat nekin joukossa (5.21). Siis,
kompleksiluvulla z = re iφ , r ≠ 0, on täsmälleen n
erilaista n:ttä juurta:
z 1/n = r 1/n e iφ/n ,r 1/n e i(φ+2π)/n ,
r 1/n e i(φ+4π)/n ,...,
r 1/n e i(φ+2(n−1)π)/n .
Esim. Luvun 2 neljännet juuret
Kirjoitetaan Eulerin kaavaa käyttäen
2 = 2e 0i = 2e 2πi = 2e 4πi = 2e 6πi .
(5.22)
Hyperboliset kosini- ja sinifunktiot määritellään kaavoilla
coshx = 1 2 (ex +e −x )
sinhx = 1 2 (ex −e −x ).
(5.24)
Myös tangenttifunktio voidaan kirjoittaa eksponenttien
avulla:
tanφ = sinφ
cosφ = eiφ −e −iφ
i(e iφ +e −iφ ) . (5.25)
Analogisesti hyperbolinen tangentti määritellään kuten
tanhx = sinhx
coshx = ex −e −x
e x +e−x. (5.26)
Trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden välillä
vallitsee yhteys
cosh iφ = cosφ
sinh iφ = isinφ
tanh iφ = itanφ.
(5.27)
Näemme, että neljännet juuret ovat
2 1/4 , 2 1/4 e πi/2 , 2 1/4 e πi ja 2 1/4 e 3πi/2 .
Eulerin kaavan mukaan on mm.
e πi/2 = cos 1 2 π +isin 1 2 π = i
Samoin voimme todeta, että exp(πi) = −1 ja
exp ( 3
2 πi) = −i. Kysytyt juuret ovat niin ollen
2 1/4 , 2 1/4 i, −2 1/4 ja −2 1/4 i.
Huomattakoon, että jonossa seuraava termi,
2 = 2exp(8πi), antaisi neljänneksi juureksi
2 1/4 exp(2πi) = 2 1/4 . Tämä esiintyy jo juurilistassamme.
Trigonometriset funktiot
Eulerin kaavan (5.16)
mukaan on
e iφ = cosφ+isinφ
e −iφ = cos(−φ)+isin(−φ) = cosφ−isinφ.
Ratkaistaan näistä yhtälöistä sini- ja kosinifunktiot:
(
cosφ = 1 2 ( e iφ +e −iφ)
sinφ = 1 2i e iφ −e −iφ) (5.23)
.
Voimme itse asiassa tästä lähtien pitää näitä lausekkeita
sini- ja kosinifunktioiden määritelminä. Nämä
määritelmät ovat voimassa siinäkin tapauksessa, että
argumenttikulma φ on kompleksinen.
37

Kompleksiluvun logaritmi:
lnz = w ⇔ z = e w
Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π , missä n ∈ Z, niin saadaan
w = lnz = lnr +iθ +in2π, n ∈ Z
Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio.
Helposti nähdään että e w = z kaikilla n.
Logaritmin päähaaraksi sanotaan valintaa n = 0 ja
0 ≤ θ < 2π:
lnz = lnr +iθ, 0 ≤ θ < 2π
Jos nyt z ∈ R, ja z on positiivinen (> 0):
lnz = lnr
Jos taas z on negatiivinen reaaliluku,
lnz = lnr +iπ
Esim. (päähaara-arvot):
ln(−1) = lne iπ ) = iπ
lni = lne iπ/2 = i π 2
ln(1+i) = ln( √ 1 2 +1 2 e iπ/4 ) = 1 2 ln2+iπ 4
6. Differentiaaliyhtälöistä
Newtonin toisen lain mukaan kappaleeseen vaikuttava
voima on yhtäsuuri kuin kappaleen massa kerrottuna sen
kiihtyvyydellä. Korkeudella h putoamisliikkeessä olevan
kappaleen kiihtyvyys on d2 h
dt 2 ja siihen vaikuttava
gravitaatiovoima −mg, kun kappaleen massa on m.
Newtonin lain mukaan on siis
tai
m d2 h
dt 2 = −mg
d 2 h
dt 2 = −g.
Tämä on korkeutta h hallitseva differentiaaliyhtälö, ts.
siinä esiintyy tuntemattoman funktion derivaattoja.
Differentiaaliyhtälön ratkaisemisella tarkoitetaan yhtälön
toteuttavan funktion etsimistä.
Putoamisliikkeen tapauksessa ratkaisu on helppo löytää.
Integroidaan differentiaaliyhtälön
d 2 h
dt 2 = −g
molemmat puolet, jolloin saadaan
dh
dt = −gt+c 1.
Tämä on edelleenkin differentiaaliyhtälö ja edelleenkin
voimme integroida sen puolittain. Päädymme ratkaisuun
h = − 1 2 gt2 +c 1 t+c 2 .
38
Terminologiaa
Putoamisliikkeen ratkaisussa on kummastakin
integroinnista aiheutuneet integrointivakiot otettu
mukaan. Vakioiden arvot määräytyvät alkuehdoista.
Tässä tapauksessa tieto kappaleen korkeudesta ja
nopeudesta alkuhetkellä t = 0 riittää.
Kun yhtälössä on jonkin muuttujan derivaattoja jonkin
toisen muuttujan suhteen, sanotaan edellistä muuttujaa
riippuvaksi ja jälkimmäistä riippumattomaksi (vapaaksi).
Riippuva muuttuja on siis sama kuin funktio mikä
halutaan ratkaista.
Jos differentiaaliyhtälössä esiintyy derivaattoja vain
yhden riippumattoman muuttujan suhteen, puhutaan
tavallisesta differentiaaliyhtälöstä. Jos yhtälössä on
osittaisderivaattoja useamman kuin yhden vapaan
muuttujan suhteen, kyseessä on
osittaisdifferentiaaliyhtälö.
Esimerkiksi differentiaaliyhtälö
d 2 x
dt 2 +adx dt +kx = 0

on tavallinen. Sen riippuva muuttuja on x ja riippumaton
t. Yhtälö
∂u
∂x + ∂u
∂y = x−3y
on puolestaan osittaisdifferentiaaliyhtälö, jonka
riippumattomat muuttujat ovat x ja y. u on tämän
yhtälön riippuva muuttuja.
Yhtälön kertaluku on korkein siinä esiintyvien
derivaattojen kertaluvuista. Esimerkiksi yhtälön
d 2 h
dt 2 = −g
kertaluku on 2.
Differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos riippuva muuttuja
(y) ja sen derivaatat esiintyvät yhtälön kaikissa termeissä
joko ensimmäisessä potenssissa tai ei ollenkaan. Jos
differentiaaliyhtälö ei ole lineaarinen, sen sanotaan olevan
epälineaarinen. Esimerkiksi yhtälö
on lineaarinen mutta yhtälöt
d 2 y
d 2 y
2
+y = x4
dx
dx 2 +siny = 0, y′ +2yy ′ = 0 ja y ′ = x y
ovat epälineaarisia.
Mikä tahansa kertaluvun n tavallinen differentiaaliyhtälö
on kirjoitettavissa muotoon
(
F x,y, dy )
dx ,..., dn y
dx n = 0.
Olkoon I jokin lukuväli ((a,b),[a,b],...).
Jos sijoitettaessa y = f(x) yhtälöön
F
(
x,y, dy )
dx ,..., dn y
dx n = 0
se toteutuu kaikilla x ∈ I, sanotaan että f(x) on ko.
yhtälön ratkaisu välillä I.
Esim. Yhtälön y ′′ − 2 x 2 y = 0 ratkaisu on f(x) = x 2 −x −1
Nyt derivaatat f ′ (x) = 2x+x −2 ja f ′′ (x) = 2−2x −3 ovat
määriteltyjä aina kun x ≠ 0. Sijoitetaan f yhtälöön,
jolloin saadaan
(2−2x −3 )− 2 x 2(x2 −x −1 )
= (2−2x −3 )−(2−2x −3 )
= 0.
Yhtälö siis toteutuu kun x ≠ 0 eli f(x) = x 2 −x −1 on
yhtälön ratkaisu alueissa (−∞,0) ja (0,∞).
Esim. φ(x) = c 1 e −x +c 2 e 2x on yhtälön y ′′ −y ′ −2y = 0
ratkaisu
Nyt φ ′ (x) = −c 1 e −x +2c 2 e 2x ja φ ′′ (x) = c 1 e −x +4c 2 e 2x .
Sijoitetaan nämä yhtälöön, jolloin
(c 1 e −x +4c 2 e 2x )−(−c 1 e −x +2c 2 e 2x )
−2(c 1 e −x +c 2 e 2x )
= (c 1 +c 1 −2c 1 )e −x +(4c 2 −2c 2 −2c 2 )e 2x = 0.
Tämä on ilmeisestikin voimassa koko reaaliakselilla, joten
φ(x) = c 1 e −x +c 2 e 2x on yhtälön ratkaisu välillä (−∞,∞)
olivatpa c 1 ja c 2 mitä tahansa vakioita.
Esim. Yhtälön (1+xe xy ) dy
dx +1+yexy = 0 ratkaisu
määräytyy yhtälöstä x+y +e xy = 0
Suoraviivainen menettely olisi ratkaista y yhtälöstä
x+y +e xy = 0 ja sijoittaa tämä differentiaaliyhtälöön.
Valitettavasti vain emme osaa tätä ratkaisua muodostaa.
Derivoidaan sen sijaan yhtälö x+y +e xy = 0
implisiittisesti, jolloin
1+ dy (
dx +exy y +x dy )
= 0.
dx
Uudestaan ryhmittäen voidaan kirjoittaa
(1+xe xy ) dy
dx +1+yexy = 0,
joten yhtälö x+y +e xy = 0 todellakin määrää
implisiittisesti ko. differentiaaliyhtälön ratkaisun.
Osoittautuu, että kertalukua n olevien
differentiaaliyhtälöiden ratkaisuihin liittyy aina n
mielivaltaista vakiota. Useimmissa tapauksissa vakiot
ovat määrättävissä, jos tunnetaan funktio ja sen n−1
ensimmäisen derivaatan arvot jossakin ratkaisuvälin I
pisteessä.
Differentiaaliyhtälöön
(
F x,y, dy )
dx ,..., dn y
dx n = 0
liittyvä alkuarvoprobleema kuuluu: Etsi välillä I se
differentiaaliyhtälön ratkaisu, joka pisteessä x 0 ∈ I
toteuttaa n ehtoa
y(x 0 ) = y 0
dy
dx (x 0) = y 1
.
d n−1 y
dx n−1(x 0) = y n−1 ,
missä suureet y 0 ,y 1 ,...,y n−1 ovat vakioita.
Nimitys alkuarvo on peräisin mekaniikasta, missä y(x 0 ) = y 0
tarkoittaa usein kappaleen paikkaa alkuhetkellä x 0 ja y ′ (x 0 ) = y 1
sen nopeutta samalla hetkellä.
39

Esim. Määrää se yhtälön y ′′ −y ′ −2y = 0 ratkaisu, joka
toteuttaa alkuehdot y(0) = 2 ja y ′ (0) = −3
Aiemmin näimme, että φ(x) = c 1 e −x +c 2 e 2x on ko.
yhtälön ratkaisu olivatpa vakiot c 1 ja c 2 mitä tahansa.
Määrätään nämä kertoimet siten, että alkuehdot
toteutuvat:
eli
φ(0) = c 1 e 0 +c 2 e 0 = 2
φ ′ (0) = −c 1 e 0 +2c 2 e 0 = −3,
c 1 +c 2 = 2
−c 1 +2c 2 = −3.
Yhtälöryhmän ratkaisuna saadaan c 1 = 7/3 ja c 2 = −1/3.
Alkuarvot toteuttava ratkaisu on siis
φ(x) = 7 3 e−x − 1 3 e2x .
tavallisimmat differentiaaliyhtälöt:
Seuraavat differentiaaliyhtälöt esiintyvät usein fysiikassa
ja muissa sovelluksissa:
d 2 y
dx 2
dy
= ay, a ∈ R ⇒ y = Ceax
dx
d 2 y
dx 2 = a2 y, ⇒ y = C 1 e ax +C 2 e −ax
= −a 2 y, ⇒ y = C 1 cos(ax)+C 2 sin(ax)
= D 1 e iax +D 2 e −iax
Viimeinen yhtälö on esim. harmonisen värähtelijän
yhtälö: jos kappale liikkuu x-akselia pitkin voiman
F = −kx vaikutuksessa, Newtonin lain mukaan (F = ma)
F = −kx = d2 x
dt 2
6.1 Ensimmäisen kertaluvun yhtälöt
Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöille voidaan
todistaa olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause:
Olkoot funktio f(x,y) ja sen osittaisderivaatta ∂f
∂x (x,y)
jatkuvia pisteen (x 0 ,y 0 ) sisältävässä suorakaiteessa
R = {(x,y)|a < x < b,c < y < d}.
Silloin alkuarvoprobleemalla
dy
dx = f(x,y), y(x 0) = y 0
on yksikäsitteinen ratkaisu φ(x) jollakin välillä
x 0 −h < x < x 0 +h, missä h > 0.
Vastaavanlaisia lauseita on olemassa myös korkeamman
kertaluvun differentiaaliyhtälöille.
Lause siis kertoo, milloin ratkaisu on löydettävissä ja että
ratkaisun löydyttyä ei tarvitse etsiä muita ratkaisuja
koska niitä ei ole olemassa. Graafisesti olemassaolo
tarkoittaa, että lauseen suorakaiteen jokaisen pisteen
kautta kulkee jokin ratkaisu ja yksikäsitteisyys sitä, että
kunkin pisteen (x 0 ,y 0 ) kautta kulkee täsmälleen yksi
ratkaisu. Tästä johtuen ratkaisujen kuvaajat eivät
koskaan leikkaa toisiaan. Valitettavasti lause kertoo vain
että ratkaisu on olemassa pisteen x = x 0 ympäristössä,
mutta ei kerro tämän ympäristön suuruutta.
Fysiikan mallintamisessa alkuarvotehtävän ratkaisun olemassaolo
ja yksikäsitteisyys ovat ensiarvoisen tärkeitä. Ensinnäkin
todellisessa maailmassa ”jotakin tapahtuu”joten mallinnettaessa
maailmaa aluarvoprobleemoina olisi ratkaisujen syytä olla
olemassa. Toiseksi, jos saman kokeen toisto samoilla ehdoilla
johtaa aina samaan tulokseen, täytyy kokeeseen liittyvän
mallinkin olla yksikäsitteinen. Mekaniikka on hyvä esimerkki
deterministisestä mallista: tulevaisuus määräytyy tarkasti jos
alkutila tunnetaan tarkasti.
6.1.1 Separoituvat yhtälöt
Jos differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa
dy
= q(x)p(y) (6.1)
dx
ts. oikea puoli on kirjoitettavissa kahden funktion tulona,
joista toinen riippuu vain muuttujasta x ja toinen vain
muuttujasta y, sanotaan että yhtälö on separoituva tai
että yhtälön muuttujat ovat erotettavissa.
Luonnollisesti myös muotoa
ovat separoituvia.
Separoituva yhtälö
dy
dx = q(x)
p(y)
tai
dy
dx = q(x)
p(y)
dy
dx = p(y)
q(x)
ratkeaa muuttujien separoinnilla:
kerrotaan molemmat puolet funktiolla p(y) ja
differentiaalilla dx, jolloin
p(y)dy = q(x)dx,
(6.2)
ja integroimalla näin saatu yhtälö,
∫ ∫
p(y)dy = q(x)dx. (6.3)
Jos integraalit osataan laskea, voidaan ratkaista y = f(x).
Näytetään että (6.3) antaa oikean ratkaisun: Olkoot P(y)
ja Q(x) funktioiden p(y) ja q(x) integraalifunktioita, ts.
P ′ (y) = p(y),
Q ′ (x) = q(x)
40

Tälloin yhtälö (6.3) on ekvivalentti yhtälön
P(y) = Q(x)+C
kanssa. Kirjoittamalla y = y(x) ja derivoimalla x:n
suhteen saamme
d
dx P(y(x)) = P′ (y(x))y ′ (x) = d
dx Q(x) ⇒
p(y)y ′ = q(x)
mikä oli alkuperäinen differentiaaliyhtälö.
Esim. Ratkaise dy
dx = x−5
y 2
Kerrotaan yhtälö puolittain tekijällä y 2 dx, jolloin saadaan
y 2 dy = (x−5)dx.
Integrointi molemmin puolin antaa
∫ ∫
y 2 dy = (x−5)dx
eli
Ratkaistaan y:
y 3
3 = x2
2 −5x+C.
( ) 3x
2 1/3
y =
2 −15x+3C .
Koska vakio C voi olla mielivaltainen reaaliluku niin
sellainen on myös 3C. Voimme siis aivan hyvin korvata
sen vaikkapa symbolilla K:
( ) 3x
2 1/3
y =
2 −15x+K .
Esim. Ratkaise alkuarvotehtävä dy
Muuttujien erottaminen johtaa yhtälöön
Tämän integrointi antaa
dy
y −1 = dx
x+3 .
dx = y−1
x+3
ln|y −1| = ln|x+3|+C.
kun y(−1) = 0
Eksponentioidaan yhtälön molemmat puolet ja saadaan
eli
e ln|y−1| = e ln|x+3|+C
|y −1| = e C |x+3| = K|x+3|,
missä olemme merkinneet K = e C > 0. Riippuen
muuttujien y ja x arvoista on |y −1| = ±(y −1) ja
|x+3| = ±(x+3). Voimme siis kirjoittaa
y −1 = ±K(x+3) tai y = 1+(±K)(x+3).
Merkitään vakiota ±K jälleen symbolilla C, joka voi nyt
siis olla mielivaltainen reaaliluku. Saamme silloin
differentiaaliyhtälön ratkaisuksi y = 1+C(x+3).
Alkuehto oli y(−1) = 1+C(−1+3) = 0 eli C = −1/2.
Alkuarvotehtävän siis ratkaisee funktio
y = − 1 2 − 1 2 x.
6.1.2 Lineaariset yhtälöt
Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen yhtälö on muotoa
a 1 (x) dy
dx +a 0(x)y = b(x), (6.4)
missä kertoimet a 1 (x), a 0 (x) ja oikea puoli b(x) voivat
riippua vain vapaasta muuttujasta x mutta eivät
riippuvasta muuttujasta y.
Esimerkiksi yhtälö
x 2 sinx−(cosx)y = (sinx) dy
dx
on selvästikin lineaarinen. Yhtälö
y dy
dx +(sinx)y3 = e x +1
sen sijaan ei ole lineaarinen, sillä sen lisäksi että
derivaatan kertoimena on riippuva muuttuja y esiintyy
yhtälössä muuttujan y kuutiollinen termi.
Olettaen, että kerroin a 1 (x) yhtälössä (6.4) on
tarkasteltavalla välillä nollasta poikkeava, ensimmäisen
kertaluvun yhtälö on kirjoitettavissa standardimuotoon
dy
+p(x)y = q(x). (6.5)
dx
Jos asetetaan q(x) = 0 yhtälöä sanotaan homogeeniseksi,
alkuperäistä täydelliseksi. Homogeenisen yhtälön kaikissa
termeissä esiintyy siis ainoastaan y:n tai y ′ ensimmäistä
potenssia.
Ratkaisussa kannattaa lähteä liikkeelle homogeenisen
yhtälön ratkaisusta:
I) Homogeeninen yhtälö (HY):
Ratkeaa separoimalla:
dy
dx +p(x)y = 0
dy
y = −p(x)dx
∫
⇒ ln|y| = − p(x)dx+A
[ ∫ ]
⇒ y = Cexp − p(x)dx
missä C = ±e A on integroimisvakio. Tämä on HY:n
yleinen ratkaisu.
41

II) Täydellinen yhtälö (TY):
Nyt riittää löytää joku ratkaisu TY:lle, olkoon se y 0 (x).
Tällöin TY:n yleinen ratkaisu on HY:n ja TY:n
ratkaisujen summa,
y TY (x) = y HY (x)+y 0 (x)
missä y HY on yllä lasketty HY:n yleinen ratkaisu.
Todistus:
1. y TY (x) on selvästi TY:n ratkaisu
2. Olkoon y 1 (x) TY:n mielivaltainen ratkaisu. Tällöin
y 1 (x)−y 0 (x) on selvästi HY:n joku ratkaisu, joten
y 1 (x) = y HY (x)+y 0 (x).
Kuinka TY:n ratkaisu löydetään?
Arvaus: toimii usein, mutta pitää keksiä!
Esim. y ′ +xy = x: selvästi yksi TY:n ratkaisu on y = 1.
Vakion variointi: Etsitään ratkaisua niin että HY:n
ratkaisun vakio “ylennetään” x:n funktioksi:
∫
y = C(x)e − p(x)dx
∫ ∫
y ′ = C ′ e − pdx −Cpe − pdx
∫
= C ′ e − pdx −py
Sijoitetaan tämä TY:hyn:
∫
C ′ e − pdx −py +py = q
∫
⇒ C ′ pdx
= qe
∫ ∫
⇒ C = qe
pdx dx
Siis TY:n yleinen ratkaisu saadaan muotoon
∫ [ ∫ ∫ ]
y(x) = e − pdx
C + qe
pdx dx
(6.6)
Tässä C -termi on HY:n yleinen ratkaisu. Tätä muotoa ei
kannata muistaa, menetelmä kyllä!
Esim. Etsi yhtälön 1 dy
x dx − 2y
x
= xcosx yleinen ratkaisu
2
Yhtälö on lineaarinen, joten kirjoitetaan se ensin
standardimuotoon kertomalla se tekijällä x:
dy
dx − 2 x y = x2 cosx.
Nyt homogeeninen yhtälö on siis y ′ − 2 xy = 0, joka
ratkeaa separoimalla:
dy
y = 2 dx ⇒ ln|y| = 2ln|x|+A ⇒ y = Cx2
x
Täydellinen yhtälö ratkeaa vakion varioinnilla:
y = Cx 2 ⇒ y ′ = C ′ x 2 +C2x
Siis TY:n yleinen ratkaisu on siis näiden kahden ratkaisun
summa:
y = (C +sinx)x 2
Vakio C määräytyy nyt alkuehdosta.
Esim. Etsi yhtälön y ′ −2y = 2 yleinen ratkaisu
Yhtälö on lineaarinen:
HY:
dy
dx −2y = 0
⇒ dy y = 2dx
⇒ ln|y| = 2x+A ⇒ y = Ce 2x
TY: Täydellisen yhtälön ratkaisu voidaan etsiä vakion
varioinnilla, mutta tässä tapauksessa nähdään helposti
että y = −1 toteuttaa TY:n. Siis yleinen ratkaisu on
y = Ce 2x −1.
Esim. Putoava kappale:kappale jonka massa on m putoaa
ilmassa maan vetovoiman vaikutuksesta. Hetkellä t = 0
kappale on levossa. Mikä on kappaleen nopeus ajan
funktiona?
Kappaleeseen vaikuttavat voimat:
maan vetovoima: mg
ilmanvastus: −kv (pitää paikkansa jos nopeus v on pieni).
Newtonin liikelaki
F = ma ⇒ m dv
dt
= mg −kv
Kyseessä on lineaarinen 1. kertaluvun differentiaaliyhtälö.
HY on
mv ′ = −kv ⇒ 1 v dv = − k m dt
⇒ ln|v| = − k t+A ⇒ v = Ce−kt/m
m
TY:n yksittäisratkaisu saadan vakion varioinnilla, tai
jälleen arvaamalla: selvästi v = mg/k toteuttaa TY:n,
joten yleinen ratkaisu on
v(t) = Ce −kt/m +mg/k
Hetkellä t = 0 nopeus v(0) = 0 ⇒ C = −mg/k, joten
alkuehdon toteuttava ratkaisu on
v(t) = mg
k (1−e−kt/m )
Kun t on pieni (t ≪ m/k), kappaleen nopeus v ≈ gt,
mutta kun t → ∞, nopeus lähestyy raja-arvoa mg/k.
ja TY:
C ′ x 2 +C2x− 2 x Cx2 = x 2 cosx ⇒ C ′ = cosx ⇒ C = sinx
42

6.2 Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt
Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti
hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen.
Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta,
toisen kertaluvun lineaarista ja vakiokertoimista
differentiaaliyhtälöä.
Toisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö on
muotoa
a 2 (x) d2 y
dx 2 +a 1(x) dy
dx +a 0(x)y = b(x),
ts. se sisältää enintään y:n toista derivaattaa (toinen
kertaluku) ja sen termit ovat verrannollisia ainoastaan y 1
tai y 0 (lineaarinen differentiaaliyhtälö). (siinä ei siis
esiinny termejä y 2 , y ′ y, e y jne.)
Jos kertoimet a 0 , a 1 ja a 2 ovat vakioita, sanotaan yhtälön
olevan vakiokertoimisen.
Lineaarisen toisen kertaluvun yhtälön standardimuoto on
d 2 y
dx 2 +p(x)dy +q(x)y = g(x), (6.7)
dx
missä p(x) = a 1 (x)/a 2 (x), q(x) = a 0 (x)/a 2 (x) ja
g(x) = b(x)/a 2 (x) (olettaen, että a 2 (x) ≠ 0
tarkasteltavalla välillä).
Standardimuotoon (6.7) liittyvä homogeeninen yhtälö on
d 2 y
dx 2 +p(x)dy +q(x)y = 0. (6.8)
dx
Jos standardimuotoisessa yhtälössä (6.7) g(x) ≠ 0,
sanotaan yhtälön olevan ei-homogeeninen tai täydellinen.
2. kertaluvun lineaarisen dy:n ratkaisujen
ominaisuuksia
Toisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön
ratkaisu etenee samaan tapaan kuin ensimmäisen
kertaluvun:
1. Etsitään homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu,
y HY (x).
2. Etsitään täydellisen yhtälön joku ratkaisu y 0 (x). Nyt
täydellisen yhtälön yleinen ratkaisu on muotoa
y TY (x) = y HY (x)+y 0 (x).
Tämä ominaisuus seuraa samalla perusteella kuten 1. kl:n
yhtälölläkin.
Voidaan osoittaa, että homogeenisen yhtälön (HY) (6.8)
yleinen ratkaisu (jossain joukossa x ∈ I) voidaan
kirjoittaa muodossa
y HY (x) = C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x) (6.9)
missä C 1 , C 2 ovat vakioita jotka voidaan kiinnittää
alkuehdoista ja y 1 (x) ja y 2 (x) ovat kaksi mielivaltaista
lineaarisesti riippumatonta HY:n ratkaisua. Tässä
tapauksessa lineaarinen riippumattomuus tarkoittaa että
a 1 y 1 (x)+a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0
kaikilla x ∈ I.
Helposti nähdään että jos y 1 ja y 2 ovat HY:n ratkaisuja
niin y HY on myös ratkaisu.
Normaalisti ratkaisujen lineaarinen riippumattomuus on selvää.
Tarkemmin se voidaan laskea Wronskin determinantista:
∣ W[y 1 ,y 2 ](x) = ∣ y 1(x) y 2 (x) ∣∣
y 1 ′(x) y′ 2 (x) (6.10)
= y 1 (x)y 2 ′(x)−y 2(x)y 1 ′(x) on = 0 jos ja vain jos y 1 ja y 2 ovat lineaarisesti riippuvia
ratkaisuja.
Käytännössä lineaarista riippuvuutta ei useinkaan testatata
Wronskin determinantilla, ei ainakaan silloin kun on kyse tutuista
funktioista. On helppo nähdä, että esimerkiksi kaikki eri
potenssifunktiot (x r , potenssit r erisuuria) ovat toisistaan
lineaarisesti riippumattomia. Tästä seuraa se, että kaikki eri
eksponenttifunktiotkin (e rx , eri kertoimet r) ovat toisistaan
riippumattomia sen lisäksi, että ne ovat riippumattomia myös
potenssifunktioista. Samoin sini- ja kosinifunktiot ovat toisistaan
rippumattomia. Sen sijaan esim. kosinifunktio riippuu lineaarisesti
(kompleksisista) eksponenttifunktioista (Eulerin kaava:
cosx = 1 2 (eix +e −ix )). Tästä voidaan toisaalta päätellä, että
funktiot cosrx (kertoimet r itseisarvoltaan erisuuria) ovat
riippumattomia sekä toisistaan että funktioista sinrx.
Esim. Funktiot y 1 (x) = e 2x cos3x ja y 2 (x) = e 2x sin3x
ratkaisevat homogeenisen yhtälön y ′′ −4y ′ +13y = 0. Etsi
ratkaisu, joka toteuttaa alkuehdot y(0) = 2 ja y ′ (0) = −5
y 1 ja y 2 ovat lineaarisesti riippumattomia. Yleinen
ratkaisu on siis
Tämän derivaatta on
y(x) = c 1 e 2x cos3x+c 2 e 2x sin3x
y ′ (x) = c 1 (2e 2x cos3x−3e 2x sin3x)
+c 2 (2e 2x sin3x+3e 2x cos3x).
Asetetaan y(0) = 2 ja y ′ (0) = −5, jolloin saadaan yhtälöt
c 1 = 2
2c 1 +3c 2 = −5.
Ratkaisut ovat c 1 = 2 ja c 2 = −3. Alkuehdot toteuttava
differentiaaliyhtälön ratkaisu on siten
y(x) = 2e 2x cos3x−3e 2x sin3x.
6.2.1 Vakiokertoimiset toisen kertaluvun
homogeeniset lineaariset yhtälöt
MAPUlla rajoitumme ratkaisemaan vakiokertoimisia 2.
kertaluvun differentiaaliyhtälöitä. Nämä ratkaistaan
ratkaisemalla ensin homogeeninen yhtälö (HY), mikä on
muotoa
ay ′′ +by ′ +cy = 0, (6.11)
43

missä a, b ja c ovat vakiota ja a ≠ 0. Yhtälön mukaan siis
vakioilla kerrotun funktion ja sen derivaattojen summan
pitäisi olla identtisesti nolla. Ratkaisua kannattaisi
varmaankin etsiä sellaisten funktioiden joukosta, joiden
derivaatat ovat keskenään ja itse funktion kanssa samaa
muotoa, mahdollisesti vakiotekijöillä kerrottuna. Ratkaisu
saattaisi siten löytyä funktioiden e rx joukosta (r vakio).
Sijoitetaan tämä yrite yhtälöön (6.11), jolloin saadaan
ar 2 e rx +bre rx +ce rx = 0.
Koska eksponenttifunktio e rx on aina nollasta poikkeava,
voimme jakaa yhtälön sillä ja päädytään ns.
karakteristiseen yhtälöön
ar 2 +br +c = 0. (6.12)
Toisen asteen yhtälönä karakteristinen yhtälö on helppo
ratkaista:
r 1
r 2
= −b+√ b 2 −4ac
2a
= −b−√ b 2 −4ac
.
2a
Funktiot y 1 = e r1x ja y 2 e r2x ratkaisevat siten
differentiaaliyhtälön (6.11).
Tapaus 1: b 2 > 4ac:
Tässä tapauksessa karakteristisen yhtälön ratkaisut r 1 ja
r 2 ovat reaalisia, ja r 1 ≠ r 2 . Tällöin e r1x ja e r2x ovat
lineaarisesti riippumattomia. (Nähdään myös Wronskin
determinantista). Yleinen ratkaisu y on näiden
superpositio
y(x) = c 1 e r1x +c 2 e r2x .
Esim. Yhtälön y ′′ +5y ′ −6y = 0 yleinen ratkaisu
Karakteristinen yhtälö on nyt
ja sen ratkaisut
r 2 +5r −6 = 0
r 1,2 = −5±√ 25+24
2
Yleinen ratkaisu on siten
{
=
y(x) = c 1 e x +c 2 e −6x .
1
−6.
Esim. Alkuarvotehtävä y ′′ +2y ′ −y = 0, kun y(0) = 0 ja
y ′ (0) = −1
Karakteristisen yhtälön r 2 +2r −1 = 0 ratkaisut ovat
r 1 = −1+ √ 2 ja r 2 = −1− √ 2. Yleinen ratkaisu on niin
ollen
y(x) = c 1 e (−1+√ 2)x +c 2 e (−1−√ 2)x .
Alkuehdot johtavat yhtälöihin
0 = y(0) = c 1 e 0 +c 2 e 0 = c 1 +c 2
−1 = y ′ (0) = (−1+ √ 2)c 1 e 0 +(−1− √ 2)c 2 e 0
= (−1+ √ 2)c 1 +(−1− √ 2)c 2 ,
joiden ratkaisuina ovat c 1 = − √ 2/4 ja c 2 = √ 2/4.
Alkuarvoprobleeman siis toteuttaa funktio
√ √
2 2
y(x) = −
4 e(−1+√ 2)x +
4 e(−1−√ 2)x .
Tapaus 2: b 2 < 4ac
Nyt karakteristisen yhtälön
juuret ovat kompleksiset:
ar 2 +br +c = 0
r 1,2 = 1
2a (−b±i√ |b 2 −4ac|) ≡ α±iβ
missä α = −b/(2a) ja β = √ 4ac−b 2 /(2a) ovat reaalisia.
Juuret ovat siis toistensa liittolukuja, r 1 = r ∗ 2. Nyt siis
differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu saadaan edelleen
eksponenttifunktioiden summasta
y = C 1 e r1x +C 2 e r2x
= e αx (C 1 e iβx +C 2 e −iβx )
= e αx (Acosβx+Bsinβx)
missä nyt A = C 1 +C 2 ja B = iC 1 −iC 2 . Yllä viimeisin
muoto antaa reaalisen ratkaisun (y(x) ∈ R), jos A,B ∈ R.
Esim. Yhtälön y ′′ +2y ′ +4y = 0 yleinen ratkaisu
Karakteristisen yhtälön r 2 +2r +4 = 0 ratkaisut ovat
Silloin funktiot
r = −2±√ 4−16
2
= −1±i √ 3.
y 1 (x) = e −x cos √ 3x ja y 2 (x) = e −x sin √ 3x
ovat yhtälön lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja.
Yleinen ratkaisu on siten
y(x) = c 1 e −x cos √ 3x+c 2 e −x sin √ 3x.
Esim. Vaimennettu harmoninen värähtelijä
Olkoon meillä kappale (massa m) joka liikkuu x -akselia
pitkin ja joka on kiinnitetty jousella kiintopisteeseen.
Olkoon kappaleen paikka x(t). Jousi aiheuttaa
kappaleeseen harmonisen voiman F jousi = −kx (k > 0),
missä x = 0 on piste missä kappale on levossa. Lisäksi
kappaleeseen vaikuttaa nopeuteen verrannollinen
kitkavoima γv = −γx ′ (t).
44

Newtonin lain mukaan F = ma = mx ′′ ⇒
−kx−γx ′ = mx ′′
Tämä on 2. kertaluvun lineaarinen homogeeninen
vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö. Karakteristinen
yhtälö on
−k −γr = mr 2 ⇒ r = 1
2m (−γ ±√ γ 2 −4mk)
Jos γ 2 < 4km (pieni vaimennus), ratkaisu on
x(t) = e −γt/(2m) (Acosωt+Bsinωt)
missä ω = √ 4mk −γ 2 /(2m). Kappale siis värähtelee
vaimenevasti taajuudella ω. Jos γ = 0, värähtely ei
vaimene.
Jos taas γ 2 > 4km (voimakas vaimennus), ratkaisu on
x(t) = Ae r1t +Be r2t
missä
r 1,2 = 1
2m (−γ ±√ γ 2 −4mk) < 0
ovat reaalisia.
Tapaus 3: b 2 = 4ac
Karakteristisen yhtälön
ar 2 +br +c = 0
juuret ovat yhtäsuuret, jos b 2 −4ac = 0. Ainoa juuri on
tällöin reaalinen ja suuruudeltaan
r 0 = − b
2a
ja e r0x on siten ainoa muotoa e rx oleva ratkaisu.
Tiedämme toisaalta, että toisen kertaluvun yhtälöllä on
aina kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua.
Etsitään toinen ratkaisu vakion varioinnilla: yrite
vie differentiaaliyhtälömme
y(x) = v(x)e r0x
ay ′′ +by ′ +cy = 0.
Sijoitamme tähän yritteemme ja derivaatat
y ′ = v ′ e r0x +r 0 ve r0x
y ′′ = v ′′ e r0x +2r 0 v ′ e r0x +r 2 0ve r0x .
Hieman ryhmittäen saadaan
(
av ′′ +(2ar 0 +b)v ′ +(ar 2 0 +br 0 +c)v ) e r0x = 0.
Funktion v täytyy siis toteuttaa yhtälö
av ′′ +(2ar 0 +b)v ′ +(ar 2 0 +br 0 +c)v = 0.
Sijoitetaan tähän r 0 = −b/2a ja nähdään että
ja
2ar 0 +b = −2a b
2a +b = 0
ar0 2 +br 0 +c = a b2
4a 2 −b b +c = −b2
2a 4a +c
= − b2 −4ac
= 0,
4a
koska diskriminantti oli b 2 −4ac = 0. Päädymme siten
yhtälöön
av ′′ = 0
ratkaisu on v(x) = C 1 x+C 2 . Tästä nähdään että
y(x) = xe r0x on niin ollen eräs alkuperäisen yhtälömme
ratkaisu, ja on helppo nähdä, että tämä on lineaarisesti
riippumaton ratkaisusta e r0x .
Olemme saaneet aikaan reseptin:
Jos yhtälöön
ay ′′ +by ′ +cy = 0
liittyvän karakteristisen yhtälön
ar 2 +br +c = 0
molemmat juuret ovat yhtäsuuret, r 0 , niin yleinen
ratkaisu on
y(x) = C 1 e r0x +C 2 xe r0x .
Esim. Yhtälön y ′′ +4y ′ +4y = 0 yleinen ratkaisu
Karakteristinen yhtälö on
r 2 +4r +4 = (r +2) 2 = 0,
jonka molemmat juuret ovat −2. Yleinen ratkaisu on
silloin
y(x) = c 1 e −2x +c 2 xe −2x .
Vakion variointi soveltuu yleisemminkin tilanteisiin, missä
tunnetaan jokin erikoisratkaisu ja pitäisi etsiä toinen tästä
lineaarisesti riippumaton ratkaisu.
Olkoon g jokin yhtälön
y ′′ +py ′ +qy = 0
ratkaisu. Sijoittamalla tähän y(x) = g(x)v(x) päädytään yhtälöön
gv ′′ +2g ′ v ′ +g ′′ v +pg ′ v +pgv ′ +qgv = 0.
Uudelleen ryhmittäen voidaan kirjoittaa
gv ′′ +(2g ′ +pg)v ′ +(g ′′ +pg ′ +qg)v = 0.
Koska g toteutti alkuperäisen yhtälön, g ′′ +pg ′ +qg = 0, saamme
gv ′′ +(2g ′ +pg)v ′ = 0.
Tämä on funktiolle v ′ = u ensimmäisen kertaluvun yhtälö
g(x) du
dx +[2g′ (x)+p(x)g(x)]u = 0.
45

Tämä separoitavissa yhtälöksi
∫ du
u = − ∫ 2g ′ (x)+p(x)g(x)
jolloin saadaan
ln|u| = ln
Eksponenttiointi antaa
v ′ (x) = u(x) =
g(x)
∫
1
[g(x)] 2 −
p(x)dx.
dx,
∫
1 p(x)dx ,
[g(x)] 2e−
josta vielä kerran integroimalla saadaan v.
6.2.2 Epähomogeeninen vakiokertoiminen
lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
Nyt differentiaaliyhtälö (täydellinen yhtälö, TY) on
muotoa
ay ′′ +by ′ +cy = f(x) (6.13)
Helposti nähdään että jos y 1 on TY:n joku ratkaisu ja y 0
on homogeenisen yhtälön (HY, f(x) = 0) joku ratkaisu
niin y = y 0 +y 1 on myös TY:n ratkaisu. Koska 2.
kertaluvun lineaarisen yhtälön täydellinen ratkaisu
riippuu kahdesta vakiosta, saadaan
TY:n täydellinen ratkaisu = HY:n täydellinen ratkaisu +
TY:n joku yksittäisratkaisu.
Kuinka siis löytää TY:n yksittäisratkaisu?
1. Arvaus/yrite:
toimii hyvin etenkin jos f(x) on polynomi. Tällöin
kannattaa yrittää y(x) polynomi, jonka asteluku = f:n
asteluku.
Esim. y ′′ +ay ′ +by = c: yritetään y = α, vakio. Siis
by = bα = c ⇒ α = c/b.
Arvaus toimii myös usein jos f(x) = e αx , sillä f:n kaikki
derivaatat ovat verrannollisia e αx :ään:
y ′′ +ay ′ +by = e αx
Yrite: y = Ae αx , sijoitus yhtälöön antaa
A(α 2 +aα+b)e αx = e αx ⇒ A = (α 2 +aα+b) −1
Tämä toimii jollei e αx satu olemaan HY:n ratkaisu
(jolloin α 2 +aα+b = 0). Tällöin kannattaa kokeilla
yritettä Axe αx , ellei sekin satu olemaan HY:n ratkaisu
(tällöin α on HY:n karakterisen polynomin
kaksinkertainen juuri). Siinä tapauksessa yrite on Ax 2 e αx .
2. Integrointi kahdessa vaiheessa:
Tämä on yleisempi menetelmä täydellisen yhtälön
ratkaisuun. Tässä menetelmässä yhtälöä ryhmitellään
muotoon jossa sitä voidaan integroidan suoraan, ja
homogeenista yhtälöä ei tarvitse ratkaista erikseen.
Kirjoitetaan yhtälö ensin muotoon (jaetaan y ′′ :n
kertoimella, jos tarpeen)
y ′′ +ay ′ +by = (D 2 +aD +b)y = f(x)
missä D ≡ d
dx , D2 ≡ d2 on merkintätapa.
dx 2
HY:n karakteristinen yhtälö on r 2 +ar +b = 0, jonka
ratkaisut ovat r 1 ,r 2 . Näiden juurien avulla voimme
kirjoittaa karakteristisen polynomin muotoon
r 2 +ar +b = (r −r 1 )(r −r 2 )
Täten differentiaaliyhtälökin voidaan kirjoittaa
(D 2 +aD +b)y(x) = (D −λ 1 )(D −λ 2 )y(x) = f(x)
Määritellään nyt u ≡ (D −λ 2 )y, jolloin saamme dy:n:
(D −λ 1 )u = f(x)
Tämä on lineaarinen 1. kl:n vakiokertoiminen dy, mikä
ratkeaa edellä kuvatulla menetelmällä. Nyt voimme sitten
ratkaista y:n yhtälöstä
(D −λ 2 )y = u(x)
mikä siis antaa alkuperäisen TY:n ratkaisun.
Esim. y ′′ +y ′ −2y = e x HY:n karakteristinen yhtälö on
r 2 +r −2 = 0 ⇒ r = 1 2 (−1±√ 1+8) = − 1 2 ± 3 2 = 1,−2
Täten voimme kirjoittaa
y ′′ +y ′ −2y = (D −1)(D +2)y = e x
1.vaihe: olkoon nyt u(x) = (D +2)y, jolloin u:n
differentiaaliyhtälö on
(D −1)u(x) = u ′ (x)−u(x) = e x
tämän HY:
∫ ∫ du
u ′ −u = 0 ⇒
u = dx ⇒ u(x) = Ce x
TY:n ratkaisu saadaan vakion varioinnilla:
u(x) = C(x)e x ⇒ u ′ (x) = C ′ e x +Ce x , joten sijoitus
(C ′ +C)e x −Ce x = e x ⇒ C ′ = 1 ⇒ C = x+A
Siis TY:n täydellinen ratkaisu on
u(x) = Ce x +xe x
2.vaihe: ratkaistaan y yhtälöstä
(D +2)y = y ′ +2y = u(x) = (C +x)e x
HY: y ′ = −2y ⇒ y = Be −2x
TY: jälleen vakion varioinnilla B → B(x):
y ′ = B ′ e −2x −2Be x .
46

Sijoitus differentiaaliyhtälöön antaa
(B ′ −2B)e −2x +2Be −2x = (C +x)e x
⇒ B ′ = (C +x)e 3x
∫
⇒ B = (C +x)e 3x dx = C 3 e3x + x ∫ 1
3 e3x −
3 e3x
= ( C 3 − 1 9 )e3x + x 3 e3x +D
= Ee 3x + x 3 e3x +D
missä viimeisessä vaiheessa otettiin käyttöön uusi vakio
E = C/3−1/9.
Siis TY:n ratkaisu on
y = (Ee 3x + x 3 e3x +D)e −2x = De −2x +(E + x 3 )ex
mikä onkin myös TY:n yleinen ratkaisu. Vakion variointi
antaakin yleisesti koko ratkaisun kaupan päälle
yksittäisratkaisun lisäksi, vakioista riippuvat osat ovat
HY:n yleinen ratkaisu.
Edellisen esimerkin yhtälöön
Nyt e i2x ei ole HY:n ratkaisu, joten TY:n
yksittäisratkaisu löytyy yrittellä z = Ae i2x :
⇒ A =
A[(2i) 2 +2i−2]e i2x = 4e i2x
Siis TY:n yleinen ratkaisu on
ja
4
−6+2i = 2(−3−i)
(−3+i)(−3−i) = −3−i
5
z = C 1 e x +C 2 e −2x + −3−i e i2x
5
y = Imz = A 1 e x +A 2 e −2x − 1 5 cos2x− 3 5 sin2x
missä A 1 = ImC 1 , A 2 = ImC 2 .
y ′′ +y ′ −2y = e x
voi myös soveltaa arvausmenetelmää. HY:n
karakteristinen yhtälö on r 2 +r −2 = 0, minkä juuret
ovat r = 1,−2. Koska nyt siis e x on HY:n ratkaisu, TY:n
yksittäisratkaisu voidaan löytää yritteellä
y = Axe x :
y ′ = A(e x +xe x ), y ′′ = A(2e x +xe x )
Nyt dy tulee muotoon
A(2+x)e x +A(1+x)e x −2Axe x = e x ⇒ 3A = 1
Siis TY:n yksittäisratkaisu on y = x 3 ex , ja TY:n
täydellinen ratkaisu on HY:n täydellisen ratkaisun ja
TY:n yksittäisratkaisun summa:
y = Ae x +Be −2x + x 3 ex
Eksponenttifunktioyritteestä on usein myös hyötyä jos
f(x) ∼ sinx, cosx (esim. värähtelevä pakkovoima
harmonisella oskillaattorilla).
Esim: y ′′ +y ′ −2y = 4sin2x
Tämän voi toki ratkaista integroinnilla kahdessa
vaiheessa, mutta kirjoitammekin yhtälön muotoon
z ′′ +z ′ −2z = 4e i2x .
Tällöin ottamalla imaginaariosa yhtälöstä saadaan
alkuperäinen yhtälö, ja y = Imz.
HY:n karakteristinen yhtälö on
r 2 +r −2 = 0 ⇒ r = 1 2 (−1±√ 1+8) = 1,−2
joten HY:n ratkaisu on
z HY = C 1 e x +C 2 e −2x
47

7. Vektorit ja differentiaalilaskenta
7.1 Yhden muuttujan vektorifunktiot
Liikkuvan kappaleen paikka avaruudessa muuttuu ajan
kuluessa. Matemaattisesti voimme ilmaista tämän
sanomalla, että kappaleen paikkaa kuvaava radiusvektori
r on ajan t funktio r(t), ts. vektorin
r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k
komponentit x, y ja z riippuvat yhdestä muuttujasta t.
Samoin yhden muuttujan, ajan, vektorifunktioita ovat
myös kyseisen kappaleen nopeus ja kiihtyvyys. Usein
puhutaan lyhyesti vain vektorifunktioista kun
tarkoitetaan yhden muuttujan vektoriarvoisia funktioita.
7.1.1 Vektorifunktion derivaatta
Olkoon A(u) jokin yhden muuttujan u vektorifunktio
A(u) = A x (u)i+A y (u)j+A z (u)k.
) K
Kuva 7.1 Vektorin derivaatta
) K , K ) K
) K , K
Vektorifunktion derivaatta määritellään analogisesti
skalaarifunktion derivaatan kanssa eli
dA(u)
du
= lim
∆u→0
A(u+∆u)−A(u)
. (7.1)
∆u
Kirjoitetaan määritelmä (7.1) komponenteittain,
dA(u)
du
[
Ax (u+∆u)−A x (u)
= lim
i
∆u→0 ∆u
+ A y(u+∆u)−A y (u)
j
∆u
+ A ]
z(u+∆u)−A z (u)
k
∆u
= dA x(u)
du i+ dA y(u)
du j+ dA z(u)
du k,
jolloin nähdään, että vektorifunktio derivoidaan
derivoimalla sen komponentit.
Esim. Nopeus v, v, kiihtyvyys a ja a kun paikka on
r = sinti+costj+k
Nopeus on nyt
v = dr
dt = ṙ = dx(t)
dt
= costi−sintj.
Vauhti puolestaan on
v = |v| =
i+ dy(t)
dt
√
cos 2 t+sin 2 t = 1.
Kiihtyvyys saadaan derivoimalla nopeus,
ja sen itseisarvo on
j+ dz(t)
dt
a = dv
dt = v . .ṙ
= = −sinti−costj,
a = |a| =
√
sin 2 t+cos 2 t = 1.
Derivaatan ominaisuuksia
Olkoot A(u) ja B(u) muuttujan u vektorifunktioita.
Lasketaan pistetulon A·B derivaatta:
dA·B
du
= d
du (A xB x +A y B y +A z B z )
= dA x
du B dB x
x +A x
du
=
+ dA y
du B dB y
y +A y
du
+ dA z
du B dB z
z +A z
(
du
dAx
du i+ dA y
du j+ dA )
z
du k ·
(B x i+B y j+B z k)
+(A x i+A y j+A z k)·
( dBx
du i+ dB y
du j+ dB )
z
du k
= dA
du
·B+A· dB
du .
Näemme, että pistetulon derivointiin soveltuu
skalaarifunktioista tuttu derivointisääntö (2.17) kunhan
vain korvataan tavallinen tulo pistetulolla.
Yleensäkin on helppo todeta, että luonnollisella tavalla
modifioidut tutut säännöt ovat voimassa myös vektoreille:
d
(αA+βB) = αdA
du
d(φA)
du
d(A·B)
du
d(A×B)
du
du +βdB du
= dφ
du A+φdA du
= dA
du
= dA
du
dB ·B+A·
du
dB
×B+A×
k
du . (7.2)
48

6
+
Tässä α ja β ovat mielivaltaisia skalaarivakioita ja φ(u)
mielivaltainen derivoituva muuttujan u skalaarifunktio.
Analogisesti skalaarifunktion differentiaalin kanssa
määrittelemme vektorifunktion differentiaalin:
dA = idA x +jdA y +kdA z .
Koska vektorin komponentit A i ovat nyt vain yhden
muuttujan u funktioita, ovat niiden differentiaalit muotoa
du ja vektorin A(u) differentiaali niin ollen
dA i
du
( dAx
dA = du
du i+ dA y
du j+ dA )
z
du k
7.1.2 Avaruuskäyrät
Tangentti
Olkoon
r(u) = x(u)i+y(u)j+z(u)k
= dA du. (7.3)
du
muuttujasta u riippuva paikkavektori. Muuttujan u
käydessä läpi arvoalueensa vektorin r kärki piirtää
käyrän kolmiulotteisessa avaruudessamme. Derivaatta dr
du
on konstruktionsa perusteella (kuva 7.1) ilmeisestikin
tämän käyrän pisteeseen r(u) piirretyn tangentin
suuntainen. Käyrän tangentin suuntainen yksikkövektori
T on niin ollen
T = dr
du /|dr |. (7.4)
du
@ H
H K
on käyrän tangentin suuntainen. Tämän vektorin pituus
on ∣ ∣∣∣ dr
dt∣ = √ (2t) 2 +16+(4t−6) 2 ,
joten yksikkötangentti on
T = dr /∣ ∣∣∣ dr
dt dt∣ = √ 2ti+4j+(4t−6)k
(2t)2 +16+(4t−6) 2.
Erikoisesti pisteessä, missä t = 2, yksikkötangentti on
T = 4i+4j+2k √
42 +4 2 +2 2 = 2 3 i+ 2 3 j+ 1 3 k.
Koska derivaatta dr
du
on yksikkötangentin suuntainen, niin
toki silloin myös differentiaali
dr = du dr
du
on yksikkötangentin suuntainen. Voimme siis kirjoittaa
dr = Tds
missä olemme symbolilla ds merkinneet differentiaalin dr
pituutta
ds = |dr| = √ dx 2 +dy 2 +dz 2 .
Voimme siis kirjoittaa yksikkötangentin myös muodossa
T = dr
ds . (7.5)
Kaaren pituus
Differentiaali ds oli infinitesimaalisen muutoksen dr
suuruus. Koska muutos dr oli käyrän tangentin
suuntainen, on ds siten käyrän kaaren pituuden s
infinitesimaalinen muutos.
Kuva 7.2 Käyrän tangentti
Esim. Käyrän x = t 2 +1, y = 4t−3, z = 2t 2 −6t
yksikkötangentti kun t = 2
Käyrän piirtää vektorin
I
I I @ I
@ H
r = xi+yj+zk
= (t 2 +1)i+(4t−3)j+(2t 2 −6t)k
kärki kun t käy läpi kaikki arvonsa (kun muuta ei ole
sanottu, arvoalueena on yleensä koko reaalilukualue).
Paikkavektorin derivaatta
dr
dt
= i d dt (t2 +1)+j d dt (4t−3)+k d dt (2t2 −6t)
= 2ti+4j+(4t−6)k
Kuva 7.3 Käyrän kaaren pituus
Käyrän C kaaren pituus s saadaan summaamalla pitkin
käyrää laskettuja differentiaalisia kaaren pituuksia.
Formaalisti voimme ilmaista tämän, kuten
∫
s = ds. (7.6)
C
49

Käyrän ulottuessa äärettömyyteen on yleensä on myös
spesifioitava integroinnin alkukohta eli kaaren pituuden
nollakohta. Kuvassamme tämä voisi olla vaikkapa piste s 0 .
Laskettaessa kaaren pituutta kaavalla (7.6) integroinnin
suunnaksi otetaan differentiaalin dr suunta eli tangentin
suunta. Pituus s siis kasvaa kun edetään käyrällä
tangentin osoittamaan suuntaan. Jos nyt käyrän yhtälö
on annettu muodossa
r = r(u),
niin tangentti osoittaa vektorin
dr = dr du = r(u+du)−r(u)
du
suuntaan eli suuntaan johon u kasvaa. Pituus s on siten
muuttujan u kasvava funtio ja derivaatta ds
du silloin
positiivinen. Differentiaali ds oli määritelty itseisarvona
|dr|, joten on
ds = |dr| =
dr
∣du∣ du,
kun du > 0. Toisaalta derivaatta ds
du
oli positiivinen, joten
voimme kirjoittaa ∣ ∣∣∣ dr
du∣ = ds
du . (7.7)
Jos ratkaisemme relaatiosta s = s(u) muuttujan u
pituuden s funktiona, u = u(s), niin voimme pitää käyrää
piirtävää vektoriakin kaaren pituuden funktiona: r = r(s).
Esim. Käyrän x = sint, y = cost, z = 0 kaaren pituus
lähtien pisteestä, missä t = 0
Käyrän piirtää vektori
r = isint+jcost+0k = isint+jcost.
Differentiaali dr on
dr = dr dt = (icost−jsint)dt
dt
ja differentiaali ds siten
√
ds = |dr| = cos 2 t+sin 2 tdt = √ 1dt = dt,
kun etenemme muuttujan t kasvavaan suuntaan (dt > 0).
Kaaren pituus on siis
∫
s(t) =
C
ds =
∫ t
0
dt = t.
Kaarevuussäde
Avaruuskäyrän r = r(s), s kaaren pituus,
yksikkötangentti on kaavan (7.5) mukaisesti
T = dr
ds .
Vektori T on sekin kaaren pituuden s funktio, joten
voimme laskea derivaatan
Olkoon nyt N vektorin dT
ds
missä on merkitty
Voimme siis kirjoittaa
dT
ds = d2 r
ds 2.
N = 1 κ
suuntainen yksikkövektori
dT
ds ,
κ =
dT
∣ds∣ . (7.8)
dT
ds
= κN. (7.9)
Suuretta κ sanotaan käyrän kaarevuudeksi ja sen
käänteisarvoa
ρ = 1 κ = 1
∣ dT
∣
ds
(7.10)
käyrän kaarevuussäteeksi. Yksikkötangentti T on nimensä
mukaisesti yksikön mittainen, joten on
T 2 = T·T = |T| 2 = 1.
Derivoidaan relaatio T·T = 1 kaaren pituuden suhteen,
jolloin saadaan
d dT dT
(T·T) = ·T+T·
ds ds ds
= 2κT·N = 0,
= 2T· dT
ds
kun on sijoitettu lauseke (7.9). Päädymme yhtälöön
T·N = 0, (7.11)
eli vektori N on kohtisuorassa tangenttia T vastaan ja
siten myös kohtisuorassa ko. avaruuskäyrää vastaan.
Tämän vuoksi vektoria N sanotaan käyrän
päänormaaliksi.
Esim. Käyrän x = 3cost, y = 3sint, z = 4t
yksikkötangentti, päänormaali, kaarevuus ja
kaarevuussäde
Käyrän
r = i3cost+j3sint+k4t
eräs tangentti on
dr
dt = −i3sint+j3cost+k4.
Normitetaan tämä, ts. muodostetaan yksikön mittainen
saman suuntainen vektori jakamalla vektori pituudellaan.
50

Tangentin pituus on
dr
∣dt∣ = √ (−3sint) 2 +(3cost) 2 +4 2
√
= 9(sin 2 t+cos 2 t)+16
= √ 9+16 = 5.
Yksikkötangentti on siten
T = −i3sint+j3cost+k4 ∣
∣dr∣
Yksikkötangentiksi saatiin siis
dt
= −i 3 5 sint+j3 5 cost+k4 5 .
T = −i 3 5 sint+j3 5 cost+k4 5 .
Derivoidaan tämä muuttujan t suhteen:
dT
dt = −i3 5 cost−j3 5 sint.
Toisaalta, koska kaaren pituus s on jokin muuttujan t
funktio, voimme ketjusäännön perusteella kirjoittaa
joten
dT
dt = dT ds
ds dt ,
dT
ds = dT / ds
dt dt
Aikaisemmin (kaava (7.7)) totesimme, että kaaren
pituuden derivaatta käyrää parametrisoivan muuttujan
suhteen noudattaa kaavaa
∣ ds ∣∣∣
dt = dr
dt∣
eli
dT
ds = dT
dt
/∣ ∣∣∣ dr
dt∣
Määritelmän (7.9) mukaan on siis
κN = dT
ds = dT /∣ ∣∣∣ dr
dt dt∣
= −i3 5 cost−j3 5 sint
5
= −i 3
25 cost−j 3
25 sint.
Kaarevuus
Koska N on yksikön mittainen, on voimassa
dT
∣ds∣ = |κ||N| = κ, κ ≥ 0.
on silloin
√ ( ) 2 3
κ = (sin 2 t+cos
25
2 t) = 3
25
ja kaarevuussäde
ρ = 1 κ = 25 3 .
Esim. Ympyräliike
Ajan t funktiona massapisteen paikkavektori olkoon
r = r(t). Nopeus on tällöin
v = dr
dt = ṙ.
Kun piste kulkee pitkin origokeskeisen R säteisen
ympyrän kehää, on vektorin r pituus vakio R: |r| = R tai
Tämän derivointi antaa
r·r = R 2 .
2ṙ·r = 2v·r = 0.
Nopeus on kohtisuorassa radiusvektoria r vastaan (eli
kohtisuorassa ympyrän sädettä vastaan, ympyrän
tangentin suuntainen).
Tarkastellaan erikoisesti sellaista xy-tason liikettä, missä
r = iRcosωt+jRsinωt
kun ω on vakio. Nyt
√
|r| = R 2 (cos 2 ωt+sin 2 ωt) = R,
joten kyseessä on ympyräliike.
Nopeus on
v = ṙ = −iRωsinωt+jRωcosωt.
Kuten todettiin, tämä on kohtisuorassa paikkavektoria r
vastaan. Vauhti on nyt
√
|v| = (ωR) 2 (cos 2 ωt+sin 2 ωt) = ωR,
joten liikkeen vauhtikin on vakio. Kiihtyvyys taas on
a = . v = −iRω 2 cosωt−jRω 2 sinωt.
Vauhdin vakioisuudesta (v·v = ω 2 R 2 = vakio) seuraa
että kiihtyvyys on kohtisuorassa nopeutta vastaan (ja
siten joko radiusvektorin suuntainen tai sille
vastakkaissuuntainen). Itseasiassa näemme, että
a = −ω 2 r.
Kiihtyvyyden suuruus on sekin vakio, sillä
|a| = |−ω 2 r| = ω 2 R.
51

7.2 Gradientti, divergenssi, roottori
Osittaisderivaatta ja kentät
Olkoon f koordinaattipisteen r = (x,y,z) funktio,
f(r) = f(x,y,z). funktion osittaisderivaattaa esim.
muuttujan x suhteen merkitään
∂f(r)
∂x = ∂f(x,y,z) = ∂ x f(r)
∂x
ja se lasketaan derivoimalla x:n suhteen pitämällä muut
muuttujat vakiona.
Esim. Olkoon f(x,y,z) = xyz +x 2 y. Nyt
∂f ∂f
= yz +2xy,
∂x
∂y = xz +x2 ,
∂f
∂z = xy
Avaruudessa (x,y,z) ∈ R 3 tai sen osajoukossa
määriteltyä funktiota kutsutaan usein kentäksi.
Jos f on reaaliluku, f(r) ∈ R, kyseessä on skalaarifunktio
eli skalaarikenttä, jos taas funktio on vektori,
⃗v(r) = iv x (r)+jv y (r)+kv z (r) ∈ R 3 , kyseessä on
vektorifunktio eli vektorikenttä.
Esim. skalaarikenttiä (-funktioita) ovat ilman paikallinen
lämpötila T(r), paine p(r), sähkövarauksen tiheys ρ(r).
Vektorikenttiä ovat esim. kaasun (nesteen) virtausnopeus
v(r), sähkökenttä E(r), sähkövirran tiheys J(r)...
Nabla
Määritellään “derivaattavektori” nabla:
∇ ≡ i ∂
∂x +j ∂ ∂y +k ∂ ∂z = ∑ i
ê i
∂
∂x i
(7.12)
Nabla ∇ on siis yhtä aikaa derivaatta ja vektori. Sillä
voidaan operoida skalaari- tai vektorifunktioihin:
∇f(r) gradientti (vektori)
∇·v(r) divergenssi (skalaari)
∇×v(r) roottori (vektori)
7.2.1 Gradientti
Olkoon φ(r) skalaarifunktio. Funktion gradientti on
vektorifunktio
∇φ = ∂φ ∂φ ∂φ
i+ j+
∂x ∂y ∂z k = ∑ i
ê i
∂φ
∂r i
(7.13)
Graafisesti: gradientti ∇f(r) on vektori, joka on
kohtisuorassa pintaa f(r) = vakio vastaan, ja |∇f| kertoo
kuinka nopeasti funktio muuttuu ko. suuntaan.
Vielä havainnollisemmin: kartta ja korkeuskäyrät
(kahdessa ulottuvuudessa): olkoon φ(x,y) maaston
korkeus koordinaattipisteessä (x,y). Nyt yhtälö
φ(x,y) = vakio määrittelee korkeuskäyrän, jossa korkeus
on vakio, ja ∇φ osoittaa suuntaan mihin φ kasvaa
jyrkimmin. |∇φ|:n pituus on korkeuden kulmakerroin
∇φ:n suuntaan.
φ=vakio
φ=vakio
Kuva 7.4 Gradientti ∇φ
∆
φ
tangenttitaso
Todistus: tehdään pieni muutos r → r+∆r. Nyt
f(r+∆r) = f(x+∆x,y +∆y,z +∆z)
= f(r)+ ∂f ∂f ∂f
∆x+ ∆y +
∂x ∂y ∂z ∆z +O(∆2 )
= f(r)+(∇f)·(∆r)
Pistetulosta näkee, että funktion muutos
∆f = f(r+∆r)−f(r)
on suurin, kun ∆r ‖ ∇f
on = 0, kun ∆r ⊥ ∇f
Siis:
– pinnan f = vakio yksikkönormaali on ∇f/|∇f|
– pinnan f = vakio tangenttitaso on vektoria ∇f
kohtisuoraan
– funktion f kasvunopeus suuntaan ˆn on ˆn·∇f (ˆn
yksikkövektori)
Näistä viimeisimmän näkee valitsemalla yllä ∆r ‖ ˆn.
Esim. Funktion φ(x,y,z) = 3x 2 y −y 3 z 2 gradientti ∇φ
pisteessä (1,−2,−1)
Gradientti mielivaltaisessa pisteessä (x,y,z) on
∇φ =
(
i ∂
∂x +j ∂ ∂y +k ∂ ∂z
)
(3x 2 y −y 3 z 2 )
= i ∂
∂x (3x2 y −y 3 z 2 )+j ∂ ∂y (3x2 y −y 3 z 2 )
+k ∂ ∂z (3x2 y −y 3 z 2 )
= 6xyi+(3x 2 −3y 2 z 2 )j−2y 3 zk,
joten pisteessä (1,−2,−1) se on
∇φ = 6(1)(−2)i+(3(1) 2 −3(−2) 2 (−1) 2 )j
−2(−2) 3 (−1)k
= −12i−9j−16k.
Suunnattu derivaatta
Edellisestä esimerkistä yleistäen voimme todeta, että
skalaarikentän φ muutos pituusyksikköä kohti suunnassa
52

n, |n| = 1, on ∇φ·n. Sanomme, että suure
n·∇φ = (∇φ)·n, |n| = 1 (7.14)
on funktion φ suunnattu derivaatta (suuntaan n). Kuten
olemme nähneet, suunnattu derivaatta on suurimmillaan
gradientin suunnassa.
Huom: voimme kirjoittaa derivaattaoperaattorin
suuntaan n
n·∇ = ∑ ∂
n i
∂r
i i
Jos esim. n ‖ i, saamme tavallisen osittaisderivaatan x:n
suuntaan.
Esim. Funktion φ = x 2 yz +4xz 2 derivaatta pisteessä
(1,−2,−1) suuntaan 2i−j−2k
Gradientti pisteessä (1,−2,−1) on
∇φ = (2xyz +4z 2 )i+x 2 zj+(x 2 y +8xz)k
= (2(1)(−2)(−1)+4(−1) 2 )i
+(1) 2 (−1)j+((1) 2 (−2)+8(1)(−1))k
= 8i−j−10k.
Vektorin A = 2i−j−2k suuntainen yksikkövektori on
a = A A = 2i−j−2k √
22 +1 2 +2 2
= 2 3 i− 1 3 j− 2 3 k.
Tähän suuntaan laskettu derivaatta on
∇ a φ = ∇φ·a
= (8i−j−10k)·( 2 3 i− 1 3 j− 2 3 k)
= 16 3 + 1 3 + 20
3 = 37 3 .
7.2.2 Divergenssi
Olkoon nyt v(r) = (v x (r),v y (r),v z (r)) vektorikenttä.
Vektorikentän divergenssi on
∇·v) = (i ∂
∂x +j ∂ ∂y +k ∂ ∂z )·(iv x +jv y +kv x )
= ∂v x
∂x + ∂v y
∂y + ∂v z
∂z
Graafisesti: vektorikentän divergenssi on
(yksikkötilavuudessa) syntyvän vuon (vesi!) määrä:
∇·v > 0, lähde (source))
∇·v < 0, nielu (sink)
Jos ∇·v = 0 koko määrittelyjoukossa, sanotaan että
vektorikenttä v on lähteetön
Katsotaan esimerkkinä nesteen virtausta tarkemmin. Jokaisessa
avaruuden pisteessä (ajattelemme nestettä jatkuvasti
jakautuneena aineena unohtaen sen atomaarisen rakenteen)
r = (x,y,z) neste virtaa paikasta riippuvalla nopeudella
v =v(r) = v x(x,y,z)i+v y(x,y,z)j+v z(x,y,z)k.
Jos nesteen massatiheys on ρ (kg/m 3 ), massavirtatiheys µ
((kg/m 3 )(m/s)=kg/(m 2 s)) pisteessä r on
µ = ρv.
N O
N O @
N
N O @
@ O
Kuva 7.5 Divergenssin tulkinta
O
@ N
@
Katsotaan, mitä massavirralle tapahtuu pisteen r
infinitesimaalisessa ympäristössä. Kuvitellaan tätä tarkoitusta
varten ko. piste sijoitetuksi sellaisen suorakulmaisen särmiön
keskelle, jonka särmien pituudet ovat dx, dy ja dz. Virta µ tuo
särmiön pohjan kautta materiaa virtatiheydellä µ z(x,y,z−dz/2),
joten kaiken kaikkiaan pohjan läpi virtaa aikayksikössä särmiöön
materiaa määrä µ z(x,y,z −dz/2)dxdy (kg/s). Vastaavasti
kannen läpi poistuu aikayksikössä materiamäärä
µ z(x,y,z +dz/2)dxdy. Näiden virtausten seurauksena särmiön
nestemäärän vähenemä aikayksikössä on
dm z
= µ z(x,y,z +dz/2)dxdy
=
−µ z(x,y,z −dz/2)dxdy
[
µ ∂µz(x,y,z) dz
z(x,y,z)+
∂z 2
[
− µ ∂µz(x,y,z)
z(x,y,z)+
∂z
]
dxdy
(
− dz 2
)]
dxdy
= ∂µz
∂z dxdydz.
Differentiaalien tulo dxdydz on infinitesimaalisen särmiömme
(infinitesimaalinen) tilavuus
dV = dxdydz.
Pohjan ja pinnan läpi suuntautuvien virtausten aiheuttama
massan nettomuutos (nettopoistuma) aikayksikössä tilavuudessa
dV on siten
dm z = ∂µz
∂z dV.
Vastaava lasku osoittaa, että xz- ja yz-suuntaisten pintojen läpi
kulkevat virrat aiheuttavat aikayksikössä nettopoistumat
dm y
= ∂µy
∂y dV
dm x = ∂µx
∂x dV.
Massan kokonaismuutos aikayksikössä tilavuusalkiossa dV on
siten
dm = dm x +dm y +dm z
( ) ∂µx
=
∂x + ∂µy
∂y + ∂µz dV.
∂z
53

Vektorimerkintää käyttäen voimme kirjoittaa tämän muotoon
(
dm = i ∂
∂x +j ∂
∂y +k ∂ )
·(µ xi+µ yj+µ zk)dV.
∂z
Kun huomaamme, että skalaaritulon ensimmäinen tekijä on
operaattori ∇, saamme tämän kompaktimpaan muotoon
dm = ∇·µdV.
Massatieyden muutos dm/dV pisteessä (x,y,z)
voi aiheutua mm. siitä, että
dm/dV = ∇·µ
• neste puristuu kokoon tai laajenee, jolloin ∂ρ
∂t ≠ 0,
• ko. pisteeseen ruiskutetaan lisää nestettä eli pisteessä on
lähde tai ko. pisteestä poistetaan nestettä eli pisteessä on
nielu.
Massatiheyden muutos (pienennys) voidaan siten ilmaista kahden
termin summana
dm/dV = − ∂ρ
∂t +ψ,
missä jälkimmäinen termi ψ kuvaa nielujen ja lähteiden
vaikutusta. Näin olemme johtaneet nesteiden (ja kaasujen)
virtausta hallitsevan kontinuiteettiyhtälön
∇·(ρv)+ ∂ρ = ψ, (7.15)
∂t
muistaen, että massavirtatiheys oli µ = ρv.
Sähkömagnetismi, Maxwellin yhtälöt:
∇·E = 1 ǫ 0
ρ
∇·B = 0
Tässä E on sähkökenttä, B magneettikenttä, ρ
sähkövaraustiheys (lähde sähkökentälle!). Magneettisia
varauksia ei ole olemassa (magneettinen monopoli), joten
magneettikentän lähdetermi = 0, ja magneettikenttä on
lähteetön.
7.2.3 Roottori
Vektorikentän v(r) roottori ∇×v lasketaan seuraavasti:
∣ i j k ∣∣∣∣∣
∇×v =
∂ x ∂ y ∂ z (7.16)
∣ v x v y v z
= i(∂ y v z −∂ z v y )−j(∂ x v z −∂ z v x )
+ k(∂ x v y −∂ y v x ) (7.17)
Tämä on siis tavallinen ristitulo vektoreille, mutta
derivaatta vaikuttaa aina eteenpäin, “alariville”:
∣ ∂ ∣
x ∂ y ∣∣∣
= ∂
v x v y −∂ y v x
y
v x
Roottori kuvaa vektorikentän pyörteisyyttä:
Esim. v = xi+yj+zk
∇·v = 3 lähde (kaikilla r!)
∇×v = i(∂ y z −∂ z y)−j(∂ x z −∂ z x)+k(∂ x y −∂ y x) = 0
Kyseessä on pyörteetön kenttä
Esim. v = −yi+xj
∇·v = 0 lähteetön
∇×v = 2k ≠ 0, pyörre
Esim. Maxwellin yhtälöt:kuvaavat sähködynamiikkaa
∇·E = 1 ǫ 0
ρ
∇·B = 0
∇×B− 1 c 2 ∂E
∂t = µ 0j
∇×E+ ∂B
∂t = 0
E sähkö, B magneettikenttä, ρ sähkövaraustiheys, j
sähkövirrantiheys, c valon nopeus, ǫ 0 tyhjiön
permittiivisyys ja µ 0 permeabiliteetti (vakioita).
Vektorikenttä v on pyörteetön, jos ∇×v = 0.
Esim. r on pyörteetön:
∇×r =
∣
i j k
∂ x ∂ y ∂ z
x y z ∣ = 0
Esim. Gradientti ∇f(r) on pyörteetön:
∇×(∇f) = (∇×∇)f = 0
(näin voidaan tehdä, sillä ∇:n vektorikomponentit
menevät tavallisen ristitulon tapaan, ja derivaatat kaikki
vaikuttavat f:ään.)
Huom: usein käytetään derivaattaoperaattoreita v·∇ ja
v×∇. Näissä ei derivoida v:tä, derivaatta ei ole vielä
operoinut! Siis esim.
v·∇ = ∑ i v i∂ i
v×∇ = i(v y ∂ z −v z ∂ y )+j...
Laplacen operaattori
Määritellään
∇·∇ ≡ ∇ 2 = ∂ 2 x +∂ 2 y +∂ 2 z = ∑ i
∂ 2
∂r 2 i
Tämä on skalaaridifferentiaalioperaattori, jota käytetään
usein fysiikassa.
Roottori mikroskooppisesti
Tarkastellaan jälleen ρ-tiheyksisen nesteen virtausta. Kun
virtausnopeus pisteessä r = (x,y,z) on v(r), on µ = ρv
massavirtatiheys tässä pisteessä. Tutkitaan tällä kertaa, miten
pyörteellistä virtaus on. Katsotaan esimerkkinä pisteen (x,y,z)
ympäri kiertyvää virtausta. Lasketaan erikseen nettokiertymät
kunkin koordinaattitason suuntaisissa virtauksissa, esimerkkinä
54

xy-tason suuntainen taso.
O N @ N O
N N O @ O
N O
N N O @ O
Kuva 7.6 Virtauksen kiertymä
O N @ N O
Kuvitellaaan piste (x,y,z) (kuvassa z-koordinaattia ei ole
merkitty) sijoitetuksi tässä tasossa dxdy-sivuisen suorakaiteen
keskelle. Suorakaiteen alalaidalla kokonaisvirtaus positiiviseen
kiertosuuntaan on µ x(x,y −dy/2,z)dx, oikeanpuoleista laidalla
µ y(x+dx/2,y,z)dy, ylälaidalla −µ x(x,y +dy/2,z)dx ja
vasemmanpuoleisella laidalla −µ y(x−dx/2,y,z)dy. z-akselin
ympäri kiertyvä kokonaisvirtaus dS z (kg/(ms)) on näiden neljän
termin summa
dS z
= µ x(x,y −dy/2,z)dx+µ y(x+dx/2,y,z)dy
−µ x(x,y +dy/2,z)dx−µ y(x−dx/2,y,z)dy
= [µ y(x+dx/2,y,z)−µ y(x−dx/2,y,z)]dy
−[µ x(x,y +dy/2,z)−µ x(x,y −dy/2,z)]dx
= ∂µy ∂µx
dxdy −
∂x ∂y dydx
[ ] ∂µy
=
∂x − ∂µx dxdy. (7.18)
∂y
Jakamalla tämä suorakaiteen pinta-alalla dxdy saamme z-akselin
ympäri aikayksikössä kiertyväksi massatiheydeksi
s z = dSz
dxdy = ∂µy
∂x − ∂µx
∂y .
Menettelemme samoin kuin kulmanopeuden tapauksessa ja
muodostamme pyörteisyydeksi sanotun vektorisuureen s z, jonka
pituus ilmoittaa aikayksikössä kiertyvän massatiheyden määrän ja
suunta kiertoakselin, ts.
[ ] ∂µy
s z = s zk =
∂x − ∂µx k.
∂y
Vastaavasti x- ja y-akseleiden suuntaiset pyörteisyydet ovat
[ ] ∂µz
s x =
∂y − ∂µy i
∂z
[ ] ∂µx
s y =
∂z − ∂µz j.
∂x
Vektoreiden s x, s y ja s z resultantin s pituus kertoo silloin
pisteeseen (x,y,z) asetetun resultanttivektorin ympäri
aikayksikössä kiertyvän massatiheyden kokonaismäärän.
Virtauskentän pyörteisyys on siis
[ ∂µz
s =
∂y − ∂µy
∂z
[ ∂µy
+
∂x − ∂µx
∂y
] [ ∂µx
i+
]
k.
∂z − ∂µz
∂x
]
j
Nähdään helposti että s voidaan kirjoittaa determinantin avulla
muotoon
∣ i j k ∣∣∣∣
s ∂ ∂ ∂
=
∂x ∂y ∂z = ∇×µ
∣ µ x µ y µ z
Siis s on µ:n roottori.
Laskusääntöjä
Nablalle on helppo näyttää mm. seuraavat laskusäännöt:
∇(a+b) = ∇a+∇b
∇(ab) = (∇a)b+a(∇b)
∇·(u+v) = ∇·u+∇·v
∇·(au) = (∇a)·u+a∇·⃗u
∇×(u+v) = ∇×u+∇×v
∇×(au) = (∇a)×u+a∇×u
∇×(∇a) = ∇×∇a = 0 eli ∇a on pyörteetön
∇·(∇×v) = (∇×∇)·v = 0 eli ∇×v on lähteetön
(tässä käytettiin skalaarikolmituloa,
a·(b×c) = (a×b)·c
Joskus esiintyy myös
∇×(∇×u) = ∇(∇·u)−(∇·∇)u
missä käytettiin vektorikolmitulon laskusääntöä.
Siis sääntö: derivaattaosa - käytä derivoimissääntöjä,
vektoriosa - vektoreiden laskusääntöjä.
Huom: jos kehität ∇-lausekkeita skalaari- tai kolmitulon
avulla, muista järjestys:
Esim: u×(∇×v) = ∇(u c ·v)−(u·∇)v
missä siis u c pidetään vakiona derivoinnissa.
Samoin esim.
∇·(u×v) = ∇·(u×v c )+∇·(u c ×v) = v·(∇×u)+u·(∇×v).
Esim. Olkoon u = xyi+yzj+zxk.Nyt
∇×(∇×u) = ∇(∇·u)−∇ 2 u = ∇(y+z+x)−0 = i+j+k
Tai suoraan
∇×u =
∣
ja
∇×(∇×u) =
∣
i j k
∂ x ∂ y ∂ z
xy yz zk
i j k
∂ x ∂ y ∂ z
−y −z −x
= −iy −jz −kx
∣
Esim. ∇×A pisteessä (1−1,1), kun
A = xz 3 i−2x 2 yzj+2yz 4 k
Nyt
( ∂
∇×A =
∂x i+ ∂ ∂y j+ ∂ )
∂z k ×
=
=
∣ = i+j+k
(xz 3 i−2x 2 yzj+2yz 4 k)
∣ i j k ∣∣∣∣∣
∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z
∣ xz 3 −2x 2 yz 2yz 4
[ ∂
∂y (2yz4 )− ∂ yz)]
∂z (−2x2 i
[ ∂
−
∂x (2yz4 )− ∂ ]
∂z (xz3 ) j
[ ∂
+
∂x (−2x2 yz)− ∂ ]
∂y (xz3 ) k
55

= (2z 4 +2x 2 y)i+3xz 2 j−4xyzk
= (2(1) 4 +2(1) 2 (−1))i+3(1)(1) 2 j
−4(1)(−1)(1)k
= 3j+4k.
Esim. ∇×(∇×A), kun A = x 2 yi−2xzj+2yzk
Nyt
i j k
∇×(∇×A) = ∇×
∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z
∣ x 2 y −2xz 2yz ∣
= ∇×[(2x+2z)i−(x 2 +2z)k]
i j k
=
∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z
∣ 2x+2z 0 −x 2 −2z ∣
= (2x+2)j.
ja
∇ 21 r = ∇·(∇1 r ) = ∇·( r r 3) = 3 r 3 −3 r r 4 · r
r = 0
Jos pätee ∇ 2 f = 0, funktio f(r) on harmoninen.
Samoin edelleen
∇ 2 f(r) = ∇·∇f(r) = ∇·(f ′ (r) r r )
= f ′′ (r) r r )· r
r +f′ (r) 3 r −f′ (r) r r 2 · r
r
= f ′′ (r)+ 2 r f′ (r)
7.2.4 Paikkavektorin derivaatat
Paikkavektori on
r = xi+yj+zk, r = √ x 2 +y 2 +z 2 = |r|
Nyt saamme heti tulokset
∇·r = ∑ i
∂ i r i = ∑ i
1 = 3 (7.19)
∇×r = 0 (ks. aiemmin) (7.20)
∇r = r = ˆr r:n suuntainen 1-vektori (7.21)
r
Viimeisin tulee siitä, että
∂ x r = 1 2 (x2 +y 2 +z 2 ) −1/2 2x = x/r, joten
∇r = ∑ i
ê i ∂ i r = ∑ i
ê i
r i
r = r r
Jos nyt f(r) on r:n funktio, niin ketjusääntö saa muodon
∇f(r) = f ′ (r)∇r = f ′ (r) r r
Tämä tulee suoraan tavallisesta ketjusäännöstä:
i∂ x f(r) = if ′ (r)∂ x r = if ′ (r)r/r.
Näin esim
∇·(rf(r)) = ∂ x (xf(r))+∂ y (yf(r))+∂ z (zf(r))
tai suoraan:
= 3f(r)+xf ′ (r) x r +yf′ (r) y r +zf′ (r) z r
= 3f(r)+rf ′ (r)
∇·(rf(r)) = f(r)∇·r+r·∇f(r) = 3f(r)+rf ′ (r)
Usein tavataan
∇ 1 r = d dr
( 1
r)
∇r = − 1 r 2 r
r = − r r 3
56

+
.
)
*
8. Viiva-, pinta- ja
tilavuusintegrointi
8.1 Viivaintegraali
Luvussa 7.1.2 käsiteltiin viivan pituuden integrointia.
Tässä luvussa yleistetään integrointi avaruuskäyrää,
viivaa pitkin. Olkoon meillä käyrä C, jonka piirtää
paikkavektori
r = r(u) = x(u)i+y(u)j+z(u)k.
Oletamme edelleen, että pistettä A vastaa paikkavektori
r(a) ja pistettä B paikkavektori r(b). Käyrällä C laskettu
differentiaali dr on
dr = idx+jdy +kdz = dr
du du
ja osoittaa, kuten aiemmin olemme nähneet (ks. (7.4)),
käyrän tangentin suuntaan.
Käyrää C pitkin voidaan muodostaa useita viiva- eli
polkuintegraaleja:
Jos f(r) on skalaarifunktio, saamme f:n integraalin
viivan pituuden suhteen
missä
∫
C
f(r)ds =
∣ √
ds ∣∣∣
du = dr
( du∣ = dr x
du
∫ b
a
f(r) ds
du du
) 2
+
(dr y
du
) 2 (dr z
) 2
+
du
Jos f(r) = 1, integraali antaa käyrän C pituuden.
Jos nyt F(r) on vektorifunktio, saamme erittäin yleisen
viivaintegraalin
) *
H =
H >
@ H
H K
Kuva 8.1 Viivaintegraali
∫
C
F(r)·dr
∫
= (F x dx+F y dy +F z dz) (8.1)
=
C
∫ b
a
(
dx(u)
F x
du +F dy(u)
y
du +F z
)
dz(u)
du.
du
Geometrisesti viivaintegraali ∫ F·dr tarkoittaa vektorin
C
F käyrän C tangentin suuntaisten projektioiden summaa.
Integrointitiellä on määrätty suunta: kussakin käyrän
pisteessä etenemissuunta on sama kuin käyrällä lasketun
differentiaalin suunta. Kun siis tien C kuvaaja on
r = r(u), niin integrointi etenee parametrin u kasvavaan
suuntaan. Jos nyt −C on muuten sama käyrä kuin C
mutta suunnaltaan päinvastainen, niin näemme että
∫ ∫
F·dr = − F·dr, (8.2)
−C
sillä käyrällä C laskettu differentiaali on
vastakkaisuuntainen käyrällä −C lasketulle
differentiaalille.
H = H = > >
+ H K
+ H = > K
Kuva 8.2 Suunnan vaihto
C
H > H = > =
Kuvassa integroinnin alku- ja loppupisteitä yhdistävä tie
on C : r(u). Kuvan mukaisesti pistettä A vastaa
paikkavektori r(a) ja pistettä B paikkavektori r(b). Jos
nyt a > b, niin käyrän ja siis integroinnin suunta on
pisteestä A pisteeseen B. Integroinnin suunnan kääntö
voidaan toteuttaa helposti esimerkiksi vaihtamalla
parametri u käyrän C kuvaajassa parametriksi a+b−u,
ts. käännettyä integrointisuuntaa vastaava tie on
−C : p(u) = r(a+b−u).
Vielä selvemmäksi geometrinen merkitys käy, kun
kirjoitamme differentiaalin dr muotoon
dr = T(r)ds.
Tässä T on käyrän yksikkötangentti ja s käyrän kaaren
pituus (mitattuna jostakin pisteestä). Viivaintegraalissa
esiintyvä skalaaritulo on tällöin
F(r)·dr = |F(r)||T(r)|cosθds = F(r)cosθds,
missä θ on vektorin F ja integrointitien tangentin välinen
kulma. Viivaintegraali saadaan nyt muotoon
∫ ∫
F(r)·dr = F(r)cosθds.
C
Tästä muodosta nähdään esimerkiksi, että vektorin F
ollessa massapisteeseen vaikuttava voima tarkoittaa
viivaintegraali tehtyä työtä siirrettäessä massapistettä
pitkin käyrää C.
Esim. Integraali ∫ F·dr pitkin xy-tason käyrää y = 2x2
C
pisteestä (0,0) pisteeseen (1,2), kun F = 3xyi−y 2 j
Parametrisoidaan käyrä C siten, että x = t ja y = 2t 2 .
Tällöin alkupisteessä t = 0 ja loppupisteessä t = 1.
C
57

)
)
*
*
Differentiaali dr on
dr = dxi+dyj
(
= i dx )
dt +jdy dt
dt
= (i+4tj)dt.
Viivaintegraali on siis
∫ ∫
F·dr = (3xyi−y 2 j)·(dxi+dyj)
C
=
=
=
C
∫ 1
0
∫ 1
0
(3(t)(2t 2 )i−(2t 2 ) 2 j)·(i+4tj)dt
(6t 3 −16t 5 )dt =
[ 3
2 − 8 3]
−[0] = − 7 6 .
1/ [ 6
4 t4 − 16 ]
6 t6
Käyrää parametrisoivaksi muuttujaksi voidaan usein
ottaa jokin muuttujista x, y tai z. Esimerkiksi xy-tason
käyrät esitetään monesti muodossa
y = y(x).
Esim. Integraali ∫ F·dr pitkin xy-tason käyrää y = 2x2
C
pisteestä (0,0) pisteeseen (1,2), kun F = 3xyi−y 2 j
Otetaan käyrää C parametrisoivaksi muuttujaksi x,
jolloin y = 2x 2 . Alkupisteessä x = 0 ja loppupisteessä
x = 1. Differentiaali dr on
dr = dxi+dyj
= dxi+j dy
dx dx
= (i+4xj)dx.
Viivaintegraali on siis
∫ ∫
F·dr = (3xyi−y 2 j)·(dxi+dyj)
C
=
=
=
C
∫ 1
0
∫ 1
0
(3x(2x 2 )i−(2x 2 ) 2 j)·(i+4xj)dx
(6x 3 −16x 5 )dx =
[ 3
2 − 8 3]
−[0] = − 7 6 .
0
1/
0
[ 6
4 x4 − 16
6 x6 ]
Esim. Tehty työ siirrettäessä kappale xy-tasossa pisteestä
A = (0,0) pisteeseen B = (2,1), kun kappaleeseen
vaikuttava voima on F = xyi−y 2 j
Nyt
F·dr = (xyi−y 2 j)·(dxi+dyj) = xydx−y 2 dy.
Tehty työ on
∫
W =
C
∫
F·dr =
a) Otetaan integrointitieksi suora
jolloin
C
y = 1 2 x,
dy = 1 2 dx.
O N
Kuva 8.3 Integrointitie a)
Tehty työ on nyt
W a =
=
=
∫
C
∫ 2
0
∫ 2
0
(xydx−y 2 dy).
(xydx−y 2 dy)
[
x 1 ( ) ] 2 1
2 xdx− 2 x 1
2 dx
3
8 x2 dx =
2/
0
x 3
8 = 1.
b) Integroidaan ensin pitkin y-akselia pisteestä (0,0)
pisteeseen (0,1) ja sitten x-akselin suuntaisesti pisteestä
(0,1) pisteeseen (2,1).
Kuva 8.4 Integrointitie b)
Reitillä (0,0) → (0,1) on x = 0 ja dx = 0. Reitillä
(0,1) → (2,1) taas on y = 1 ja dy = 0. Työ on siten
W b =
∫ 1
y=0
∫ 2
+
((0)y(0)−y 2 dy)
x=0
(x(1)dx−(1)(0))
58

=
1/
0
) (− y3
+
3
2/
0
x 2
2 = −1 3 +2 = 5 3 .
Konservatiiviset kentät
Edellisen esimerkin tapauksessa tehty työ riippui
siirtoreitistä. Toisaalta hyvin monissa kiinnostavissa
fysikaalisissa syteemeissä työ riippuu ainoastaan
siirroksen alku- ja loppupisteistä mutta ei lainkaan näitä
pisteitä yhdistävästä reitistä. Tällöin siis pisteitä P 1 ja P 2
yhdistävää käyrää myöten laskettu voiman F
viivaintegraali
W =
∫ P2
P 1
F·dr
on tiestä riippumaton ja voimakentän F sanotaan olevan
konservatiivinen.
Oletetaan nyt, että kenttä F on konservatiivinen. Silloin
pisteitä P 1 = (x 1 ,y 1 ,z 1 ) ja P = (x,y,z) yhdistävää tietä
myöten laskettu viivaintegraali
φ(x,y,z) =
∫ (x,y,z)
(x 1,y 1,z 1)
F·dr
määrittelee yksikäsitteisesti integrointitiestä
riippumattoman ja vain integroinnin loppupisteestä
(pidetään alkupistettä kiinnitettynä) riippuvan
skalaarikentän φ. Olkoon
r = u(t)
jokin sellainen pisteitä P 1 ja P yhdistävä käyrä, että
(x 1 ,y 1 ,z 1 ) = u(t 1 ) ja (x,y,z) = u(t).
Tällä käyrällä on
dr = du
dt dt,
joten tätä käyrää myöten laskettuna kentän φ arvoksi
saadaan ∫ t
φ(x,y,z) = F· du
t 1
dt dt.
Kentän φ argumentteja voidaan näin pitää
integrointimuuttujan t funktioina. Tällöin ensinnäkin
integraalifunktion määritelmän (4.1) mukaan on
dφ
dt
= F· du
dt .
Toiseksi, koska kentän φ differentiaali käyrällä r = u(t) on
dφ = ∇φ·du,
derivaatta parametrin t suhteen on kirjoitettavissa myös
muotoon
dφ du
= ∇φ·
dt dt .
Näemme siis, että kenttä φ toteuttaa ehdon
∇φ· du
dt
= F· du
dt
tai
(∇φ−F)· du
dt = 0.
Koska u(t) oli mielivaltainen pisteitä P 1 ja P yhdistävä
käyrä, täytyy olla
F = ∇φ.
Konservatiivinen kenttä on siis esitettävissä jonkin
skalaarikentän gradienttina.
Oletetaan nyt, että vektorikenttä F on skalaarikentän φ
gradientti, ts.
F = ∇φ.
Lasketaan pisteestä P 1 pisteeseen P 2 pitkin käyrää C
viivaintegraalia
W =
∫ P2
P 1
F·dr =
∫ P2
Skalaarifunktion φ differentiaali on
P 1
∇φ·dr.
dφ(x,y,z) = ∇φ·dr,
joten työ W on kirjoitettavissa muotoon
Olkoon nyt
W =
∫ P2
P 1
dφ.
r = r(t)
sellainen käyrän C parametriesitys, että
(x 1 ,y 1 ,z 1 ) = r(t 1 ) ja (x 2 ,y 2 ,z 2 ) = r(t 2 ).
Tällä käyrällä kenttä φ saa arvot φ(x(t),y(t),z(t)) eli
voimme pitää käyrällä kenttää yhden muuttujan t
funktiona
ψ(t) = φ(x(t),y(t),z(t)).
Käyrällä laskettu differentiaali on
dφ = dψ(t) = dψ(t) dt,
dt
eli pitkin käyrää C tehty työ on nyt
W =
∫ P2
P 1
dφ =
∫ t2
t 1
dψ(t)
dt
dt
= t2
/
t 1
ψ(t) = ψ(t 2 )−ψ(t 1 )
= φ(x 2 ,y 2 ,z 2 )−φ(x 1 ,y 1 ,z 1 ).
Integraalin arvo riippuu näin ollen ainoastaan
päätepisteistä eikä lainkaan valitusta integrointitiestä.
59

Olemme johtaneet lauseen
Integraali ∫ P 2
P 1
F·dr on riippumaton integrointitiestä (ts.
F on konservatiivinen) jos ja vain jos kenttä F on
esitettävissä jonkin skalaarifunktion φ gradienttina
F = ∇φ.
Eräs operaattoriin ∇ liittyvä ominaisuus oli
∇×(∇φ) = 0
olipa φ mikä tahansa skalaarikenttä. Jos siis kenttä F on
konservatiivinen ja siten ilmaistavissa jonkin
skalaarikentän gradienttina, sen roottori häviää:
∇×F = 0.
Oletetaan nyt että kentän F roottori on nolla, ts.
∣ i j k ∣∣∣∣∣
∇×F =
∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z
∣ F x F y F z
( ∂Fz
=
∂y − ∂F ) (
y ∂Fx
i+
∂z ∂z − ∂F z
∂x
+
= 0.
( ∂Fy
∂x − ∂F x
∂y
)
k
)
j
Kentän komponenttien osittaisderivaatat toteuttavat siis
ehdot
∂F z
∂y = ∂F y
∂z , ∂F x
∂z = ∂F z
∂x ja ∂F y
∂x = ∂F x
∂y .
Lasketaan viivaintegraali
∫ ∫
F·dr = (F x dx+F y dy +F z dz)
C
C
pisteestä P 1 = (x 1 ,y 1 ,z 1 ) pisteeseen P = (x,y,z) pitkin
käyrää C. Valitaan erikoisesti täksi käyräksi
koordinaattiakselien suuntaiset viivasegmentit pisteestä
(x 1 ,y 1 ,z 1 ) pisteeseen (x,y 1 ,y 2 ), siitä pisteeseen (x,y,z 1 )
ja tästä lopuksi pisteeseen (x,y,z). Olkoon φ(x,y,z) tätä
käyrää myöten laskettu viivaintegraalin arvo, ts.
φ(x,y,z) =
∫ x
+
+
x 1
F x (x,y 1 ,z 1 )dx
∫ y
y 1
F y (x,y,z 1 )dy
∫ z
z 1
F z (x,y,z)dz.
Tästä esityksestä funktion φ osittaisderivaataksi
muuttujan z suhteen saadaan
∂φ
∂z = F z(x,y,z).
Muuttujan y suhteen osittaisderivaatta on
∂φ
∂y
= F y (x,y,z 1 )+
= F y (x,y,z 1 )+
∫ z
∂F z (x,y,z)
dz
z 1
∂y
∂F y (x,y,z)
dz
z 1
∂z
∫ z
= F y (x,y,z 1 )+ z /
z 1
F y (x,y,z)
= F y (x,y,z 1 )+F y (x,y,z)−F y (x,y,z 1 )
= F y (x,y,z),
missä olemme käyttäneet hyväksi roottorin häviämisestä
seuranneita ehtoja.
Funktion φ osittaisderivaatta muuttujan x suhteen on
∂φ
∂x = F x(x,y 1 ,z 1 )+
+
∫ z
∫ y
∂F z (x,y,z)
dz
z 1
∂x
= F x (x,y 1 ,z 1 )+
∫ z
+
∂F y (x,y,z 1 )
y 1
∂x
∫ y
∂F x (x,y,z)
z 1
∂z
∂F x (x,y,z 1 )
y 1
∂y
dz
= F x (x,y 1 ,z 1 )+ y /
y 1
F x (x,y,z 1 )+ z /
z 1
F x (x,y,z)
= F x (x,y 1 ,z 1 )+F x (x,y,z 1 )−F x (x,y 1 ,z 1 )
+F x (x,y,z)−F(x,y,z 1 )
= F x (x,y,z),
missä jälleen olemme käyttäneet osittaisderivaattojen
välisiä ehtoja.
Kenttä F voidaan siis kirjoittaa muodossa
F = ∂φ ∂φ ∂φ
i+ j+
∂x ∂y ∂z k = ∇φ.
Skalaarikentän gradienttina kenttä F on siten edellisen
lauseemme mukaisesti konservatiivinen.
Olemme saaneet kentän konservatiivisuudelle kätevän
kriteerin:
Vektorikenttä on konservatiivinen (ts. esitettävissä
skalaarifunktion gradienttina) jos ja vain jos sen roottori
häviää.
Lausetta ∫ johtaessamme muodostimme sellaisia derivaattoja kuin
∂
∂y φ(x,y)dx siirtämällä derivoinnin integraalin sisälle, ts.
∫ ∫
∂ ∂φ(x,y)
φ(x,y)dx = dx.
∂y
∂y
Tämä on sallittua silloin kun integraalit ovat kyllin
”siistejä”(tasaisesti suppenevia). Fysikaalisissa systeemeissä
voidaan useimmiten näin olettaa.
Konservatiivista kenttää vastaavaa skalaarifunktiota
sanotaan kentän potentiaaliksi.
dy
dy
60

Jos integrointitie C on suljettu, ts. integrointitien
alkupiste yhtyy loppupisteeseen, on viivaintegraalista
tapana käyttää merkintää
∮ ∫
F·dr = F·dr. (8.3)
C
Jos kenttä on konservatiivinen, niin pitkin mitä tahansa
suljettua käyrää C myöten laskettu viivaintegraali on
nolla, ∮
F·dr = 0. (8.4)
C
Tämä on voimassa myös toisin päin. Oletetaan siis, että
mitä tahansa suljettua käyrää myöten laskettu
viivaintegraali häviää. Olkoot P a ja P b kaksi avaruuden
pistettä ja C 1 jokin pisteestä P a pisteeseen P b kulkeva
käyrä. Jos C 2 on jokin toinen käyrä välillä P a −→ P b , niin
∫ ∫ ∮
F·dr− F·dr = F·dr
C 1 C 2 C
= 0,
kun C on yhdistetty suljettu käyrä
C
P a −→
C1
P b −→
−C2
P a .
Viivaintegraali
∫ Pb
∫ ∫
F·dr = F·dr = F·dr
P a C 1 C 2
ei siis riipu lainkaan integrointitiestä, joten kenttä F on
konservatiivinen.
Esim. Onko kenttä F = (2xy +z 3 )j+x 2 j+3xz 2 k
konservatiivinen?
Lasketaan kentän roottori
∣ i j k ∣
∇×F =
=
∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z
∣ 2xy +z 3 x 2 3xz2 ∣
( ∂(3xz 2 )
)
− ∂(x2 )
i
∂y ∂z
( ∂(2xy +z 3 )
+ − ∂(3xz2 )
∂z ∂x
( ∂(x 2 )
+
∂x − ∂(2xy )
+z3 )
k
∂y
= 0,
)
j
joten kenttä F on konservatiivinen.
Esim. Kenttää F = (2xy +z 3 )j+x 2 j+3xz 2 k vastaava
skalaaripotentiaali
Edellisen esimerkin perusteella F on konservatiivinen,
joten on olemassa sellainen potentiaali φ, että
F = ∇φ.
On siis etsittävä sellainen φ, että
∂φ
∂x
∂φ
∂y
∂φ
∂z
= 2xy +z3
= x 2
= 3xz 2 .
Integroimalla nämä lausekkeet saamme
⎧
⎨ x 2 y + xz 3 + f(y,z)
φ = x 2 y + g(x,z)
⎩
xz 3 + h(x,y)
Tulokset ovat yhtäpitäviä, kun valitsemme f(y,z) = 0,
g(x,z) = xz 3 ja h(x,y) = x 2 y. Haettu skalaaripotentiaali
on siis
φ = x 2 y +xz 3 ,
mihin voidaan vielä lisätä mielivaltainen vakio.
Esim. Tehty työ siirrettäessä massapistettä pisteestä
P 1 = (1,−2,1) pisteeseen P 2 = (3,1,4), kun vaikuttava
voima on F = (2xy +z 3 )j+x 2 j+3xz 2 k
Konservatiivista kenttää F vastaava skalaaripotentiaali on
edellisen esimerkin perusteella
φ = x 2 y +xz 3 .
Voiman konservatiivisuudesta johtuen tehty työ on
∫ P2
W = F·dr = φ(3,1,4)−φ(1,−2,1)
P 1
= 201−(−1) = 202.
Muita viivaintegraaleja
Edellä käsittelimme integraaleja ∫ C fds ∫ C F·dr.
Muunkinnäköisiä yhdistelmiä esiintyy:
∫ ∫ ∫
fdr, Fds, F×dr
C
C
Nämä kaikki muunnetaan tavallisiksi integraaleiksi
käyräparametrin u yli: r(u) = (x(u),y(u),z(u)). Näistä
esim
∫
C
F×dr =
∫ b
a
∫ b
a
F× dr ∫ b
du du = a ∣
C
[i(F y z ′ −F z y ′ )+j...]
i j k
F x F y F z
x ′ y ′ z ′ ∣ ∣∣∣∣∣
du =
Esim. (x,y)-tason käyrän C rajoittaman alueen
ala:Olkoon r käyrän C koordinaattivektori, ja dr
differentiaali C:n suuntaisesti. Näiden vektoreiden
61

virittämän kolmion ala on 1 2
|r×dr|. Koko alueen ala
saadaan integroimalla (piirrä kuva!)
1
2
∮
C(r×dr) z = 1 2
∮
C
(xdy −ydx)
Tämä toimii riippumatta siitä onko origo käyrän C sisällä
vai ei.
8.2 Pintaintegraali tasoalueen yli
Olkoon meillä funktio f(x,y) jonka haluamme integroida
yli tason alueen A:
y (x)
2
y-akselin (vakio x) suuntaiset suorat enintään 2 kertaa.
Jos näin ei ole, alue täytyy joko jakaa kahteen tai
useampaan säännölliseen osaan tai vaihtaa
integroimismuuttujia. Usein riittä että vaihdetaan vain x,
y-integrointijärjestystä.
8.2.1 Muuttujien vaihto pintaintegraalissa
Usein kannattaa vaihtaa koordinaatistosysteemi johonkin
muuhun kuin karteesiseen (x,y)-koordinaatistoon,
integroimisalueen tai funktion mukaan. (esim. integraali
riippuu vain vektorin r pituudesta, ei suunnasta).
1-ulotteisessa tapauksessa muuttujan vaihto x → u
tapahtui muuttamalla differentiaalia: du = du
dxdx. Tämä
yleistyy myös tasolle (tai useampaankin ulottuvuuteen:
jos vaihdetaan muuttujat (x,y) ↔ (u,v), niin
y
v
y (x)
1
x
x
1 2
Kuva 8.5 Pintaintegraali
I =
=
∫
A
∫ x2
∫ ∫
f(x,y)da = f(x,y)dxdy
x 1
dx
∫ y2(x)
y 1(x)
dyf(x,y)
Tämä palautuu siis kahdeksi sisäkkäiseksi integraaliksi.
Tässä da = dxdy on infintesimaalinen pinta-alaelementti.
Huom: joskus pintaintegraaleja merkitään kahdella, joskus yhdellä
integraalimerkillä: ∫ fdxdy = ∫ ∫ fdxdy. Kaksi integraalimerkkiä
on tarpeen jos merkitään eksplisiittisesti muuttujien rajat. Näissä
muistiinpanoissa käytetään pääsääntöisesti vain yhtä
integraalimerkkiä.
On syytä huomata että ∫ ...dxdy ei spesifioi integrointien
suoritusjärjestystä eikä myöskään kerro eksplisiittisesti
integrointirajoja. Nämä valitaan tilanteen mukaan, useista
vaihtoehdoista tietenkin helpoimmin laskettava. Usein käytetään
myös sellaisia samaa tarkoittavia merkintöjä kuin ∫ dx ∫ dy....
Vastaavia merkintöjä käytetään myös kolmi- ja useampiulotteisille
integroinneille.
Esim: Alueen A pinta-ala on ∫ A dxdy
Esim: Olkoon A pisteiden (0,0), (1,0), (1,1) määräämä
kolmio, ja f(x,y) = x+y. Nyt
∫ ∫ 1 ∫ x
fdxdy = dx dy(x+y)
A
∫ 1
=
0
dx
0
0
x/
(xy + 1 2 y2 ) =
0
= 1 1/
x 3 = 1 2 2
0
∫ 1
0
dx(x 2 + 1 2 x2 )
Huom: jako ∫ A da = ∫ dx ∫ y 2(x)
y 1(x)
dy toimii vain jos alue on
riittävän säännöllinen, ts. että suljettu käyrä C leikkaa
Kuva 8.6 Koordinaattien vaihto
{ u = u(x,y)
tai kääntäen
v = v(x,y)
u
x
Differentiaaleille pätee
dxdy =
∣∣
tai kääntäen,
dudv =
∣∣
∂x
∂u
∂y
∂u
∂u
∂x
∂v
∂x
∂x
∂v
∂y
∂v
∂u
∂y
∂v
∂y
{ x = x(u,v)
y = y(u,v)
∣∣ dudv
∣∣ dudv
(||J||, determinantin itseisarvo). Determinanttia
kutsutaan Jacobin determinantiksi.
Osoitetaan tämä: tutkitaan kuinka kuvautuu pinta-alan
differentiaali dudv xy-tasolle. Olkoon r = x(u,v)i+y(u,v)j
tason koordinaattivektori.
Jos u → u+du, v vakio, r:n muutos on
∆ ur = ∂ urdu = (∂ uxi+∂ uyj)du.
Samoin jos v → v +dv, r:n muutos on
∆ vr = ∂ vrdv = (∂ vxi+∂ vyj)dv.
Vektorien ∆ ur ja ∆ vr virittämän suunnikkaan pinta-ala on
i j k
∣ ∣∣
|∆ ur×∆ vr| = |
∂ ux ∂ uy 0
∣ ∂ vx ∂ uy 0 ∣ |dudv = | ∂ ux ∂ uy
∂ vx ∂ uy
Siis: jos vaihdetaan muuttujia (x,y) → (u,v), eli
sijoitetaan x = x(u,v), y = y(u,v),
∫ ∫
f(x,y)dxdy = f(x(u,v),y(u,v))|
∂(x,y)
∣
A ∂(u,v) ∣ |dudv
′
A
∣
∣|dudv
62

O
N
N
H
O
missä A ′ on sama alue mutta ilmaistu u,v-koordinaateilla.
Siis saamme I = √ π.
8.2.2 Napakoordinaatisto
Kaksiulotteisen tason rφ-napakoordinaatiston
määrittelevät yhtälöt
x = rcosφ
y = rsinφ.
(8.5)
8.2.3 Tilavuusintegraalit
Tilavuusintegraali yleistyy suoraan tasointegraalista:
∫
V
f(x,y,z)dV =
∫ z2
z 1
dz
∫ y2(z)
y 1(z)
dy
∫ x2(y,z)
x 1(y,z)
dxf(x,y,z)
A B
B
A H
B L = E
N O
H L = E
Kuva 8.7 Napakoordinaatisto
Tämän muunnoksen Jacobin determinantti on
∣ ∂ ∣ rx ∂ φ x
∣∣∣ ∂ r y ∂ φ y ∣ = cosφ −rsinφ
sinφ rcosφ ∣ = r
Siis saamme tuloksen dxdy = rdrdθ, ja
∫ ∫
f(x,y)dxdy = frdrdφ
A
A ′
Esim. Integroidaan f = r = √ x 2 +y 2 1-ympyrän alan
yli:
1. karteesisissa (x,y)-koordinaateissa:
(tai joku muu x,y,z-järjestys!). Jos f = 1, integraali
antaa suoraan alueen V tilavuuden. Tässä tilavuuden
differentiaali dV = dxdydz.
Esim. Määritellään tilavuus niin että x,y,z > 0, ja
x+y +z < 1 (tetraedri). Lasketaan tämän tilavuus. Nyt
kiinteällä z, 0 < z < 1, pätee 0 < y < 1−z. Samoin
kiinteällä y,z 0 < x < 1−y −z. Siis
∫
V
dV =
=
=
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
dz
dz
∫ 1−z
0
∫ 1−z
0
dy
∫ 1−y−z
0
dx
dy(1−y −z) =
∫ 1
dz[(1−z) 2 − 1 2 (1−z)2 ] = 1 6
0
dz
1−z /
Muuttujan vaihto: tapahtuu jälleen Jacobin
determinantin avulla, (x,y,z) → (u,v,t):
∣∣ ∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣ dxdydz = |
∂r
∂ u x ∂ v x ∂ t x
∣∂u∣ |dudvdt = ∂ u y ∂ v y ∂ t y
∂ u z ∂ v z ∂ t z ∣∣ dudvdt
Kaksi tärkeää erikoistapausta: sylinterikoordinaatisto ja
pallokoordinaatisto
0
(1−z)y − 1 2 y2
∫ 1
0
∫ √ 1−x 2
dx
− √ dy √ x 2 +y 2 = ...
1−x 2
2. napakoordinaatistossa:
∫ 2π
0
dφ
∫ 1
0
drrr = 2π 3
ei yksinkertainen!
Helppoa! Kannattaa valita siis koordinaatisto ongelman
mukaan!
Esim. Mikä on I = ∫ ∞
−∞ e−x2 dx?Käytetään tässä
seuraava temppua ja muutetaan integraali
tasointegraaliksi:
∫ ∞ ∫ ∞ ∫
I 2 = dxe −x2 dye −y2 = dxdye −(x2 +y 2 )
−∞ −∞ R
∫ ∫ 2 2π ∫ ∞
= dθdrre −r2 = dθ drre −r2
R 2 0 0
∞/
= 2π
0
− 1 2 e−r2 = π
8.2.4 Sylinterikoordinaatisto
Sylinterikoordinaatiston ρφz määrittelevät yhtälöt
H L = E
L = E
B
B
H
x = ρcosφ
y = ρsinφ
z = z.
H L = E
B L = E
A B
A H
Kuva 8.8 Sylinterikoordinaatisto
A
B L = E
L = E
H
(8.6)
63

N
N
H
H
O
O
Kuten kuvasta nähdään, on ρ pisteen xy-tasolla olevan
projektion etäisyys origosta, φ tämän projektion
napakulma ja z pisteen korkeus xy-tasosta mitattuna.
Koordinaattikäyrät ovat
• ρ-käyrät: z-akselia vastaan kohtisuorat (= xy-tason
suuntaiset) ja sitä leikkaavat suorat.
• φ-käyrät: z-akselikeskeiset ja sitä vastaan kohtisuorat
ympyrät.
• z-käyrät: z-akselin suuntaiset suorat.
Sylinterikoordinaatiston yksikkövektorit nähdään suoraan
kuvasta:
e ρ = icosφ+jsinφ
e φ = −isinφ+jcosφ (8.7)
e z = k.
olevan projektion ja x-akselin välisenä atsimuuttikulmana
φ.
B
G
H I E G
H I E G I E B
H ? I G
H I E G ? I B
Kuva 8.10 Pallokoordinaatit
Kuvasta nähdään, että pallokoordinaateista rθφ
siirrytään karteesisiin koordinaatteihin kaavoilla
Sylinterikoordinaatistossa tilavuuden differentiaali antaa
Jacobin determinantin
cosφ −ρsinφ 0
dV = dxdydz = |
sinφ ρcosφ 0
|dρdφdz = ρdρdφdz
∣ 0 0 1 ∣
Siis: dV = ρdρdφdz.
Tämän näkee myös tutkimalla suoraan
tilavuuselementtiä:
H
@ B
@ 8
@ H
@
H @ B
H L = E
G L = E
B
B
G
x = rsinθcosφ
y = rsinθsinφ
z = rcosθ.
H
G L = E
B L = E
H L = E
G
B L = E
Kuva 8.11 Pallokoordinaatiston
koordinaattikäyrät
(8.8)
Kuva 8.9 Tilavuuselementti sylinterikoordinaatistossa
Kuvasta nähdään, että sylinterikoordinaattien
differentiaalisia muutoksia dρ, dφ ja dz vastaa
tilavuuselementti dV = ρdρdφdz.
Esim. laske ∫ fdV, kun V on sylinteri 0 ≤ z ≤ 1,
V
x 2 +y 2 = ρ 2 ≤ 1, ja f = ρ 2 :
∫
V
ρ 2 dV =
∫ 2π
0
dφ
∫ 1
0
dz
∫ 1
0
dρρρ 2 = π 2
8.2.5 Pallokoordinaatisto
Pallokoordinaatistossa pisteen paikka ilmoitetaan
etäisyytenä r origosta, paikkavektorin ja z-akselin
välisenä korkeuskulmana θ sekä paikkavektorin xy-tasolla
Pallokoordinaatiston koordinaattikäyrät ovat
• r-käyrät: origon kautta kulkevat suorat.
• θ-käyrät: origokeskiset ympyrät, joiden halkaisijana
on z-akselin suuntaiset origokeskiset janat (= joiden
taso on kohtisuorassa xy-tasoa vastaan).
• φ-käyrät: z-akselikeskeiset ja sitä vastaan
kohtisuorassa olevat (= xy-tason suuntaiset)
ympyrät.
Pallokoordinaatistossa Jacobin determinantti on
∂(x,y,z)
∣∣∂(r,θ,φ)
∣∣ = r2 sinθ
Siis nyt dV = r 2 sinθdrdθdφ = r 2 drd(cosθ)dφ.
64

Esim. Laske integraali ∫ fdV, kun tilavuus V on
V
pallonkuori 1 ≤ r ≤ 2 ja f = 1/r 2 :
∫
V
∫
1 2π
r 2dV = dφ
0
∫ π
0
dθsinθ
∫ 1
0
drr 2 1 r 2 = 4π
Usein merkitään kulmaosia yhdessä avaruuskulmalla Ω:
∫ ∫ ∫
dV = dΩ drr 2
V
4π
Tässä siis ∫ 4π dω = ∫ 2π
0
dφ ∫ π
0 dθsinθ
8.2.6 Nabla sylinteri- ja pallokoordinaatistoissa:
Samoin kuin integaaleja voidaan sylinteri- ja
pallokoordinaateissa, joskus on edullista laskea myös
differentiaaleja ko. koordinaateissa. Näiden osoittaminen
on varsin suoraviivaista mutta työlästä, joten annetaan
tässä vain tulokset:
Sylinterikoordinaatisto
• Muunnoskaavat
• Kantavektorit
• Gradientti
• Divergenssi
e ρ
e φ
x = ρcosφ
y = ρsinφ
z = z.
= icosφ+jsinφ
= −isinφ+jcosφ
e z = k.
∂ψ
∇ψ = e ρ
∂ρ +e 1∂ψ
φ
ρ ∂φ +e ∂ψ
z
∂z .
∇·A = 1 ∂
ρ∂ρ (ρA ρ)+ 1 ρ
• Laplacen operaattori
∇ 2 ψ = 1 ∂
ρ∂ρ
(
ρ ∂ψ
∂ρ
∂A φ
∂φ + ∂A z
∂z .
)
+ 1 ρ 2 ∂ 2 ψ
∂φ 2 + ∂2 ψ
∂z 2 .
• Kantavektorit
e r
e θ
e φ
• Gradientti
• Divergenssi
= isinθcosφ+jsinθsinφ+kcosθ
= icosθcosφ+jcosθsinφ−ksinθ
= −isinφ+jcosφ.
∂ψ
∇ψ = e r
∂r + e θ ∂ψ
r ∂θ + e φ ∂ψ
rsinθ ∂φ .
∇·A = 1 ∂ (
r 2 ) 1
r 2 A r +
∂r
+ 1
rsinθ
• Laplacen operaattori
∇ 2 ψ = 1 r 2 ∂
∂r
(
r 2∂ψ
∂r
∂A φ
∂φ .
)
+
1 ∂ 2 ψ
+
r 2 sin 2 θ ∂φ 2.
rsinθ
1
r 2 sin 2 θ
∂
∂θ (A θsinθ)
(
∂
sin 2 θ ∂ψ )
∂θ ∂θ
8.3 Pintaintegraali yli käyrän pinnan
8.3.1 Skalaarifunktion integraalit
Olkoon φ(x,y,z) on jokin skalaarifunktio, A jokin
kolmiulotteisen avaruuden pinta ja dA tämän pinnan
infinitesimaalinen pinta-alkio. Tehtävänä on nyt laskea
pintaintegraali ∫
I = φ(x,y,z)dA.
A
Samalla tavoin kuin tavallisen yhden muuttujan
integraalinkin tapauksessa tämä tarkoittaa sitä, että
1. jaetaan pinta A pieniin ∆A suuruisiin palasiin,
2. lasketaan kussakin palasessa funktion φ(x,y,z) arvo
ja kerrotaan tämä palasen pinta-alalla ∆A,
3. summataan yhteen kaikki termit φ(x,y,z)∆A ja
4. annetaan palasten pinta-alan lähestyä nollaa.
Pallokoordinaatisto
• Muunnoskaavat
x = rsinθcosφ
y = rsinθsinφ
z = rcosθ.
Pintaintegraali on usein helpompi laskea palauttamalla se
koordinaattien yli suoritettaviksi integroinneiksi. Jos
esimerkiksi pinta A voidaan esittää muodossa z = f(x,y),
kannattaa yleensä integroida muuttujien x ja y yli, ts.
viedä integraali muotoon
∫ y1
[∫ x1
]
I = φ(x,y,f(x,y))h(x,y)dx dy.
y 0 x 0
65

N
)
O
Tässä h(x,y) on skaalaustekijä, jolla xy-tason pinta-alkio
dA 0 = dxdy on kerrottava, jotta saataisiin pinnan alkio
dA. Integrointien rajat riippuvat pinnasta. Se,
kannattaako ensin integroida muuttujan x (kuten yo.
lausekkeessa) vai muuttujan y yli riippuu paitsi pinnasta
niin myös funktiosta φ.
@ )
@ O
Kuva 8.12 Pintaintegraali
C
@ N
@ )
Kuten kuvasta nähdään, xy-tason pinta-alkiota dA 0 ja
sitä pinnalla A vastaavaa alkiota sitoo toisiinsa relaatio
dA 0 = dxdy = dA cosγ, (8.9)
missä γ on pinnan normaalin n ja z-akselin välinen
kulma. Tässä tapauksessa pintaintegraali on siis
kirjoitettavissa muotoon
∫
I =
A
∫
φdA =
φ(x,y,z) dxdy
cosγ .
Oletetaan nyt, että pinnan A yhtälö on annettu muodossa
g(x,y,z) = C.
Kyseessä on siis skalaarikentän g eräs tasa-arvopinta.
Kuten gradientin yhteydessä näimme, on skalaarin
gradientti kohtisuorassa tasa-arvopintaa vastaan. Eräs
pinnan A normaali on niin ollen ∇g ja normaalin
suuntainen yksikkövektori silloin
n = ∇g
|∇g| .
Tämän projektio z-akselille on
n·k = cosγ =
∂g
∂z
|∇g| .
Pintaintegraalimme on nyt kirjoitettavissa muotoon
∫
I = φ(x,y,z) |∇g| dxdy. (8.10)
∂g
∂z
Jos pinta A on annettu muodossa
niin asettamalla
z = f(x,y),
g = z −f(x,y)
pinnan yhtälö on
g = 0.
Tällöin kaavassa (8.10) tarvittavat osittaisderivaatat ovat
∂g
∂x = ∂f
∂x , ∂g
∂y = ∂f
∂y
ja
∂g
∂z = 1
ja pintaelementin skaalaustekijä vastaavasti
√ (∂f ) 2
1
cosγ = |∇g| = +
∂x
Pinta-integraali I on nyt
√
∫ (∂f ) 2
I = φ(x,y,f(x,y)) +
∂x
( ) 2 ∂f
+1.
∂y
Esim. Funktion φ = z integraali puolipallon
x 2 +y 2 +z 2 = R 2 , z ≥ 0 pinnan yli
Nyt
z = √ R 2 −x 2 −y 2 = f(x,y),
jolloin
ja
∂f
∂x = − x
√
R2 −x 2 −y 2
∂f
∂y
1
cos 2 γ
y
= −√ R2 −x 2 −y 2
= 1+
( ) 2 ∂f
+
∂x
x 2 +y 2
= 1+
R 2 −x 2 −y 2
R 2
=
R 2 −x 2 −y 2.
( ) 2 ∂f
+1dxdy.
∂y
(8.11)
( ) 2 ∂f
∂y
Integrointialueena xy-tasossa on puolipallon pinnan
projektio eli kehän
x 2 +y 2 = R 2 ; z = 0
rajoittama ympyrä. xy-tason integraali kannattaa tehdä
nyt napakoordinaatteja käyttäen: ρ 2 = x 2 +y 2 :
∫ R
∫ ∫ 2π
1
I = φdA = dφ dρρz
A 0 0 cosγ
∫ R
= 2π dρρ √ √
R 2 −ρ 2 R 2
R 2 −ρ 2
0
= 2π/
R R 1
0 2 ρ2 = πR 3
66

H
8.3.2 Vuointegraalit: vektoreiden pintaintegraalit
Tavallisin tapaus pintaintegraaleista on laskea
vektorikentän vuo pinnan läpi: Tarkastellaan pintaa A ja
sillä pisteessä P(x,y,z) olevaa pinta-alkiota dA.
Määritellään vektoriaalinen pinta-alkio dA siten, että
dA = ndA,
missä n on pisteessä P laskettu pinnan normaalin
suuntainen yksikkövektori. Olkoon F(x,y,z) jokin
(integroituva) vektorikenttä. Eräs vektorikentän F
pintaintegraali on
∫ ∫
F·dA = F·ndA. (8.12)
A
Tämä integraali kuvaa vektorin F vuota pinnan A läpi.
Huom: jos kyseessä on suljettu pinta, integraalia
merkitään ∮
F·dA.
A
Jos pinta ei ole suljettu, sillä on luonnollisesti reunaviiva.
Esim. Nesteen virtaus
Jos ρ on nesteen tiheys ja v sen nopeus, niin
A
ρv·dA = ρv·ndA
on pintaelementin dA läpi aikayksikössä kulkevan nesteen
määrä. Vektorin µ = ρv vuo pinnan A läpi, ∫ µ·dA, on
A
aikayksikössä pinnan A läpi kulkevan nesteen määrä.
Muunlaisia pintaintegraaleja ovat esim.
∫ ∫ ∫ ∫
F×dA = F×ndA; φdA; φdA.
A
A
Esim. Radiaalikenttä pallokuoren yli:
Olkoon v = rf(r), ja pallonkuori |r| 2 = r 2 = R 2 . Nyt
n = r/r, ja
∮ ∮
∮
v·dA = f(R)r·r/RdA = f(R)R dA = 4πR 3 f(R)
A
A
A
missä käytettiin tietoa pallon ala = 4πR 2 .
Esim. I = ∫ (∇×F)·dA, kun F = −yi+xj+zk, ja A
A
on puolipallon x 2 +y 2 +z 2 = R 2 ; z ≥ 0 pinta
Nyt
i j k
∇×F =
∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z
∣ −y x z ∣ = 2k.
Pinnan A yhtälö on
joten
A
g = x 2 +y 2 +z 2 = R 2 ,
∇g = 2xi+2yj+2zk = 2r.
Pallopinnan A yksikkönormaali n on siis
n = ∇g
|∇g| = r r = xi+yj+zk ,
r
A
eli radiusvektorin suuntainen yksikkövektori.
Edelleen
∇×F·dA = 2k·ndA = 2cosθdA,
missä θ on radiusvektorin ja z-akselin välinen kulma.
H I E G
@ B
G
@ G
@ )
H @ G
H I E G @ B
Kuva 8.13 Pintaelementti pallolla
Kuvassa φ radiusvektorin xy-tasolla olevan projektion ja
x-akselin välinen kulma. Kuten kuvasta nähdään, pallon
pinnalla pallokoordinaattien θ ja φ differentiaalisia
muutoksia dθ ja dφ vastaava pintaelementti dA on
dA = r 2 sinθdθdφ. (8.13)
Puolipallon pinnalla kulmat θ ja φ saavat arvot
Integraali I on siis
∫
I =
=
A
∫ π/2
0
0 ≤ θ ≤ π 2
0 ≤ φ ≤ 2π.
∇×F·ndA
dθ
∫ 2π
0
dφ2cosθR 2 sinθ
∫ π/2
= 4πR 2 cosθsinθdθ
0
π/2
/
= 4πR 2
0
sin 2 θ
2
= 2πR 2 .
8.4 Gaussin lause
Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen
pallon pinnan läpi, tuloksella
∮
A
v·dA = 4πR 3 f(R)
Lasketaan nyt ∇·v integroituna pallon tilavuuden yli: nyt
∇·v = ∇·(rf(r)) = f(r)∇·r+r·f ′ (r)∇r = 3f(r)+rf ′ (r)
67

)
N
=
D
O
Siis
∫ ∫
∇·vdV = dΩ
V
∫ R
Saimme siis tuloksen
∮ ∫
v·dA =
A
0
drr 2 (3f(r)+rf ′ (r)) = 4π
V
∫ R
∇·vdV (8.14)
missä A on alueen V pinta. Tämä tulos pätee yleisesti,
kaikille vektorikentille ja tilavuuksille, ja sitä sanotaan
Gaussin laiksi: vektorin v normaalikomponentin integraali
yli suljetun pinnan on sama kuin sen divergenssin
integraali pinnan sulkeman tilavuuden yli.
Toisin: kentän v vuo suljetun pinnan läpi = kentän v
lähteet pinnan sisällä!
Gaussin laki on 3-ulotteinen yleistys 1-ulotteisia
integraaleja koskevalle totuudelle
∫ b
a
df
dx = f(b)−f(a)
dx
Gaussin lauseen tarkempi todistus
Kirjoitetaan vektori F komponenteittain:
ja tarkastellaan integraalia
∫∫∫
F = F xi+F yj+F zk,
)
@ N
@ O 4
V
∂F z
∂z dV.
Kuva 8.14 Gaussin lauseen todistus
Olkoot A 1 ja A 2 tilavuutta V ympäröivän suljetun pinnan A alaja
yläpinta, joita esittävät yhtälöt
A 1 : z = f 1 (x,y)
A 2 : z = f 2 (x,y).
Olkoon R pinnan A (tai A 1 tai A 2 ) projektio xy-tasolla.
Tällöin
∫∫∫
V
∂F z
∂z dV = ∫∫∫
=
=
∫
∫
∂F z
∂z dzdxdy
V
[∫ f2 (x,y)
R
R
f 1 (x,y)
0
∂F z
∂z dz ]
dxdy
[F z(x,y,f 2 )−F z(x,y,f 1 )] dxdy
Olkoon n pinnan A yksikkönormaali, n 1 alapinnan A 1
yksikkönormaali ja n 2 yläpinnan A 2 yksikkönormaali. Nyt
dr∂ r (r 3 f(r)) = 4πR 3 f(R) alapinnalla: dxdy = −k·n 1 dA 1
yläpinnalla: dxdy =k·n 2 dA 2
pinnalla: dxdy =k·ndA,
68
joten
∫
Saamme siis
[F z(x,y,f 2 )−F z(x,y,f 1 )] dxdy
R
∫ ∫
=
=
F zk·n 2 dA 2 +
A
∫
2
A
∫∫∫
V
F zk·ndA.
A 1
F zk·n 1 dA 1
∂F z
∂z
∫A
dV = F zk·ndA.
Vastaavasti voidaan osoittaa, että
∫∫∫
∂F y
∂y dV = F yj·ndA
∫A
V
∫∫∫
∂F x
∂x dV = F xi·ndA,
∫A
V
joten kaiken kaikkiaan on
∫∫∫
eli
∫∫∫
V
V
=
( ∂Fx
∂x + ∂Fy
∂y + ∂Fz
∂z
∫
A
∇·FdV =
)
dV
( Fxi+F yj+F zk )·ndA,
∫
A
F·ndA =
∫
A
F·dA.
Esim. Vektorin r vuo a-säteisen ja h-korkuisen sylinterin
pinnan läpi
Olkoon A sylinteriä rajoittava pinta (mukaan lukien
pohjat) ja V sylinterin tilavuus.
Kuva 8.15 Sylinteri
a) Divergenssilauseen perusteella vuo I on
∫ ∫
I = r·dA = ∇·rdV.
A
V

Koska
on
joten
r = xi+yj+zk,
∇·r = ∂x
∂x + ∂y
∂y + ∂z
∂z = 3,
∫
I = 3 dV = 3V = 3πa 2 h.
V
b) Lasketaan vuo pintaintegraalina.
(i) Yläpinnalla n = k ja
joten
∫
yläpinta
(ii) Pohjalla n = −k ja
joten
r·n = r·k = z = h,
∫
r·ndA = hdA = πa 2 h.
∫
r·n = −z = 0,
pohja
r·ndA = 0.
(iii) Vaipalla yksikkönormaali on
sillä vaipan yhtälö on
ja niin ollen vektori
n = xi+yj ,
a
f = x 2 +y 2 = a 2 ,
∇f = 2xi+2yj
on kohtisuorassa vaippaa vastaan. Nyt
joten
∫
vaippa
r·n = x2 +y 2
a
∫
r·ndA = a
= a2
a = a,
Laskemalla kaikki vuot yhteen saadaan
I = 3πa 2 h.
dA = a·2πah.
Esim. Newtonin gravitaatiopotentiaali φ toteuttaa
yhtälön
∇ 2 φ = 4πGρ,
missä G on gravitaatiovakio ja ρ massatiheys.
Määritetään gravitaatiokenttävoimakkuus
pallosymmetrisessä tapauksessa
Merkitään
K = −∇φ,
jolloin
∇·K = −∇ 2 φ = −4πGρ.
Jos tilavuudessa V oleva kokonaismassa on M, niin
∫
V
∫
∇·KdV = −4πG ρdV
V
= −4πGM.
Toisaalta Gaussin lauseen mukaan on
∫ ∫
∇·KdV = K·dA,
V
kun A on tilavuutta V rajoittava pinta.
Oletetaan, että M-massainen kappale on
pallosymmetrinen ja otetaan tilavuudeksi V ko. kappaleen
sisäänsä sulkeva r-säteinen kappalekeskinen pallo. Tällöin
ilmeisestikin |K| on vakio pallon pinnalla ja K on
radiusvektorin suuntainen (tai vastakkaissuuntainen), ts.
voidaan kirjoittaa
A
K = K(r)e r ,
missä e r on radiusvektorin suuntainen yksikkövektori.
Vektori e r on tietystikin myös yksikkönormaali ko. pallon
pinnalla, joten
∫
r-säteinen pallo
∫
K·dA = K(r)e r ·e r dA
∫
= K(r) dA = K(r)·4πr 2
= −4πGM.
Saamme siis tutun Newtonin gravitaatiolain
tai vektoriaalisesti
K(r) = − GM
r 2 ,
K(r) = − GM
r 2 e r.
8.5 Stokesin lause
Roottorin fysikaalista tulkintaa etsiessämme saimme
tuloksen (7.18), jonka mukaan xy-tasossa pisteen (x,y)
ympäri kiertyvä virtaus oli
dS z
= µ x (x,y −dy/2,z)dx+µ y (x+dx/2,y,z)dy
=
−µ x (x,y +dy/2,z)dx−µ y (x−dx/2,y,z)dy
[ ∂µy
∂x − ∂µ ]
x
dxdy.
∂y
69

O
"
N
!
@ N
Kuva 8.16 xy-tason pinta-alkio
@ )
@ O
Kuvan mukaisesti voimme kirjoittaa tämän muotoon
4∑
µ·dr i = (∇×µ) z dxdy,
i=1
missä vektoriaaliset differentiaalit ovat dr 1 = dxi,
dr 2 = dyj, dr 3 = −dxi sekä dr 4 = −dyj ja virtatiheys on
laskettava aina vastaavalla infinitesimaalisen suorakaiteen
sivulla. Yhtälön oikeakin puoli on lausuttavissa
kompaktimmin, kun otamme käyttöön vektoriaalisen
pinta-alkion dA = dxdyk. Näin päädymme relaatioon
4∑
µ·dr = (∇×µ)·dA,
i=1
missä nyt sekä dr että µ on laskettava summausindeksiin
liittyvällä suorakaiteen sivulla. Tämä yhtälö on toki
voimassa mielivaltaisellekin (differentioituvalle)
vektorikentälle F ja miten tahansa orientoituneelle
pintaelementille dA:
4∑
F·dr = (∇×F)·dA, (8.15)
i=1
missä vasemmalla puolen kierretään dA vastapäivään.
Tarkastellaan nyt mielivaltaista pintaa A. Jaetaan A
infinitesimaalisiin palasiin dA i . Kussakin pinta-alkiossa on
voimassa
4∑
(∇×F)·dA i = F·dr,
j=1
missä vasemmalla puolen roottori lasketaan alueen dA i
keskipisteessä ja oikealla puolen seka F että differentiaalit
alueen dA i summausindeksistä j riippuvalla reunalla.
Summataan yli kaikkien palasten, jolloin
∑
(∇×F)·dA i = ∑
i
i
4∑
F·dr. (8.16)
j=1
Tarkastellaan kahta vierekkäistä pinta-alkiota, sanotaan
alkioita 1 ja 2. Näiden yhteisellä reunalla toisen
suorakaiteen dr on vastakkainen toisen suorakaiteen
vastaavalle differentiaalille kun taas kenttä F on sama.
Summassa (8.16) yhteisiin reunoihin liittyvät termit
kumoutuvat, joten jäljelle jäävät vain alueen A reunoihin
rajoittuvien pinta-alkioiden ulkoreunat eli
∑ ∑
(∇×F)·dA i = F·dr.
i
A:n ulkoreuna
Yhtälön vasen puoli on suureen ∇×F pintaintegraali yli
pinnan A ja oikea puoli viivaintegraali pintaa A
rajoittavan reunakäyrän C ympäri. Koska jokainen
pinta-elementti yhtälön (8.15) ja kuvan 8.16 mukaisesti
kierrettiin positiiviiseen kiertosuuntaan, samaan suuntaan
kierretään myös pinta A. Olemme näin päätyneet
Stokesin lauseena tunnettuun pinta- ja viivaintegraaleja
sitovaan relaatioon
∮ ∫
F·dr = (∇×F)·dA. (8.17)
C
A
Sanallisesti Stokesin lause on ilmaistavissa muodossa
Vektorikentän F viivaintegraali pinnan A reunakäyrän C
ympäri on sama kuin kentän F roottorin
normaalikomponentin pintaintegraali pinnan A yli.
Huom. Integraalin arvo ei muutu sellaisissa
integrointipinnan deformaatioissa, joissa reunakäyrä
säilyy muuttumattomana.
∫
Esim. ∇×F·dA kun F = −yi+xj+zk ja A on
A
puolipallon x 2 +y 2 +z 2 = a 2 ;z ≥ 0 pinta
1) Suoraan pintaintegraalina. Katso edellä
(pintaintegraalit).
2) Viivaintegraalina Stokesin lausetta soveltaen. Nyt
F·dr = (−yi+xj+zk)·(dxi+dyj+dzk)
= −ydx+xdy +zdz.
Puolipallon pinnan A reunakäyrä C on xy-tason ympyrä
Tällä käyrällä
x 2 +y 2 = a 2 ; z = 0.
x = acosθ
y = asinθ
z = 0,
kun θ on vektorin r = (x,y,0) ja x-akselin välinen kulma.
Tällöin
joten käyrällä C
dx = −asinθdθ
dy = acosθdθ
dz = 0,
F·dr = −ydx+xdy
= a 2 sin 2 θdθ +a 2 cos 2 θdθ
= a 2 dθ.
70

Stokesin lauseen mukaan on
∫ ∮
(∇×F)·dA =
A
C
= 2πa 2 .
F·dr =
∫ 2π
0
a 2 dθ
3) Pintaintegraali on sama mille tahansa käyrän C
rajoittamalle pinnalle. Valitaan xy-tason ympyrä. Koska
∇×F = 2k,
on
∫
∫
(∇×F)·dA = 2k·kdA
x 2 +y 2 ≤a 2 x 2 +y 2 ≤a 2
= 2A = 2πa 2 .
Stokesin lauseen perusteella pyörteettömälle kentälle F on
voimassa
∮ ∫
F·dr = (∇×F)·dA = 0,
C
A
olipa C mikä tahansa suljettu käyrä ja A sen sisäänsä
sulkema pinta. Tähän tulokseen päädyimme jo
viivaintegraalien yhteydessä konservatiivisia
vektorikenttiä tarkastellessamme (ks. kaava (8.4).
71

9. Lineaarikuvaukset, matriisit
9.1 Vektoriavaruudet
Aiemmin olemmme puhuneet tason (R 2 ) ja kotiavaruuden
(R 3 ) vektoreista. Nämä (kuten myös pelkkä R) ovat
esimerkkejä reaalisista vektoriavaruuksista.
Yleisesti vektoriavaruudet ovat joukkoja V joille on
määritelty
1. Yhteenlasku: x+y ∈ V, jos x ja y ∈ V.
2. Skalaarilla kertominen: ax ∈ V, jos x ∈ V ja a ∈ R.
Vektoriavaruus sisältää yksikäsitteisen nollavektorin:
0 ∈ V siten, että x+0 = x.
Lisäksi jokaisella alkiolla x ∈ V on vastavektori −x ∈ V:
x+(−x) = 0.
Erilaiset vektoriavaruudet ovat matematiikassa ja
fysiikassa hyvin yleisiä. R n :n lisäksi usein puhutaan
funktionaalisista avaruuksista, esim. asteluvun n
polynomit muodostavat n+1-ulotteisen
vektoriavaruuden: p(x) = ∑ n
i=0 a ix i (polynomeja voidaan
laskea yhteen ja kertoa skalaarilla, ja tuloksena on edellen
polynomi).
Vektoriavaruuden V aliavaruus S on sellainen V:n
alijoukko S, että:
jos x,y ∈ S ja a ∈ R, niin
x+y ∈ S ja
ax ∈ S
Esim. R 3 :n aliavaruuksia ovat esim. kaikki origon kautta
kulkevat suorat ja tasot. Myös {0} ja R 3 ovat R 3 :n
aliavaruuksia. Sen sijaan esim. R 3 :n yksikkövektorien
joukko (|x| = 1) ei ole aliavaruus.
Vektoriavaruuksissa R n on määritelty muitakin
laskusääntöjä, esim. vektorien pistetulo x·y. Oletetaan
jatkossa että pistetulo on määritelty.
Lineaarinen riippumattomuus
Muistetaan, että vektorit v 1 ...v k ovat lineaarisesti
riippumattomia (eli vapaita), jos
k∑
a i v i = 0
i=1
vain jos kaikki a 1 = a 2 = ... = a k = 0. Muussa
tapauksessa vektorit ovat lineaarisesti riippuvia, ja
ainakin yksi vektori voidaan lausua muiden
lineaarikombinaationa.
n-ulotteisessa vektoriavaruudessa voidaan valita enintään
n:n keskenään lineaarisesti riippumattoman vektorin
joukko. Kolmiulotteisessa avaruudessa on enintään 3
vektorin joukko keskenään lineaarisesti riippumaton.
Jos vektorit e 1 , e 2 ...e n ovat lineaarisesti riippumattomia
n-ulotteisen vektoriavaruuden V alkioita, sanotaan että
ne virittävät V:n: mikä tahansa v ∈ V voidaan esittää
niiden lineaarikombinaatioina:
n∑
v = a i e i ≡ a i e i
i=1
Huom: ylläolevan kaltainen lineaarikombinaatio
vektoreista on niin yleinen, että siitä usein käytetään
oikeanpuoleista merkintätapaa: toistuvan indeksin yli
summataan automaattisesti (implisiittisesti). Einsteinin
summaussääntö.
Sanotaan että vektorit e i muodostavat V:n kannan, ja
a i :t ovat v:n komponentit tässä kannassa.
Kanta ei ole yksikäsitteinen. Yksinkertaisin kanta on
ortonormaali kanta:
e i ·e j = δ ij =
{
1, jos i = j
0, jos i ≠ j
Tässä δ ij on nimeltään Kroneckerin delta. Siis
ortonormaalit vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan
ja niiden pituus |⃗e i | = 1.
Ortonormaalissa kannassa kahden vektorin a, b pistetulo
on
n∑ n∑ n∑
a·b = a i e i · b j e j = a i b j
i=1
j=1
i=1
Tai lyhyemmin: a·b = a i b i .
Tutuin esimerkki ortonormaalista kannasta on R 3 :n kanta
i, j, k.
Palaamme myöhemmin siihen miten ei-ortonormaalista
kannasta voidaan tehdä ortonormaali.
Huom: ortonormitetussa kannassa
eli
e j ·a = ∑ i
a i e j ·e i = ∑ i
a i = a·e i
a i δ ij = a j
Kertoimet a i siis ilmaisevat vektorin a projektion e i
suuntaan.
9.2 Lineaarikuvaus
Olkoon A kuvaus (funktio) vektoriavaruudesta V
vektoriavaruuteen U: jos nyt
A(x+y) = A(x)+A(y),
A(αx) = αA(x)
kaikilla x,y ∈ V ja α ∈ R, niin A on lineaarikuvaus.
Esim. Kuvaus A : R → R, A(x) = cx, c vakio, on
lineaarikuvaus:
A(x+y) = c(x+y) = cx+cy = A(x)+A(y)
A(αx) = cαx = αA(x)
Esim. Kuvaus B : R → R, B(x) = cx+d, d ≠ 0, ei ole
lineaarinen (HT).
Lineaarikuvaukset ovat hyvin rajoitettu funktiojoukko, ja
pelkästään R:n kuvauksina ne ole kovinkaan
mielenkiintoisia (tavallisin sovellus: yleisen funktion f(x)
approksimaatio lineaarisesti). Useampiulotteisissa
avaruuksissa sen sijaan niillä on paljon käyttöä!
72

9.2.1 Tason kuvaus itselleen
Tarkastellaan tason vektorien lineaarikuvausta A, joka
muuttaa tason vektorin v = (x,y) toiseksi tason
vektoriksi v ′ = (x ′ ,y ′ ): A(v) = v ′ , tai
{
x
′
= a 11 x+a 12 y
y ′ = a 21 x+a 22 y
Tässä a ij ovat lukuja, jotka määrittelevät A:n. Kyseessä
on todellakin lineaarikuvaus (HT):
A(v 1 +v 2 ) = A(v 1 )+A(v 2 )
A(αv) = αA(v)
On kätevää ottaa käyttöön pystyvektorit ja matriisit:
Merkitään nyt
( ) ( )
x
v = v ′ x
′
=
y y ′
ja
a 21
A =
( )
a11 a 12
a 21 a 22
Tässä notaatiossa merkitään
( ) ( )( )
x
′ a11 a
y ′ = 12 x
=
a 22 y
(
a11 x+a 12 y
a 21 x+a 22 y
Siis esimerkiksi
( ) ( )( ) ( )
x
′ a11 a
= 12 x a11 x+a
= 12 y
·′
· · y ·
Siis: tulosvektorin rivi k lasketaan siten, että kerrotaan
matriisin rivin k alkiot elementti elementiltä alkuperäisen
vektorin elementeillä, ja lasketaan yhteen.
Vielä systemaattisemmin: merkitään
v =
(
v1
v 2
)
Nyt ( )
v
′
1
v 2
′ =
tai lyhyesti ja ytimekkäästi
v ′ i = ∑ j
(
a11 a 12
a 21
v ′ =
(
v
′
1
v ′ 2
)
a 22
)(
v1
v 2
)
a ij v j = a ij v j
Yleinen lineaarikuvaus R n → R m
Kuvaus A : R n → R m voidaan myös esittää
matriisimuodossa: jos y ∈ R m ja x ∈ R n , niin
n∑
y = Ax ⇔ y i = a ij x j , 1 ≤ j ≤ m
eli eksplisiittisesti
⎛ ⎞ ⎛
y 1
y 2
⎜ .
⎝
⎟
. ⎠ = ⎜
⎝
y m
j=1
⎞⎛
a 11 a 12 ··· a 1n
a 21 a 22 ··· a 2n
.
⎟⎜
. ⎠⎝
a m2 ··· a mn
a m1
⎞
x 1
x 2
. ⎟
. ⎠
x n
)
Tässä siis A:n on oltava m vaakariviä ja n pystyriviä,
jotta lasku yllä voidaan tehdä! A on siis m×n -matriisi.
Jos m = n, on A neliömatriisi
Erikoisasemassa ovat yksikkömatriisi (neliömatriisi)
⎛
I = ⎜
⎝
1 0 ··· 0
0 1 ··· 0
.
0 0 ··· 1
⎞
⎟
⎠
eli I ij = δ ij . Se kuvaa vektorin itselleen: Ix = x
nollamatriisi: ⎛ ⎞
0 ··· 0
0 ··· 0
0 = ⎜
⎟
⎝ . ⎠
0 ··· 0
mikä kuvaa kaikki vektorit nollavektoreiksi: 0x = 0.
Rotaatio tasossa
Tärkeä tason lineaarikuvaus on rotaatio: vektorien kierto
kulman θ verran origon suhteen positiiviseen suuntaan.
Matriiseina
( x
′
y ′ )
=
( )( )
cosθ −sinθ x
=
sinθ cosθ y
( cosθx−sinθy
sinθx+cosθy
eli x ′ = R(θ)x.
Rotaatio kääntää vektoria muuttamatta sen pituutta:
|x ′ | = |x|, kuten helposti nähdään.
Vektorien väliset kulmat säilyvät rotaatioissa (pituuden
lisäksi): jos x ja y ovat kaksi vektoria, niin
(R(θ)x)·(R(θ)y) = x·y
kuten suoraviivaisesti nähdään laskemalla.
Standardikannan kuvautuminen
R n :n standardikanta e 1 ...e n on sellainen jossa
⎛ ⎞
0
.
e k =
1
⎜ ⎟
⎝
. ⎠
0
k:s rivi
eli (e k ) i = δ ki (vektorin e k elementti i).
Se kuvautuu lineaarikuvauksessa A seuraavasti:
eli
(Ae k ) i = ∑ j
a ij (e k ) j = ∑ j
⎛
Ae k = ⎜
⎝
⎞
a 1k
a 2k
. ⎟
. ⎠
a nk
a ij δ kj = a ik
)
73

Tuloksena on siis A:n pystyrivin k alkioista muodostuva
vektori.
Kääntäen, jos tunnemme kuinka standardikanta kuvautuu
lineaarikuvauksessa A, saamme A:n matriisiesityksen. Siis
jos tiedämme, että
Ae k = f k ,
täytyy olla
⎛
⎞
(f 1 ) 1 (f 2 ) 1 ··· (f n ) 1
(f 1 ) 2 (f 2 ) 2 ··· (f n ) 2
A = ⎜
⎝
.
⎟
. ⎠ = (f 1,f 2 ,···,f n )
(f 1 ) n (f 2 ) n ··· (f n ) n
missä viimeinen merkintätapa tarkoittaa että kyseessä on
vektoreista f i koottu matriisi.
Esim. Etsi R 3 :n lineaarikuvauksen matriisi, joka vie
standardikannan i, j, k vektoreiksi
⎛
Ai = ⎝
1
1
0
⎞
⎛
⎠ ≡ f 1 , Aj = ⎝
1
0
1
⎞
⎛
⎠ ≡ f 2 , Ak = ⎝
Edellisen mukaan siis on oltava
⎛ ⎞
1 1 0
A = ⎝ 1 0 0 ⎠ = (f 1 ,f 2 ,f 3 )
0 1 1
9.3 Kuvausten yhdistäminen: matriisien
kertolasku
Kuten yhdistetyissä funktioissa yleensä, matriiseilla
voidaan myös tehdä yhdistetty kuvaus: olkoon
lineaarikuvaukset
A : R s → R m ja
B : R n → R s
Nyt yhdistetty kuvaus AB : R n → R m on lineaarikuvaus.
Kuvauksen AB matriisi on A:n m×s -matriisin ja B:n
s×n-matriisin matriisitulo. Sen saamme
(AB) ij =
s∑
A ik B kj = A ik B kj
k=1
Huom: B:ssä on oltava sama määrä vaakarivejä kuin
A:ssa on pystyrivejä (s), muuten matriisituloa ei ole
määritelty!
Siis
⎛
⎝
⎛
⎝
⎞
· · ·
· (AB) ij · ⎠ =
· · ·
⎛
· · · ·
A i1 A i2 ··· A is
· · · ·
⎞
⎞ · B 1j ·
⎠
· B 2j ·
⎜
⎝ ·
⎟
. · ⎠
· B sj ·
0
0
1
⎞
⎠ ≡ f 3
Nyt
Eli: tulomatriisin elementti ij, (AB) ij , saadaan
kertomalla A:n i:s vaakarivi ja B:n j:s pystyrivi alkio
alkiolta keskenään ja laskemalla yhteen.
Tämä on helppo näyttää tutkimalla mielivaltaisen
vektorin v ∈ R n kuvausta:
(ABv) i = (A(Bv)) i = A ij (Bv) j = A ij B jk v k
ja toisaalta (ABv) i = (AB) ik v k .
Huom: matriiseille ei yleensä päde AB = BA! Sanotaan
että matriisitulo ei kommutoi.
Huom: Jos B on m×1-matriisi, matriisitulo AB palautuu
matriisin ja vektorin tuloksi. Siis vektori = matriisi, jossa
on vain yksi pystyrivi.
Esim. Olkoon lineaarikuvaukset A : R 3 → R 2 ja
B : R 2 → R 3 , ja niiden matriisiesitykset
AB =
=
=
A =
(
0 1 0
1 0 1
(
0 1 0
1 0 1
) ⎛ ⎝
)
, B =
1 1
0 2
1 0
⎞
⎠
⎛
⎝
1 1
0 2
1 0
( )
0·1+1·0+0·1 0·1+1·2+0·0
1·1+0·0+1·1 1·1+0·2+1·0
( )
0 2
2 1
on kuvaus R 2 → R 2 ja
⎛
BA = ⎝
1 1 1
2 0 2
0 1 0
on kuvaus R 3 → R 3 .
Sen sijaan tulot AA tai BB eivät ole määriteltyjä,
johtuen siitä että A ja B eivät ole neliömatriiseja.
Esim. Rotaatioiden yhdistäminen
Rotaatiomatriisi tasossa oli
( ) cosθ −sinθ
R(θ) =
sinθ cosθ
Jos teemme peräkkäin kaksi rotaatiota, niin matriisituloa
ja sinin ja kosinin laskusääntöjä käyttäen saamme (HT)
⎞
⎠
R(θ 2 )R(θ 1 ) = R(θ 1 +θ 2 )
9.4 Matriisilaskentoa
Matriiseille (ja niiden määrittämille lineaarikuvauksille)
on määritelty
Yhteenlasku: (A+B) ij = A ij +B ij . Tässä A:n ja B:n
täytyy olla samankokoisia (m×n) matriiseja.
⎞
⎠
74

Skalaarilla kertominen: (λA) ij = λA ij . vektorit: Otetaan nyt käyttöön merkintätapa R n :n
Matriisien kertolasku: (AB) ij = A ik B kj , missä A on n×r pystyvektoreille ⎛ ⎞
ja B on r ×m matriisi. Jos m ≠ n, tule BA ei ole
x 1
määritelty.
x 2
Diagonaalimatriisi: neliömatriisia A sanotaan
x = ⎜ .
⎝
⎟
. ⎠
diagonaaliseksi, jos se on muotoa
x n
⎛
⎞
A 11 0 ··· 0 (ilman lihavointia x, kompaktiuden vuoksi). Tämä on siis
0 A 22 ··· 0
n×1 -matriisi. Transponoimalla saamme vaakavektorin
A = ⎜
⎝
⎟
. ⎠
x T = (x 1 x 2 ··· x n )
0 0 ··· A nn
(1×n -matriisi!)
Jos kaikki A 11 = A 22 = ... = λ, voidaan A kirjoittaa Jos nyt x ja y ovat R n :n (pysty)vektoreita, niin
muotoon A = λI missä I on yksikkömatriisi I ij = δ ij .
⎛ ⎞
Jos A on neliömatriisi, niin AI = IA = A.
x 1
Transpoosi A T
y T ⎜
x = (y 1 ··· y n ) .
⎝
⎟
. ⎠ = y i x i = y·x
Kaikille matriiseille A voidaan määritellä transpoosi A T .
x n
Sen elementit ovat
y T x antaa siis vektoreiden pistetulon.
(A T ) ij = A ji
Jos taas kerrotaan pystyvektorilla vaakavektori, saadaan
matriisi:
(joskus merkitään A T = Ã). Siis vaakarivit käännetään ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x
pystyriveiksi ja päinvastoin.
1 x 1 y 1 ··· x 1 y n
Esim.
xy T ⎜
= .
⎝
⎟ ⎜
. ⎠(y 1 ··· y n ) =
⎝
.
⎟
. ⎠
⎛ ⎞
x
( )
n x n y 1 ··· x n y n
1 4
1 2 3
A = ⇒ A T = ⎝ 2 5 ⎠
4 5 6
tai (xy T ) ij = x i y j .
3 6 Esim. Tason rotaatioille pätee R T R = I, mikä nähdään
suoraan laskemalla. Sen saa myös siitä että rotaatiot
Jos A on n×m-matriisi, on A T m×n -matriisi. säilyttävät pistetulon:
Transpoosille on voimassa seuraava tärkeä tulos:
y T x = (Ry) T (Rx) = y T R T Rx ⇒ R T R = I
(AB) T = B T A T
Tässä tapauksessa sanotaan että R T on R:n
Todistus: nyt
käänteismatriisi.
[(AB) T ] ij = (AB) ji = A jk B ki
Konjugaatti A ∗
Toisaalta
(B T A T ) ij = (B T ) ik (A T Yleistetään lineaarikuvaukset kompleksisiin avaruuksiin,
) kj = B ki A jk = A jk B ki .
ts. olkoon A : C n → C m . Nyt A:ta voidaan kuvata
Huom: viimeisessä vaiheessa järjestys voidaan vaihtaa,
matriisilla jonka elementit ovat kompleksilukuja. Tälle
sillä A jk ,B ki ovat pelkkiä lukuja (matriisin elementtejä),
matriisille ovat voimassa kaikki samat tulokset kuin yllä
eivät matriiseja! Yleensä matriisien järjestystä ei voida
reaaliselle matriisillekin.
vaihtaa.
Matriisin A konjugaatti A ∗ on matriisi jonka kaikki
Olkoon A neliömatriisi. Silloin A on
symmetrinen, jos A T elementit ovat A:n elementtien kompleksikonjugaatteja:
= A eli A ij = A ji . (samat elementit
symmetrisesti diagonaalin molemmin puolin!)
(A ∗ ) ij = A ∗
antisymmetrinen, jos A T ij
= −A eli A ij = −A ji .
Antisymmetristen matriisien diagonaalielementit Jos pätee A ∗ = A, matriisi on reaalimatriisi.
häviävät, ts. A ii = −A ii = 0.
Hermiittinen konjugaatti A
Useimmat matriisit eivät ole symmetrisiä eivätkä
†
Hermiittinen konjugointi on transpoosin ja konjugoinnin
antisymmetrisiä.
yhdistelmä:
Ilmeisesti pätee:
(A T ) T = A, (A+B) T = A T +B T A † = (A ∗ ) T = (A T ) ∗ , (A † ) ij = (A ji ) ∗
75

A on hermiittinen, jos A † = A, ja antihermiittinen, jos
A † = −A.
Ominaisuuksia:
(A † ) † = A, (A+B) † = A † +B † , (AB) † = B † A †
Esim. Paulin spinmatriisit
( ) ( 0 1 0 −i
σ 1 = , σ
1 0 2 =
i 0
) ( 1 0
, σ 3 =
0 −1
)
σ 1 ja σ 3 ovat symmetrisiä: σ T 1 = σ 1 , σ T 3 = σ 3 .
σ 2 on antisymmetrinen: σ T 2 = −σ 2 .
σ 1 ja σ 3 ovat reaalimatriiseja: σ ∗ 1 = σ 1
Kaikki σ i ovat hermiittisiä, esim. σ † 2 = σ 2.
Jos x,y ∈ C n eli ovat n-komponenttisia
kompleksivektoreita, niin niiden sisätulo (eli pistetulo)
voidaan esittää muodossa
x † y = x ∗ iy i , y † x = y ∗ ix i = (x † y) ∗
Käänteismatriisi A −1
Olkoot A ja B n×n -neliömatriiseja. Jos pätee
AB = BA = I
matriisia B kutsutaan A:n käänteismatriisiksi ja
merkitään A −1 . Siis
A −1 A = AA −1 = I
Huom. Kaikille neliömatriiseille ei löydy
käänteismatriisia.
Jos A −1 on olemassa, sanotaan että A on säännöllinen eli
kääntyvä
Jos A −1 ei ole olemassa, A on singulaarinen tai
ei-säännöllinen.
Käänteismatriisi on yksikäsitteinen: jos sekä B että C
ovat A:n käänteismatriiseja, niin välttämättä B = C.
Todistus: B(AC) = (BA)C ⇒ BI = IC ⇒ B = C.
76

Käänteismatriiseille pätee
(AB) −1 = B −1 A −1
Todistus:
(B −1 A −1 )(AB) = B −1 B = I, ja
(AB)(B −1 A −1 ) = A −1 A = I.
Siis (AB) −1 = B −1 A −1 .
Jos käänteismatriisi on olemassa, niin pätee
(A T ) −1 = (A −1 ) T , (A † ) −1 = (A −1 ) † .
Tod. (A −1 ) T A T = (AA −1 ) T = I T = I, eli (A −1 ) T on
A T :n käänteismatriisi.
Ei-singulaarisen matriisin käänteismatriisin löytäminen ei
ole aina kovin yksinkertaista. Myöhemmin palataan
konsteihin joilla käänteismatriisi voidaan löytää.
Suurten matriisien käänteismatriisien löytäminen
numeerisesti onkin oma tieteenalansa, ja yksi
tärkeimmistä numeeristen algoritmien luokasta.
Esim. Matriisi ( ) 1 1
A =
0 1
on säännöllinen, sen käänteismatriisi on
( )
A −1 1 −1
=
0 1
AA −1 = A −1 A = I (tarkista!)
Matriisi ( ) 1 1
B =
1 1
on puolestaan singulaarinen: jos C on mielivaltainen
2×2-matriisi,
( )( ) ( )
1 1 c11 c
BC =
12 c11 +c
= 21 c 12 +c 22
1 1 c 21 c 22 c 11 +c 21 c 12 +c 22
mikä selvästikään ei voi olla yksikkömatriisi millään c ij :n
arvoilla.
Neliömatriisi on ortogonaalinen, jos
ja unitaarinen, jos
A T = A −1 .
A † = A −1
Ortogonaaliset matriisit säilyttävät reaalivektorien
pistetulon:
(Ay) T (Ax) = y T A T Ax = y T A −1 Ax = y T x
ja unitaariset matriisit kompleksivektorien:
Esim. Paulin spinmatriisit ovat kaikki unitaarisia: esim.
( )( ) ( )
σ † 0 1 0 1 1 0
1 σ 1 = =
1 0 1 0 0 1
Samoin σ † 2 σ 2 = I, σ † 3 σ 3 = I.
σ 1 ja σ 3 ovat myös ortogonaalisia, mutta σ 2 ei ole.
9.5 Matriisin jälki TrA ja determinantti
detA
Neliömatriisien jälki (engl. trace) ja sen determinantti
ovat tärkeimpiä matriiseja karakterisoivia lukuja. Ne ovat
määriteltyjä ainoastaan neliömatriiseille.
9.5.1 Jälki TrA
Neliömatriisin jälki on sen diagonaalielementtien summa:
TrA = A 11 +A 22 +...+A nn = ∑ i
A ii
Jos A on n×m matriisi ja B on n×m-matriisi, niin AB
on n×n ja
Tr(AB) =
BA on taas m×m ja
n∑
(AB) ii =
i=1
j=1
n∑
i=1 j=1
j=1 i=1
m∑
A ij B ji
m∑ m∑ n∑
Tr(BA) = (BA) jj = B ji A ij
(Tai lyhyesti Tr(AB) = (AB) ii = A ij B ji jne.) Siis pätee
mikä yleistyy muotoon
Tr(AB) = Tr(BA)
Tr(A 1 A 2 ...A k ) = Tr(A k A 1 ...A k−1 )
eli matriiseja voi permutoida syklisesti ilman että jälki
muuttuu.
Esim. Tr(ABC) = Tr(CAB) = Tr(BAC).
Heti nähdään että myös
Tr(A+B) = TrA+ TrB
9.5.2 Determinantti detA
Tarkastellaan tason lineaarikuvausta
( ) (
y1 1 1
y = Ax ⇔ =
y 2 −1 2
)(
x1
x 2
)
(Ay) † (Ax) = y † A † Ax = y † x
Huom: jos A on reaalimatriisi, A T = A † .
Tämä kuvaa tason neliöt suunnikkaiksi (yleinen
lineaarikuvausten ominaisuus!). Esim. yksikköneliö
kuvautuu seuraavasti:
77

(0,0) → (0,0)
(1,0) → (1,−1)
(0,1) → (1,2)
(1,1) → (2,1)
Nämä pisteet muodostavat todellakin suunnikkaan
(piirrä!). Yksikköneliön pinta-ala on 1, ja suunnikkaan
pinta-ala saadaan esim. ristitulosta
|(1,−1)×(1,2)| =
∣∣
i j k
1 −1 0
1 2 0
∣∣ = |1×2+1×1| = 3
Huomataan myös että detA = 2+1 = 3.
Tämä tulos pätee täysin yleisesti: mielivaltainen 2×2
matriisi A kuvaa pinta-alan a pinta-alaksi adet(A).
Tämä yleistyy: n×n-matriisi A kuvaa n-ulotteisen
tilavuuselementin detA-kertaiseksi, missä detA on
matriisin determinantti.
Vertaa Jacobin determinanttiin! Se pohjautuu juuri tähän
tulokseen.
Katsotaan nyt kuinka determinantti lasketaan.
2×2 ja 3×3-matriisien determinantti tuli jo tutuksi
vektorien kolmitulon yhteydessä. Yleisesti n×n-matriisin
A determinantti on
n∑
detA = ǫ ijk... A 1i A 2j A 3k ...
ijk...=1
missä indeksejä ijk... on n kappaletta. Tässä ǫ ijk... on
Levi-Civita symboli:
⎧
⎨ +1, kun ijk... on 123... parillinen permutaatio
ǫ ijk... = −1, kun ijk... on 123... pariton permutaatio
⎩
0, kun mikä tahansa indeksi toistuu
Siis: valitaan matriisin jokaiselta vaakariviltä yksi alkio
siten, että ne ovat aina eri pystyriveiltä ja kerrotaan
keskenään. Jos rivit ovat 123...:n pariton permutaatio
kerrotaan -1:llä. Käydään läpi kaikki permutaatiot ja
summataan yhteen.
Esim. 2×2-matriisin determinanttiNyt ǫ 12 = −ǫ 21 = 1,
ǫ 11 = ǫ 22 = 0.
( )
a11 a
detA = det 12
a 21 a 22
=
2∑
ǫ ij a 1i a 2j
ij=1
= ǫ 11 a 11 a 21 +ǫ 12 a 11 a 22 +ǫ 21 a 12 a 21 +ǫ 22 a 12 a 22
= a 11 a 22 −a 12 a 21
mikä on sama tulos kuin aiemmin. Samoin 3×3
-matriisin determinantti palautuu vanhaan tulokseen.
Kirjoitetaan mukavuuden vuoksi matriisi A pystyriviensä
A i avulla:
A = (A 1 ,A 2 ,...,A n )
Determinantin määritelmästä voidaan suoraviivaisesti
nähdä
det(...,A i ,...,A j ,...) = −det(...,A j ,...,A i ,...)
eli determinantti vaihtaa etumerkkiä jos kaksi pystyriviä
(tai vaakariviä) vaihdetaan keskenään.
det(A 1 ,...,λA i ,...) = λdet(A 1 ,...,A i ,...)
missä λ on reaali- tai kompleksiluku. Tästä seuraa
det(λA) = λ n detA
jos A on n×n matriisi.
Determinantin kehittäminen vaakarivin suhteen:
Determinantti voidaan kehittää mielivaltaisen vaakarivin
i suhteen seuraavasti:
n∑
detA = A ij cofA ij
missä kofaktori on
j=1
cofA ij = (−1) i+j D ij (9.1)
ja missä D ij on sen (n−1)×(n−1) matriisin
determinantti mikä saadaan poistamalla matriisista A
vaakarivi i ja pystyrivi j. Tätä sääntöä käytettiin
aiemmin 3×3 matriisien determinantteihin.
Tämä pätee myös mielivaltaisille pystyriville j:
detA =
n∑
A ij cofA ij
i=1
Determinantille pätee:
detA = 0, jos A:ssa on kaksi samaa vaaka- tai pystyriviä
detA ei muutu, jos sen johonkin vaaka/pystyriviin
lisätään tai siitä vähennetään muiden vaaka/pystyrivien
mielivaltainen lineaarikombinaatio
Näitä sääntöjä voidaan käyttää determinanttien
“sieventämiseen” ja oikomaan niiden laskemista.
Esim. Lasketaan
∣
1 0 3 1
1 2 3 1
0 1 1 1
−1 1 1 0
lisäämällä ja vähentämällä lineaarikombinaatioita niin
että 1. vaakarivi tulee nollaksi, paitsi 1. elementti.
Vähennetään 3×(pystyrivi 1) pystyrivistä 3, vähennetään
pystyrivi 1 pystyrivistä 4, ja kehitetään 1. vaakarivin
suhteen:
=
∣
1 0 0 0
1 2 0 0
0 1 1 1
−1 1 4 1
∣
= (−1) 1+1 1×
∣
∣
2 0 0
1 1 1
1 4 1
∣
78

Kehitetään jälleen 1. rivin suhteen:
= (−1) 1+1 2
∣ 1 1
4 1 ∣ = 2(1−4) = −6
HUOM: kuten yllä, determinanttia merkitään usein
samalla merkinnällä kuin itseisarvoa: |A| = detA. Tällöin
determinantin itseisarvoa merkitään ||A||.
Matriisien tulon determinantille pätee tärkeä tulos
det(AB) = detAdetB
Tämän näkee suoraviivaisella mutta hieman työläällä
pyörittämisellä, ja jätetään todistus tässä väliin.
Käänteismatriisi ja determinantti
Determinantti ilmoittaa suoraan onko matriisi A
säännöllinen, ts. löytyykö A −1 :
detA ≠ 0 ⇔ A säännöllinen ⇔ A −1 olemassa
Käänteismatriisin elementit ovat
(A −1 ) ij = cofA ji
detA = (−1)i+j D ji
detA
missä kofaktorit määriteltiin kaavassa (9.1). Huomaa
että kofaktorin indeksit tulevat “väärässä” järjestyksessä.
Näytetään tämä: muistetaan että
∑
detA = A ik cofA ik
k
vaivattomin tapa laskea sitä (suurille matriiseille), vaan
käytetään esim. Gaussin eliminointimenetelmää
(myöhemmin).
Esim. 2×2 matriisin käänteismatriisi: Olkoon
A =
( a b
c d
)
, detA ≠ 0
Nyt D ij on se determinantti mikä saadaan poistamalla
A:sta rivi i ja pystyrivi j. 2×2 matriiseille tämä on
yksinkertaisesti ( )
d c
D =
b a
Nyt siis
eli
Esim.
A −1 = 1 (
d −b
detA −c a
(A −1 ) ij = (−1)i+j D ji
detA
A =
)
=
(
1 2
2 3
(
1 d −b
ad−bc −c a
Nyt detA = −1 ≠ 0, siis A −1 on olemassa. Nyt
( )
3 2
D =
2 1
)
)
Nyt huomataan että
∑
k
A jk cofA ik = δ ji detA
sillä jos j ≠ i, niin kaavan vasen puoli vastaa sellaisen matriisin
determinanttia mikä saadaan A:sta korvaamalla rivi i rivillä j.
Koska nyt matriisissa on kaksi samaa vaakariviä, sen
determinantti = 0.
Jakamalla detA:lla saadaan
∑ cofA ik
∑
A jk
detA = A jk B ki = δ ji
k
k
eli
missä B ki = cofA ik /detA.
AB = I
Tämä näytti että jos detA on olemassa, käänteismatriisin lauseke
saadaan sen ja kofaktorin avulla.
Näytetään vielä että jos matriisi A on säännöllinen (siis
A −1 on olemassa), siitä seuraa että detA ≠ 0:
detI = 1 = det(A −1 A) = detAdetA −1 ⇒ detA ≠ 0.
Lisäksi nähdään
detA −1 = 1/detA
HUOM: yllä esitetty tapa antaa käänteismatriisin
suljetussa muodossa. Se ei kuitenkaan ole tavallisesti
ja
eli
(A −1 ) ij = 1
detA (−1)i+j D ji =
A −1 =
(
−3 2
2 −1
9.6 Lineaariset yhtälöryhmät
Monissa yhteyksissä tapaamme lineaarisen yhtälöryhmän,
esim.
eli lyhyesti
)
A 11 x 1 +A 12 x 2 = b 1
A 21 x 1 +A 22 x 2 = b 2
Ax = b
Tässä siis A on joku tunnettu kerroinmatriisi, b annettu
vektori ja halutaan ratkaista x.
Kukin kahdesta yo. yhtälöstä määrää suoran
(x 1 ,x 2 )-koordinaateissa. Kahden yhtälön yhtälöryhmällä
siis pyritään määräämään suorien leikkauspiste.
Milloin yo. yhtälöryhmällä on ratkaisu? Jos nyt
detA ≠ 0, käänteismatriisi A −1 on olemassa ja
A −1 Ax = x = A −1 b
79

on yhtälön ainoa ratkaisu.
Entä jos detA = A 11 A 22 −A 12 A 21 = 0? Tällöin ei yleensä
ratkaisua ole, ellei sitten käy niin että yllä molemmat
yhtälöistä ovat vakiokerrointa vaille samat. Nimittäin
tällöin A:n ensimmäinen ja toinen rivi ovat kerrointa
vaille samat, ja detA = 0. Tässä tapauksessa yhtälöt
määräävät saman suoran, ja ratkaisuja on äärettömästi:
x 2 = 1
A 12
(b 1 −A 11 x 1 )
Siis:
a) jos detA ≠ 0, suorat eivät ole yhdensuuntaisia ja ∃
ratkaisu x = A −1 b.
b) jos detA = 0, suorat ovat yhdensuuntaiset. Nyt
riippuu vektorista b kuvaavatko yhtälöt kahta
yhdensuuntaista suoraa (ei ratkaisua) vai samaa suoraa
(äärettömästi ratkaisuja).
Tämä kaikki yleistyy luonnollisesti n×n-matriiseihin.
Siis, jos detA ≠ 0, yhtälöryhmällä
Ax = b
on yksikäsitteinen ratkaisu x = A −1 b. Erityisesti yhtälöllä
Ax = 0
on vain ratkaisu x = 0, jos detA ≠ 0. Kirjoittamalla tämä
muotoon ∑
A ij x j = 0 ⇒ ∑ Â j x j = 0
j
j
vain jos x j = 0, ja missä Âi on A:n pystyrivistä i
koostuva pystyvektori, niin nähdään seuraava tulos:
detA ≠ 0 ⇔ A:n pystyvektorit lineaarisesti
riippumattomia.
Sama pätee myös vaakavektoreille.
9.6.1 Yhtälöryhmän ratkaisu
eliminointimenetelmällä
Olkoon meillä yhtälö (detA ≠ 0)
Ax = b ⇒ x = A −1 b
Tässä tapauksessa käänteismatriisia ei useimmiten
kannata laskea, vaan ratkaista yhtälöryhmä
eliminointimenetelmällä:
Esim.
(
2 1
1 −2
)(
x
y
)
=
(
2x+y
x−2y
)
=
(
5
−5
Nyt detA = −5 ≠ 0, joten yhtälö kääntyy. Pyrkimyksenä
on eliminoida jälkimmäisestä yhtälöstä x lisäämällä
ensimmäinen yhtälö sopivasti kerrottuna. Lisäksi
ensimmäisestä eliminoidaan y. Tämä voidaa
systematisoida seuraavasti:
)
( )( ) 2 1 5 ×1/2
(
1 −2
)(
−5
)
1 1/2 5/2
(
1 −2
)(
−5
)
väh. rivi 1
1 1/2 5/2
0 −5/2 −15/2 ×−2/5
( )( )
1 1/2 5/2 väh. rivi 2 ×1/2
(
0 1
)( )
3
1 0 1
0 1 3
Yhtälön ratkaisu on siis x = (1 3) T , mikä voidaan heti
tarkistaa.
Päämäärä on siis lisätä ja vähentää rivejä sopivasti
kerrottuina niin että vasemmalle saadaan yksikkömatriisi.
Esim.
⎛
⎝
1 −1 1
1 1 −1
1 2 −3
⎞⎛
⎠⎝
x
y
z
⎞
⎛
⎠ = ⎝
Eliminoidaan ⎛ ⎞⎛
⎞
1 −1 1 0
⎝ 1 1 −1 ⎠⎝
1 ⎠ −rv.1
1 2 −3 −1 −rv.1
⎛
⎝ 1 −1 1
⎞⎛
0 2 −2 ⎠⎝ 0 ⎞
1 ⎠ +(1/2)rv.2
×1/2
0 3 −4 −1 −(3/2)rv.2
⎛ ⎞⎛
⎞
1 0 0 1/2
⎝ 0 1 −1 ⎠⎝
1/2 ⎠ −rv.3
0 0 −1 −5/2 ×−1
⎛
⎞⎛
1 0 0
⎝ 0 1 0 ⎠⎝
0 0 1
Siis ratkaisu on
1/2
3
5/2
⎞
⎠
⎛
x = ⎝
1/2
3
5/2
0
1
−1
Huom: jos matriisin det = 0, eliminointimenetelmä kertoo
sen: ei voida konstruoida I-matriisia.
9.6.2 Matriisin kääntäminen Gaussin
eliminointimenetelmällä
Eliminointimenetelmällä voidaan (lähes) samalla vaivalla
ratkaista usea muotoa
⎞
⎠
Ax = b i , i = 1...n
oleva yhtälö: kirjoitetaan vain rinnan
(A)(b 1 )(b 2 )...
ja eliminoidaan rivejä niin että A:n tilalle tulee
yksikkömatriisi, ja tehdään sama eliminointi kaikille b i .
Lopputuloksena voimme lukea b i :n paikalta yhtälöryhmän
Ax = b i ratkaisun.
⎞
⎠
80

Tämä toimii myös jos b i = ê i , standardikannan vektori.
Nyt lopputuloksena saadaan A:n käänteismatriisi.
Esim. Edellisen esimerkin matriisin
⎛
⎝
1 −1 1
1 1 −1
1 2 −3
käänteismatriisi: ⎛
⎝ 1 −1 1
⎞⎛
1 1 −1 ⎠⎝ 1 0 0
⎞
0 1 0 ⎠ −rv.1
1 2 −3 0 0 1 −rv.1
⎛ ⎞⎛
⎞
1 −1 1 1 0 0 +(1/2)rv.2
⎝ 0 2 −2 ⎠⎝
−1 1 0 ⎠ ×1/2
0 3 −4 −1 0 1 −(3/2)rv.2
⎛ ⎞⎛
⎞
1 0 0 1/2 1/2 0
⎝ 0 1 −1 ⎠⎝
−1/2 1/2 0 ⎠ −rv.3
⎛
0 0 −1
⎞⎛
1/2 −3/2 1
⎞
×−1
1 0 0 1/2 1/2 0
⎝ 0 1 0 ⎠⎝
−1 2 −1 ⎠
0 0 1 −1/2 3/2 −1
Siis käänteismatriisi on
⎛ ⎞
1/2 1/2 0
⎝ −1 2 −1 ⎠
−1/2 3/2 −1
mikä nähdään kokeilemalla.
HUOM: joskus diagonaalille uhkaa tulla 0. Tämä ei ole
ongelma, sillä tähän riviin voidaan lisätä/vähentää
sopivasti joku alla olevista riveistä niin että diagonaalille
tulee 1. Jos tämä ei millään onnistu, on det = 0.
Usein eliminointi on helpompaa tehdä niin että ei tule
murtolukuja.
Esim. Matriisin
⎛
A = ⎝
2 3 5
1 2 4
3 1 0
käänteismatriisi. ⎛ ⎞⎛
⎞
2 3 5 1 0 0
⎝ 1 2 4 ⎠⎝
0 1 0 ⎠ ×2−(rv.1)
3 1 0 0 0 1 −3×(rv.2)
⎛ ⎞⎛
⎞
2 3 5 1 0 0 −3×(rv.2)
⎝ 0 1 3 ⎠⎝
−1 2 0 ⎠
⎛
0 −5 −12
⎞⎛
0 −3
⎞
1 +5×(rv.2)
2 0 −4 4 −6 0 ×3+4×(rv.3)
⎝ 0 1 3 ⎠⎝
−1 2 0 ⎠ −(rv.3)
0 0 3 −5 7 1
⎛
⎝
⎛
⎝
6 0 0
0 1 0
0 0 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎞⎛
⎠⎝
⎞⎛
⎠⎝
−8 10 4
4 −5 −1
−5 7 1
⎞
⎠
−4/3 5/3 2/3
4 −5 −1
−5/3 7/3 1/3
⎞
⎠
⎞
⎠
×1/6
×1/3
⎞
⎠
Käänteismatriisi on siis
⎛
A −1 = 1 ⎝
3
−4 5 2
12 −15 −3
−5 7 1
9.7 Ominaisarvot ja -vektorit
Jos A on n×n-matriisi, ja jos löytyy vektori x ≠ 0 siten
että
Ax = λx
missä λ on skalaari (yleisesti kompleksiluku), sanotaan
että
x on A:n ominaisvektori ja
λ on vektoriin x liittyvä ominaisarvo
Ominaisvektorit siis säilyttävät suuntansa
lineaarikuvauksissa. Ne ovat aina erityisasemassa, ja
vastaavat kuvausten “pääakseleita”.
Ominaisarvoille pätee: A on säännöllinen ↔ A:n kaikki
ominaisarvot ≠ 0.
Tod. Jos λ = 0, niin vastaava ominaisvektori Ax = 0.
Koska x ≠ 0, tämä toteutuu jos ja vain jos detA = 0, siis
A ei ole säännöllinen.
Ominaisvektorit eivät ole yksikäsitteisiä: ne voidaa kertoa
vakiolla ja ne ovat edelleen ominaisvektoreita. Samalla
ominaisarvolla voi myös olla useita lineaarisesti
riippumattomia ominaisvektoreita.
Esim. Yksikkömatriisi I toteuttaa Ix = x kaikilla x. Siis
kaikki vektorit ovat sen ominaisvektoreita ominaisarvolla
1.
Pätee: A:n ominaisarvot ovat yhtälön
det(A−λI) = 0
juuret.
Tod. Jos λ on ominaisarvo, on
Ax = λx = λIx ⇒ (A−λI)x = 0. Tällä on ratkaisu kun
x ≠ 0 vain jos det(A−λI) = 0.
Jos A on n×n-matriisi, det(A−λI) on n:n asteen
polynomi λ:n suhteen:
det(A−λI) =
∣
Yhtälö
⎞
⎠
A 11 −λ A 12 ··· A 1n
A 21 A 22 −λ ··· A 2n
.
A n1 ··· A nn −λ
P n (λ) = 0
≡ P n (λ)
∣
(9.2)
on A:n karakteristinen yhtälö, ja sen ratkaisut ovat A:n
ominaisarvot. Näiden avulla P n voidaan kirjoittaa
muotoon
∏ n
P n (λ) = (−1) n (λ−λ 1 )(λ−λ 2 )... ≡ (−1) n (λ−λ i )
i=1
(9.3)
81

(nähdään kaavasta (9.2) että λ n :n kerroin on (−1) n ).
Tästä seuraa että
P n (0) =
n∏
λ i = detA
i=1
Kertalukuun λ n−1 on otettava (9.2) diagonaalilta kaikki
λ:t paitsi vuorollaan yksi A ii . Samoin karakteristisen
polynomin ekspansiosta (9.3):
termi λ n−1 :
Siis saamme tulokset:
Esim. Matriisin
∑
A ii (−λ) n−1 = (−λ) n−1∑
i
i
detA = λ 1 λ 2 ... =
n∏
i=1
TrA = λ 1 +λ 2 +... =
A =
( 2 1
0 1
)
λ i
n∑
i=1
ominaisarvot:
det(A−λI) =
∣ 2−λ 1
0 1−λ ∣ = (2−λ)(1−λ) = 0
minkä ratkaisut ovat λ = 2 ja λ = 1. Tässä tapauksessa
karakteristinen yhtälö oli yksinkertainen.
Esim. Yleinen 2×2-matriisi
A =
( a b
c d
)
,
λ i
λ i
= −(2−λ)(1+λ)(1−λ)+4(1−λ)+6−3(1−λ)
= −λ 3 +2λ 2 −6λ+5 = (1−λ)(λ 2 −λ+5) = 0
Ominaisarvot ovat siis
λ 1 = 1, λ 2,3 = 1 2 ± 1 2
√
1−20 =
1
2 (1±i√ 19)
Ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori saadaan
yhtälöstä
Av = λv
Esim. jos
A =
( 1 1
2 0
niin sen ominaisarvot ovat
det(A−λI) =
∣ 1−λ 1
2 −λ ∣ = λ2 −λ+2 = 0
joten ominaisarvot λ 1 = 2, λ 2 = −1.
1. Ominaisvektori:
( )( ) ( )
1 1 x1 x1
= 2
2 0 y 1 y 1
)
{
x1 +y
⇒ 1 = 2x 1
2x 1 = 2y 1
minkä ratkaisu on x 1 = y 1 (molemmista sama ehto). Siis
ominaisarvoa λ 1 = 2 vastaava ominaisvektori
( )
1
v 1 = vakio
1
2. ominaisvektori:
( 1 1
2 0
)( ) ( )
x2 x2
= −1
y 2 y 2
{
Karakteristinen yhtälö on
x2 +y
⇒ 2 = −x 2
⇒ y det(A−λI) =
∣ a−λ b
2x 2 = −y 2 = −2x 2
2 c d−λ ∣ = λ2 −(a+d)λ+(ad−bc) Siis ominaisarvoa λ 2 = −1 vastaava ominaisvektori
= λ 2 ( )
− TrAλ+detA = 0
1
v 2 = vakio
−2
Huom: tämä pätee vain 2×2-matriiseille.
Esim. Etsitään matriisin
Ominaisvektorit on usein tapana normittaa: määrätään
⎛ ⎞ vakio niin että |v| = 1. Edellä normitetut vektorit ovat siis
2 −2 3
A = ⎝ 2 −1 0 ⎠
−1 1 1
v 1 = 1 ( )
1
√ v 2 1 2 = 1 ( )
1
√
5 −2
2−λ −2 3
Pystyvektorit ovat ortogonaalisia, jos niiden välinen
ominaisarvot: det(A−λI) =
2 −1−λ 0
pistetulo (sisätulo) häviää:
∣ −1 1 1−λ ∣
= (2−λ)
∣ −1−λ 0
∣ ∣∣∣ 1 1−λ ∣ −(−2) 2 0
n∑
−1 1−λ ∣ +
x † y = x ∗ iy i = 0
i=1
3
2 −1−λ
∣ −1 1 ∣
Olkoon matriisi A hermiittinen, ts. A † = A. Sille pätee
82

Hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaaliset, ja eri
ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ortogonaaliset
Tod. Olkoon Ax = λx. Nyt
ja toisaalta
x † Ax = λx † x
x † Ax = x † A † x = (Ax) † x = (λx) † x = λ ∗ x † x
Siis λ ∗ = λ.
Olkoon nyt λ 1 , λ 2 kaksi erisuurta ominaisarvoa, ja niiden
ominaisvektorit x 1 , x 2 . Nyt
x † 2 Ax 1 = λ 1 x † 2 x 1.
Toisaalta
x † 2 A† x 1 = (Ax 2 ) † x 1 = λ 2 x † 2 x 1
Koska λ 2 ≠ λ 1 , tämä voi pitää paikkansa vain jos
x † 2 x 1 = 0.
Liite A. Kreikkalaiset kirjaimet
Pienet kirjaimet
α alfa θ theta π pi
β beta ι iota ρ ro
γ gamma κ kappa σ sigma
δ delta λ lambda τ tau
ǫ epsilon µ my υ ypsilon
ζ zeta ν ny φ fi
η eta ξ xi χ khi
ψ psi ω omega
Isot kirjaimet
Γ Gamma Λ Lambda Σ Sigma
∆ Delta Ξ Xi Υ Ypsilon
Θ Theta Π Pi Φ Fi
Ψ Psi Ω Omega
83

Liite B. Joukko-oppia
Joukko koostuu alkioista (jäsenistä, elementeistä). Kun
halutaan ilmoittaa, että joukon A alkiot ovat a 1 ,a 2 ,...
käytetään usein merkintää
A = {a 1 ,a 2 ,...}.
Joukko voi olla tyhjä, ts. siinä ei ole yhtään jäsentä.
Tyhjästä joukosta käytetään merkintää ∅.
Jos joukon A jäsenet toteuttavat jonkun tietyn ehdon,
merkitään
A = {x|ehto x:lle}.
Esimerkiksi
I = {x|0 ≤ x ≤ 1}
on välillä 0 ja 1 olevien (reaali)lukujen joukko.
Merkintä a ∈ A ilmoittaa, että a on joukon A jäsen, a
kuuluu joukkoon A. Jos kaikki joukon A alkiot ovat myös
joukon B alkioita, merkitään A ⊂ B (B ⊃ A) ja
sanotaan, että A kuuluu joukkoon B tai että A on joukon
B osajoukko.
Joukkojen A ja B yhtäsuuruus tarkoittaa, että
molemmissa joukoissa on samat jäsenet, ts. A ⊂ B ja
B ⊂ A. Luonnollinen merkintä yhtäsuuruudelle on A = B.
Kahden joukon A ja B yhteisistä jäsenistä koostuvaa
joukkoa A∩B sanotaan leikkaukseksi. Ilmeisestikin on
voimassa A∩B = B ∩A, A∩B ⊂ A ja A∩B ⊂ B.
Yhdiste A∪B on molempien joukkojen A ja B alkioista
koostuva joukko. Se toteuttaa mm. relaatiot
A∪B = B ∪A, A ⊂ A∪B ja B ⊂ A∪B.
Liite C. Kvanttorit
Matematiikassa käytetään usein ilmauksia on olemassa
ja kaikilla. Esimerkkilauseita voisivat olla vaikkapa: on
olemassa sellainen reaaliluku x, että x 2 = a kun a ≥ 0
tai
kaikilla reaaliluvuilla x on voimassa x 2 ≥ 0.
Päästään hieman vähemmällä kirjoittamisella, kun
otetaan käyttöön formaalin logiikan kvanttorit ∃ ja ∀
ilmaisemaan olemassaoloa (eksistenssiä) ja
yleispätevyyttä (universaalisuutta). Kvanttoreiden avulla
esimerkkilauseet voitaisiin kirjoittaa vaikkapa muotoihin
∃x ∈ R siten, että x 2 = a kun a ≥ 0
ja
x 2 ≥ 0 ∀x ∈ R.
Symbolilla R on tässä merkitty reaalilukujen joukkoa.
84

Liite D. Intervalleja, jatkuvuuksia, ...
Reaaliakselin yhtenäisistä osista intervalleista käytetään
usein merkintöjä
suljettu väli [a,b] tarkoittaa reaaliakselin väliä
a ≤ x ≤ b, ts. alku- ja loppupisteet kuuluvat mukaan.
avoin väli (a,b) tarkoittaa väliä a < x < b, ts. alku- ja
loppupisteet eivät kuulu väliin.
puoliavoimet välit (a,b] ja [a,b) tarkoittavat
vastaavasti välejä, joissa vain toinen päätepiste
kuuluu joukkoon.
Funktio f(x) on
rajoitettu jos tarkasteltavalla välillä on |f(x)| ≤ M,
missä 0 ≤ M < ∞.
jatkuva jos se ei ”hyppää”pisteestä toiseen,
paloittain jatkuva funktio jos se on jatkuva muualla
paitsi mahdollisesti äärellisen monessa tarkasteltavan
välin pisteessä.
85