Osat 1-9: MAPU I + II
Osat 1-9: MAPU I + II
Osat 1-9: MAPU I + II
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
N<br />
<br />
O<br />
O<br />
<br />
N<br />
1. Vektorit<br />
1.1 Vektorin käsite<br />
Fysikaalisten suureiden spesifioimiseksi ei useinkaan<br />
pelkkä suureen koko ole riittävä. Esimerkiksi liikettä<br />
kuvattaessa on yleensä tarpeen kertoa myös liikkeen<br />
suunta kolmiulotteisessa avaruudessamme. Liikkeen<br />
puolestaan aiheuttaa johonkin suuntaan vaikuttava jonkin<br />
suuruinen voima. Tällaisia suureita kuvaamaan on luotu<br />
vektorit.<br />
Vektori on suure, jolla on suunta ja suuruus. Skalaari<br />
puolestaan on suure, jolla on vain suuruus.<br />
Graafisesti vektori esitetään nuolena, jonka kärki osoittaa<br />
vektorin suunnan ja pituus vektorin suuruuden.<br />
) ) N ) O ) <br />
+ N<br />
+ <br />
) O<br />
+ O<br />
* O<br />
) <br />
) N<br />
+ + N + O + <br />
* * N * O * <br />
* <br />
* N<br />
Kuva 1.1 Vektorin esitys<br />
Määritelmän mukaan vektorin paikalla avaruudessa ei ole<br />
merkitystä. Esimerkiksi kuvan 1.1 kaikki kolme vektoria<br />
ovat samoja, ts.<br />
A = B = C.<br />
Merkintöjä<br />
Tekstissä vektoreita merkitään tavallisesti (mm. tässä esityksessä)<br />
lihavoitetuilla symboleilla (A, r,β,...). Käsin kirjoitettaessa<br />
vektoreiden päälle piirretään useimmiten yläviiva, Ā, joskus nuoli,<br />
⃗A.<br />
Valitussa koordinaatistossa vektori voidaan spesifioida<br />
esim.<br />
• antamalla kaksi suuntakulmaa, vaikkapa vektorin ja<br />
z-akselin välinen kulma sekä vektorin xy-tasolla<br />
olevan projektion ja x-akselin välinen kulma, ja<br />
vektorin pituus.<br />
• antamalla vektorin koordinaattiakseleilla olevien<br />
projektioiden pituudet (merkki huomioiden).<br />
Käytämme aluksi lähes yksinomaan jälkimmäistä esitystä.<br />
Vektorin A spesifioivat siis sen projektiot<br />
koordinaattiakseleille: kolmiulotteisessa avaruudessa<br />
reaalilukukolmikko (A x ,A y ,A z ),<br />
A = (A x ,A y ,A z ).<br />
Projektioita A x ,... sanotaan vektorin koordinaateiksi tai<br />
komponenenteiksi. Puhutaan myös vektorin<br />
komponenttiesityksestä.<br />
Koska vektorin paikalla ei ole merkitystä, voisimme<br />
siirtää kaikki vektorit valitsemamme koordinaatiston<br />
origoon, jolloin vektoria kuvaisivat sen kärjen<br />
koordinaatit. Kääntäen, mitä tahansa avaruuden pistettä<br />
voidaan pitää origosta lähtevän vektorin kärkenä. Tällöin<br />
puhutaan usein paikka- eli radiusvektorista.<br />
Kuva 1.2 Paikkavektori<br />
H 2 N O N O <br />
Esimerkiksi massapisteen paikkaa avaruudessa voisi<br />
kuvata paikkavektori<br />
r = (x,y,z).<br />
Jos piste on liikkeessä, niin sen koordinaatit x, y ja z ovat<br />
ajan funktioita, joten paikkavektorin r kärkikin liikkuu<br />
ajan myötä:<br />
H J <br />
Kuva 1.3 Liikkuva piste<br />
r = r(t) = (x(t),y(t),z(t)).<br />
H J <br />
Liikkuvan pisteen nopeus v määräytyy ilmeisestikin sen<br />
koordinaattien muutosnopeuksista ẋ(t), ẏ (t) ja ż(t), ts.<br />
v(t) = (ẋ(t),ẏ(t),ż(t)).<br />
Jos vielä sovimme, että vektori derivoidaan derivoimalla<br />
sen komponentit, voimme kirjoittaa ytimekkäästi<br />
v(t) = ṙ(t).<br />
Vektorin määritelmän perusteella vektorit a = (a x ,a y ,a z )<br />
ja b = (b x ,b y ,b z ) ovat yhtäsuuria jos ja vain jos niiden<br />
vastinkomponentit ovat yhtäsuuria, ts. jos ja vain jos<br />
a x = b x , a y = b y ja a z = b z . Tällöin merkitään a = b.<br />
1
)<br />
)<br />
)<br />
*<br />
*<br />
*<br />
)<br />
Vektorin ajatellaan olevan jotakin absoluuttista; vektori on<br />
olemassa ja pysyy samana käytettiinpä millaista koordinaatistoa<br />
tahansa tai toimittiinpa ilman koordinaatistoa. Vektorin esitys<br />
komponenttimuodossa sen sijaan riippuu valitusta<br />
koordinaatistosta. Mittakaava ja koordinaattiakseleiden suunnat<br />
vaikuttavat vektorin komponentteihin. Esimerkiksi vektoreiden<br />
yhtäsuuruudesta päätettäessä on pidettävä huoli siitä, että ne<br />
esitetään samassa koordinaatistossa.<br />
Määritellään nollavektori 0 siten, että<br />
) N<br />
) O<br />
) N ) O ) <br />
<br />
) N ) O <br />
<br />
Kuva 1.4 Vektorin pituus<br />
0 = (0,0,0). (1.1)<br />
) <br />
Vektorin suuruus on sama kuin vektorin pituus. Kuten<br />
kuvasta 1.4 nähdään, on vektorin A = (A x ,A y ,A z )<br />
pituus |A| Pythagoraan lauseen mukaan<br />
√<br />
|A| = A 2 x +A 2 y +A 2 z. (1.2)<br />
Hyvin usein vektorista käytetty symboli ilman<br />
vektorimerkintää tarkoittaa ko. vektorin pituutta, esim.<br />
A = |A|.<br />
Ilmeisestikin A = 0 jos ja vain jos |A| = 0. Tämän vuoksi<br />
hyvin usein jätetään vektorimerkintä pois nollavektorista.<br />
1.2 Vektorialgebra<br />
Skalaarilla kertominen<br />
Olkoon A = (A x ,A y ,A z ) jokin vektori ja λ jokin<br />
reaalinen vakio. Silloin λA on vektori<br />
λA = (λA x ,λA y ,λA z ). (1.3)<br />
Skalaarilla λ kerrottaessa vektori siis säilyttää suuntansa<br />
jos λ > 0 tai kääntyy vastakkaiseen suuntaan jos λ < 0.<br />
Vektorin pituus muuttuu vakiolla λ kerrottaessa kuten<br />
|λA| = |λ||A|.<br />
Yhteen- ja vähennyslasku<br />
Vektorien A = (A x ,A y ,A z ) ja B = (B x ,B y ,B z ) summan<br />
määrittelee yhtälö<br />
A+B = (A x +B x ,A y +B y ,A z +B z ). (1.4)<br />
ja erotuksen yhtälö<br />
A−B = A+(−1)B<br />
= (A x −B x ,A y −B y ,A z −B z ).<br />
(1.5)<br />
) *<br />
) *<br />
Kuva 1.5 Vektorien yhteen- ja vähennyslasku<br />
Graafisesti kahden vektorin A ja B summa siis<br />
muodostetaan siirtämällä esim. vektori B siten, että sen<br />
kanta yhtyy vektorin A kärkeen. Summa- eli<br />
resultanttivektori A+B on silloin vektorin A kannasta<br />
vektorin B kärkeen ulottuva vektori. Erotusvektori<br />
voidaan puolestaan muodostaa siten, että siirretään<br />
molempien vektorien kannat samaan kohtaan. Erotus<br />
A−B on nyt vektorin B kärjestä vektorin A kärkeen<br />
ulottuva vektori.<br />
Laskutoimitusten ominaisuuksia<br />
Suoraan määritelmistä on helppo todeta, että<br />
• Vektoreiden yhteenlasku on kommutatiivinen, ts.<br />
A+B = B+A.<br />
• Vektoreiden yhteenlasku on assosiatiivinen, ts.<br />
A+(B+C) = (A+B)+C.<br />
Sulut voidaan siis tämän kaltaisissa lausekkeissa<br />
jättää merkitsemättä.<br />
• Skalaarilla kertominen on distributiivinen, ts.<br />
λ(A+B) = λA+λB.<br />
Yksikkövektorit<br />
Yksikkövektori on sellainen vektori, jonka pituus on yksi.<br />
Esim. Vektorin A = (5,3, √ 2) suuntainen yksikkövektori<br />
Vektorin A pituus A on<br />
√<br />
A = |A| =<br />
Tällöin vektori<br />
5 2 +3 2 + √ 2 2 = √ 36 = 6.<br />
a = 1 A A = 1 6 (5,3,√ 2) = ( 5 6 , 1 2 , 1<br />
3 √ 2 )<br />
on vektorin A suuntainen. Se on ilmeisestikin myös<br />
yksikön mittainen, sillä<br />
∣ |a| =<br />
1 ∣∣∣<br />
∣A A = 1 A |A| = 1 A A = 1.<br />
2
Yksikkövektorit erotetaan usein kirjoittamalla ˆ-merkki vektorin<br />
yläpuolelle, kuten esim. ˆb. Jos samassa yhteydessä puhutaan<br />
myös vektorista b, niin silloin ˆb tarkoittaa yleensä vektorin b<br />
suuntaista yksikkövektoria.<br />
Koordinaattiakseleiden suuntaisia yksikkövektoreita<br />
sanotáan yksikkökoordinaattivektoreiksi tai lyhyesti<br />
kantavektoreiksi. Niitä merkitään usein kuten<br />
e x = (1,0,0)<br />
e y = (0,1,0)<br />
e z = (0,0,1).<br />
. Toinen hyvin paljon käytetty merkitsemistapa on<br />
(1.6)<br />
i = e x , j = e y ja k = e z . (1.7)<br />
Koska vektori voidaan kirjoittaa kuten<br />
A = (A x ,A y ,A z )<br />
= (A x ,0,0)+(0,A y ,0)+(0,0,A z )<br />
= A x (1,0,0)+A y (0,1,0)+A z (0,0,1),<br />
saadaan sille komponenttiesitykset<br />
A = A x e x +A y e y +A z e z<br />
= A x i+A y j+A z k.<br />
1.3 Vektoreiden tulot<br />
1.3.1 Pistetulo<br />
Vektoreiden A = (A x ,A y ,A z ) ja B = (B x ,B y ,B z )<br />
Pistetulon eli skalaaritulon A·B määrittelee kaava<br />
A·B = A x B x +A y B y +A z B z . (1.8)<br />
Merkintä A 2 tarkoittaa vektorin A skalaarituloa itsensä<br />
kanssa eli<br />
A 2 = A·A = A 2 x +A 2 y +A 2 z<br />
= |A| 2 .<br />
Vektorin pituus on siis ilmaistavissa skalaaritulon avulla<br />
kuten<br />
|A| = √ A·A = √ A 2 .<br />
Suoraan määritelmästä nähdään, että pistetulo<br />
• on kommutatiivinen, ts. A·B = B·A.<br />
• on distributiivinen: A·(B+C) = A·B+A·C.<br />
• skalaarilla kerrottaessa toteuttaa relaatiot<br />
λ(A·B) = (λA)·B = A·(λB).<br />
Esim. Cauchy-Schwartzin epäyhtälö<br />
Olkoot A ja B nollasta poikkeavia vektoreita ja λ<br />
mielivaltainen skalaari. Tarkastellaan vektoreiden λA ja<br />
B resultanttia λA+B ja erikoisesti sen pituuden neliötä<br />
q(λ) = |λA+B| 2 .<br />
Kuten näimme, vektorin pituuden neliö on vektorin<br />
skalaaritulo itsensä kanssa, ts.<br />
q(λ) = (λA+B)·(λA+B)<br />
= λ 2 A·A+λA·B+λB·A+B·B<br />
= λ 2 |A| 2 +2λA·B+|B| 2<br />
(<br />
= |A| 2 λ 2 +2λ A·B )<br />
|A| 2 +|B| 2 ,<br />
missä olemme käyttäneet hyväksi skalaaritulon<br />
ominaisuksia (distributiivisuus, kommutatiivisuus jne.).<br />
Täydennetään sulkujen sisällä oleva lauseke neliöksi ja<br />
saadaan<br />
(<br />
q(λ) = |A| 2 λ 2 +2λ A·B )<br />
|A| 2 + (A·B)2<br />
|A| 4<br />
− (A·B)2<br />
|A| 2 +|B| 2 .<br />
Hieman sieventäen ja ryhmittäen voimme kirjoittaa<br />
edellisen lausekkeen muotoon<br />
(<br />
q(λ) = |A| 2 λ+ A·B ) 2<br />
|A| 2<br />
+ 1<br />
|A| 2 (<br />
|A| 2 |B| 2 −(A·B) 2)<br />
Tämän muodon ensimmäinen termi on neliönä aina<br />
ei-negatiivinen, joten funktiolla q(λ) on minimi kun<br />
neliötermi on minimissään. Valitsemalla λ = −A·B/|A| 2<br />
saadaan neliötermi häviämään joten funktion q(λ) minimi<br />
q min on sama kuin jälkimmäinen termi. Pituuden neliönä<br />
q(λ) ei voi olla negatiivinen olipa λ mitä hyvänsä, joten<br />
myös sen minimille täytyy olla voimassa q min ≥ 0. Siis on<br />
|A| 2 |B| 2 −(A·B) 2 ≥ 0.<br />
Tämä on kirjoitettavissa Cauchy-Schwartzin epäyhtälönä<br />
tunnettuun muotoon<br />
|A·B| ≤ |A||B|. (1.9)<br />
Oletimme, että A ≠ 0 ja B ≠ 0. Jos nyt jompi kumpi tai<br />
molemmat ovat nollia, niin epäyhtälö on edelleenkin<br />
voimassa (yhtäsuuruutena).<br />
Esim. Kolmioepäyhtälö<br />
Vektorit A, B ja A+B muodostavat kolmion, jonka<br />
sivujen pituudet ovat |A|, |B| ja |A+B|. Kääntäen,<br />
3
)<br />
)<br />
D<br />
*<br />
*<br />
jokainen kolmio voidaan esittää kahtena vektorina ja<br />
niiden resultanttina.<br />
) *<br />
Kuva 1.6 Kolmioepäyhtälö<br />
Nyt on<br />
|A+B| 2<br />
= (A+B)·(A+B)<br />
= |A| 2 +2A·B+|B| 2<br />
≤ |A| 2 +2|A·B|+|B| 2<br />
≤ |A| 2 +2|A||B|+|B| 2<br />
= (|A|+|B|) 2 ,<br />
missä viimeistä edellisessä muodossa olemme soveltaneet<br />
Cauchy-Schwarzin epäyhtälöä. Päädymme siten<br />
kolmioepäyhtälönä tunnettuun relaatioon<br />
|A+B| ≤ |A|+|B|, (1.10)<br />
joka kertoo sen tutun tosiasian, että kolmiossa kahden<br />
sivun summa on aina suurempi tai yhtäsuuri kuin kolmas<br />
sivu.<br />
Pistetulon geometrinen merkitys<br />
Tarkastellaan nyt vektoreiden A, B ja A−B<br />
muodostamaa kolmiota.<br />
G<br />
) *<br />
) ? I G<br />
* ) ? I G<br />
Kuva 1.7 Pistetulon geometrinen merkitys<br />
Sivun A−B pituuden neliö on<br />
|A−B| 2<br />
= (A−B)·(A−B)<br />
= |A| 2 +|B| 2 −2A·B<br />
= A 2 +B 2 −2A·B,<br />
missä A ja B tarkoittavat vektoreiden A ja B pituuksia.<br />
Kuviosta 1.7 nähdään, että vektoreiden A, B ja A−B<br />
muodostaman kolmion korkeuden h neliö on<br />
h 2 = A 2 −A 2 cos 2 θ,<br />
missä θ on vektoreiden A ja B välinen kulma.<br />
Edelleen Pythagoraan lausetta soveltaen saamme<br />
|A−B| 2 = h 2 +(B −Acosθ) 2<br />
= A 2 −A 2 cos 2 θ<br />
+B 2 +A 2 cos 2 θ −2ABcosθ<br />
= A 2 +B 2 −2ABcosθ.<br />
Vertaamalla tätä aikaisempaan suureen |A−B| 2<br />
lausekkeeseen näemme, että<br />
A·B = ABcosθ. (1.11)<br />
Kuviosta 1.7 on luettavissa myös tulkinnat: A·B on<br />
• vektorin A projektion pituus vektorilla B kertaa<br />
vektorin B pituus tai<br />
• vektorin B projektion pituus vektorilla A kertaa<br />
vektorin A pituus.<br />
Vektoreiden välisen kulman θ kosini on lausuttavissa<br />
pistetulon avulla kuten<br />
cosθ = A·B<br />
|A||B| . (1.12)<br />
Ilmeisestikin vektorit A ja B ovat kohtisuorassa toisiaan<br />
vastaan jos A·B = 0 ja yhdensuuntaisia jos<br />
A·B = |A||B|. Erikoisesti kantavektoreille i, j ja k on<br />
voimassa<br />
i·j = i·k = j·k = 0<br />
eli ne ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, ts.<br />
ortogonaalisia. Koska vielä on<br />
i·i = j·j = k·k = 1,<br />
sanotaan näiden kantavektoreiden olevan ortonormaalisia.<br />
Kirjoitetaan vektori A komponenttimuodossa<br />
A = A x i+A y j+A z k.<br />
Kantavektoreiden ortonormaalisuuden perusteella on mm.<br />
A·i = A x i·i+A y j·i+A z k·i = A x<br />
Vektorin komponentit voidaan siten lausua skalaarituloina<br />
A x = A·i, A y = A·j ja A z = A·k.<br />
Kantavektoreiden ortonormaalisuudesta seuraa samoin se,<br />
että muodossa A = A x i+A y j+A z k ja<br />
B = B x i+B y j+B z k esitettyjen vektoreiden skalaaritulo<br />
on<br />
A·B = A x B x +A y B y +A z B z<br />
4
E<br />
<br />
<br />
)<br />
.<br />
<br />
H<br />
*<br />
)<br />
H<br />
eli yhtäpitävä määritelmän (1.8) kanssa. Esim. Voiman F = 2i−j−k tekemä työ sen siirtäessä<br />
kappaletta vektorin r = 3i+2j−5k kannasta kärkeen<br />
Määritelmän mukaan voiman tekemä työ on siirroksen<br />
suuntainen voima kerrottuna siirron pituudella.<br />
C<br />
= ><br />
G<br />
Kuva 1.8 Suuntakulmat<br />
Vektorin ja yksikkövektorin i välisen kulman eli vektorin . ? I G<br />
ja x-akselin välisen kulman α kosini on<br />
Kuva 1.9 Voiman tekemä työ<br />
cosα = A·i<br />
|A||i| = A x<br />
A , Kuvan mukaisesti voiman F tekemä työ on<br />
W = (F cosθ)r. Pistetulon avulla tämä saadaan<br />
missä A = |A|. Vastaavat lausekkeet saadaan vektorin ja kirjoitettua muotoon<br />
y-akselin välisen kulman β sekä vektorin ja z-akselin<br />
välisen kulman γ kosineille. Näemme siis, että vektori on<br />
W = F·r.<br />
kirjoitettavissa suuntakulmiensa α, β ja γ avulla mm.<br />
Tässä tapauksessa työ on siis<br />
muodossa<br />
A = A(cosα,cosβ,cosγ).<br />
W = (2i−j−k)·(3i+2j−5k)<br />
Olkoon nyt a vektori<br />
= (2)(3)+(−1)(2)+(−1)(−5)<br />
a = 1 A A.<br />
= 6−2+5 = 9.<br />
Esim. Vektoria A = 2i+3j+6k vastaan kohtisuorassa<br />
Ensinnäkin on<br />
a·a = 1 olevan ja vektorin B = i+5j+3k kärjen kautta kulkevan<br />
A 2 A2 = 1 tason yhtälö<br />
ja toiseksi vektorien a ja A väliselle kulmalle θ aA on<br />
voimassa<br />
cosθ aA = a·A<br />
|a||A| = 1 A A·A1 A = 1,<br />
joten a on vektorin A suuntainen yksikkövektori.<br />
Vektorin B projektio p vektorin A suuntaan voidaan nyt<br />
lausua yksikkövektorin a avulla kuten<br />
* H<br />
p = 1 A·B = a·B.<br />
A<br />
Esim. Vektorin A = i−2j+k projektio vektorille<br />
B = 4i−4j+7k<br />
Vektorin B suuntainen yksikkövektori on<br />
b = B B = 4i−4j+7k<br />
√ Kuva 1.10 Tason yhtälö<br />
42 +(−4) 2 +7 2<br />
= 4 9 i− 4 9 j+ 7 9 k.<br />
Olkoon r jokin tason piste. Tällöin vektori B−r on<br />
jonkin vektoreitten r ja B kärkien kautta kulkevan tason<br />
suuntainen. Koska tason piti olla kohtisuorassa vektoria A<br />
Vektorin A projektio tähän suuntaan on<br />
vastaan, täytyy vektorin B−r olla kohtisuorassa vektoria<br />
p = A·b = (i−2j+k)·( 4 9 i− 4 9 j+ 7 9 k) A vastaan osoittipa r mihin tahansa tason pisteeseen.<br />
Saamme siis ehdon<br />
= (1)( 4 9 )+(−2)(−4 9 )+(1)(7 9 ) = 19 9 .<br />
(B−r)·A = 0<br />
5
tason pisteille r. Sijoittamalla tähän r = xi+yj+zk<br />
sekä vektoreiden A ja B eksplisiittiset lausekkeet saadaan<br />
0 = ((1−x)i+(5−y)j+(3−z)k)<br />
·(2i+3j+6k)<br />
= −2x−3y −6z +(1)(2)+(5)(3)+(3)(6)<br />
= −2x−3y −6z +35.<br />
Kysytyn tason yhtälö on siis<br />
2x+3y +6z = 35.<br />
1.3.2 Ristitulo<br />
Vektoreiden A = (A x ,A y ,A z ) ja B = (B x ,B y ,B Z )<br />
ristitulon eli vektoritulon A×B määrittelee kaava<br />
A×B = (A y B z −A z B y ,A z B x −A x B z ,A x B y −A y B x ).<br />
(1.13)<br />
Vektoritulon muodostamista auttanee muistisääntö:<br />
Tulo A×B lasketaan siten, että kolmirivisen<br />
determinantin ylimmäksi riviksi kirjoitetaan kantavektorit<br />
i, j ja k (tässä järjestyksessä), keskimmäisen rivin<br />
muodostavat vektorin A komponentit A x , A y ja A z (tässä<br />
järjestyksessä) sekä alimman rivin vektorin B<br />
komponentit B x , B y ja B z (tässä järjestyksessä), ts.<br />
A×B =<br />
∣<br />
i j k<br />
A x A y A z<br />
B x B y B z<br />
∣ ∣∣∣∣∣<br />
. (1.14)<br />
Determinanteista<br />
Determinantit ovat muotoa<br />
∣ a 11 a 12 ··· a 1n ∣∣∣∣∣∣<br />
a 21 a 22 ··· a 2n<br />
. . .. ..<br />
. .<br />
∣<br />
a n1 a n2 ··· a nn<br />
olevia taulukoita. Niissä siis sarakkeiden ja rivien lukumäärä on<br />
sama. Puhutaan n×n-determinanteista tai n-rivisisistä<br />
determinanteista. Determinanteilla on lukuarvo.<br />
Meidän tarkoituksiimme riittävät kaksi- ja kolmiriviset<br />
determinantit. Kaksirivisen determinantin arvon määrittelee kaava<br />
∣ ∣ a 11 a 12 ∣∣ = a11 a<br />
a 21 a 22 −a 12 a 21 ,<br />
22<br />
ts. kaksirivisen determinantin arvo saadaan vähentämällä<br />
lävistäjäalkioden tulosta sivulävistäjäalkioiden tulo.<br />
Kolmirivinen determinantti lasketaan helpoimmin kehittämällä se<br />
alideterminanttien avulla:<br />
1. kuhunkin determinantin alkioon liittyy merkki taulukon<br />
+ − +<br />
− + −<br />
∣ + − + ∣<br />
mukaisesti.<br />
2. valitaan jokin vaaka- tai pystyrivi.<br />
3. kuhunkin valitun rivin tai sarakkeen alkioon liittyy<br />
2×2-alideterminantti, joka muodostetaan alkuperäisestä<br />
determinantista pyyhkimällä siitä pois ko. alkion kautta<br />
kulkeva vaaka- ja pystyrivi.<br />
4. käydään läpi kaikki valitun rivin tai sarakkeen alkiot kertoen<br />
keskenään alkio varustettuna siihen liittyvällä merkillä ja<br />
sen alideterminantti. Muodostettujen termien summa on<br />
determinantin arvo.<br />
Esim. Determinantti<br />
D =<br />
∣<br />
2 1 −2<br />
1 −2 3<br />
4 −3 4<br />
Kehitetään vaikkapa oikeanpuoleisimman sarakkeen mukaan.<br />
Tämän ylimpään alkioon −2 liittyy merkki +. Vastaava<br />
alideterminantti saadaan pyyhkimällä pois ylin rivi ja<br />
oikeanpuoleisin sarake. Päädymme termiin<br />
+(−2) ∣ 1 −2<br />
4 −3 ∣ = (−2)[(1)(−3)−(4)(−2)] = −10.<br />
Vastaavasti kehityssarakkeen toinen alkio antaa termin<br />
∣ −(3) ∣∣ 2 1<br />
4 −3 ∣ = −3[(2)(−3)−(1)(4)] = 30<br />
ja alin alkio termin<br />
+(4) ∣ 2 1<br />
1 −2<br />
∣<br />
∣ = 4[(2)(−2)−(1)(1)] = −20.<br />
Determinantin arvo D on näiden termien summa eli<br />
D = (−10)+(30)+(−20) = 0.<br />
Determinantteihin liittyy useita laskusääntöjä. Tässä vaiheessa<br />
meille riittänee tieto siitä, että<br />
• determinantin merkki vaihtuu vaihdettaessa kaksi vaakariviä<br />
(tai kaksi pystyriviä) keskenään.<br />
• determinantti on nolla, jos sen kaksi vaakariviä (tai kaksi<br />
pystyriviä) ovat samoja.<br />
Kehitetään determinantti (1.14) ylimmän rivin mukaan,<br />
jolloin<br />
∣ i j k ∣∣∣∣∣ A x A y A z = i<br />
∣ A ∣ y A z ∣∣∣ −j<br />
∣<br />
B<br />
B x B y B y B z<br />
∣ A ∣<br />
x A z ∣∣∣<br />
B x B z<br />
z +k<br />
∣ A ∣<br />
x A y ∣∣∣<br />
B y<br />
B x<br />
= (A y B z −A z B y )i<br />
−(A x B z −A z B x )j<br />
+(A x B y −A y B x )k.<br />
Nähdään, että tämä todellakin yhtyy määritelmään<br />
(1.13).<br />
Determinanttiesityksestä nähdään mm. ominaisuus<br />
A×B =<br />
∣<br />
∣<br />
i j k ∣∣∣∣∣<br />
A x A y A z = −<br />
B x B y B z<br />
= −B×A.<br />
∣<br />
∣<br />
i j k ∣∣∣∣∣<br />
B x B y B z<br />
A x A y A z<br />
6
N<br />
<br />
O<br />
)<br />
*<br />
Siten ristitulon merkki vaihtuu vaihdettaessa tekijöiden<br />
järjestystä:<br />
A×B = −B×A. (1.15)<br />
Ristitulo ei siis ole kommutatiivinen. Ominaisuudesta<br />
(1.15) seuraa mm.<br />
A×A = −A×A,<br />
joten vektorin ristitulo itsensä kanssa on nolla,<br />
A×A = 0. (1.16)<br />
Suoraan määritelmästä nähdään vektoritulon<br />
distributiivisuus<br />
A×(B+C) = A×B+A×C. (1.17)<br />
Skalaarilla kerrottaessa ristitulo noudattaa yhtälöä<br />
λ(A×B) = (λA)×B = A×(λB). (1.18)<br />
Katsotaan, millaisia ovat yksikkövektoreiden ristitulot<br />
toistensa kanssa. Lasketaan esimerkkinä<br />
i×j = (1,0,0)×(0,1,0) = (0−0,0−0,1−0)<br />
= (0,0,1) = k.<br />
Samalla tavoin voimme todeta, että muutkin kaavoista<br />
i×j = k<br />
j×k = i<br />
k×i = j<br />
(1.19)<br />
pitävät paikkansa. Koordinaatistoa, jonka kantavektorit<br />
toteuttavat relaatiot (1.19) sanotaan oikeakätiseksi.<br />
Kuva 1.11 Oikeakätinen koordinatisto<br />
Oikeakätisessä xyz-koordinaatistossa z-akselin suuntainen<br />
oikeakätinen ruuvi postiiviseen kiertosuuntaan<br />
kierrettäessä (kierretään lyhintä kautta positiiviselta<br />
x-akselilta positiiviselle y-akselille) etenee positiivisen<br />
z-akselin suuntaan. Sama asia voidaan ilmaista myös ns.<br />
oikean käden kolmisormisääntönä:<br />
oikean käden peukalon osoittaessa x-akselin suuntaan ja<br />
etusormen y-akselin suuntaan osoittaa keskisormi<br />
z-akselin suunnan.<br />
Ristitulon geometrinen merkitys<br />
Vektorin A×B pituuden neliö on<br />
|A×B| 2 = (A y B z −A z B y ) 2 +(A z B x −A x B z ) 2<br />
+(A x B y −A y B x ) 2 .<br />
Suoraviivainen lasku osoittaa, että tämä voidaan<br />
kirjoittaa muotoon<br />
|A×B| 2 = (A 2 x +A 2 y +A 2 z)(B 2 x +B 2 y +B 2 z)<br />
Tämä taas on sama kuin<br />
−(A x B x +A y B y +A z B z ) 2 .<br />
|A×B| 2 = A 2 B 2 −(A·B) 2 ,<br />
missä jälleen A ja B tarkoittavat vektoreiden A ja B<br />
pituuksia. Kirjoitetaan pistetulo vektoreiden välisen<br />
kulman θ avulla, jolloin<br />
|A×B| 2 = A 2 B 2 (1−cos 2 θ) = A 2 B 2 sin 2 θ.<br />
Näemme siis, että ristitulovektorin A×B pituus on<br />
|A×B| = AB|sinθ|.<br />
Vektoreiden A×B ja A skalaaritulo on<br />
A·(A×B) = A x (A y B z −A z B y )<br />
= 0.<br />
+A y (A z B x −A x B z )<br />
+A z (A x B y −A y B x )<br />
Samoin nähdään, että B·(A×B) = 0. Vektori A×B on<br />
siis kohtisuorassa molempia tekijöitään vastaan eli<br />
kohtisuorassa tekijöiden muodostamaa tasoa vastaan.<br />
Tulovektorin suunta on pääteltävissä yksikkövektoreitten<br />
ristituloista (1.19):<br />
Vektoreiden A ja B ristitulo on<br />
A×B = (|A||B|sinθ)n, (1.20)<br />
missä θ on vektoreiden välinen kulma ja n vektoreiden<br />
muodostamaa tasoa vastaan kohtisuorassa oleva sellainen<br />
yksikkövektori että vektoreiden A, B ja n kolmikko (tässä<br />
järjestyksessä) muodostaa oikeakätisen systeemin. Oikean<br />
käden kolmisormisääntö lienee havainnollisempi: Jos A<br />
osoittaa oikean käden peukalon suuntaan ja B etusormen<br />
suuntaan niin A×B osoittaa keskisormen suuntaan (ja<br />
on kohtisuorassa vektoreita A ja B vastaan).<br />
) *<br />
G<br />
) * <br />
Kuva 1.12 Ristitulon geometrinen merkitys<br />
7
2<br />
<br />
H<br />
.<br />
)<br />
<br />
D<br />
2<br />
H<br />
+<br />
L<br />
*<br />
Kuvassa 1.12 vektoreiden A ja B muodostaman kolmion<br />
korkeus on Bsinθ jos kolmion kantana pidetään vektoria<br />
A. Tämän kolmion pinta-ala on siten 1 2ABsinθ, joten<br />
ristitulo on suuruudeltaan tekijävektoreiden<br />
muodostaman suunnikkaan pinta-ala.<br />
Esim. A = 2i−3j−k ja B = i+4j−2k, a) A×B, b)<br />
B×A ja c) (A+B)×(A−B)<br />
a)<br />
i j k<br />
A×B =<br />
2 −3 −1<br />
∣ 1 4 −2 ∣<br />
∣ ∣ = i<br />
−3 −1<br />
∣∣∣ ∣ 4 −2 ∣ −j 2 −1<br />
∣∣∣ 1 −2 ∣ +k 2 −3<br />
1 4 ∣<br />
= 10i+3j+11k.<br />
b)<br />
i j k<br />
B×A =<br />
1 4 −2<br />
∣ 2 −3 −1 ∣<br />
∣ ∣ = i<br />
4 −2<br />
∣∣∣ ∣ −3 −1 ∣ −j 1 −2<br />
∣∣∣ 2 −1 ∣ +k 1 4<br />
2 −3 ∣<br />
c)<br />
H I E G<br />
= −10i−3j−11k = −A×B.<br />
(A+B)×(A−B) = A×(A−B)<br />
G<br />
+B×(A−B)<br />
= A×A−A×B<br />
+B×A−B×B<br />
= 0−A×B−A×B−0<br />
= −2A×B<br />
= −20i−6j−22k.<br />
Kuva 1.13 Vääntömomentti<br />
Esim. Vääntömomentti: Määritelmän mukaan voiman<br />
F vääntömomentti pisteen P suhteen on suuruudeltaan F<br />
kertaa pisteen P kohtisuora etäisyys voiman<br />
vaikutussuorasta. Olkoon nyt r pisteestä P voiman<br />
vaikutuspisteeseen suunnattu vektori ja θ tämän vektorin<br />
ja voiman välinen kulma. Kuvasta nähdään, että pisteen<br />
P kohtisuora etäisyys vaikutussuorasta on r|sinθ|, joten<br />
vääntömomentti on suuruudeltaan<br />
M = Fr|sinθ| = |r×F|.<br />
Vääntömomentin suunnasta on sovittu, että voiman<br />
kiertämä vaikutuspisteeseen asetettu vaikutustasoa<br />
(vektoreiden r ja F muodostama taso) vastaan<br />
kohtisuorassa oleva oikeakätinen ruuvi etenee<br />
vääntömomentin suuntaan. Voimme siis kirjoittaa<br />
G<br />
M<br />
M<br />
H I E G<br />
M = r×F.<br />
Kuva 1.14 Kulmanopeus ja lineaarinen nopeus<br />
Esim. Lineaarinen nopeus pyörivässä<br />
kappaleessa: Oletetaan, että kiinteä kappale pyörii origon<br />
O kautta kulkevan akselin ω ympäri kulmanopeudella ω.<br />
Vektori ω orientoidaan siten, että vektorin suuntaan<br />
katsottuna kappale pyörii myötäpäivään. Tarkastellaan<br />
kappaleen pistettä P. Kappaleen pyöriessä piste P seuraa<br />
sellaisen ympyrän kehää, joka on kohtisuorassa<br />
keskipisteensä kautta kulkevaa vektoria ω vastaan. Jos<br />
nyt r on pisteen P paikka sekä θ vektorien r ja ω välinen<br />
kulma, niin tämän ympyrän säde on rsinθ.<br />
Ympyräliikkeen lineaarinen nopeus on suuruudeltaan<br />
ympyrän säde kertaa kulmanopeus, ts. rωsinθ.<br />
Lineaarisen nopeuden suunta taas on ympyrän tangentin<br />
suuntainen eli nyt kohtisuorassa vektoreita ω ja r<br />
vastaan. Oikean käden kolmisormisäännön perusteella<br />
voimme siten kirjoittaa<br />
1.3.3 Kolmitulot<br />
v = ω×r.<br />
Skalaarikolmitulo<br />
Tarkastellaan muotoa A·(B×C) olevia kolmen vektórin<br />
tuloja. Vektoreiden A ja B×C pistetulona tämä on<br />
skalaari. Siksi sitä nimitetäänkin skalaarikolmituloksi.<br />
Skalaarikolmitulon geometrinen merkitys selvinnee alla<br />
olevasta kuvasta.<br />
* +<br />
Kuva 1.15 Skalaarikolmitulo<br />
8
Vektoreiden A, B ja C muodostaman suuntaissärmiön<br />
tilavuus on pohjasuunnikkaan pinta-ala |B×C| kertaa<br />
särmiön korkeus h. Korkeus taas on vektorin A projektio<br />
pohjatasoa vastaan kohtisuoralle suunnalle, esim.<br />
vektorille B×C. Särmiön tilavuus V on siis<br />
V = |A·(B×C)|. (1.21)<br />
Komponenttimuodossa skalaarikolmitulo on<br />
eli<br />
A·(B×C) = (A x i+A y j+A z k)·<br />
∣ i j k ∣∣∣∣∣<br />
B x B y B z<br />
∣ C x C y C z<br />
= (A x i+A y j+A z k)·<br />
(<br />
i<br />
∣ B ∣ y B z ∣∣∣ −j<br />
C y C z<br />
∣ B x<br />
C x<br />
+k<br />
∣ B ∣)<br />
x B y ∣∣∣<br />
C x C y<br />
∣<br />
B z ∣∣∣<br />
C z<br />
∣ ∣ ∣ ∣ ∣∣∣ B<br />
= A y B z ∣∣∣ ∣∣∣ B<br />
x −A x B z ∣∣∣<br />
C y C y<br />
z C z<br />
=<br />
A·(B×C) =<br />
∣<br />
∣ ∣ ∣∣∣ B<br />
+A x B y ∣∣∣<br />
z<br />
C x C y ∣ A x A y A z ∣∣∣∣∣<br />
B x B y B z<br />
∣ C x C y C z<br />
C x<br />
A x A y A z<br />
B x B y B z<br />
C x C y C z<br />
∣ ∣∣∣∣∣<br />
. (1.22)<br />
Koska vaihdettaessa kaksi riviä keskenään determinantti<br />
vaihtaa merkkinsä, saamme<br />
∣ A x A y A z ∣∣∣∣∣<br />
A·(B×C) =<br />
B x B y B z<br />
∣ C x C y C z ∣ C x C y C z ∣∣∣∣∣<br />
= −<br />
B x B y B z<br />
∣ A x A y A z ∣ C x C y C z ∣∣∣∣∣<br />
=<br />
A x A y A z = C·(A×B).<br />
∣ B x B y B z<br />
Vektorikolmitulo<br />
Vektorikolmitulolla tarkoitetaan kolmen vektorin<br />
ristituloja A×(B×C) ja (A×B)×C. Nämä ovat<br />
yleensä erisuuria, joten sulkumerkit ovat oleellisia.<br />
Käsitellään edellistä muotoa olevia kolmituloja<br />
(jälkimmäisen käsittely menee samalla tavoin). Koska<br />
kyseessä on vektoreiden A ja B×C vektoritulo, on<br />
tuloskin vektori. Lasketaan näytteeksi sen x-komponentti:<br />
(A×(B×C)) x<br />
= i·(A×(B×C))<br />
∣ 1 0 0 ∣∣∣∣∣∣∣<br />
=<br />
∣ A x A y A z<br />
∣ ∣ B ∣ y B z ∣∣∣ −<br />
C z<br />
∣ B ∣ ∣ ∣<br />
x B z ∣∣∣ ∣∣∣ B x B y ∣∣∣<br />
C x C z C y<br />
C y<br />
C x<br />
= A y (B x C y −B y C x )+A z (B x C z −B z C x )<br />
= B x (A x C x +A y C y +A z C z )<br />
−C x (A x B x +A y B y +A z B z )<br />
= (A·C)(B·i)−(A·B)(C·i)<br />
= i·[(A·C)B−(A·B)C].<br />
Samalla tavoin voisimme laskea niin tämän kolmitulon<br />
muut komponentit kuin myös jälkimmäisen muodon<br />
komponentit jolloin päätyisimme yhtälöihin<br />
A×(B×C) = (A·C)B−(A·B)C<br />
(A×B)×C = (A·C)B−(B·C)A.<br />
(1.24)<br />
Muistamista helpottanee molempiin tapauksiin soveltuva<br />
sääntö:<br />
vektorikolmitulo = (kauempi·ulko)lähempi<br />
-(lähempi·ulko)kauempi,<br />
missä ”ulko”tarkoitaa sulkujen ulkopuolista tekijää,<br />
”lähempi”lähempänä ja ”kauempi”kauempana<br />
”ulko”-tekijästä olevaa sulkujen sisäpuolista vektoria.<br />
Koska skalaaritulo on kommutatiivinen, voimme<br />
kirjoittaa tämän myös muotoon<br />
A·(B×C) = (A×B)·C (1.23)<br />
eli skalaarikolmitulossa pisteen ja ristin paikan voi vaihtaa<br />
(sulkumerkkien paikat toki vaihtuvat tässä operaatiossa).<br />
9
Lineaarinen riippumattomuus<br />
Vektorit v 1 , v 2 , ...v n ovat lineaarisesti riippumattomia,<br />
jos<br />
n∑<br />
a k v k = 0 vain jos a 1 = ... = a n = 0 (1.25)<br />
k=1<br />
Muussa tapauksessa vektorit ovat lineaarisesti riippuvia.<br />
Kolmiulotteisessa avaruudessa on enintään 3 vektorin<br />
joukko keskenään lineaarisesti riippumaton.<br />
Esim. kantavektorit i, j, k ovat lineaarisesti<br />
riippumattomia:<br />
a 1 i+a 2 j+a 3 k = 0<br />
vain jos a 1 = a 2 = a 3 = 0.<br />
Esim. v 1 = i, v 2 = j, v 3 = i+j ovat lineaarisesti<br />
riippuvia:<br />
v 3 = v 1 +v 2 ⇒ v 1 +v 2 −v 3 = 0<br />
Jos vektorit ovat lineaarisesti riippuvia, ainakin yksi<br />
vektoreista voidaan kirjoittaa lineaarikombinaationa<br />
muista.<br />
Skalaarikolmitulon ja lineaarisen riippumattomuuden<br />
välillä on seuraava yhteys:<br />
Vektorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippumattomia jos ja<br />
vain jos a·(b×c) ≠ 0.<br />
Esim. i·(j×k) = 1, joten i, j, k ovat lineaarisesti<br />
riippumattomia.<br />
Esim. a = (1,0,1), b = (1,2,3), c = (3,2,5):<br />
1 0 1<br />
a·(b×c) =<br />
1 2 3<br />
∣ 3 2 5 ∣<br />
= 1<br />
∣ 2 3<br />
∣ ∣ ∣∣∣ 2 5 ∣ −0 1 3<br />
∣∣∣ 3 5 ∣ +1 1 2<br />
3 2 ∣<br />
= 4−0−4 = 0<br />
Vektorit eivät ole lineaarisesti riippumattomia. Helposti<br />
nähdään että a = (c−b)/2.<br />
Huom: jos meillä on kolme lineaarisesti riippumatonta<br />
vektoria v 1 , v 2 , v 3 , niin mielivaltainen vektori voidaan<br />
esittää näiden lineaarikombinaationa:<br />
a = a 1 v 1 +a 2 v 2 +a 3 v 3 . Sanotaan että vektorit v i<br />
virittävät 3-ulotteisen avaruuden.<br />
Tutuin esimerkki näistä on tietysti i, j, k.<br />
2. Raja-arvo ja derivaatta<br />
2.1 Raja-arvon määritelmä<br />
Funktiolla f(x) on raja-arvo f 0 pisteessä x 0 jos f(x)<br />
lähestyy arvoa f 0 kun x lähestyy arvoa x 0 .<br />
Merkitään<br />
f(x) → f 0 kun x → x 0 (2.1)<br />
tai<br />
Raja-arvo matemaattisemmin:<br />
lim f(x) = f 0 . (2.2)<br />
x→x 0<br />
Intuitiivisesti raja-arvon käsite on varsin selvä. Matemaattisesti se<br />
määritellään seuraavasti: funktiolla f(x) on raja-arvo f 0 pisteessä<br />
x 0 , jos<br />
∀ǫ ∃δ > 0 siten että |f(x)−f 0 | < ǫ<br />
jos 0 < |x−x 0 | < δ<br />
Tässä merkintä “∀: kaikille”, “∃: on olemassa”.<br />
Eli: f on mielivaltaisen lähellä f 0 :aa, jos x on riittävän lähellä<br />
x 0 :aa.<br />
Raja-arvo on selkeä esim. tapauksissa<br />
lim<br />
x→1 x2 +x = 2,<br />
1<br />
lim<br />
x→∞ x = 0,<br />
lim sinx = sinπ/4 = 1/√ 2,<br />
x→π/4<br />
lim x a<br />
x→∞ e x = 0, a ∈ R<br />
(Huom: eksponenttifunktio pesee minkä tahansa<br />
potenssin!)<br />
Kavalia ovat esim. tapaukset jotka lähenevät muotoa<br />
Esim:<br />
0<br />
0 , 0×∞, ∞<br />
∞ , ∞−∞, 00 ,...<br />
2x 4 +x 2 +1 2x 4<br />
lim<br />
x→∞ −x 4 +x 3 = lim = −2 (2.3)<br />
x→∞ −x4 Suurin potenssi voittaa kun x → ∞. (vastaavasti pienin<br />
jos x → 0).<br />
Usein raja-arvojen laskemisessa auttavat seuraavat<br />
approksimaatiot, kun |x| on pieni:<br />
sinx = x− 1 6 x3 +O(x 5 ) (2.4)<br />
cosx = 1− 1 2 x2 +O(x 4 ) (2.5)<br />
(1+x) a = 1+ax+O(x 2 ) (2.6)<br />
ln(1+x) = x+O(x 2 ) (2.7)<br />
e x = 1+x+O(x 2 ) (2.8)<br />
Tässä merkintä O(x n ) tarkoittaa että kaikissa lopuissa<br />
termeissä x:n potenssi on vähintään n.<br />
Esim. √ 1+x = 1+x/2+O(x 2 )<br />
10
Esim.<br />
sinx<br />
lim<br />
x→0 x<br />
= lim<br />
x→0<br />
x−x 3 /6+O(x 5 )<br />
x<br />
= lim<br />
x→0<br />
(1−x 2 /6+O(x 4 )) = 1.<br />
Määritellään vielä oikeanpuoleinen raja-arvo:<br />
f 0 = lim f(x) (2.9)<br />
x→x 0+<br />
tai f(x) → f 0 , kun x → x 0 +. Merkintä tarkoittaa että x<br />
lähestyy arvoa x 0 oikealta (positiiviselta) puolelta.<br />
Vastaavasti vasemmanpuoleinen:<br />
f 0 = lim f(x) (2.10)<br />
x→x 0−<br />
Eli x lähestyy arvoa x 0 vasemmalta (negatiiviselta)<br />
puolelta.<br />
Epäjatkuvalla funktiolla oikeanpuoleinen ja<br />
vasemmanpuoleinen raja-arvo voivat olla erilaiset:<br />
Esim. askelfunktio eli Heavisiden funktio:<br />
⎧<br />
⎨<br />
θ(x) =<br />
⎩<br />
1, x > 0<br />
1/2, x = 0<br />
0 x < 0<br />
(2.11)<br />
Ilmeisesti lim x→0+ θ(x) = 1, mutta lim x→0− θ(x) = 0.<br />
Huom: askelfunktiolla ei ole tavallista raja-arvoa pisteessä<br />
x = 0!<br />
Huom: merkitään myös ilmeiset raja-arvot<br />
1 1<br />
lim = ∞, lim = −∞, lim<br />
x→0+ x x→0− x x = ∞<br />
x→∞<br />
2.2 Jatkuva funktio<br />
Funktio f(x) jatkuva pisteessä x 0 , jos f on määritelty<br />
jossain pisteen x 0 ympäristössä ja<br />
lim f(x) = f(x 0 ) (2.12)<br />
x→x 0<br />
Fysiikassa funktiot ovat jatkuvia (melkein) kaikkialla.<br />
Esim. Heavisiden askelfunktio (2.11) ei ole jatkuva<br />
pisteessä x = 0, mutta on jatkuva kaikissa pisteissä x ≠ 0.<br />
Esim. Funktio f(x) = 1/x 2 ei ole jatkuva pisteessä x = 0<br />
(ei edes määritelty)<br />
Raja-arvoille pätevät myös seuraavat ominaisuudet: jos<br />
funktioilla f(x) ja g(x) on raja-arvot kun x → x 0 , niin<br />
lim [f(x)+g(x)] = lim f(x)+ lim g(x)<br />
x→x 0 x→x 0 x→x 0<br />
lim [f(x)g(x)] = lim f(x) lim g(x)<br />
x→x 0 x→x 0 x→x 0<br />
lim [f(x)/g(x)] = lim f(x)/ lim g(x)<br />
x→x 0 x→x 0 x→x 0<br />
missä viimeisin edellyttää että lim x→x0 g(x) ≠ 0.<br />
2.3 Derivaatan määritelmä<br />
Funktion f(x) derivaatalla f ′ (x 0 ) pisteessä x 0<br />
tarkoitetaan raja-arvoa<br />
f ′ (x 0 ) = lim<br />
x→x 0<br />
f(x)−f(x 0 )<br />
x−x 0<br />
(2.13)<br />
= lim<br />
h→0<br />
f(x 0 +h)−f(x 0 )<br />
h<br />
(2.14)<br />
Geometrisesti derivaatta on funktion kuvaajan tangentin<br />
kulmakerroin derivointipisteessä.<br />
N N N N !<br />
=<br />
O B N <br />
B N J = =<br />
Kuva 2.1 Derivaatan geometrinen tulkinta<br />
Määritelmässä (2.14) ei ole spesifioitu lähestymissuuntaa,<br />
ts. voi olla joko x > x 0 tai x < x 0 . Molempien<br />
lähestymistapojen täytyy johtaa samaan lopputulokseen.<br />
Raja-arvo (2.14) ei välttämättä aina ole yksikäsitteinen<br />
tai sitä ei ole olemassa. Tällaisessa tapauksessa<br />
derivaattaa ei ole määritelty. Jos raja-arvo (2.14)on<br />
(yksikäsitteisenä) olemassa, sanotaan, että funktio on<br />
derivoituva pisteessä x 0 .<br />
Esim. funktio f(x) = |x| on jatkuva kaikilla x ∈ R. Jos<br />
x > 0, on<br />
f ′ f(y)−f(x)<br />
(x) = lim = 1,<br />
y→x y −x<br />
ja vastaavasti jos x < 0 on f ′ (x) = −1. Pisteessä x = 0 ei<br />
raja-arvoa ole olemassa (on vain vasemman- ja<br />
oikeanpuoleiset raja-arvot), eikä |x| ole derivoituva<br />
pisteessä x = 0.<br />
Merkintöjä<br />
Olkoon y = f(x) jokin derivoituva funktio. Derivaattaa f ′ (x)<br />
merkitään usein myös<br />
f ′ (x) = y ′ = d df(x)<br />
f(x) = = Dy = Df(x).<br />
dx dx<br />
Monesti jätetään funtion f argumenttikin merkitsemättä. Kun<br />
halutaan painottaa, että derivaattafunktio f ′ (x) halutaan laskea<br />
nimenomaan pisteessä x 0 , merkitään joskus<br />
f ′ (x 0 ) = df(x)<br />
∣<br />
.<br />
dx<br />
∣x=x 0<br />
Kun kyseessä on derivointi ajan suhteen, käytetään fysiikassa<br />
usein merkintää<br />
d<br />
f(t) = ḟ(t).<br />
dt<br />
Leibnitzin merkintätapa df<br />
dx<br />
funktion muutos<br />
muuttujan muutos<br />
on intuitiivisin:<br />
kun muutos → 0<br />
11
Huom:<br />
f ′ (x) = 0: funktio vaakasuora pisteessä x<br />
f ′ (x) = 1: funktion kulmakerroin = 1 (45 ◦ ) pisteessä x)<br />
f ′ (x) → ∞: funktio lähestyy pystysuoraa<br />
2.4 Derivaattojen lasku<br />
Derivaatta suoraan määritelmästä<br />
Lasketaan esimerkiksi potenssifunktion f(x) = x n<br />
derivaatta. Määritelmän mukaan derivaatta f ′ (x) on<br />
raja-arvo<br />
f ′ f(y)−f(x)<br />
(x) = lim<br />
y→x y −x<br />
= lim<br />
∆x→0<br />
f(x+∆x)−f(x)<br />
.<br />
∆x<br />
Tässä tapauksessa on siis laskettava raja-arvo<br />
f ′ (x) = lim<br />
∆x→0<br />
(x+∆x) n −x n<br />
.<br />
∆x<br />
Käyttäen (1+δ) a = 1+aδ +O(δ 2 ) (2.6) saamme<br />
(x+∆x) n = x n (1+ ∆x<br />
x )n = x n [1+n ∆x<br />
x +O((∆x x )2 )]<br />
joten<br />
(x+∆x) n −x n<br />
lim<br />
∆x→0 ∆x<br />
= lim<br />
∆x→0 [nxn−1 +x n−1 O( ∆x<br />
x )]<br />
= nx n−1 .<br />
Siis saimme dxn<br />
dx = nxn−1 .<br />
Käsitellään toisena esimerkkinä funktion f(x) = sinx<br />
derivaatan laskua. Nyt<br />
sin(x+∆x) = sinxcos∆x+cosxsin∆x,<br />
joten derivaatan määritelmän mukaan on<br />
f ′ sin(x+∆x)−sinx<br />
(x) = lim<br />
∆x→0 ∆x<br />
sinxcos∆x+cosxsin∆x−sinx<br />
= lim<br />
∆x→0<br />
= lim<br />
∆x→0<br />
[<br />
∆x<br />
sinx cos∆x−1 +cosx sin∆x<br />
∆x ∆x<br />
missä olemme käyttäneet sinin ja kosinin<br />
yhteenlaskukaavoja.<br />
Pienillä argumentin arvoilla trigonometriset funktiot<br />
käyttäytyvät kuten (2.4,2.5):<br />
sinδ = δ − 1 6 δ3 +O ( δ 5)<br />
]<br />
,<br />
joten<br />
ja<br />
cos∆x−1<br />
lim<br />
∆x→0 ∆x<br />
sin∆x<br />
lim<br />
∆x→0 ∆x<br />
Derivaataksi saamme siis<br />
− 1 2<br />
= lim<br />
(∆x)2 +O ( (∆x) 4)<br />
∆x→0 ∆x<br />
= lim O(∆x)<br />
∆x→0<br />
= 0<br />
∆x−O ( (∆x) 3)<br />
= lim<br />
∆x→0 ∆x<br />
[ (<br />
= lim 1−O (∆x)<br />
2 )]<br />
∆x→0<br />
= 1.<br />
d<br />
sinx = cosx.<br />
dx<br />
Trigonometristen funktioiden yhteenlaskukaavoja<br />
Sini- kosinifunktiot toteuttavat yhteenlaskukaavat<br />
sin(x+y) = sinxcosy +cosxsiny<br />
cos(x+y) = cosxcosy −sinxsiny.<br />
Koska<br />
tanx = sinx<br />
cosx ,<br />
voidaan tangentin yhteenlaskukaava kirjoittaa mm. muotoon<br />
tan(x+y) =<br />
sinxcosy +cosxsiny<br />
cosxcosy −sinxsiny = tanx+tany<br />
1−tanxtany .<br />
Erikoistapauksena saadaan kaksinkertaisille kulmille kaavat<br />
sin2x = 2sinxcosx<br />
cos2x = cos 2 x−sin 2 x<br />
tan2x =<br />
Pythagoraan lauseen perusteella on<br />
2tanx<br />
1−tan 2 x .<br />
sin 2 x+cos 2 y = 1.<br />
Kaksinkertaisen kulman kosini voidaan siten kirjoittaa myös<br />
muotoihin<br />
cos2x = 2cos 2 x−1 = 1−2sin 2 x.<br />
Muutamien tavallisimpien funktioiden derivaattoja on<br />
esitetty taulukossa<br />
f(x) Df(x)<br />
c (vakio) 0<br />
x n<br />
e x<br />
nx n−1<br />
e x<br />
lnx 1/x<br />
. (2.15)<br />
sinx cosx<br />
cosx −sinx<br />
tanx 1/cos 2 x = 1+tan 2 x<br />
cosδ = 1− 1 2 δ2 +O ( δ 4) ,<br />
12
Derivaatan laskusääntöjä<br />
Olkoot f ja g derivoituvia funktioita ja a ja b vakioita.<br />
Tällöin on voimassa<br />
d<br />
dx [af(x)+bg(y)] = af′ (x)+bg ′ (x). (2.16)<br />
Derivointi on lineaarinen operaatio. Funktioiden tulo<br />
f(x)g(x) derivoidaan kuten<br />
d<br />
dx [f(x)g(x)] = f′ (x)g(x)+f(x)g ′ (x) (2.17)<br />
ja osamäärä f(x)/g(x) kuten<br />
d f(x)<br />
dx g(x) = f′ (x)g(x)−f(x)g ′ (x)<br />
g 2 . (2.18)<br />
(x)<br />
Tulon derivointi<br />
Osoitetaan tulon derivoimissääntö. Suoraan derivaatan<br />
määritelmästä nähdään<br />
Nyt<br />
d<br />
dx (f(x)g(x))<br />
= lim<br />
h→0<br />
f(x+h)−f(x) = hf ′ (x)+O(h 2 )<br />
f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)<br />
h<br />
(f(x)+hf ′ (x))(g(x)+hg ′ (x))−f(x)g(x)+O(h 2 )<br />
= lim h→0 h<br />
h(f ′ (x)g(x)+f(x)g ′ (x))+O(h 2 )<br />
= lim h→0 h<br />
= f ′ (x)g(x)+f(x)g ′ (x)<br />
Yhdistetyn funktion f(g(x)) derivointiin soveltuu<br />
ketjusääntö<br />
d<br />
dx f(g(x)) = f′ (g(x))g ′ (x). (2.19)<br />
Tämä tulee erityisen selväksi käyttäen Leibnitzin<br />
notaatiota: jos merkitään y = f(z) ja z = g(x), saadaan<br />
d dy<br />
f(g(x)) =<br />
dx dx = dy dz<br />
dz dx = f′ (g(x))g ′ (x)<br />
Tämän avulla nähdään muun muassa että<br />
Esimerkkejä:<br />
d<br />
dx [f(x)]µ = µ[f(x)] µ−1 f ′ (x)<br />
d<br />
dx ef(x) = e f(x) f ′ (x)<br />
d<br />
dx lnf(x) = f′ (x)<br />
f(x)<br />
d<br />
dx ex2 = e x2 d<br />
dx x2 = e x2 2x<br />
d<br />
dx sinex = cos(e x ) d<br />
dx ex = cos(e x )e x<br />
d<br />
dx xx<br />
= d<br />
dx exlnx = e xlnx d<br />
dx xlnx<br />
= x x (1lnx+x 1 x ) = xx (1+lnx)<br />
Käänteisfunktion derivaatta<br />
Olkoon meillä funktion y = f(x), käänteisfunktio<br />
x = f −1 (y). Nyt käänteisfunktion derivaatta saadaan<br />
funktion derivaatan avulla seuraavasti:<br />
Df −1 (y) =<br />
1<br />
f ′ (f −1 (y)) = 1<br />
f ′ (x) . (2.20)<br />
Leibnitzin notaatiolla tämä on yksinkertaisesti<br />
dx<br />
dy = 1 dy<br />
dx<br />
(2.21)<br />
(miten todistetaankin käänteisfunktion derivoimissääntö,<br />
kun ajatellaan raja-arvoja ∆x, ∆y.)<br />
Esim. Johdetaan logaritmin derivoimissääntö. Nyt<br />
y = e x , x = lny:<br />
dlny<br />
dy<br />
= dx<br />
dy = 1 dy<br />
dx<br />
= 1<br />
de x<br />
dx<br />
tai Dlny = 1/(De x ) = 1/e x = 1/y.<br />
Syklometriset funktiot<br />
Trigonometrisillä funktioilla ei ole yksikäsitteistä<br />
käänteisfunktiota. Esimerkiksi yhtälön<br />
sinx = 1 2<br />
= 1<br />
e x = 1 y<br />
ratkaisee mikä tahansa äärettömän joukon<br />
{<br />
π<br />
x = 6 +2nπ<br />
5π<br />
6 +2nπ, n kokonaisluku<br />
luvuista. Kun rajoitetaan sinin argumentti välille − π 2 ≤ x ≤ π 2 ,<br />
on yhtälöllä sinx = a yksikäsitteinen ratkaisu, jota nimitetään<br />
arkussiniksi ja merkitään<br />
x = arcsina, − π 2 ≤ x ≤ π 2 .<br />
Arkussini on siis se sinin käänteisfunktio, jonka arvoalue on<br />
rajoitettu välille − π 2 ≤ x ≤ +π . Kosinilla puolestaan on<br />
2<br />
yksikäsitteinen arkuskosiniksi sanottu käänteisfunktio, kun<br />
rajoitetaan kosinin argumentti välille 0 ≤ x ≤ π. Tästä käytetään<br />
merkintää<br />
x = arccosz, 0 ≤ x ≤ π.<br />
Tangentin käänteisfunktio on nimeltään arkustangentti. Sen<br />
arvoalue on<br />
y = arctanx, − π 2 ≤ y ≤ π 2 .<br />
Koska sinin ja kosinin arvoalueet kattavat välin [−1,1], voivat<br />
arkussinin ja arkuskosinin argumenttit olla väillä [−1,1].<br />
Arkustangentin argumentti taas voi olla mikä tahansa reaaliluku,<br />
sillä tangentin arvoalueena on koko reaaliakseli.<br />
13
Joskus halutaan määritellä trigonometristen funktioiden<br />
käänteisfunktiot monikäsitteisiksi, esim. halutaan että<br />
z = arcsinx antaa kaikki ne arvot z, joilla sinz = x. Tällöin<br />
arvoalueelle − π 2 ≤ arcsinx ≤ π rajattua arkussiniä sanotaan ko.<br />
2<br />
funktion päähaaraksi. Päähaarasta käytetään merkintää arcsinx.<br />
Vastaavat nimitykset ja merkinnät ovat käytössä muillekin<br />
trigonometrisille käänteisfunktioille.<br />
Trigonometristen funktioiden käänteisfunktioita sanotaan<br />
syklometrisiksi funktioiksi tai useimmiten niiden nimen mukaisesti<br />
tuttavallisesti arkus-funktioiksi.<br />
Lasketaan esimerkkinä funktion arcsinx derivaatta. Nyt<br />
arcsin on sinifunktion käänteisfunktio, ts. jos x = siny<br />
niin y = arcsinx. Säännön (2.20) perusteella on<br />
Darcsinx =<br />
1<br />
Dsiny = 1<br />
cosy .<br />
Trigonometristen funktioiden ominaisuuksien perusteella<br />
voidaan kirjoittaa<br />
√<br />
cosy = 1−sin 2 y = √ 1−x 2 ,<br />
joten saamme<br />
Samoin voidaan osoittaa<br />
d<br />
dx arcsinx = 1<br />
√<br />
1−x<br />
2 . (2.22)<br />
d<br />
dx arctanx = 1<br />
1+x2. (2.23)<br />
Kaavat (2.22,2.23) ovat hyödyllisiä integraalien laskuissa.<br />
2.5 Korkeamman kertaluvun derivaatat<br />
Jos funktion f(x) derivaatta f ′ (x) on myöskin<br />
derivoituva, voimme laskea senkin derivaatan:<br />
Df ′ (x) = lim<br />
∆x→0<br />
f ′ (x+∆x)−f ′ (x)<br />
. (2.24)<br />
∆x<br />
Sanomme, että funktio f(x) on kahdesti derivoituva ja<br />
suure Df ′ (x) funktion f(x) toinen derivaatta. Jos vielä<br />
tämä toinen derivaattakin on derivoituva, voisimme<br />
edelleen määrätä sen derivaatan DDf ′ (x) jne. Vastaavasti<br />
funktion sanotaan tällöin olevan kolmesti, ..., n kertaa,<br />
derivoituva ja puhutaan kolmansista, ..., n:stä<br />
derivaatoista.<br />
Merkintöjä<br />
Olkoon funktio f(x) n-kertaisesti derivoituva. Sen n:ttä<br />
derivaattaa merkitään mm. kuten<br />
f (n) (x) = D n f(x) = dn f(x)<br />
dx n .<br />
Alhaisen kertaluvun derivaatoista voidaan myös käyttää sellaisia<br />
merkintöjä kuin<br />
f (2) (x) = f ′′ (x) = DDf(x).<br />
Jos kyseessä on derivointi ajan suhteen, merkitään usein<br />
d 2 f(t) ..<br />
dt 2 = f(t).<br />
2.6 Sovelluksia<br />
Differentiaalilaskennan lukemattomista käyttökohteista<br />
käsitellään muutamia fysiikan kannalta ehkä tärkeähköjä<br />
sovelluksia.<br />
Suureiden muodostus<br />
Intuitiivisesti nopeudella ymmärretään aikayksikössä<br />
kuljettua matkaa. Matemaattisen täsmälliseksi nopeuden<br />
käsite saadaan määrittelemällä se rajarvona<br />
v(t) = lim<br />
∆t→0<br />
x(t+∆t)−x(t)<br />
, (2.25)<br />
∆t<br />
kun oletetaan tarkasteltavan objektin liikkuvan pitkin<br />
x-akselia ja sen olevan paikassa x(t) hetkellä t.<br />
Derivaatan määritelmästä (2.14) nähdään, että nopeus<br />
v(t) hetkellä t on<br />
v(t) = dx(t)<br />
dt<br />
= ẋ(t). (2.26)<br />
Kiihtyvyys puolestaan on nopeuden muutos aikayksikössä.<br />
Derivaattojen avulla ilmaistuna on siis pitkin x-akselia<br />
liikkuvan kappaleen kiihtyvyys a kirjoitettavissa kuten<br />
a(t) = dv(t)<br />
dt<br />
= d2 x(t)<br />
dt 2<br />
= v(t) . = .ẋ(t). (2.27)<br />
Muista lukemattomista derivaattojen avulla määritellyistä<br />
fysiikan käsitteistä mainittakoon vaikkapa sähkövirta<br />
I = dQ<br />
dt<br />
sähkövarauksen Q muuttuessa ajan t funktiona tai teho<br />
P = dW dt ,<br />
missä W on hetkeen t mennessä tehty työ tai, kolmantena<br />
esimerkkinä kappaleen tilavuuden V muutoksesta<br />
aiheutuvasta paineen P muutoksesta kertova<br />
puristusmoduuli (kompressibiliteetti)<br />
B = − 1 V<br />
Approksimaatio<br />
Derivaatan määritelmästä (2.14)<br />
dP<br />
dV .<br />
f ′ f(x+∆x)−f(x)<br />
(x) = lim<br />
∆x→0 ∆x<br />
voidaan ratkaista f(x+∆x) likimääräisesti:<br />
f(x+∆x) ≈ f(x)+f ′ (x)∆x. (2.28)<br />
Tämä relaatio on sitä tarkempi mitä pienempi ∆x on.<br />
14
N<br />
N<br />
N<br />
Väliarvolause<br />
Tarkasti ottaen on voimassa ns. väliarvolause:<br />
Olkoon f derivoituva funktio. Tällöin pisteiden x ja x+∆x<br />
välissä on olemassa sellainen piste x 0 että<br />
f ′ (x 0 ) = f(x+∆x)−f(x) .<br />
∆x<br />
Lauseen mukaan on siis tarkasti voimassa<br />
f(x+∆x) = f(x)+f ′ (x 0 )∆x,<br />
missä x < x 0 < x+∆x (olettaen, että ∆x > 0).<br />
Esim. sinx kun x on pieni<br />
Kaavan (2.28) mukaan on<br />
sinx ≈ xsin ′ 0 = xcos0 = x.<br />
Esim. Newton-Raphsonin menetelmä<br />
Tehtävänä on etsiä funktion f(x) nollakohta, ts. ratkaista<br />
yhtälö<br />
f(x) = 0.<br />
Oletetaan, että f(x) on derivoituva. Olkoon x 0 jokin<br />
likiarvo ratkaisulle (saatu esim. arvaamalla tai piirtämällä<br />
funktion kuvaaja). Approksimoidaan funktiota pisteen x 0<br />
läheisyydessä (ks. kuva 2.2) lineaarisella kuvaajalla<br />
f(x) ≈ f(x 0 )+f ′ (x 0 )(x−x 0 ).<br />
Tämän suoran ja x-akselin leikkauspiste<br />
x 1 = x 0 − f(x 0)<br />
f ′ (x 0 )<br />
on (yleensä) parempi nollakohdan likiarvo kuin<br />
alkuperäinen x 0 .<br />
B N <br />
Ääriarvot<br />
Funktion maksimikohta on sellainen piste, että<br />
poistuttaessa siitä mihin tahansa suuntaan funktion arvo<br />
pienee. Vastaavasti minimikohdasta poistuttaessa<br />
funktion arvo kasvaa. Maksimi (minimi) on paikallinen eli<br />
lokaali, jos funktiolla on muita arvoltaan tätäkin<br />
suurempia (pienempiä) maksimeja (minimejä). Jos<br />
kyseessä on funktion suurin (pienin) arvo, puhutaan<br />
globaalista tai absoluuttisesta maksimista (minimistä).<br />
Esim. kuvassa 2.3 minimi kohdassa x 0 ja maksimi<br />
kohdassa x 1 ovat paikallisia. Kohdan x 2 minimi saattaisi<br />
olla globaali.<br />
B N <br />
N N N N !<br />
Kuva 2.3 Funktion ääriarvot<br />
Derivoituvan funktion f(x) ääriarvokohdissa, ts.<br />
maksimeissa ja minimeissä funktion tangentti on<br />
x-akselin suuntainen (ks. kuva 2.3) eli<br />
Derivoituvan funktion derivaatta ääriarvopisteissä on<br />
nolla.<br />
Tarkasti ottaen derivaatta häviää sellaisissa ääriarvopisteissä,<br />
jotka sijaitsevat funktion määrittelyalueen sisällä. Jos esim.<br />
funktio f(x) on määritelty siten, että<br />
f(x) = x 2 , kun −1 ≤ x ≤ 1,<br />
maksimit (arvoltaan 1) sijaitsevat reunapisteissä x = ±1.<br />
N <br />
N <br />
Pisteitä, joissa derivaatta häviää sanotaan kriittisiksi<br />
pisteiksi. Derivaatan häviäminen on siis ääriarvon<br />
välttämätön ehto. Se ei kuitenkaan ole riittävä. Esim.<br />
kuvassa 2.3 kohdan x 3 vasemmalla puolen funktio on<br />
pienempi ja oikealla puolen suurempi kuin pisteessä x 3 .<br />
Jos funktio on kahdesti derivoituva, voimme toisesta<br />
derivaatasta päätellä kriittisen pisteen luonteen:<br />
Kuva 2.2 Newton-Raphsonin iteraatio<br />
Toistetaan sama menettely käyttäen pistettä x 1<br />
lähtöarvona, jolloin saadaan taas (toivottavasti) parempi<br />
likiarvo x 2 . Jatketaan samalla tavoin iteroiden, ts.<br />
lasketaan likiarvosta x n likiarvo<br />
x n+1 = x n − f(x n)<br />
f ′ (x n ) ,<br />
niin kauan kunnes f(x n ) on halutulla tarkkuudella nolla<br />
tai kunnes x n+1 poikkeaa riittävän vähän edellisestä<br />
arvosta x n .<br />
• Jos toinen derivaatta on negatiivinen, siirryttäessä<br />
pisteen yli vasemmalta oikealle ensimmäinen<br />
derivaatta pienenee positiivisesta negatiiviseksi, ts.<br />
kyseessä on maksimi.<br />
• Jos toinen derivaatta on positiivinen, siirryttäessä<br />
pisteen yli vasemmalta oikealle ensimmäinen<br />
derivaatta kasvaa negatiivisesta positiiviseksi, ts.<br />
minimi.<br />
• jos toinen derivaatta on nolla kriittisessä pisteessä,<br />
täytyy tarkastella korkeampia derivaattoja: jos pienin<br />
nollasta poikkeava derivaatta on:<br />
15
A) parillista kertalukua (2,4,...), kyseessä on Esim. lim x→0 sin 2 2x/x 2<br />
maksimi/minimi jos derivaatan etumerkki on -/+. l’Hospitalin sääntö on ilmeisestikin sovellettavissa ja<br />
B) pariton (1,3,...), kyseessä ei ole ääriarvo. saamme<br />
Esim. Funktion f(x) = 3x 4 −4x 3 kriittiset pisteet sin 2 2x 4sin2xcos2x<br />
lim<br />
Derivaatta on nyt<br />
x→0 x 2 = lim<br />
x→0 2x<br />
sin2x<br />
f ′ (x) = 12x 3 −12x 2 = 12x 2 (x−1).<br />
= lim 2cos2x = lim<br />
x→0 x 2sin2x<br />
x→0 x .<br />
Kriittiset pisteet saadaan asettamalla f ′ (x) = 0, ts.<br />
Päädymme siten edelleen muotoa 0/0 olevaan<br />
ratkaistaan yhtälö<br />
lausekkeeseen. Sovelletaan tähän uudelleen l’Hospitalin<br />
12x 2 (x−1) = 0.<br />
sääntöä, jolloin saadaan<br />
Kriittiset pisteet ovat siten 0 ja 1. Funktion toinen<br />
lim<br />
derivaatta on<br />
2sin2x = lim 4 cos2x = 4.<br />
x→0 x x→0 1<br />
f ′′ (x) = 36x 2 −24x,<br />
Esim. lim x→0+ xlnx<br />
joten f ′′ (0) = 0 ja f ′′ (1) = 12. Piste 1 on siis minimi. Tässä merkintä x → 0+ tarkoittaa, että x lähestyy nollaa<br />
mutta piste 0 ei ole maksimi eikä minimi. positiiviselta puolelta. Tämä rajoitus on asetettu, jotta<br />
l’Hospitalin sääntö<br />
logaritmifunktio olisi määritelty. Nyt x → 0 ja<br />
Hyvin monesti raja-arvoja laskettaessa päädytään<br />
lnx → −∞, joten l’Hospitalin säännön soveltamiseksi<br />
muotoa 0/0, ∞/∞ tai 0·∞ oleviin lausekkeisiin. Jos<br />
kirjoitetaan raja-arvo muotoon<br />
kyseessä ovat derivoituvat funktiot, voidaan useimmiten<br />
lnx<br />
soveltaa l’Hospitalin sääntöä<br />
lim xlnx = lim<br />
x→0+ x→0+ 1<br />
.<br />
Jos<br />
f ′ x<br />
(x)<br />
lim<br />
x→a g ′ (x) = A<br />
Nyt sekä osoittaja että nimittäjä lähestyvät ääretöntä ja<br />
l’Hospitalin sääntö on jälleen käyttökelpoinen:<br />
ja jos joko<br />
1<br />
f(x) → 0 ja g(x) → 0 kun x → a<br />
x<br />
lim xlnx = lim<br />
x→0+ x→0+ − 1 = lim (−x) = 0.<br />
x<br />
tai<br />
2 x→0+<br />
g(x) → ±∞ kun x → a,<br />
Implisiittinen derivointi<br />
niin<br />
Joskus funktiota y(x) määritellään esim. ehdolla<br />
f(x)<br />
lim<br />
x→a g(x) = A.<br />
F(x,y) = F(x,y(x)) = c, (2.29)<br />
Perusteluja<br />
missä c on vakio. Periaatteessa tästä yhtälöstä voitaisiin<br />
Tarkastellaan esimerkkinä tapausta, missä a on äärellinen ja missä (ehkä) ratkaista muuttuja y. Tämä ratkaisu riippuisi<br />
sekä f(a) = 0 että g(a) = 0. Voimme siis kirjoittaa<br />
tietenkin muuttujasta x. Voimme siis ajatella, että yhtälö<br />
f(x) f(x)−f(a)<br />
lim = lim<br />
x→a g(x) x→a g(x)−g(a) . (2.29) määrää implisiittisesti funktion y(x).<br />
Funktion y(x) derivaatta voidaan usein ratkaista suoraan<br />
[f(x)−f(a)]/(x−a)<br />
= lim<br />
x→a [g(x)−g(a)]/(x−a) . derivoimalla ehtoa F:<br />
= limx→a[f(x)−f(a)]/(x−a)<br />
d<br />
lim .<br />
F(x,y(x)) = 0 (2.30)<br />
x→a[g(x)−g(a)]/(x−a) dx<br />
= f′ (x)<br />
g ′ (x)<br />
ja ratkaisemalla y ′ (x).<br />
jos derivaatat ovat olemassa.<br />
Esim. Tason origokeskeinen ympyrä x 2 +y 2 = a 2<br />
määrittelee implisiittisesti funktion y(x).Nyt<br />
Esim. lim x→0 sinx/x<br />
Sekä osoittaja että nimittäjä lähestyvät nollaa<br />
d<br />
argumentin lähestyessä nollaa ja funktiot ovat<br />
dx (x2 +y(x) 2 ) = 2x+2y(x)y ′ (x) = 0<br />
derivoituvia. Voimme siis soveltaa l’Hospitalin sääntöä: ⇒ y ′ (x) = −x/y<br />
sinx<br />
lim<br />
x→0 x = lim cosx<br />
= 1<br />
x→0 1 1 = 1. mikä on ympyrän tangentin kulmakerroin.<br />
16
Esim. Muodosta implisiittisesti derivaatta dy<br />
dx yhtälöstä<br />
sin(xy)+y = x<br />
Tässä tapauksessa siis F(x,y(x)) = sin(xy)+y−x = 0, ja<br />
d<br />
dx F(x,y(x)) = d<br />
dx<br />
= 0<br />
= cos(xy)<br />
(sin(xy)+y −x)<br />
(<br />
y +x dy<br />
dx<br />
Hieman ryhmittäen voidaan kirjoittaa<br />
(1+xcos(xy)) dy<br />
dx = 1−ycos(xy),<br />
josta saamme derivaataksi<br />
dy<br />
dx = 1−ycos(xy)<br />
1+xcos(xy) .<br />
)<br />
+ dy<br />
dx −1<br />
Parametrisesti annetun funktion derivaatta<br />
Esim. x = cost ja y = sint määrittelee parametrisesti<br />
funktion (yksikköympyrän kaari) y(x) (kun 0 ≤ t ≤ π).<br />
Yleisemmin: olkoon annettu x = g(t) ja<br />
y = f(t) = f(g −1 (x)). Nyt ketjusäännön mukaan<br />
dy<br />
dx = f′ (t) d<br />
dx g−1 x = f ′ 1<br />
(t)<br />
g ′ (t) = y′ (t)<br />
x ′ (t)<br />
Tai yksinkertaisesti<br />
Ympyrälle siis<br />
dy<br />
dy<br />
dx = dt<br />
dx<br />
dt<br />
dy<br />
dx = cost<br />
√<br />
1−x<br />
−sint = − 2<br />
x<br />
(2.31)<br />
(2.32)<br />
3. Potenssisarjoja<br />
3.1 Äärettömät sarjat<br />
Olkoon {a n } jokin lukujono. Summaa<br />
S =<br />
∞∑<br />
a n = a 0 +a 1 +a 2 +···+a n +··· (3.1)<br />
n=0<br />
sanotaan äärettömäksi sarjaksi. Lukuja<br />
S n =<br />
n∑<br />
k=0<br />
kutsutaan osasummiksi. Äärettömän sarjan, tai lyhyesti<br />
vain sarjan, sanotaan suppenevan (konvergoituvan) jos<br />
raja-arvo lim n→∞ S n on olemassa. Jos raja-arvoa ei ole,<br />
sarja hajaantuu (divergoi).<br />
Alkaako sarja nollannesta, ensimmäisestä, toisesta tai jostakin ∑ ∞<br />
muusta termistä on vain numerointikysymys. Summat<br />
∑ ∑ ∑ k=1 a k,<br />
∞<br />
k=2 a ∞<br />
k, ... tai lyhyemmin<br />
1 a ∞<br />
k,<br />
2 a k, ... ovat myöskin<br />
(äärettömiä) sarjoja.<br />
Katsotaan esimerkkinä geometrista sarjaa ∑ ∞<br />
0 xn .<br />
Osasummat ovat<br />
n∑<br />
S n = x k = 1+x+···+x n<br />
0<br />
= 1−xn+1<br />
=<br />
a k<br />
1−x<br />
1<br />
1−x − xn+1<br />
1−x .<br />
Tiedämme, että x n+1 → 0 kun |x| < 1. Tällöin siis<br />
limS n = 1<br />
1−x .<br />
Toisaalta sarja selvästikin hajaantuu kun |x| ≥ 1.<br />
Olemme siis saaneet tuloksen<br />
∞∑<br />
0<br />
x n = 1 , kun |x| < 1. (3.2)<br />
1−x<br />
Se, että sarjan termit lähestyvät nollaa, ei takaa sarjan<br />
suppenemista. Esimerksi harmoninen sarja<br />
∞∑ 1<br />
n = 1+ 1 2 +···+ 1 n +···<br />
n=1<br />
hajaantuu.<br />
On olemassa useita testejä, joilla sarjojen suppenemista<br />
voi tutkia. Näistä ehkä käytetyin on suhdetesti:<br />
Olkoon ∑ a n sellainen positiivisten termien sarja, että<br />
raja-arvo<br />
lim<br />
n→∞ a n+1/a n = q<br />
on olemassa. Silloin<br />
17
• jos q < 1, niin sarja suppenee,<br />
• jos q > 1, niin sarja hajaantuu ja<br />
• jos q = 1, niin sarja voi supeta tai hajaantua.<br />
Vaikka suhdetesti käsitteleekin vain positiivitermisiä<br />
sarjoja, sitä voidaan soveltaa yleisempiinkin tapauksiin.<br />
Sanotaan että sarja ∑ ∑<br />
a n suppenee itseisesti jos sarja<br />
|an | suppenee. Voidaan osoittaa, että sarjan supetessa<br />
itseisesti myös itse sarja suppenee. Jos siis suhdetestillä<br />
todetaan sarjan suppenevan itseisesti niin voidaan<br />
päätellä sarjan suppenevan sellaisenaankin.<br />
Esim. Osoita, että sarja ∑ ∞ (−1) n n<br />
1 2<br />
suppenee<br />
n<br />
Kyseessä on ns. vuorotteleva sarja: joka toinen termi on<br />
positiivinen ja joka toinen negatiivinen. Osoitetaan, että<br />
sarja suppenee itseisesti, ts. että ∑ ∣<br />
∞<br />
1 ∣ (−1)n n ∣∣<br />
2 suppenee.<br />
n<br />
Nyt a n = n 2<br />
ja n<br />
a n+1<br />
a n<br />
= (n+1)2n<br />
n2 n+1 = 1 (<br />
1+ 1 )<br />
2 n<br />
→ 1 2 < 1.<br />
Suhdetestin mukaan sarja suppenee itseisesti ja niin ollen<br />
suppenee sellaisenaankin.<br />
3.2 Potenssisarjat<br />
Geometrinen sarja (3.2) ∑ 0 xn esittää funktiota<br />
1/(1−x). Itseasiassa hyvin monet funktiot voidaan<br />
esittää tyyppiä<br />
∞∑<br />
a n (x−x 0 ) n<br />
0<br />
olevina potenssisarjoina. Jatkossa käsittelemme<br />
enimmäkseen tapauksia, joissa x 0 = 0, sillä vaihtamalla<br />
muuttujaan x ′ = x−x 0 mikä tahansa potenssisarja<br />
saadaan muotoon<br />
∞∑<br />
a n x ′ n .<br />
n<br />
Potenssisarjan suppeneminen riippuu yleensä muuttujan<br />
x arvosta. Voidaan osoittaa, että<br />
On olemassa sellainen luku R ≥ 0 (mahdollisesti +∞,<br />
että potenssisarja ∑ n a nx n suppenee itseisesti, kun<br />
−R < x < R ja hajaantuu kun |x| > R.<br />
Lukua R sanotaan suppenemissäteeksi.<br />
Tärkein suppenemissäteen määräämismenetelmä on<br />
jälleen suhdetesti:<br />
Olkoon sarja ∑ n a nx n sellainen, että raja-arvo<br />
lim|a n+1 /a n | = q on olemassa. Suppenemissäde on silloin<br />
R = 1/q.<br />
∑ Suhdetestin mukaan sarja<br />
n anxn suppenee itseisesti, jos<br />
termien suhteelle on voimassa<br />
∣ lim<br />
∣ a n+1x n+1 ∣∣∣ a nx n = lim∣ a ∣<br />
n+1 ∣∣ |x| < 1.<br />
a n<br />
Sarja siis suppenee, jos muuttuja x toteuttaa ehdon<br />
∣<br />
1<br />
|x| <<br />
∣ lim∣ a = lim<br />
n+1<br />
∣ an ∣∣,<br />
a n+1<br />
a n<br />
joten suppenemissäde R on<br />
∣ R = lim∣ an ∣∣.<br />
a n+1<br />
Esim. Sarjan ∑ n xn /n! suppenemissäde<br />
Nyt ∣ ∣ ∣∣∣ a n+1∣∣∣<br />
n!<br />
=<br />
a n (n+1)! = 1<br />
n+1 ,<br />
joten suhdetestin q on 0. Suppenemissäde on niin ollen<br />
ääretön eli sarja suppenee kaikilla muuttujan x arvoilla.<br />
Esim. Sarjan ∑ ∞<br />
1 10n<br />
n xn suppenemissäde<br />
Suhdetesti antaa<br />
∣ a n ∣∣∣<br />
∣ =<br />
a n+1<br />
10 n<br />
n<br />
10 n+1<br />
n+1<br />
= n+1 ·<br />
n<br />
1<br />
10 → 1<br />
10 = 1 q = R.<br />
Kuten todettua potenssisarjoja voidaan pitää<br />
argumenttinsa funktioina. Potenssisarjafunktioilla on mm.<br />
ominaisuudet:<br />
Suppenemissäteen sisällä sarjan ∑ a n x n esittämä funktio<br />
• on jatkuva,<br />
• voidaan integroida integroimalla sarja termeittäin,<br />
• voidaan derivoida (mielivaltaisen monesti)<br />
derivoimalla sarja termeittäin.<br />
3.3 Taylorin sarjat<br />
Olkoon funktio f(x) äärettömän monta kertaa<br />
derivoituva pisteen x 0 ympäristössä. Tällöin se voidaan<br />
esittää Taylorin sarjana pisteen x 0 suhteen kehitettynä<br />
suppenemissäteen sisällä:<br />
f(x) =<br />
∞∑<br />
n=0<br />
f (n) (x 0 )<br />
(x−x 0 ) n (3.3)<br />
n!<br />
Tässä siis f (n) (x 0 ) on funktion n:s derivaatta pisteessä<br />
x 0 , ja f (0) (x 0 ) = f(x 0 ). Luku<br />
n! ≡ n(n−1)(n−2)...1, 0! ≡ 1<br />
on n:n kertoma.<br />
Jos x 0 = 0, Taylorin sarja saadaan usein esiintyvään<br />
muotoon<br />
∞∑ f (n) (0)<br />
f(x) = x n (3.4)<br />
n!<br />
n=0<br />
18
Todistus: Olkoon meillä potenssisarja<br />
f(x) =<br />
∞∑<br />
a n (x−x 0 ) n .<br />
n=0<br />
Asettamalla x = x 0 vain ensimmäinen termi on nollasta<br />
poikkeava, ja nähdään heti a 0 = f(x 0 ) = f (0) (x 0 ).<br />
Potenssisarjojen ominaisuuksien mukaan sarjaa voidaan<br />
derivoida termeittäin. Silloin ensimmäinen derivaatta<br />
suppenemissäteen sisällä on<br />
f ′ (x) =<br />
∞∑<br />
0<br />
a n<br />
d<br />
dx (x−x 0) n =<br />
∞∑<br />
a n n(x−x 0 ) n−1 .<br />
Asettamalla tässä x = x 0 nähdään a 1 = f ′ (x 0 ) = f (1) (x 0 ).<br />
Derivoimalla k kertaa saamme<br />
∞∑<br />
f (k) d k<br />
(x) = a n<br />
dx k(x−x 0) n<br />
=<br />
n=0<br />
1<br />
∞∑<br />
a n n(n−1)...(n−k +1)(x−x 0 ) n−k<br />
n=k<br />
mistä jälleen seuraa f (k) (x 0 ) = k!a k , mikä jo osoittaakin<br />
tuloksen (3.3).<br />
Esim. Kosinifunktion Taylorin sarja<br />
Nyt<br />
d<br />
cosx = −sinx<br />
dx<br />
d 2<br />
2<br />
cosx = −cosx<br />
dx<br />
d 3<br />
3<br />
cosx = sinx<br />
dx<br />
d 4<br />
4<br />
cosx = cosx<br />
dx .<br />
d 2n<br />
dx 2n cosx = (−1)n cosx<br />
d 2n+1<br />
dx 2n+1 cosx = (−1)n+1 sinx<br />
.<br />
Nähdään, että tässä tapauksessa parittomat derivaatat<br />
f (2n+1) (0) häviävät ja jäljelle jäävät ainoastaan parilliset<br />
f (2n) (0) = (−1) n .<br />
Funktion cosx Taylorin sarja on niin ollen<br />
cosx = f(0)+f (1) (0)x+ f(2) (0)<br />
x 2<br />
2!<br />
+ f(3) (0)<br />
3!<br />
x 3 + f(4) (0)<br />
x 4 +···<br />
4!<br />
= 1− 1 2 x2 + 1 4! x4 +···<br />
=<br />
∞∑<br />
n=0<br />
(−1) n x2n<br />
(2n)! .<br />
Suhdetestin avulla todetaan helposti, että tämän sarjan<br />
suppenemissäde on ääretön.<br />
Tarkasti ottaen suhdetestillä määrätään sarjan ∑ n anxn<br />
suppenemissäde. Sarja ∑ n anxβn saadaan muuttujan vaihdolla<br />
y = x β suhdetestille sopivaan muotoon ∑ n anyn . Tämä sarja<br />
suppenee kun muuttuja y on itseisarvoltaan pienempi kuin testin<br />
antama suppenemissäde R. Muuttujalle x = y 1/β<br />
suppenemissäde on niin ollen R 1/β .<br />
Kääntäen, jos tunnetaan funktion f(x) Taylorin sarja<br />
∑<br />
f(x) = a nx n<br />
ja sen suppenemissäde R, niin funktion f(x β ) Taylorin sarja on<br />
yksinkertaisesti<br />
∑<br />
f(x β ) = a nx βn<br />
ja sen suppenemissäde R 1/β .<br />
Katsotaan nyt, miten muodostaisimme logaritmifunktion<br />
Taylorin sarjan. Koska sen jokainen derivaatta,<br />
d n<br />
dx n lnx = (−1) n−1(n−1)!<br />
x n ; (n > 0),<br />
divergoi kun x = 0, emme voi origon (x 0 = 0)<br />
ympäristössä Taylorin sarjaa muodostaa.<br />
Kehittämällä sen sijaan Taylorin sarja (3.3) pisteen<br />
x 0 = 1 ympäristössä, saame sarjan<br />
lnx = ln1+(x−1)− (x−1)2<br />
2<br />
=<br />
n<br />
n<br />
+ (x−1)3 − (x−1)4 +···<br />
3 4<br />
∞∑<br />
(−1) n−1(x−1)n .<br />
n<br />
n=1<br />
mikä on tapana esittää muodossa (y = x−1)<br />
ln(1+y) =<br />
∞∑<br />
(−1) n−1yn n<br />
n=1<br />
Näiden sarjojen suppenemissäde on 1 (suppenee jos<br />
|y| = |x−1| < 1)<br />
Taylorin sarjat funktioiden approksimaatioina<br />
Kirjoitetaan funktion f Taylorin sarja muotoon<br />
f(x) = f(0)+f (1) (0)x+···+ f(n) (0)<br />
x n +R(x).<br />
n!<br />
Intuitiivisesti on ilmeistä (ja voidaan osoittaa), että mitä<br />
pienempi on argumetti x ja mitä suurempi on n sitä<br />
pienempi on jäännöstermi R(x). Tämän perusteella<br />
19
voimme approksimoida funktioita katkaistuilla Taylorin<br />
sarjoilla:<br />
f(x) ≈ f(0)+f (1) (0)x+···+ f(n) (0)<br />
x n . (3.5)<br />
n!<br />
Approksimaatio on siis sitä tarkempi mitä pienempi on x<br />
tai mitä suurempi on n. Yleensä approksimoitaessa<br />
tyydytään lineaarisiin tai neliöllisiin termeihin.<br />
Katkaistaessa yleistetty Taylorin sarja (3.3) tarkkuus on<br />
vastaavasti sitä parempi mitä lähempänä argumentti on<br />
kehityspistettä. Jotta tarkkuus olisi sitä parempi mitä<br />
pienempi argumentti on, useimmiten muutetaan<br />
tarkasteltavaa funktiota sen sijaan että kehitettäisiin<br />
origosta poikkeavassa pisteessä.<br />
Esimerkiksi logaritmifunktion tapauksessa saadaan<br />
approksimaatio<br />
Jos µ on positiivinen kokonaisluku, sarjassa on äärellinen<br />
määrä termejä (n = 0...µ). Muussa tapauksessa sarjan<br />
suppenemissäde on |x| < 1.<br />
tai sinille<br />
ln(1+x) = x− x2<br />
2 + x3<br />
3 +O(x4)<br />
sinx = x− x3<br />
6 +O(x5 ).<br />
Alla olevaan taulukkoon on kerätty muutamia usein<br />
tarvittavia Taylorin sarjoja.<br />
∑<br />
f(x) an x n<br />
e x<br />
sinx<br />
cosx<br />
sinhx<br />
coshx<br />
ln(1+x)<br />
tanx<br />
∑<br />
0 xn<br />
n!<br />
x2n+1<br />
∑0<br />
(−1)n<br />
(2n+1)!<br />
x2n<br />
∑0<br />
(−1)n<br />
(2n)!<br />
∑0 x2n+1<br />
(2n+1)!<br />
∑0 x2n<br />
(2n)!<br />
∑<br />
1 (−1)n−1xn n , |x| < 1<br />
x+ x3<br />
3 + 2 15 x5 +···, |x| < π 2<br />
(3.6)<br />
Näistä saamme suoraan aiemmin esitetyt approksimaatiot<br />
(2.4–2.8).<br />
Eksponenttifunktion sarjasta<br />
e x = ∑ 0<br />
x n<br />
n!<br />
seuraa d<br />
dx ex = e x , jos sitä ei muuten tunnettaisi:<br />
d<br />
dx<br />
∑<br />
n<br />
x n<br />
n!<br />
nx n−1<br />
= ∑ n!<br />
n<br />
∞∑ x n−1<br />
=<br />
(n−1)! = ∑ n=1 k<br />
missä k = n−1.<br />
Toistuvasti derivoimalla saadaan myös sarja<br />
x k<br />
k!<br />
(1+x) µ = 1+µx+ µ(µ−1) x 2 +...<br />
2!<br />
∞∑ µ(µ−1)...(µ−n+1)<br />
=<br />
x n<br />
n!<br />
n=0<br />
20
4. Integraalilaskentaa<br />
4.1 Integraalifunktio<br />
Funktio F on funktion f integraalifunktio (integraali), jos<br />
F ′ (x) = f(x). (4.1)<br />
Integraalifunktion laskeminen (integrointi) on siis<br />
derivoinnin käänteisoperaatio. Integraalifunktiosta on<br />
tapana käyttää merkintää<br />
∫<br />
F(x) = f(x)dx (4.2)<br />
Funktiota f sanotaan integroitavaksi.<br />
Integraalifunktio ei ole yksikäsitteinen: Olkoon f<br />
integroituva funktio, jonka eräs integraalifunktio on F.<br />
Tällöin jokainen funktion f integraalifunktio on muotoa<br />
F(x)+C.<br />
Todistus:<br />
1. (F(x)+C) ′ = F ′ (x) = f(x), joten F(x)+C on<br />
integraalifunktio.<br />
2. Olkoon G(x) toinen f(x):n integraalifunktio. Nyt<br />
(F(x)−G(x)) ′ = F ′ (x)−G ′ (x) = f(x)−f(x) = 0, joten<br />
F(x)−G(x) on vakio.<br />
Yleisesti integrointi on huomattavasti vaikeampaa kuin<br />
derivointi: alkeisfunktioiden derivaatat ovat<br />
alkeisfunktioita, mutta alkeisfunktioiden integraalit eivät<br />
yleisesti ottaen ole!<br />
Koska derivointi on lineaarinen operaatio, myös<br />
integrointi on lineaarinen, ts.<br />
∫<br />
∫ ∫<br />
[αf(x)+βg(x)]dx = α f(x)dx+β g(x)dx, (4.3)<br />
missä α ja β ovat vakioita.<br />
Etenkin fysiikassa käytetään usein merkintää missä dx<br />
tulee välittömästi integraalimerkin jälkeen, siis<br />
∫ ∫<br />
dxf(x) ≡ f(x)dx<br />
4.1.1 Tavallisia integraaleja<br />
Johto seuraaville: derivoimalla!<br />
∫<br />
x µ dx = xµ+1<br />
µ+1 +C, µ ≠ 1<br />
∫<br />
adx = ax+C, a vakio<br />
∫ 1<br />
dx = ln|x|+C = ln|Ax|, missä C = ln|A|.<br />
x<br />
∫<br />
e x dx = e x +C<br />
∫<br />
a x dx = ax<br />
lna +C<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
sinxdx = −cosx+C<br />
cosxdx = sinx+C<br />
tanxdx = −ln|cosx|+C<br />
coshxdx = sinhx+C<br />
sinhxdx = coshx+C<br />
Usein esiintyvät myös<br />
∫<br />
1<br />
dx = ln|1+x|+C<br />
1+x<br />
∫<br />
1<br />
dx = arctanx+C<br />
1+x2 ∫<br />
1<br />
1−x 2 dx = 1 ∣ ∣∣∣<br />
2 ln 1+x<br />
1−x∣ +C<br />
∫<br />
1<br />
√ dx = arcsinx+C<br />
1−x<br />
2<br />
∫<br />
1<br />
√<br />
x2 ±1 dx = ln|x+√ x 2 ±1|+C<br />
4.2 Integraalien lasku<br />
Toisin kuin derivointi integrointi ei yleensä ole<br />
suoraviivainen mekaaninen toimenpide. Läheskään kaikki<br />
alkeisfunktioista muodostetut funktiot eivät ole<br />
integroituvia alkeisfunktioiden avulla! Integraalifunktion<br />
etsinnässä on käytössä lukuisia menetelmiä, joista<br />
tärkeimmät ovat muuttujan vaihto ja osittaisintegrointi.<br />
Polynomit ja sarjat<br />
Koska integrointi on lineaarinen operaatio, voimme laskea<br />
esim. minkä tahansa polynomin integraalin. Jos polynomi<br />
on muotoa,<br />
P(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +···a n x n ,<br />
on sen integraali<br />
∫<br />
P(x)dx = C+a 0 x+ 1 2 a 1x 2 +···+ 1<br />
n+1 a nx n+1 . (4.4)<br />
Samoin jos tunnemme funktion Taylorin sarjan,<br />
f(x) = ∑ n a nx n , saamme välittömästi integraalifunktion<br />
sarjan ∫<br />
f(x)dx = C + ∑ a n<br />
n+1 xn+1 (4.5)<br />
n<br />
Tämä sarja ei välttämättä vastaa mitään alkeisfunktiota.<br />
4.2.1 Ketjusäännön käyttö<br />
Derivoinnin ketjusäännön (2.19)<br />
d<br />
dx g(f(x)) = g′ (f(x))f ′ (x)<br />
21
mukaan on<br />
∫<br />
g ′ (f(x))f ′ (x)dx = g(f(x)). (4.6)<br />
Jos g(x) = x 2 , saadaan usein esiintyvä<br />
∫<br />
f ′ (x)f(x)dx = 1 2 f(x)2 +C (4.7)<br />
Tai jos g(x) = lnx,<br />
∫ f ′ (x)<br />
dx = ln|f(x)|+C (4.8)<br />
f(x)<br />
Yleisemmin<br />
∫<br />
f ′ (x)(f(x)) n dx = 1<br />
n+1 (f(x))n+1 +C, n ≠ −1 (4.9)<br />
Esimerkkejä:<br />
∫ ∫<br />
sinxcosxdx =<br />
sinx(sinx) ′ dx = 1 2 sin2 x+C<br />
∫ ∫ sinx −(cosx)<br />
′<br />
cosx dx = dx = −ln|cosx|+C<br />
cosx<br />
4.2.2 Muuttujan vaihto<br />
Ketjusääntöön perustuu myös muuttujanvaihto- eli<br />
sijoitustekniikka. Olkoon F funktion f integraalifunktio,<br />
joka siis toteuttaa relaation<br />
d<br />
F(x) = f(x).<br />
dx<br />
Oletetaan nyt että x on parametrin t funktio, x(t).<br />
Ketjusäännön mukaan on<br />
d<br />
dt F(x(t)) = F′ (x(t))x ′ (t) = f(x(t))x ′ (t).<br />
Integroimalla yhtälö puolittain saadaan siten<br />
∫<br />
F(x(t)) = f(x(t))x ′ (t)dt,<br />
jonka voimme myös kirjoittaa muotoon<br />
∫ ∫<br />
f(x)dx = f(x(t))x ′ (t)dt. (4.10)<br />
Lyhyesti, tämä vastaa sijoitusta<br />
dx = dx<br />
dt dt<br />
eli siis muuttuja x “ylennetään” muuttujan t funktioksi.<br />
Muuttujan vaihdon jälkeen integraali voi olla helpompi<br />
laskea. Tulos on t’n funktio, mutta saadaan x:n funktioksi<br />
kääntämällä x = x(t).<br />
Valaistaan muuttujan vaihtoa esimerkillä: integroidaan<br />
∫ lnx<br />
x dx.<br />
Sijoitetaan t = lnx, jolloin dt = 1/xdx eli<br />
dx = xdt.<br />
Integraali on siten<br />
∫ lnx<br />
x dx = ∫ t<br />
x xdt = ∫<br />
= 1 2 t2 .<br />
tdt<br />
Sijoitetaan takaisin t = lnx, jolloin saadaan lopulta<br />
∫ lnx<br />
x dx = 1 2 ln2 x.<br />
Integroinnin tulos kannattaa yleensä tarkistaa derivoimalla.<br />
Äskeisessä esimerkissä derivointi antaa<br />
[<br />
d 1<br />
x]<br />
dx 2 ln2 = 1 2 2lnx 1 x = lnx<br />
x<br />
kuten pitääkin.<br />
Ongelma: kuinka löytää sopiva sijoitus t(x)? Löytyy<br />
lukuisia sääntöjä, mutta yleispätevää ei. Kannattaa<br />
yrittää tunnistaa sopiva kokonaisuus integroitavasta<br />
funktiosta.<br />
∫ Esimerkkejä tyypillisistä sijoituksista:<br />
(ax+b) µ dx:<br />
kokeillaan t = ax+b, dt = adx, joten<br />
∫ ∫<br />
(ax+b) µ dx =<br />
t µdt<br />
a<br />
= tµ+1 (ax+b)µ+1<br />
+C = +C<br />
a(µ+1) a(µ+1)<br />
Esim. ∫ (5x−6) 6 dx. Sijoitetaan t = 5x−6,<br />
dt = 5dx ⇒ dx = dt/5, ja<br />
∫ ∫<br />
(5x−6) 6 dx = t 61 5 dt = 1 1<br />
57 t7 +C = 1<br />
35 (5x−6)7 +C<br />
∫Viimeisessä √ vaiheessa sijoitetaan x takaisin.<br />
a2 −x 2 dx:<br />
kokeillaan x = asint, dx = acostdt. (Miksi tämä sijoitus?<br />
Syy: √ √<br />
a 2 −x 2 = a 2 −a 2 sin 2 t = |acost|.)<br />
∫ √a2 ∫<br />
−x 2 dx = acostacostdt<br />
= a 2 ∫<br />
= a2<br />
= a2<br />
2<br />
= a2<br />
2<br />
cos 2 tdt = a2<br />
2<br />
∫<br />
(1+cos2t)dt<br />
2 (t− 1 2 sin2t)+C<br />
(arcsin x a − 1 2 sin(2arcsin x )<br />
a ) +C<br />
(<br />
arcsin x a + x √ )<br />
1− x2<br />
a a 2 +C<br />
22
missä viimeisessä käytettiin cos2t = 2cos 2 t−1 ja<br />
sin2t = 2sintcost = 2sint √ ∫ √ 1−sin 2 t.<br />
a2 +x 2 dx:<br />
√<br />
Tässä toimii x = asinht, sillä 1+sinh 2 x = coshx<br />
(vertaa ∫ edelliseen).<br />
1<br />
e x +e<br />
dx: −x<br />
Kokeillaan y = e x , dy = e x dx ja<br />
∫ ∫<br />
1<br />
e x +e −xdx = 1 1<br />
y +1/y y dy<br />
∫<br />
1<br />
=<br />
1+y 2dy = arctany +C = arctanex +C<br />
∫ √<br />
3x 1−2x2 dx:<br />
Kokeillaan u = 1−2x 2 , du = −4xdx ⇒ xdx = − 1 4 du<br />
∫<br />
3x √ 1−2x 2 dx = − 3 ∫ √udu<br />
4<br />
= − 3 2<br />
43 u3/2 +C = − 1 2 (1−2x2 ) 3/2 +C<br />
Huom: sijoitukset eivät useinkaan ole yksikäsitteisiä.<br />
Esim. yllä voidaan kokeilla myös t = √ 1−2x 2 ,<br />
dt = −2x(1−2x 2 ) −1/2 dx = − 2x t dx ⇒ xdx = −1 2 tdt:<br />
∫<br />
3x √ ∫<br />
1−2x 2 dx = 3t(− 1 2 t)dt<br />
= − 1 2 t3 +C = − 1 2 (1−2x2 ) 3/2 +C<br />
Vinkki: juurilausekkeen sisältävässä integraalissa<br />
kannattaa kokeilla uudeksi muuttujaksi joko juuren<br />
sisäpuolta ∫ tai juurilauseketta kokonaisuudessaan<br />
√dx<br />
1+x<br />
:<br />
Kokeillaan s = √ 1+x, ds = 1 2 (1+x)−1/2 dx ja<br />
∫ ∫<br />
dx<br />
√ = 2ds = 2s+C = 2 √ 1+x+C<br />
1+x<br />
Usein juurilausekkeita sisältävät funktiot eivät ole<br />
∫kuitenkaan integroitavissa alkeisfunktioiden avulla.<br />
√ x+2<br />
x+1+1<br />
dx:<br />
sijoitus t = √ x+1 ⇒ x = t 2 −1, dx = 2tdt:<br />
∫ ∫<br />
x+2 t 2 −1+2<br />
√ dx = 2tdt<br />
x+1+1 t+1<br />
∫ t 3 +t<br />
= 2<br />
t+1 dt<br />
Koska rationaalilausekkeen osoittaja on korkeampaa<br />
kertalukua kuin nimittäjä, voimme “jakaa” lausekkeen<br />
muotoon polynomi + jakojäännös. Tästä tarkemmin<br />
rationaalifunktioiden integroinnin yhteydessä.<br />
Tarkistamalla nähdään että integraali on<br />
= 2<br />
∫ (<br />
t 2 −t+2− 2<br />
t+1<br />
)<br />
dt<br />
= 2( 1 3 t3 − 1 2 t2 +2t−2ln(t+1)+C<br />
= 2 3 (x+1)3/2 −(x+1)+4(x+1) 1/2<br />
−4ln( √ x+1+1)+C<br />
4.2.3 Osittaisintegrointi<br />
Integroimalla tulon derivointisäännön<br />
d<br />
dx [f(x)g(x)] = f′ (x)g(x)+f(x)g ′ (x)<br />
saamme osittaisintegrointisäännön<br />
∫<br />
∫<br />
f ′ (x)g(x)dx = f(x)g(x)− f(x)g ′ (x)dx. (4.11)<br />
Sovelletaan osittaisintegrointia integraaliin ∫ xlnxdx.<br />
Olkoon säännön (4.11) f ′ (x) = x ja g(x) = lnx. Silloin on<br />
f(x) = 1/2x 2 ja g ′ (x) = 1/x ja saamme<br />
∫<br />
xlnxdx = 1 2 x2 lnx− 1 ∫<br />
x 2 1 2 x dx<br />
= 1 2 x2 lnx− 1 ∫<br />
xdx<br />
2<br />
= 1 2 x2 lnx− 1 4 x2 .<br />
Kuten nähtiin, funktiot “f” ja “g” täytyy valita<br />
huolellisesti että osittaisintegrointi johtaisi helpommin<br />
ratkeavaan integraaliin! Väärä valinta johtaa vain<br />
huonompaan ∫ lopputulokseen.<br />
Esim. arctanxdx. Valitaan nyt g(x) = arctanx ja<br />
f ′ (x) ∫ = 1! Tästä seuraa g ′ (x) = ∫1/(1+x 2 ) ja f(x) = x, ja<br />
x<br />
arctanxdx = xarctanx−<br />
1+x 2dx =<br />
xarctanx− 1 2 ln(1+x2 )+C<br />
missä x/(1+x 2 ) on muotoa 1 2 u′ (x)/u(x). Tapaus f ′ = 1<br />
on yleisesti ∫ käytetty osittaisintegroinnissa.<br />
Esim. lnxdx: valitaan jälleen f ′ = 1, g = lnx, jolloin<br />
f = ∫ x, g ′ = 1/x, ja ∫<br />
lnxdx = xlnx− x 1 dx = xlnx−x+C.<br />
∫ x<br />
Esim. xcosxdx: valitaan f ′ = cosx, g = x, jolloin<br />
f = ∫ sinx, g ′ = 1 ja pääsemme ∫ eroon x:n potenssista. Siis<br />
xcosxdx = xsinx− 1sinxdx = xsinx+cosx+C.<br />
Esimerkin vuoksi katsotaan mitä tapahtuisi jos valitaan<br />
f ′ = x, g = cosx: nyt f = x 2 /2, g ′ = −sinx ja<br />
∫<br />
xcosxdx = 1 2 x2 cosx+∫ 1<br />
2 x2 sinxdx<br />
Saatu integraali on pahempi kuin alkuperäinen! Funktiot<br />
siis kannattaa valita huolella.<br />
Osittaisintegrointia ∫ voi joutua toistamaan:<br />
Esim. x 2 sinxdx:kuten edellä, otetaan f ′ = sinx,<br />
g = x 2 , joten f = −cosx, g ′ = 2x ja<br />
23
∫<br />
∫<br />
x 2 sinxdx = −x 2 cosx+<br />
2xcosxdx =<br />
−x 2 cosx+2xsinx+2cosx+C<br />
missä saatu integraali laskettiin jo edellä.<br />
Yleisesti: ∫ Muotoa∫<br />
∫<br />
x m sinxdx, x m cosxdx, x m e x dx<br />
olevat integraalit voidaan laskea osittaisintegroimalla m<br />
kertaa ∫<br />
Esim. sin 2 xdx: otetaan<br />
f ′ ∫= g = sinx ⇒ f = −cosx, ∫g ′ = cosx ja<br />
sin 2 xdx = −cosxsinx+ cos 2 xdx = −cosxsinx+<br />
∫<br />
∫<br />
(1−sin 2 x)dx = −cosxsinx+x− sin 2 xdx<br />
Saimme siis alkuperäisen integraalin, joka voidaan<br />
ratkaista yhtälöstä:<br />
∫<br />
sin 2 xdx = 1 2 (−cosxsinx+x)+C<br />
(Tämän olisi nähnyt nopeamminkin käyttämällä<br />
sin 2 x = 1 2 (1−cos2x))<br />
Yleisemmin: tyyppiä ∫ sin n xdx olevat integraalit voidaan<br />
laskea palautuskaavan avulla: valitaan f ′ = sinx,<br />
g = sin n−1 x, joten f = −cosx, g ′ = (n−1)sin n−2 xcosx<br />
∫<br />
sin n xdx<br />
∫<br />
= −cosxsin n−1 x+(n−1) cos 2 xsin n−2 xdx<br />
∫<br />
= −cosxsin n−1 x+(n−1) (1−sin 2 x)sin n−2 xdx<br />
∫<br />
= −cosxsin n−1 x+(n−1) sin n−2 xdx<br />
∫<br />
−(n−1) sin n xdx<br />
Saimme siis jälleen alkuperäisen integraalin.<br />
Ratkaisemalla ∫ se saamme<br />
sin n xdx = − 1 n cosxsinn−1 x+ n−1 ∫<br />
sin n−2 xdx<br />
n<br />
Näin siis sin n x:n integraali saatiin palautettua sin n−2 x:n<br />
integraaliksi. Toistamalla tätä päästään aina n = 1 tai 0,<br />
ja sin 1 x ja sin 0 x integraalit tunnetaan.<br />
Samalla menetelmällä saamme cos n x:n integraalille<br />
palautuskaavan.<br />
Näin ∫ esim.<br />
sin 4 xdx = − 1 4 cosxsin3 x+ 3 ∫<br />
sin 2 xdx =<br />
4<br />
− 1 4 cosxsin3 x+ 3 4 (−1 2 cosxsinx+ 1 ∫<br />
sin 0 xdx) =<br />
2<br />
usein integroida standardisijoituksella<br />
Tällöin<br />
t = tan x 2<br />
dt = (1+tan 2 x 2 )1 2<br />
dx ⇒ dx =<br />
2 1+t 2dt,<br />
cosx = cos2 x 2 = cos2 x 2 −sin2 x 2<br />
= cos 2 x 2 (1−tan2 x 2 ) = 1−tan2 x 2<br />
1+tan 2 x 2<br />
sinx = 2sin x 2 cos x 2 = 2tan x x 2 cos2 2<br />
tan x 2<br />
= 2<br />
1+tan 2 x = 2t<br />
1+t<br />
2<br />
2<br />
(4.12)<br />
= 1−t2<br />
1+t 2<br />
Tällä ratkeavat kaikki sinx, cosx rationaalifunktiot.<br />
Esim: ∫ ∫<br />
1 1+t<br />
2<br />
∫<br />
sinx dx = 2 1<br />
2t 1+t 2dt = dt = ln|t|+C =<br />
t<br />
ln|tan x 2 |+C<br />
Helpompia sijoituksia usein kuitenkin ovat t = sinx,<br />
t = cosx, t = tanx, joita voi myös kokeilla.<br />
Monet trigonometrisia funktioita sisältävät integraalit<br />
voidaan laskea helpommin kompleksilukujen ja Eulerin<br />
kaavan avulla:<br />
cosx = 1 2 (eix +e −ix ) (4.13)<br />
sinx = 1 2i (eix −e −ix ) (4.14)<br />
e ix = cosx+isinx (4.15)<br />
Näiden käyttö nojautuu siihen että e x :n integraalit ovat<br />
helppoja laskea. Imaginääriyksikö i on vakio, joka<br />
toteuttaa i 2 = −1. Tästä puhutaan tarkemmin<br />
kompleksilukujen yhteydessä.<br />
Esim. ∫<br />
sinaxcosbxdx<br />
=<br />
∫ (<br />
e iax −e −iax<br />
∫<br />
2i<br />
)<br />
e ibx +e −ibx<br />
dx<br />
2<br />
= 1 (e i(a+b)x +e i(a−b)x −e −i(a−b)x −e −i(a+b)x )dx<br />
4i<br />
(<br />
)<br />
= 1 e i(a+b)x<br />
4i i(a+b) + ei(a−b)x<br />
i(a−b) + e−i(a−b)x + e−i(a+b)x +C<br />
i(a−b) i(a+b)<br />
= − 1 cos(a+b)<br />
− 1 cos(a−b)<br />
+C<br />
2 a+b 2 a−b<br />
− 1 4 cosxsin3 x− 3 8 cosxsinx+ 3 8 x+C<br />
4.2.4 Trignonometristen funktioiden integrointi:<br />
jos integroitava funktio sisältää sinx, cosx, se voidaan<br />
24
4.2.5 Rationaalifunktion integrointi<br />
Viimeisenä menetelmänä tarkastelemme muotoa<br />
R = P n<br />
Q m<br />
olevien murtolausekkeiden integrointia, kun P n ja Q m<br />
ovat asteen n ja m polynomeja (siis suurimmat niissä<br />
esiintyvät potenssit ovat m ja n). Jos osoittaja on<br />
asteluvultaan suurempi kuin nimittäja, voidaan tehdä<br />
polynomien jakolasku ja päädytään lausekkeeseen<br />
R = T n−m + S<br />
Q m<br />
,<br />
missä T n−m on astetta n−m oleva osamääräpolynomi ja<br />
S jakojäännöspolynomi. Polynomi T n−m on helppo<br />
integroida, joten jäljelle jää jälleen muotoa P n /Q m oleva<br />
murtofunktio, missä nyt on n < m.<br />
Kaikki muotoa<br />
R = P n<br />
Q m<br />
; (n < m)<br />
olevat rationaalifunktiot voidaan integroida, mikäli<br />
tunnetaan polynomin Q m nollakohdat. Tällöin<br />
rationaalifunktio voidaan hajoittaa osamurtoihin.<br />
Polynomien jakolasku<br />
Kuinka polynomit jaetaan? Esim. jakokulmassa, kuten<br />
numerotkin. Esim:<br />
x+6<br />
x−1 x 2 +5x−3<br />
– x 2 −x<br />
6x−3<br />
– 6x−6<br />
3<br />
Jakolaskun tulos on siis<br />
P(x)<br />
Q(x) = x2 +5x−3<br />
=?<br />
x−1<br />
x 2 +5x−3<br />
x−1<br />
= x+6+ 3<br />
x−1<br />
mikä on helppo tarkistaa laventamalla.<br />
Toinen esimerkki:<br />
2x 4 +6x 2 +2<br />
x 2 +x+1<br />
=?<br />
2x 2 −2x+6<br />
x 2 +x+1 2x 4 +6x 2 +2<br />
– 2x 4 +2x 3 +2x 2<br />
−2x 3 +4x 2 +2<br />
– −2x 3 −2x 2 −2x<br />
6x 2 +2x+2<br />
– 6x 2 +6x+6<br />
−4x−4<br />
Siis<br />
? = 2x 2 −2x+6+ −4x−4<br />
x 2 +x+1<br />
Polynomi in välittömästi integroitavissa. Entä<br />
jakojäännöksenjä jäävä rationaalifunktio?<br />
Jako osamurtoihin<br />
1-kertaiset reaalijuuret: Oletetaan että yhtälöllä<br />
Q(x) = 0 on vain 1-kertaisia reaalijuuria; olkoon nämä<br />
juuret x 1 , x 2 , ...x n (huom: Q:n asteluku on n, joten<br />
löytyy n juurta.)<br />
Tällöin voimme jakaa rationaalilausekkeen osamurtoihin<br />
n<br />
P(x)<br />
Q(x) = ∑ A i<br />
(4.16)<br />
x−x i<br />
i=1<br />
missä A i ovat vakioita. Selvästi oikea puoli voidaan nyt<br />
integroida.<br />
Esim: jaetaan 4/(x 2 −1) osamurtoihin: nimittäjän<br />
nollakohdat ovat x = ±1, mitkä ovat reaalisia ja<br />
yksinkertaisia (x 2 −1 = (x−1)(x+1)). Siis<br />
4<br />
x 2 −1 = a<br />
x−1 + b<br />
x+1<br />
ja määräämme vakiot a ja b siten, että yhtälö on<br />
voimassa kaikilla muuttujan x arvoilla. Kerrotaan yhtälö<br />
(x+1)(x−1):llä, joten<br />
4 = a(x+1)+b(x−1) = (a+b)x+(a−b)<br />
Jotta tämä olisi yhtäsuuri alkuperäisen lausekkeen kanssa,<br />
täytyy olla a+b = 0 ja a−b = 4, joten a = 2 ja b = −2.<br />
Osamurtojen avulla integraali<br />
∫<br />
4<br />
x 2 −1 dx.<br />
on heti laskettavissa:<br />
∫ ∫ ∫<br />
4<br />
x 2 −1 dx = 2<br />
x−1 dx− 2<br />
x+1 dx<br />
= 2ln|x−1|−2ln|x+1|+C<br />
Sovelletaan edellistä integraaliin<br />
= ln(x−1) 2 −ln(x+1) 2 +C<br />
( ) 2 x−1<br />
= ln +C.<br />
x+1<br />
F(x) =<br />
∫ x 3 −2<br />
x 2 −1 dx<br />
Osoittaja on korkeampaa kertalukua, joten tehdään ensin<br />
polynomien jakolasku. Nähdään että<br />
x 3 −2 x−2<br />
x 2 = x+<br />
−1 x 2 −1<br />
25
Jäännöslausekkeen nimittäjän nollakohdat ovat x = ±1,<br />
1-kertaisia. Siis voimme jakaa<br />
Siis<br />
x−2 a<br />
x 2 =<br />
−1 x−1 + b<br />
x+1 ⇒<br />
x−2 = a(x+1)+b(x−1) = (a+b)x+(a−b)<br />
F(x) =<br />
⇒ a+b = 1, a−b = −2<br />
⇒ a = −1/2, b = 3/2<br />
∫ [<br />
x+ −1/2<br />
x−1 + 3/2 ]<br />
dx<br />
x+1<br />
= 1 2 x2 − 1 2 ln|x−1|+ 3 2 ln|x+1|+C<br />
= 1 2 x2 + 1 ∣ ∣∣∣<br />
2 ln (x+1) 3<br />
x−1 ∣ +C<br />
Moninkertainen juuri: Yleisemmässä tapauksessa<br />
polynomilla voi olla moninkertaisia juuria (joiden edelleen<br />
oletamme olevan reaalisia). Yleisesti polynomi Q(x)<br />
voidaan kirjoittaa muotoon<br />
Q(x) = A(x−x 1 ) n1 (x−x 2 ) n2 ...<br />
missä x i ovat polynomin nollakohtia, n i nollakohdan x i<br />
kertaluku ja A vakio. Tässä tapauksessa<br />
osamurtolausekkeella on yleinen muoto<br />
n<br />
P(x)<br />
1<br />
Q(x) = ∑<br />
k=1<br />
n<br />
a<br />
2<br />
k<br />
(x−x 1 ) k + ∑<br />
missä a k , b k ...ovat vakioita.<br />
Esim.<br />
k=1<br />
b k<br />
(x−x 2 ) k +...<br />
1<br />
(x−1) 2 (x+2) = a 1<br />
x−1 + a 2<br />
(x−1) 2 + b<br />
x+2<br />
x = 1 on 2-kertainen nollakohta, ja x = −2 1-kertainen.<br />
Määrätään vakiot kertomalla (x−1) 2 (x−2):lla:<br />
1 = a 1 (x−1)(x+2)+a 2 (x+2)+b(x−1) 2<br />
Tästä voidaan ratkaista vakiot vaatimalla että yhtälön<br />
kaikkien x:n potenssien kertoimet ovat samat molemmin<br />
puolin (x 0 ,x 1 ,x 2 ). Kuitenkin usein nopeampi menetelmä<br />
on sijoittaa x ↦→ x i :<br />
x = 1 ⇒ 1 = a 2 (1+2) ⇒ a 2 = 1 3<br />
x = −2 ⇒ 1 = b(−2−1) 2 = b9 ⇒ b = 1 9<br />
a 1 saadaan esim. x 2 :n kertoimista: 0 = a 1 +b ⇒ a 1 = − 1 9 .<br />
Esimerkki: integroidaan<br />
∫ 3x 2 −37x+83<br />
F(x) =<br />
(x−2) 3 (x+5)<br />
Osoittaja (2) on alempaa astetta kuin nimittäjä (4), joten<br />
voidaan jakaa suoraan osamurtoihin. Nimittäjän<br />
nollakohdat ovat<br />
x 1 = 2,<br />
x 2 = −5,<br />
3-kertainen<br />
1-kertainen<br />
Siis<br />
3x 2 −37x+83<br />
(x−2) 3 (x+5) = a 1<br />
x−2 + a 2<br />
(x−2) 2 + a 3<br />
(x−2) 3 + b<br />
x+5<br />
Lavennetaan nimittäjät pois:<br />
3x 2 −37x+83 = a 1 (x−2) 2 (x+5)<br />
+a 2 (x−2)(x+5)+a 3 (x+5)+b(x−2) 3<br />
Tästä tulee 4 yhtälöä 4 vakiolle (x:n potenssit x 0 ...x 3 ),<br />
jotka ovat suoraan ratkaistavissa.<br />
Määrätään kuitenkin vakiot jälleen käyttämällä<br />
“pikamenetelmää” ja sijoitetaan nollakohdat:<br />
x = 2: 3·4−37·2+83 = a 3 7 ⇒ a 3 = 3<br />
x = −5: 3·25+37·5+83 = −b7 3 ⇒ b = −1<br />
Muut vakiot vaativat muita ehtoja, helpoin lienee x:n<br />
korkeimman potenssin kerroin, mikä voidaan lukea<br />
suoraan:<br />
x 3 : 0x 3 = a 1 x 3 +bx 3 ⇒ a 1 = −b = 1<br />
Jäljelle jää a 2 . Tämän saa esim x 2 :n kertoimesta tai<br />
sijoittamalla esim.<br />
x = 0: 83 = a 1 4·5−a 2 2·5+a 3 5−b8 ⇒ a 2 = −4<br />
Siis saimme a 1 = 1, a 2 = −4, a 3 = 3, b = 1, ja<br />
F(x) =<br />
∫ [ 1<br />
x−2 + −4<br />
(x−2) 2 + 3<br />
(x−2) 3 + −1<br />
x+5<br />
= ln|x−2|+4(x−2) −1 − 3 2 (x−2)−2<br />
=<br />
−ln|x+5|+C<br />
4<br />
x−2 − 3 ∣ 1 ∣∣∣<br />
2(x−2) 2 +ln x−2<br />
x+5∣ +C<br />
Kompleksijuuret: Yleisimmässä tapauksessa polynomin<br />
Q(x) juuret ovat kompleksisia. Esim.<br />
x 2 +1 = 0 ⇒ x = ±i<br />
]<br />
dx<br />
Kompleksijuurisen rationaalifunktion integraalin voi<br />
laskea yllä olevia sääntöjä noudattaen, ottaen vain<br />
huomioon että joistain kertoimista tulee kompleksilukuja.<br />
Näitä varten voidaan myös johtaa omat<br />
integrointisäännöt. Tätä ei käsitellä <strong>MAPU</strong> I:llä<br />
tarkemmin.<br />
4.3 Määrätty integraali<br />
Tarkastellaan suljetulla välillä [a,b] määriteltyä<br />
paloittain jatkuvaa rajoitettua funktiota f(x). Jaetaan<br />
väli [a,b] n yhtäsuureen h-mittaiseen osaan,<br />
ja merkitään<br />
ts.<br />
h = b−a<br />
n<br />
(4.17)<br />
x k = a+kh, (4.18)<br />
x 0 = a,x 1 = a+h,x 2 = a+2h,...,x n = b. (4.19)<br />
26
D<br />
<br />
N<br />
B N <br />
) "<br />
B N " <br />
N = N N N $<br />
Kuva 4.1 Porrassumma<br />
> N %<br />
Jakoon (4.19) liittyvä porrassumma on<br />
n−1<br />
∑<br />
S n = h f(x k ). (4.20)<br />
k=0<br />
Geometrisesti summan jokainen termi<br />
A k = hf(x k )<br />
esittää suorakaiteen, leveydeltään h ja korkeudeltaan<br />
f(x k ), pinta-alaa. Koska jakovälin pituus h on<br />
positiivinen, pinta-ala A k on positiivinen jos f(x k ) on<br />
positiivinen ja negatiivinen jos f(x k ) on negatiivinen.<br />
Summa S n (4.20) approksimoi siten välillä [a,b] käyrän<br />
y = f(x) ja x-akselin väliin jäävää pinta-alaa siten, että<br />
x-akselin yläpuolinen osa lasketaan positiivisena ja<br />
alapuolinen osa negatiivisena. Tämä approksimaatio on<br />
ilmeisestikin sitä tarkempi mitä tiheämpi jako on, ts. mitä<br />
pienempi on h tai mitä suurempi on n.<br />
Voidaan osoittaa, että jaon (4.19) tihentyessä summa<br />
(4.20) lähestyy äärellistä raja-arvoa, ts. raja-arvo<br />
S = lim<br />
n→∞ S n<br />
on olemassa ja äärellinen. Tätä raja-arvoa sanotaan<br />
funktion f(x) määrätyksi integraaliksi välillä [a,b]. Sitä<br />
merkitään kuten<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x)dx = lim<br />
n→∞ h n−1<br />
∑<br />
f(x k ). (4.21)<br />
k=0<br />
Geometrisesti määrätty integraali on ilmeisestikin käyrän<br />
y = f(x) ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala.<br />
4.3.1 Määrätyn integraalin ominaisuuksia<br />
Tyhjä integroimisväli<br />
Olkoon integrointiväli [a,a], ts. se sisältää vain yhden<br />
pisteen. Tällöin on<br />
∫ a<br />
a<br />
f(x)dx = 0, (4.22)<br />
sillä integraalin määritelmässä (4.21) jakoväli<br />
h = (a−a)/n on aina nolla riippumatta jakopisteiden<br />
lukumäärästä.<br />
Integrointirajojen vaihto<br />
Määrittelimme (4.21) integraalin ”vasemmalta oikealle”eli<br />
integroimisvälissä [a,b] oli a ≤ b. Tällöin jakoväli<br />
h = (b−a)/n on positiivinen. Voimme myös ajatella<br />
integrointia ”oikelta vasemmalle”, jolloin jakovälistä<br />
(4.17) tulee negatiivinen. Tämän huomioonottaen<br />
määrittelemme<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x)dx = −<br />
∫ a<br />
b<br />
f(x)dx. (4.23)<br />
Additiivisuus<br />
Jos c on integroimisvälin [a,b] sisäpiste, nähdään<br />
määritelmästä (4.21) että voimme koostaa integraalin<br />
paloista, kuten<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x)dx =<br />
∫ c<br />
a<br />
f(x)dx+<br />
∫ b<br />
c<br />
f(x)dx. (4.24)<br />
Ottaen huomioon rajojen vaihto-ominaisuuden (4.23)<br />
näemme, että additiivisuus (4.24) on voimassa olivatpa a,<br />
b ja c mitä tahansa funktion määrittelyalueen pisteitä.<br />
Lineaarisuus<br />
Integraalin määritelmästä (4.21) nähdään, että integrointi<br />
on lineaarinen operaatio, ts.<br />
∫ b<br />
a<br />
[αf(x)+βg(x)]dx = α<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x)dx+β<br />
∫ b<br />
a<br />
g(x)dx.<br />
(4.25)<br />
Integroimismuuttujan vaihto<br />
Integraalin ∫ b<br />
f(x)dx arvo (käyrän ja x-akselin välinen<br />
a<br />
pinta-ala) ei ilmeisestikään riipu muuttujasta x. On siis<br />
aivan samantekevää, millä symbolilla funktion<br />
argumenttia merkitään, ts.<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x)dx =<br />
∫ b<br />
4.3.2 Kertymäfunktio<br />
Funktion f kertymäfunktio K on<br />
K(x) =<br />
∫ x<br />
a<br />
a<br />
f(s)ds. (4.26)<br />
f(t)dt. (4.27)<br />
Ilmeisestikin pisteessä a kertymäfunktio on nolla, sillä<br />
K(a) =<br />
∫ a<br />
a<br />
f(t)dt = 0.<br />
Kertymäfunktio (4.27) ilmoittaa käyrän ja x-akselin<br />
välisen pinta-alan kohdasta a kohtaan x. Annetaan<br />
kertymäfunktion argumentille (pieni) lisäys ∆x.<br />
27
Vastaava kertymäfunktion muutos<br />
∆K = K(x+∆x)−K(x)<br />
on silloin suuruudeltaan likimain kuvan 4.2 varjostetun<br />
alueen pinta-ala ∆A = ∆xf(x), ts.<br />
K(x+∆x)−K(x) ≈ ∆xf(x).<br />
B N <br />
N , )<br />
= N N , N<br />
Kuva 4.2 Kertymäfunktion derivaatta<br />
Tämä relaatio on ilmeisestikin sitä tarkempi mitä<br />
pienempi ∆x on, joten saamme<br />
eli<br />
K(x+∆x)−K(x)<br />
lim = f(x)<br />
∆x→0 ∆x<br />
K ′ (x) = d<br />
dx<br />
∫ x<br />
a<br />
f(t)dt = f(x). (4.28)<br />
Täten siis kertymäfunktio K(x) on f(x):n<br />
integraalifunktio, katso (4.1), riippumatta määrätyn<br />
integraalin alarajasta a. Kertymäfunktiokin on siis<br />
muotoa<br />
K(x) =<br />
∫ x<br />
a<br />
f(t)dt = F(x)+C.<br />
Integroimisvakio C määräytyy nyt alkuehdosta<br />
eli<br />
K(a) = F(a)+C = 0<br />
C = −F(a),<br />
joten saamme yhteyden määrätyn integraalin<br />
(kertymäfunktion) ja integraalifunktion välille:<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x)dx = F(b)−F(a). (4.29)<br />
Tämä ominaisuus on ilmeisestikin voimassa olipa F mikä<br />
hyvänsä funktion f integraalifunktio.<br />
Määrättyjä integraaleja laskettaessa käytetään usein<br />
sijoitusmerkintää:<br />
∫ b<br />
a<br />
f(t)dt = /<br />
b F(t) = F(b)−F(a). (4.30)<br />
a<br />
Esim.<br />
Esim.<br />
∫ 2π<br />
0<br />
Huom: koska d<br />
mukaan<br />
d<br />
dx<br />
Esim.<br />
∫ g(x)<br />
a<br />
∫ b<br />
a<br />
e x dx = /<br />
b e x = e b −e a<br />
a<br />
sinxdx = − 2π<br />
/ cosx = −cos2π +cos0 = 0<br />
0<br />
d<br />
dx<br />
∫ x<br />
dx a<br />
f(t)dt = f(x), on ketjusäännön<br />
f(t)dt = dg d<br />
dxdg<br />
∫ 2x<br />
0<br />
∫ g<br />
a<br />
f(t)dt = f(g(x))g ′ (x)<br />
sinxdx = sin(2x) d2x<br />
dx = 2sin2x<br />
Epäoleellinen integraali on määrätty integraali jossa<br />
ainakin toinen raja = ∞:<br />
∫ ∞<br />
a<br />
f(x)dx ≡ lim<br />
L→∞<br />
∫ L<br />
a<br />
f(x)dx (4.31)<br />
Jos raja-arvo on olemassa, sanotaan että integraali<br />
suppenee, muuten hajaantuu.<br />
Esim.<br />
∫ b<br />
a<br />
∫ ∞<br />
1<br />
b/<br />
1<br />
x 2dx =<br />
∫ ∞<br />
1<br />
a<br />
∞/<br />
1<br />
x 2dx =<br />
−1<br />
x = 1 a − 1 b<br />
1<br />
−1<br />
x = 1<br />
1<br />
x dx = ∞ / lnx hajaantuu<br />
1<br />
Esim.<br />
∫ ∞<br />
dx ∞/<br />
√ = 2 √ x = lim (2√ L−2) hajaantuu<br />
1 x 1<br />
L→∞<br />
∫ 1<br />
0<br />
dx 1/<br />
√ = 2 √ x = 2 x 0<br />
Huom: kuten edellä, määrätty integraali voi olla olemassa<br />
vaikka integroitava → ∞ jossain pisteessä!<br />
Esim. Seuraava kaunis tulos pätee (ei näytetä tässä)<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
Esim. Oletetaan p ≠ −1:<br />
∫ ∞<br />
1<br />
x p dx =<br />
∞/<br />
1<br />
e −x2 = √ π<br />
x p+1<br />
p+1 = 1<br />
p+1 ( lim<br />
L→∞ Lp+1 −1)<br />
28
∫ 1<br />
0<br />
{ ∞ jos p > −1<br />
=<br />
1/(p+1) jos p < −1<br />
x p dx =<br />
1/<br />
0<br />
x p+1<br />
p+1 = 1 (1− lim<br />
p+1 a→0 ap+1 )<br />
{ 1/(p+1) jos p > −1<br />
=<br />
∞ jos p < −1<br />
4.3.3 Muuttujan vaihto määrätyssä integraalissa<br />
Integrointimenetelmät määrätylle integraalille ovat samat<br />
kuin integraalifunktiollekin, mutta lisäksi tulee ottaa<br />
huomioon kuinka integroimisalueen rajat käyttäytyvät!<br />
Integraalissa<br />
I =<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x)dx<br />
sijoitetaan x = g(t), jolloin dx = g ′ (t)dt ja kun x = a tai<br />
b, on<br />
Siis<br />
I =<br />
∫ g −1 (b)<br />
0<br />
g −1 (a)<br />
a = g(t a ) ⇒ t a = g −1 (a)<br />
b = g(t b ) ⇒ t b = g −1 (b)<br />
f(g(t))g ′ (t)dt =<br />
∫ tb<br />
t a<br />
f(g(t))g ′ (t)dt (4.32)<br />
Rajojen vaihto on helppo muistaa seuraavasti: jos x:n<br />
rajat ovat a, b, niin korvataan ne vain niitä vastaavilla t:n<br />
arvoilla.<br />
Esim. I = ∫ 1√ 1−x2 dx:<br />
0<br />
sopiva sijoitus on x = sint, ja dx = costdt. Nyt kun<br />
x = 0, on t = 0, ja kun x = 1 on t = π/2. Siis<br />
∫ π/2 √ ∫ π/2<br />
I = 1−sin 2 tcostdt = cos 2 tdt =<br />
∫ π/2<br />
0<br />
π/2<br />
/<br />
1<br />
2 (cos2t+1)dt = 1<br />
2 (1 2 sin2t+t) = π 4<br />
4.3.4 Määrätyn integraalin osittaisintegrointi<br />
Kuten arvata saattaa, on osittaisintegrointisääntö<br />
määrätylle integraalille<br />
∫ b<br />
a<br />
Esim. I =<br />
f ′ (x)g(x)dx = /<br />
b f(x)g(x)−<br />
a<br />
∫ ∞<br />
0<br />
xe −x dx:<br />
0<br />
0<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x)g ′ (x)dx (4.33)<br />
olkoon f ′ = e −x , g = ∫x, joten f = −e −x , g ′ = 1:<br />
∞/ ∞<br />
∞/<br />
I = x(−e −x )− (−e −x )dx = (0−0)− e −x =<br />
0<br />
−(0−1) = 1<br />
0<br />
0<br />
Esim. I =<br />
∫ 1<br />
0<br />
lnxdx:<br />
valitaan f ′ = 1 ja g = lnx, joten f = x ja g ′ = 1/x:<br />
I = /<br />
1 xlnx−<br />
0<br />
∫ 1<br />
0<br />
x 1 x dx = (0−0)− /<br />
1 x = 1<br />
Huomaa että tässä on käytetty “0ln0 = 0”, sillä<br />
alna = 0.<br />
lim<br />
a→0<br />
Derivointi parametrin suhteen<br />
Usein näppärä keino integraalien sieventämisessä on<br />
derivoida integroitavaa jonkun parametrin suhteen: jos<br />
f(x,t) on kahden muuttujan funktio, voimme määritellä<br />
jolloin<br />
I(x) =<br />
I ′ (x) =<br />
∫ b<br />
a<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x,t)dt<br />
0<br />
∂f(x,t)<br />
dt<br />
∂x<br />
Tässä osittaisderivaatta ∂f(x,t)/∂x tarkoittaa että f<br />
derivoidaan muuttujan x suhteen pitäen t vakiona.<br />
Esim. halutaan integroida<br />
∫ ∞<br />
0<br />
t 2 e −at dt<br />
Tämän voisi integroida osittain, mutta vaihtoehtoisesti<br />
voimme määritellä<br />
I(a) ≡<br />
I ′ (a) =<br />
I ′′ (a) =<br />
∫ ∞<br />
0<br />
∫ ∞<br />
0<br />
∫ ∞<br />
0<br />
e −at dt =<br />
∞/<br />
0<br />
− e−at<br />
a<br />
(−te −at )dt = − 1 a 2<br />
t 2 e −at dt = 1 a 3<br />
= 1 a<br />
Derivointi parametrin suhteen korvaa usein<br />
osittaisintegrointia, mutta voi olla huomattavasti<br />
nopeampi.<br />
Käyrän pituus<br />
Funktio y = f(x) määrittelee (x,y) -tason käyrän kun<br />
x ∈ [a,b]. Kun x muuttuu dx:n verran, y muuttuu<br />
dy = dy<br />
dx = f′ (x)dx:n verran.<br />
ds<br />
dy<br />
Kuva 4.3<br />
dx<br />
Tästä saadaan käyrän pituuden differentiaali<br />
ds = √ (dx) 2 +(dy) 2 = √ 1+[f ′ (x)] 2 dx<br />
ja siis koko käyrän (funktion kuvaajan) pituus<br />
L =<br />
∫ b<br />
a<br />
√<br />
1+[f′ (x)] 2 dx<br />
29
Esimerkki: olkoon y = √ 1−x 2 , kun 0 ≤ x ≤ 1 (ympyrän<br />
neljännes). Mikä on kaaren pituus?<br />
L =<br />
=<br />
=<br />
=<br />
∫ 1<br />
0<br />
∫ 1<br />
0<br />
∫ 1<br />
0<br />
∫ 1<br />
0<br />
√<br />
1+y′ (x) 2 dx<br />
√<br />
(<br />
−x 2dx<br />
1+ √<br />
1−x 2)<br />
√<br />
1+ x2<br />
1−x 2dx<br />
dx<br />
√<br />
1−x<br />
2<br />
= /<br />
1 arcsin(x) = π<br />
0 2<br />
mikä on tietysti tunnettu tulos.<br />
Pyörähdyskappaleen pinta-ala ja tilavuus<br />
z<br />
y<br />
r<br />
x<br />
ja tilavuus<br />
V =<br />
= π<br />
∫ R<br />
−R<br />
[√ ] 2dx<br />
∫ R<br />
π R2 −x 2 = π (R 2 −x 2 )dx<br />
R/<br />
(R 2 x− 1 3 x3 ) = 4 3 πR3<br />
−R<br />
Integroinnin apuvälineet<br />
−R<br />
Kun omat neuvot eivät riitä, voi turvautua apuvälineisiin.<br />
Integraaleja on taulukoitu lukuisiin kirjoihin, joista paras ja<br />
tunnetuin lienee Gradshteyn and Ryzhik: Table of Integrals,<br />
Series, and Products.<br />
Toinen mahdollisuus on käyttää symboliseen laskentaan tehtyjä<br />
tietokoneohjelmia. Näistä tunnetuimpia ovat Maple ja<br />
Mathematica. Nämä osaavat huomattavasti enemmän<br />
integrointitemppuja kuin <strong>MAPU</strong>lla on kuvattu.<br />
Jos näitä ei ole saatavilla, löytyy Mathematicaan pohjautuva<br />
ilmaiseksi käytettävä “laskin” www-sivulta<br />
www.wolframalpha.com (ainakin v. 2010). Tämäkin tuntee<br />
kaikki integointitemput mitkä Mathematicakin, ja sen avulla<br />
kannattaa muun muassa tarkistaa <strong>MAPU</strong>n kotitehtävät.<br />
Oletetaan että käyrä r = f(x) > 0 pyörähtää x-akselin<br />
ympäri. Kun rajoitutaan a ≤ x ≤ b, käyrä rajaa<br />
pyörähdyskappaleen pinnan, päädyissä x = a, x = b<br />
olevien ympyröiden kanssa. Nyt käyrän pyyhkäisemän<br />
pinnan alan differentiaali on<br />
joten alaksi saadaan<br />
A =<br />
dA = 2πrds = 2πf(x) √ 1+[f ′ (x)] 2 dx<br />
∫ b<br />
a<br />
2πf(x) √ 1+f ′ (x) 2 dx+πf(a) 2 +πf(b) 2<br />
Samoin pyörähdyskappaleen tilavuuden differentiaali on<br />
(ympyräkiekon tilavuus)<br />
ja tilavuudeksi tulee<br />
dV = πr 2 dx = πf(x) 2 dx<br />
V =<br />
∫ b<br />
a<br />
π[f(x)] 2 dx<br />
Esim. Ympyrän kaari r = √ R 2 −x 2 , −R ≤ x ≤ R,<br />
pyörähtää x-akselin ympäri määritellen<br />
pyörähdyskappaleen (mikä on tässä tapauksessa tietysti<br />
pallo). Sen pinta-ala on<br />
A =<br />
=<br />
∫ R<br />
−R<br />
∫ R<br />
−R<br />
2π √ (<br />
R 2 −x<br />
√1+<br />
2 −x<br />
) 2dx<br />
√<br />
R2 −x 2<br />
2πRdx = 2πR /<br />
R x = 4πR 2<br />
−R<br />
30
4.3.5 Numeerinen integrointi<br />
puolisuunnikassäännöllä<br />
Usein integraalifunktiota ei osata (tai voida) laskea, vaan<br />
joudutaan turvautumaan integraalin numeeriseen<br />
laskemiseen. Lasku perustuu määrätyn integraalin<br />
tulkintaan pinta-alana, lasketaan siis porrassumman<br />
kaltainen summa äärellisellä askelvälillä. Porrassumma<br />
(4.20) ei kuitenkaan ole käytännössä suositeltava tapa<br />
laskea integraalia, sillä se on hyvin tehoton.<br />
Yksinkertaisin suositeltava tapa on käyttää ns.<br />
puolisuunnikassääntöä: Olkoon laskettavana integraali<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x)dx<br />
• Jaetaan integroimisväli (a,b) N:ään tasaväliin<br />
x 0 ,x 1 ,...x N (tässä x 0 = a ja x N = b). Yhden välin<br />
pituus on siis h = (b−a)/N.<br />
y<br />
f(x)<br />
x0 x1 x2 xN<br />
Kuva 4.4<br />
• Approksimoidaan integraalia summaamalla kunkin<br />
välin ala puolisuunnikkaan pinta-alan avulla:<br />
∫ xi+1<br />
x i<br />
f(x)dx ≈ h 1 2 [f(x i)+f(x i+1 )]<br />
f( x i+1 )<br />
f( x i )<br />
x i x i+1<br />
Kuva 4.5 Puolisuunnikkaan ala<br />
x<br />
tässä x 1 = x i , x 2 = x i+1 ):<br />
V(h) =<br />
=<br />
∫ x2<br />
x 1<br />
f(x)dx− h 2 [f(x 1)+f(x 2 )]<br />
∫ x1+h<br />
x 1<br />
[f(x 1 )+f ′ (x 1 )(x−x 1 )<br />
+ 1 2 f′′ (x 1 )(x−x 1 ) 2 +...<br />
− h 2 [f(x 1)+[f(x 1 )+f ′ (x 1 )h<br />
+ 1 ]<br />
2 f′′ (x 1 )h 2 +...]<br />
= f(x 1 )h+f ′ (x 1 ) 1 2 h2 + 1 2 f′′ (x 1 ) 1 3 h3<br />
− h 2 [2f(x 1)+f ′ (x 1 )h+ 1 2 f′′ (x 1 )h 2 ]+O(h 4 )<br />
= − 1<br />
12 h3 f ′′ (x 0 )+O(h 4 )<br />
Siis virhe yhden välin pinta-alassa on O(h 3 ). Koko<br />
summassa virhe tulee siis olemaan<br />
V = NO(h 3 ) = O(Nh 3 ) = O( 1<br />
N 2)<br />
sillä h = (b−a)/N = O(1/N).<br />
Siis: jos lisäämme jakopisteiden määrää tekijällä 2<br />
(N → 2N), virhe pienenee tekijällä 4.<br />
Harjoitustehtävä: mikä virhe tulee jos arvoidaan<br />
integraalia summalla suorakaiteita, eli<br />
∫ xi+1<br />
x i<br />
f(x)dx = hf(x i ) ?<br />
Hiven tarkempi tulos integroinnissa saadaan jos<br />
käytetään puolisuunnikassäännön sijasta Simpsonin<br />
sääntöä: siinä arvoidaan funktiota sovittamalla siihen<br />
parabeli (toisen asteen käyrä). Tässä tapauksessa virhe<br />
koko integraalissa on vain O(1/N 4 ).<br />
Vielä hienostuneemmat menetelmät eivät jaa<br />
integroimisaluetta tasaväleihin, vaan tihentävät jakoa<br />
niissä kohdissa missä funktio muuttuu nopeimmin.<br />
Lisätietoja numeerisesta integroinnista saa erinomaisesta<br />
kirjasta Numerical Recipes (Cambridge University<br />
Press), ja sen verkkosivulta www.nr.com. Tämä kirja on<br />
jokaisen numeriikkaa harrastavan perusteos!<br />
• Näin siis koko integraaliksi tulee<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x)dx ≈ h N−1<br />
2 f(x ∑<br />
0)+h f(x k )+ h 2 f(x N)<br />
k=1<br />
Kuinka suuri virhe tehdään? Tätä voidaan estimoida<br />
kehittämällä yhden välin virhe Taylorin sarjaksi (olkoon<br />
31
5. Kompleksiluvut<br />
5.1 Lukualueen laajennus<br />
Luonnolliset luvut N : 1,2,3,...<br />
Luonnollisille luvuille on määritelty<br />
• yhteenlasku: a+b ∈ N, kun a,b ∈ N.<br />
• kertolasku: a·b ∈ N, kun a,b ∈ N.<br />
Kysymys: Löydetäänkö aina sellainen x ∈ N, että<br />
a+x = b kun a,b ∈ N?<br />
Vastaus: ei aina (esim. a = 5,b = 2).<br />
Laajennetaan lukualuetta lisäämällä 0 ja negatiiviset<br />
luvut.<br />
Kokonaisluvut Z : ...,−2,−1,0,1,2,...<br />
Kokonaisluvuille on määritelty<br />
• yhteenlasku: a+b ∈ Z, kun a,b ∈ Z.<br />
• vähennyslasku: a−b = a+(−b) ∈ Z, kun a,b ∈ Z.<br />
• kertolasku: a·b ∈ Z, kun a,b ∈ Z.<br />
Vähennyslasku a−b vastaa kysymykseen: paljonko on x,<br />
jos x+b = a.<br />
Kysymys: Onko olemassa sellainen x ∈ Z, että a·x = b,<br />
kun a,b ∈ Z?<br />
Vastaus: ei aina (esim. a = 3,b = 2).<br />
Laajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut.<br />
Rationaaliluvut Q : a ;a,b ∈ Z,b ≠ 0<br />
b<br />
Rationaaliluvuille on määritelty<br />
• yhteenlasku: a+b ∈ Q, kun a,b ∈ Q.<br />
• vähennyslasku: a−b ∈ Q, kun a,b ∈ Q.<br />
• kertolasku: a·b ∈ Q, kun a,b ∈ Q.<br />
• jakolasku: a b<br />
∈ Q, kun a,b ∈ Q ja b ≠ 0.<br />
Jakolasku a b<br />
vastaa kysymykseen: paljonko on x, kun<br />
x·b = a?<br />
Kysymys: Onko olemassa sellainen x ∈ Q, että x·x = a,<br />
kun a ∈ Q ja a > 0?<br />
Vastaus: ei aina (esim. a = 2).<br />
Laajennetaan lukualuetta lisäämällä irrationaaliluvut.<br />
Reaaliluvut R<br />
Reaaliluvuille on määritelty<br />
• yhteenlasku: a+b ∈ R, kun a,b ∈ R.<br />
• vähennyslasku: a−b ∈ R, kun a,b ∈ R.<br />
• kertolasku: a·b ∈ R, kun a,b ∈ R.<br />
Reaalilukujen<br />
• jakolasku: a b<br />
∈ R, kun a,b ∈ R ja b ≠ 0.<br />
joukosta löytyy myös vastaus kysymykseen<br />
paljonko on x, kun x·x = a ja a ≥ 0.<br />
Kysymykseen, onko olemassa sellainen x ∈ R, että<br />
x·x = a kun a < 0, vastaus on edelleenkin kielteinen.<br />
Laajennetaan lukualuetta kompleksilukuihin C lisäämällä<br />
imaginääriluvut.<br />
5.2 Kompleksilukujen esitys ja algebra<br />
5.2.1 Imaginääriyksikkö<br />
Määritellään imaginääriyksikkö i siten, että<br />
i 2 = −1. (5.1)<br />
Jos nyt a ∈ R on jokin reaaliluku, niin ia on<br />
imaginääriluku, joka toteuttaa relaation<br />
(ia) 2 = i 2 a 2 = −1·a 2 = −a 2 .<br />
Kompleksiluku z ∈ C voidaan esittää mm. reaaliluvun ja<br />
imaginääriluvun summana<br />
z = a+ib, (5.2)<br />
missä a,b ∈ R. Sanotaan, että a on luvun z reaaliosa ja b<br />
sen imaginääriosa. Kompleksiluvun reaaliosaa ja<br />
imaginäärisosaa merkitään kuten<br />
Rez = a<br />
Imz = b,<br />
kun z = a+ib.<br />
Tutustuimme kompleksilukuun 2. asteen yhtälön<br />
ratkaisuissa: yhtälön<br />
ratkaisut ovat<br />
ax 2 +bx+c = 0<br />
x = 1<br />
2a (−b±√ b 2 −4ac)<br />
Jos b 2 ≥ 4ac, ratkaisut ovat reaalisia.<br />
Jos b 2 < 4ac, niin ( √ ) 2 < 0 ja<br />
x = 1<br />
2a (−b±√ −(4ac−b 2 )) = 1<br />
2a (−b±i√ 4ac−b 2 )<br />
Esim.<br />
z 2 −2z +5 = 0<br />
(5.3)<br />
ratkaisut ovat<br />
z = 1 2 (2±√ 4−20) = 1 2 (2±√ −16) = 1±2i.<br />
Kompleksiluku z on (puhtaasti) reaalinen, jos Imz = 0 ja<br />
(puhtaasti) imaginäärinen, jos Rez = 0.<br />
Kompleksiluvut ovat yhtäsuuria, jos niiden reaali- ja<br />
imaginääriosat ovat yhtäsuuria, ts. u = v tarkoittaa, että<br />
Reu = Rev ja Imu = Imv. Kompleksiluku on nolla jos ja<br />
32
vain jos sen reaali- ja imaginääriosat ovat nollia, ts. z = 0<br />
on sama kuin Rez = Imz = 0.<br />
Kompleksiluvun z = a+ib liittoluku eli<br />
kompleksikonjugaatti z ∗ on<br />
z ∗ = a−ib, (5.4)<br />
ts. konjugoitaessa vaihdetaan imaginääriosan merkki.<br />
Kompleksiluvun z normi |z| 2 on<br />
|z| 2 = zz ∗ = (Rez) 2 +(Imz) 2 . (5.5)<br />
Normi on siis aina ei-negatiivinen ja nolla vain jos luku<br />
itse on nolla.<br />
z ∗ on fyysikoiden käyttämä merkintä. Matemaatikot piirtävät<br />
kompleksikonjugoidun suureen päälle viivan, ¯z.<br />
√<br />
Normiksi kutsutaan silloin tällöin myös suuretta |z| 2 , jolloin<br />
siitä käytetään merkintää |z|.<br />
Insinöörit puolestaan merkitsevät imaginääriyksikköä symbolilla j.<br />
5.2.2 Algebra<br />
Kompleksilukujen algebra saadaan soveltamalla<br />
reaalilukujen algebraa summiin z = a+ib muistaen<br />
kuitenkin, että i 2 = −1. Tarkastellaan kompleksilukuja<br />
u = a+ib ja v = c+id.<br />
Yhteenlasku<br />
Summa u+v voidaan muodostaa kuten<br />
eli<br />
u+v = a+ib+c+id = (a+c)+i(b+d),<br />
Re(u+v) = Reu+Rev<br />
Im(u+v) = Imu+Imv.<br />
Vähennyslasku<br />
Vastaavasti vähennyslasku antaa<br />
u−v = a+ib−c−id = (a−c)+i(b−d)<br />
(5.6)<br />
Jakolasku<br />
Jakolasku on hieman monimutkaisempi. Lavennetaan<br />
ensin murtolauseke u/v nimittäjän<br />
kompleksikonjugaatilla, jolloin päädytään reaaliseen (ja<br />
positiiviseen) nimittäjään:<br />
u<br />
v = a+ib<br />
c+id = (a+ib)(c−id)<br />
(c+id)(c−id) .<br />
Normin laskusäännön (5.5) mukaan nimittäjä on nyt<br />
ja osoittaja<br />
|v| 2 = vv ∗ = (c+id)(c−id) = c 2 +d 2 ∈ R<br />
(a+ib)(c−id) = ac+bd+i(bc−ad).<br />
Tämän jälkeen jakolasku on helppoa, jaetaan vain<br />
osoittajan reaali- ja imaginääriosat reaalisella<br />
nimittäjällä, ts.<br />
Re u v<br />
Im u v<br />
= (Reu)(Rev)+(Imu)(Imv)<br />
|v| 2<br />
= (Imu)(Rev)−(Reu)(Imv)<br />
|v| 2 .<br />
Vastaavasti kompleksiluvun z käänteisluku z −1 = 1 z<br />
saadaan seuraavasti: jos z = x+iy, niin<br />
z −1 1<br />
=<br />
x+iy = x−iy<br />
(x+iy)(x−iy)<br />
= x−iy<br />
x 2 +y 2 = x<br />
|z| 2 −i y<br />
|z| 2<br />
Esim. Luvun z = 1+2i käänteisluku on<br />
z −1 = 1<br />
1+2i = 1−2i<br />
(1+2i)(1−2i) = 1 5 −i2 5<br />
(5.9)<br />
eli<br />
Re(u−v) = Reu−Rev<br />
Im(u−v) = Imu−Imv.<br />
(5.7)<br />
Esim. Olkoot u = 3−i2 ja v = −1+i. Laske u+v,<br />
u−v, uv ja u/v<br />
Yhteen- ja vähennyslasku antavat<br />
Kertolasku<br />
Kahden kompleksiluvun tulo puolestaan on<br />
u+v = 3−i2+(−1+i) = 3−1+i(−2+1)<br />
= 2−i<br />
tai<br />
u·v = (a+ib)(c+id)<br />
= ac+(ib)(id)+(ib)c+a(id)<br />
= ac+i 2 bd+i(bc+ad)<br />
= (ac−bd)+i(ad+bc)<br />
Re(uv) = (Reu)(Rev)−(Imu)(Imv)<br />
Im(uv) = (Reu)(Imv)+(Rev)(Imu).<br />
(5.8)<br />
ja<br />
u−v = 3−i2−(−1+i) = 3+1+i(−2−1)<br />
= 4−3i,<br />
Kertolasku taas antaa<br />
uv = (3−i2)(−1+i) = −3+3i+2i−2ii<br />
= −1+5i<br />
33
O<br />
H<br />
N<br />
<br />
H<br />
<br />
ja jakolasku<br />
u<br />
v<br />
= 3−2i<br />
−1+i = 3−2i<br />
−1+i · −1−i<br />
−1−i = −3−3i+2i−2<br />
1+i−i+1<br />
= −5−i = − 5 2 2 − 1 2 i.<br />
5.2.3 Kompleksitaso<br />
Kompleksiluku voidaan esittää myös x,y-tason pisteinä<br />
(vektoreina): z = x+iy ↦→ (x,y) = (Rez,Imz). Tässä siis<br />
y-akselin yksikkönä on i.<br />
Tasoa, jossa kompleksilukuja esitetään sanotaan<br />
kompleksitasoksi. Tason akseleita kutsutaan yleensä<br />
reaali- ja imaginääriakseleiksi. Kääntäen, jokaista<br />
(kompleksi)tason pistettä vastaa kompleksiluku.<br />
1 <br />
Kuva 5.1 Kompleksitaso<br />
N O <br />
4 A <br />
Kuvassa 5.1 r on pisteen etäisyys origosta. Pythagoraan<br />
teoreeman mukaan on<br />
ja<br />
Suure<br />
r 2 = x 2 +y 2 = |z| 2<br />
r = |z| = √ (Rez) 2 +(Imz) 2 = √ zz ∗ . (5.10)<br />
|z| = √ zz ∗ = √ |z| 2<br />
on kompleksiluvun z itseisarvo, luvun suuruus. Joskus<br />
puhutaan myös modulista ja käytetään merkintää<br />
|z| = modz.<br />
Kun z on puhtaasti reaalinen, on<br />
|z| = √ (Rez) 2 = |Rez|<br />
eli itseisarvon määritelmä yhtyy tässä tapauksessa<br />
reaaliluvun itseisarvon määritelmään.<br />
Huom: kompleksikonjugointi z → z ∗ vastaa heijastusta<br />
x-akselin suhteen: iy → −iy.<br />
Kompleksitason pisteiden esityksessä voidaan käyttää<br />
myös napakoordinaatteja, ns. polaariesitystä:<br />
O H I E B<br />
1 <br />
B<br />
N H ? I B<br />
Kuva 5.2 Polaariesitys<br />
Polaariesityksessä (r,φ)<br />
H ? I B H I E B <br />
4 A <br />
• r on kompleksiluvun itseisarvo |z| = modz,<br />
• φ on luvun z vaihekulma eli argumentti.<br />
Polaariesityksessa kompleksiluvun z = x+iy koordinaatit<br />
ovat<br />
r = |z| = √ x 2 +y 2<br />
φ = arctan y x . (5.11)<br />
Jotta reaali- ja imaginääriosien merkit saataisiin oikein,<br />
on tällä kertaa arkustangenttia pidettävä<br />
monikäsitteisenä funktiona. Kaikista mahdollisista<br />
kulman φ = arctan y x<br />
arvoista on valittava se, jolla sekä<br />
cosφ ja x keskenään että sinφ ja y keskenään ovat saman<br />
merkkisiä. Kääntäen napakoordinaateista (r,φ) päästään<br />
luvun z = x+iy karteesisiin koordinaatteihin kaavoilla<br />
34<br />
ts.<br />
x = rcosφ<br />
y = rsinφ,<br />
(5.12)<br />
z = x+iy = rcosφ+irsinφ = re iφ (5.13)<br />
missä viimeisessä kohdassa käytettiin Eulerin kaavaa<br />
e iφ = cosφ+isinφ. (5.14)<br />
Tämä osoitetaan myöhemmin.<br />
Esim. Luku 2+2 √ 3i polaariesityksessä<br />
Nyt moduli on<br />
Vaihekulma on<br />
Nyt siis<br />
r = |2+2 √ 3i| = √ 4+12 = 4.<br />
φ = arctan 2√ 3<br />
2<br />
= arctan √ 3 = π 3 .<br />
2+2 √ 3i = 4e iπ/3 = 4cos π 3 +4isin π 3 .<br />
Esim. Luku −2+2 √ 3i polaariesityksessä<br />
Kuten edellä, moduli on r = 4. Vaihekulma on nyt<br />
φ = arctan 2√ 3<br />
−2 = arctan(−√ 3).
Tangetille on voimassa<br />
tan(φ+nπ) = tanφ.<br />
Jos siis φ = arctanx, niin on myös φ+nπ = arctanx.<br />
Vaihekulmaa määrättäessä on näistä mahdollisista<br />
arvoista valittava sellainen, että reaali- ja<br />
imaginäärisosien merkit tulevat oikein. Nyt vaihekulma on<br />
φ = arctan(− √ 3)+nπ = − π 3 +nπ.<br />
Reaaliosa on negatiivinen ja imaginääriosa positiivinen,<br />
joten vaihekulma on välillä π/2 ≤ φ ≤ π, ts. on valittava<br />
n = 1 eli<br />
Polaariesitys on siis<br />
φ = 2π 3 .<br />
−2+2 √ 3i = 4e i2π/3 = 4cos 2π 3 +4sin 2π 3 i.<br />
Huom: polaariesitys helpottaa kompleksilukujen kerto- ja<br />
jakolaskuja:<br />
Olkoon z 1 = r 1 e iθ1 ja z 2 = r 2 e iθ2 . Nyt<br />
z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(θ1+θ2)<br />
normaalien eksponenttifunktioiden laskusääntöjen<br />
mukaan. Samoin<br />
z 1<br />
z 2<br />
= r 1<br />
r 2<br />
e i(θ1−θ2)<br />
Myös potenssit ovat helppoja:<br />
z n = (re iθ ) n = r n e inθ<br />
Sen sijaan yhteen- ja vähennyslasku on hankala suorittaa<br />
polaariesityksessä.<br />
Huom: jos z = re iθ , niin z ∗ = re −iθ .<br />
z ∗ z = re −iθ re iθ = r 2 = |z| 2 .<br />
5.3 Kompleksifunktiot<br />
Tarkastellaan funktiota f(z), joka kuvaa kompleksiluvun<br />
z kompleksiluvuksi w, ts.<br />
Sanotaan, että f(z) on<br />
w = f(z).<br />
• yksiarvoinen funktio, jos ja vain jos jokainen z<br />
kuvautuu täsmälleen yhdeksi luvuksi w.<br />
• moniarvoinen funktio, jos ja vain jos jotkin<br />
muuttujan z arvot kuvautuvat useammaksi kuin<br />
yhdeksi luvuksi w.<br />
Esimerkiksi w = f(z) = z 2 on yksiarvoinen. Funktio<br />
w = f(z) = z 1/2 on puolestaan moniarvoinen<br />
(kaksiarvoinen), mm. piste z = 1 kuvautuu pisteiksi<br />
w = ±1.<br />
Ellei toisin mainita, funktio tarkoittaa jatkossa<br />
yksiarvoista funktiota.<br />
Tulkinta<br />
Olkoon w = f(z) jokin kompleksifunktio. Kirjoitetaan<br />
ja<br />
Nyt<br />
w = u+iv, u,v ∈ R<br />
z = x+iy, x,y ∈ R.<br />
w = u+iv = f(z) = f(x+iy),<br />
ts. funktion reaali- ja imaginääriosat,<br />
u = u(x,y) ja v = v(x,y),<br />
ovat muuttujien x ja y funktioita. Voidaan siis ajatella,<br />
että kompleksifunktio kuvaa kompleksitason (z-tason)<br />
pisteen (x,y) toisen kompleksitason (w-tason) pisteeksi<br />
(u,v).<br />
Funktion reaali- ja imaginääriosat<br />
Tehtävänä on nyt jakaa funktio f(z) reaali- ja<br />
imaginääriosiinsa. Polynomien ja polynomien<br />
murtolausekkeiden tapauksessa kompleksilukujen algebra<br />
määrää jaon. Esimerkiksi w = z 2 jakautuu reaali- ja<br />
imaginääriosiinsa kuten<br />
joten<br />
w = u+iv = (x+iy) 2 = x 2 −y 2 +2ixy,<br />
u = x 2 −y 2<br />
v = 2xy.<br />
Usein halutaan jatkaa (analyyttisesti) reaalimuuttujan<br />
reaaliarvoinen funktio kompleksitasoon siten, että<br />
alkuperäinen ja jatkettu funktio yhtyvät reaaliakselilla.<br />
Jos reaalifunktio f(x) voidaan esittää Taylorin sarjana<br />
(3.3), korvataan sarjassa reaalimuuttuja x<br />
kompleksimuuttujalla.<br />
Koska kompleksiluvut noudattavat samoja laskusääntöjä<br />
kuin reaaliluvut, säilyttää analyttinen jatkaminen<br />
funktionaaliset ominaisuudet. Esimerkiksi jatkettu<br />
eksponenttifunktio toteuttaa edelleenkin relaation<br />
e z1+z2 = e z1 e z2 , z 1 ,z 2 ∈ C.<br />
Samoin trigonometristen funktioiden yhteenlaskukaavat<br />
ovat voimassa jatketuillekin funktioille.<br />
35
Eulerin kaava<br />
Tarkastellaan eksponenttifunktiota w = e z . Koska<br />
jatkaminen säilyttää funktionaaliset ominaisuudet, on<br />
w = e x+iy = e x e iy .<br />
Tässä e x on vanha tuttu reaalinen eksponenttifunktio.<br />
Selvitetään siis, mitä on e ix , kun x ∈ R.<br />
Eksponenttifunktion Taylorin sarja (3.6) on<br />
e z = 1+z + z2<br />
2! + z3<br />
3! + z4<br />
4! + z5<br />
+···. (5.15)<br />
5!<br />
Sijoitetaan tähän z = ix. Imaginääriluvun ix potenssit<br />
ovat<br />
(ix) 2 = i 2 x 2 = −x 2<br />
(ix) 3 = ix(ix) 2 = −ix 3<br />
(ix) 4 = ix(ix) 3 = −i 2 x 4 = x 4<br />
(ix) 5 = ix(ix) 4 = ix 5<br />
(ix) 2n<br />
.<br />
= (−1) n x 2n<br />
(ix) 2n+1 = i(−1) n x 2n+1<br />
.<br />
Sijoitetaan nämä potenssit Taylorin kehitelmään (5.15),<br />
jolloin saadaan<br />
e ix<br />
= 1+ix− x2<br />
2! −ix3 3! + x4<br />
4! +ix5 5! +···<br />
= 1− x2<br />
2! + x4<br />
4! +···<br />
+i<br />
(x− +···)<br />
x3<br />
3! + x5<br />
.<br />
5!<br />
Vertaamalla reaali- ja imaginääriosia Taylorin sarjoihin<br />
(3.6) todetaan niiden esittävän kosini- ja sinifunktioita.<br />
Päädymme Eulerin kaavaan<br />
e ix = cosx+isinx. (5.16)<br />
Yleisesti kompleksinen eksponenttifunktio on siten<br />
e z = e x (cosy +isiny), (5.17)<br />
kun z = x+iy.<br />
Muistetaan, että polaariesityksessa (5.13) kompleksiluku<br />
z voitiin kirjoittaa muotoon<br />
z = rcosφ+irsinφ.<br />
josta, Eulerin kaavaa (5.16) soveltaen saamme<br />
standardimuodon polaariesitykselle:<br />
z = re iφ , (5.18)<br />
missä siis r = |z| ja φ = arctanImz/Rez. Kuten edellä<br />
mainittiin, polaariesityksen avulla kompleksilukujen<br />
kerto- ja jakolaskut ovat suoraviivaisia:<br />
ja<br />
z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(φ1+φ2)<br />
= r 1 r 2 (cos(φ 1 +φ 2 )+isin(φ 1 +φ2))<br />
z 1<br />
z 2<br />
= r 1<br />
r 2<br />
e i(φ1−φ2)<br />
= r 1<br />
r 2<br />
(cos(φ 1 −φ 2 )+isin(φ 1 −φ2)).<br />
Potenssifunktiot<br />
Kertolaskun erikoistapauksena saadaan<br />
potenssiinkorotukselle De Moivren kaavana tunnettu<br />
lauseke<br />
z n = r n (cosφ+isinφ) n = r n e niφ<br />
= r n (cosnφ+isinnφ).<br />
(5.19)<br />
Polaariesityksen napakulma ei ole yksikäsitteinen. Jos<br />
nimittäin φ on luvun z napakulma, niin on myös mikä<br />
tahansa muotoa φ+n2π, n = 0,±1,±2,..., oleva kulma,<br />
sillä Eulerin kaavan mukaan on<br />
e i(φ+n2π)<br />
= e iφ e i2nπ<br />
= e iφ (cos2nπ +isin2nπ)<br />
= e iφ (1+i0)<br />
= e iφ .<br />
Kompleksiluku z voidaan siis esittää kuten<br />
z = re iφ+i2nπ , n = 0,±1,±2,....<br />
Luvun z n:s juuri w = z 1/n on se luku mikä toteuttaa<br />
w n = z. Käyttäen polaariesitystä<br />
w = ρe iφ ,<br />
nähdään että on oltava voimassa<br />
ja<br />
z = re iθ<br />
ρ n = r ⇒ ρ = n√ r<br />
e inφ = e iθ ⇒ nφ = θ +k2π, k ∈ N<br />
koska e ik2π = 1. Siis saamme<br />
z 1/n = n√ re i(θ/n+k2π/n) , k ∈ N (5.20)<br />
Helposti nähdään, että vain luvut k = 0,1,...(n−1)<br />
tuottavat erisuuruisen tuloksen:<br />
e 0 ,e i2π/n ,e i4π/n ,...,e i2(n−1)π/n (5.21)<br />
36
Toisaalta positiivinen kokonaisluku k voidaan aina<br />
kirjoittaa muodossa k = qn+r, missä q on jakolaskun<br />
k/n osamäärä ja r, 0 ≤ r < n, sen jakojäännös. On siis<br />
voimassa<br />
e i2kπ/n = e i2rπ/n e i2qπ = e i2rπ/n ,<br />
joten jokainen muotoa exp(i2kπ/n), k ≥ 0, oleva<br />
kompleksiluku on joukossa (5.21). Samalla tavoin voidaan<br />
todeta, että myös luvut exp(i2kπ/n) kokonaisluvun k<br />
ollessa negatiivinen ovat nekin joukossa (5.21). Siis,<br />
kompleksiluvulla z = re iφ , r ≠ 0, on täsmälleen n<br />
erilaista n:ttä juurta:<br />
z 1/n = r 1/n e iφ/n ,r 1/n e i(φ+2π)/n ,<br />
r 1/n e i(φ+4π)/n ,...,<br />
r 1/n e i(φ+2(n−1)π)/n .<br />
Esim. Luvun 2 neljännet juuret<br />
Kirjoitetaan Eulerin kaavaa käyttäen<br />
2 = 2e 0i = 2e 2πi = 2e 4πi = 2e 6πi .<br />
(5.22)<br />
Hyperboliset kosini- ja sinifunktiot määritellään kaavoilla<br />
coshx = 1 2 (ex +e −x )<br />
sinhx = 1 2 (ex −e −x ).<br />
(5.24)<br />
Myös tangenttifunktio voidaan kirjoittaa eksponenttien<br />
avulla:<br />
tanφ = sinφ<br />
cosφ = eiφ −e −iφ<br />
i(e iφ +e −iφ ) . (5.25)<br />
Analogisesti hyperbolinen tangentti määritellään kuten<br />
tanhx = sinhx<br />
coshx = ex −e −x<br />
e x +e−x. (5.26)<br />
Trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden välillä<br />
vallitsee yhteys<br />
cosh iφ = cosφ<br />
sinh iφ = isinφ<br />
tanh iφ = itanφ.<br />
(5.27)<br />
Näemme, että neljännet juuret ovat<br />
2 1/4 , 2 1/4 e πi/2 , 2 1/4 e πi ja 2 1/4 e 3πi/2 .<br />
Eulerin kaavan mukaan on mm.<br />
e πi/2 = cos 1 2 π +isin 1 2 π = i<br />
Samoin voimme todeta, että exp(πi) = −1 ja<br />
exp ( 3<br />
2 πi) = −i. Kysytyt juuret ovat niin ollen<br />
2 1/4 , 2 1/4 i, −2 1/4 ja −2 1/4 i.<br />
Huomattakoon, että jonossa seuraava termi,<br />
2 = 2exp(8πi), antaisi neljänneksi juureksi<br />
2 1/4 exp(2πi) = 2 1/4 . Tämä esiintyy jo juurilistassamme.<br />
Trigonometriset funktiot<br />
Eulerin kaavan (5.16)<br />
mukaan on<br />
e iφ = cosφ+isinφ<br />
e −iφ = cos(−φ)+isin(−φ) = cosφ−isinφ.<br />
Ratkaistaan näistä yhtälöistä sini- ja kosinifunktiot:<br />
(<br />
cosφ = 1 2 ( e iφ +e −iφ)<br />
sinφ = 1 2i e iφ −e −iφ) (5.23)<br />
.<br />
Voimme itse asiassa tästä lähtien pitää näitä lausekkeita<br />
sini- ja kosinifunktioiden määritelminä. Nämä<br />
määritelmät ovat voimassa siinäkin tapauksessa, että<br />
argumenttikulma φ on kompleksinen.<br />
37
Kompleksiluvun logaritmi:<br />
lnz = w ⇔ z = e w<br />
Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π , missä n ∈ Z, niin saadaan<br />
w = lnz = lnr +iθ +in2π, n ∈ Z<br />
Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio.<br />
Helposti nähdään että e w = z kaikilla n.<br />
Logaritmin päähaaraksi sanotaan valintaa n = 0 ja<br />
0 ≤ θ < 2π:<br />
lnz = lnr +iθ, 0 ≤ θ < 2π<br />
Jos nyt z ∈ R, ja z on positiivinen (> 0):<br />
lnz = lnr<br />
Jos taas z on negatiivinen reaaliluku,<br />
lnz = lnr +iπ<br />
Esim. (päähaara-arvot):<br />
ln(−1) = lne iπ ) = iπ<br />
lni = lne iπ/2 = i π 2<br />
ln(1+i) = ln( √ 1 2 +1 2 e iπ/4 ) = 1 2 ln2+iπ 4<br />
6. Differentiaaliyhtälöistä<br />
Newtonin toisen lain mukaan kappaleeseen vaikuttava<br />
voima on yhtäsuuri kuin kappaleen massa kerrottuna sen<br />
kiihtyvyydellä. Korkeudella h putoamisliikkeessä olevan<br />
kappaleen kiihtyvyys on d2 h<br />
dt 2 ja siihen vaikuttava<br />
gravitaatiovoima −mg, kun kappaleen massa on m.<br />
Newtonin lain mukaan on siis<br />
tai<br />
m d2 h<br />
dt 2 = −mg<br />
d 2 h<br />
dt 2 = −g.<br />
Tämä on korkeutta h hallitseva differentiaaliyhtälö, ts.<br />
siinä esiintyy tuntemattoman funktion derivaattoja.<br />
Differentiaaliyhtälön ratkaisemisella tarkoitetaan yhtälön<br />
toteuttavan funktion etsimistä.<br />
Putoamisliikkeen tapauksessa ratkaisu on helppo löytää.<br />
Integroidaan differentiaaliyhtälön<br />
d 2 h<br />
dt 2 = −g<br />
molemmat puolet, jolloin saadaan<br />
dh<br />
dt = −gt+c 1.<br />
Tämä on edelleenkin differentiaaliyhtälö ja edelleenkin<br />
voimme integroida sen puolittain. Päädymme ratkaisuun<br />
h = − 1 2 gt2 +c 1 t+c 2 .<br />
38<br />
Terminologiaa<br />
Putoamisliikkeen ratkaisussa on kummastakin<br />
integroinnista aiheutuneet integrointivakiot otettu<br />
mukaan. Vakioiden arvot määräytyvät alkuehdoista.<br />
Tässä tapauksessa tieto kappaleen korkeudesta ja<br />
nopeudesta alkuhetkellä t = 0 riittää.<br />
Kun yhtälössä on jonkin muuttujan derivaattoja jonkin<br />
toisen muuttujan suhteen, sanotaan edellistä muuttujaa<br />
riippuvaksi ja jälkimmäistä riippumattomaksi (vapaaksi).<br />
Riippuva muuttuja on siis sama kuin funktio mikä<br />
halutaan ratkaista.<br />
Jos differentiaaliyhtälössä esiintyy derivaattoja vain<br />
yhden riippumattoman muuttujan suhteen, puhutaan<br />
tavallisesta differentiaaliyhtälöstä. Jos yhtälössä on<br />
osittaisderivaattoja useamman kuin yhden vapaan<br />
muuttujan suhteen, kyseessä on<br />
osittaisdifferentiaaliyhtälö.<br />
Esimerkiksi differentiaaliyhtälö<br />
d 2 x<br />
dt 2 +adx dt +kx = 0
on tavallinen. Sen riippuva muuttuja on x ja riippumaton<br />
t. Yhtälö<br />
∂u<br />
∂x + ∂u<br />
∂y = x−3y<br />
on puolestaan osittaisdifferentiaaliyhtälö, jonka<br />
riippumattomat muuttujat ovat x ja y. u on tämän<br />
yhtälön riippuva muuttuja.<br />
Yhtälön kertaluku on korkein siinä esiintyvien<br />
derivaattojen kertaluvuista. Esimerkiksi yhtälön<br />
d 2 h<br />
dt 2 = −g<br />
kertaluku on 2.<br />
Differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos riippuva muuttuja<br />
(y) ja sen derivaatat esiintyvät yhtälön kaikissa termeissä<br />
joko ensimmäisessä potenssissa tai ei ollenkaan. Jos<br />
differentiaaliyhtälö ei ole lineaarinen, sen sanotaan olevan<br />
epälineaarinen. Esimerkiksi yhtälö<br />
on lineaarinen mutta yhtälöt<br />
d 2 y<br />
d 2 y<br />
2<br />
+y = x4<br />
dx<br />
dx 2 +siny = 0, y′ +2yy ′ = 0 ja y ′ = x y<br />
ovat epälineaarisia.<br />
Mikä tahansa kertaluvun n tavallinen differentiaaliyhtälö<br />
on kirjoitettavissa muotoon<br />
(<br />
F x,y, dy )<br />
dx ,..., dn y<br />
dx n = 0.<br />
Olkoon I jokin lukuväli ((a,b),[a,b],...).<br />
Jos sijoitettaessa y = f(x) yhtälöön<br />
F<br />
(<br />
x,y, dy )<br />
dx ,..., dn y<br />
dx n = 0<br />
se toteutuu kaikilla x ∈ I, sanotaan että f(x) on ko.<br />
yhtälön ratkaisu välillä I.<br />
Esim. Yhtälön y ′′ − 2 x 2 y = 0 ratkaisu on f(x) = x 2 −x −1<br />
Nyt derivaatat f ′ (x) = 2x+x −2 ja f ′′ (x) = 2−2x −3 ovat<br />
määriteltyjä aina kun x ≠ 0. Sijoitetaan f yhtälöön,<br />
jolloin saadaan<br />
(2−2x −3 )− 2 x 2(x2 −x −1 )<br />
= (2−2x −3 )−(2−2x −3 )<br />
= 0.<br />
Yhtälö siis toteutuu kun x ≠ 0 eli f(x) = x 2 −x −1 on<br />
yhtälön ratkaisu alueissa (−∞,0) ja (0,∞).<br />
Esim. φ(x) = c 1 e −x +c 2 e 2x on yhtälön y ′′ −y ′ −2y = 0<br />
ratkaisu<br />
Nyt φ ′ (x) = −c 1 e −x +2c 2 e 2x ja φ ′′ (x) = c 1 e −x +4c 2 e 2x .<br />
Sijoitetaan nämä yhtälöön, jolloin<br />
(c 1 e −x +4c 2 e 2x )−(−c 1 e −x +2c 2 e 2x )<br />
−2(c 1 e −x +c 2 e 2x )<br />
= (c 1 +c 1 −2c 1 )e −x +(4c 2 −2c 2 −2c 2 )e 2x = 0.<br />
Tämä on ilmeisestikin voimassa koko reaaliakselilla, joten<br />
φ(x) = c 1 e −x +c 2 e 2x on yhtälön ratkaisu välillä (−∞,∞)<br />
olivatpa c 1 ja c 2 mitä tahansa vakioita.<br />
Esim. Yhtälön (1+xe xy ) dy<br />
dx +1+yexy = 0 ratkaisu<br />
määräytyy yhtälöstä x+y +e xy = 0<br />
Suoraviivainen menettely olisi ratkaista y yhtälöstä<br />
x+y +e xy = 0 ja sijoittaa tämä differentiaaliyhtälöön.<br />
Valitettavasti vain emme osaa tätä ratkaisua muodostaa.<br />
Derivoidaan sen sijaan yhtälö x+y +e xy = 0<br />
implisiittisesti, jolloin<br />
1+ dy (<br />
dx +exy y +x dy )<br />
= 0.<br />
dx<br />
Uudestaan ryhmittäen voidaan kirjoittaa<br />
(1+xe xy ) dy<br />
dx +1+yexy = 0,<br />
joten yhtälö x+y +e xy = 0 todellakin määrää<br />
implisiittisesti ko. differentiaaliyhtälön ratkaisun.<br />
Osoittautuu, että kertalukua n olevien<br />
differentiaaliyhtälöiden ratkaisuihin liittyy aina n<br />
mielivaltaista vakiota. Useimmissa tapauksissa vakiot<br />
ovat määrättävissä, jos tunnetaan funktio ja sen n−1<br />
ensimmäisen derivaatan arvot jossakin ratkaisuvälin I<br />
pisteessä.<br />
Differentiaaliyhtälöön<br />
(<br />
F x,y, dy )<br />
dx ,..., dn y<br />
dx n = 0<br />
liittyvä alkuarvoprobleema kuuluu: Etsi välillä I se<br />
differentiaaliyhtälön ratkaisu, joka pisteessä x 0 ∈ I<br />
toteuttaa n ehtoa<br />
y(x 0 ) = y 0<br />
dy<br />
dx (x 0) = y 1<br />
.<br />
d n−1 y<br />
dx n−1(x 0) = y n−1 ,<br />
missä suureet y 0 ,y 1 ,...,y n−1 ovat vakioita.<br />
Nimitys alkuarvo on peräisin mekaniikasta, missä y(x 0 ) = y 0<br />
tarkoittaa usein kappaleen paikkaa alkuhetkellä x 0 ja y ′ (x 0 ) = y 1<br />
sen nopeutta samalla hetkellä.<br />
39
Esim. Määrää se yhtälön y ′′ −y ′ −2y = 0 ratkaisu, joka<br />
toteuttaa alkuehdot y(0) = 2 ja y ′ (0) = −3<br />
Aiemmin näimme, että φ(x) = c 1 e −x +c 2 e 2x on ko.<br />
yhtälön ratkaisu olivatpa vakiot c 1 ja c 2 mitä tahansa.<br />
Määrätään nämä kertoimet siten, että alkuehdot<br />
toteutuvat:<br />
eli<br />
φ(0) = c 1 e 0 +c 2 e 0 = 2<br />
φ ′ (0) = −c 1 e 0 +2c 2 e 0 = −3,<br />
c 1 +c 2 = 2<br />
−c 1 +2c 2 = −3.<br />
Yhtälöryhmän ratkaisuna saadaan c 1 = 7/3 ja c 2 = −1/3.<br />
Alkuarvot toteuttava ratkaisu on siis<br />
φ(x) = 7 3 e−x − 1 3 e2x .<br />
tavallisimmat differentiaaliyhtälöt:<br />
Seuraavat differentiaaliyhtälöt esiintyvät usein fysiikassa<br />
ja muissa sovelluksissa:<br />
d 2 y<br />
dx 2<br />
dy<br />
= ay, a ∈ R ⇒ y = Ceax<br />
dx<br />
d 2 y<br />
dx 2 = a2 y, ⇒ y = C 1 e ax +C 2 e −ax<br />
= −a 2 y, ⇒ y = C 1 cos(ax)+C 2 sin(ax)<br />
= D 1 e iax +D 2 e −iax<br />
Viimeinen yhtälö on esim. harmonisen värähtelijän<br />
yhtälö: jos kappale liikkuu x-akselia pitkin voiman<br />
F = −kx vaikutuksessa, Newtonin lain mukaan (F = ma)<br />
F = −kx = d2 x<br />
dt 2<br />
6.1 Ensimmäisen kertaluvun yhtälöt<br />
Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöille voidaan<br />
todistaa olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause:<br />
Olkoot funktio f(x,y) ja sen osittaisderivaatta ∂f<br />
∂x (x,y)<br />
jatkuvia pisteen (x 0 ,y 0 ) sisältävässä suorakaiteessa<br />
R = {(x,y)|a < x < b,c < y < d}.<br />
Silloin alkuarvoprobleemalla<br />
dy<br />
dx = f(x,y), y(x 0) = y 0<br />
on yksikäsitteinen ratkaisu φ(x) jollakin välillä<br />
x 0 −h < x < x 0 +h, missä h > 0.<br />
Vastaavanlaisia lauseita on olemassa myös korkeamman<br />
kertaluvun differentiaaliyhtälöille.<br />
Lause siis kertoo, milloin ratkaisu on löydettävissä ja että<br />
ratkaisun löydyttyä ei tarvitse etsiä muita ratkaisuja<br />
koska niitä ei ole olemassa. Graafisesti olemassaolo<br />
tarkoittaa, että lauseen suorakaiteen jokaisen pisteen<br />
kautta kulkee jokin ratkaisu ja yksikäsitteisyys sitä, että<br />
kunkin pisteen (x 0 ,y 0 ) kautta kulkee täsmälleen yksi<br />
ratkaisu. Tästä johtuen ratkaisujen kuvaajat eivät<br />
koskaan leikkaa toisiaan. Valitettavasti lause kertoo vain<br />
että ratkaisu on olemassa pisteen x = x 0 ympäristössä,<br />
mutta ei kerro tämän ympäristön suuruutta.<br />
Fysiikan mallintamisessa alkuarvotehtävän ratkaisun olemassaolo<br />
ja yksikäsitteisyys ovat ensiarvoisen tärkeitä. Ensinnäkin<br />
todellisessa maailmassa ”jotakin tapahtuu”joten mallinnettaessa<br />
maailmaa aluarvoprobleemoina olisi ratkaisujen syytä olla<br />
olemassa. Toiseksi, jos saman kokeen toisto samoilla ehdoilla<br />
johtaa aina samaan tulokseen, täytyy kokeeseen liittyvän<br />
mallinkin olla yksikäsitteinen. Mekaniikka on hyvä esimerkki<br />
deterministisestä mallista: tulevaisuus määräytyy tarkasti jos<br />
alkutila tunnetaan tarkasti.<br />
6.1.1 Separoituvat yhtälöt<br />
Jos differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa<br />
dy<br />
= q(x)p(y) (6.1)<br />
dx<br />
ts. oikea puoli on kirjoitettavissa kahden funktion tulona,<br />
joista toinen riippuu vain muuttujasta x ja toinen vain<br />
muuttujasta y, sanotaan että yhtälö on separoituva tai<br />
että yhtälön muuttujat ovat erotettavissa.<br />
Luonnollisesti myös muotoa<br />
ovat separoituvia.<br />
Separoituva yhtälö<br />
dy<br />
dx = q(x)<br />
p(y)<br />
tai<br />
dy<br />
dx = q(x)<br />
p(y)<br />
dy<br />
dx = p(y)<br />
q(x)<br />
ratkeaa muuttujien separoinnilla:<br />
kerrotaan molemmat puolet funktiolla p(y) ja<br />
differentiaalilla dx, jolloin<br />
p(y)dy = q(x)dx,<br />
(6.2)<br />
ja integroimalla näin saatu yhtälö,<br />
∫ ∫<br />
p(y)dy = q(x)dx. (6.3)<br />
Jos integraalit osataan laskea, voidaan ratkaista y = f(x).<br />
Näytetään että (6.3) antaa oikean ratkaisun: Olkoot P(y)<br />
ja Q(x) funktioiden p(y) ja q(x) integraalifunktioita, ts.<br />
P ′ (y) = p(y),<br />
Q ′ (x) = q(x)<br />
40
Tälloin yhtälö (6.3) on ekvivalentti yhtälön<br />
P(y) = Q(x)+C<br />
kanssa. Kirjoittamalla y = y(x) ja derivoimalla x:n<br />
suhteen saamme<br />
d<br />
dx P(y(x)) = P′ (y(x))y ′ (x) = d<br />
dx Q(x) ⇒<br />
p(y)y ′ = q(x)<br />
mikä oli alkuperäinen differentiaaliyhtälö.<br />
Esim. Ratkaise dy<br />
dx = x−5<br />
y 2<br />
Kerrotaan yhtälö puolittain tekijällä y 2 dx, jolloin saadaan<br />
y 2 dy = (x−5)dx.<br />
Integrointi molemmin puolin antaa<br />
∫ ∫<br />
y 2 dy = (x−5)dx<br />
eli<br />
Ratkaistaan y:<br />
y 3<br />
3 = x2<br />
2 −5x+C.<br />
( ) 3x<br />
2 1/3<br />
y =<br />
2 −15x+3C .<br />
Koska vakio C voi olla mielivaltainen reaaliluku niin<br />
sellainen on myös 3C. Voimme siis aivan hyvin korvata<br />
sen vaikkapa symbolilla K:<br />
( ) 3x<br />
2 1/3<br />
y =<br />
2 −15x+K .<br />
Esim. Ratkaise alkuarvotehtävä dy<br />
Muuttujien erottaminen johtaa yhtälöön<br />
Tämän integrointi antaa<br />
dy<br />
y −1 = dx<br />
x+3 .<br />
dx = y−1<br />
x+3<br />
ln|y −1| = ln|x+3|+C.<br />
kun y(−1) = 0<br />
Eksponentioidaan yhtälön molemmat puolet ja saadaan<br />
eli<br />
e ln|y−1| = e ln|x+3|+C<br />
|y −1| = e C |x+3| = K|x+3|,<br />
missä olemme merkinneet K = e C > 0. Riippuen<br />
muuttujien y ja x arvoista on |y −1| = ±(y −1) ja<br />
|x+3| = ±(x+3). Voimme siis kirjoittaa<br />
y −1 = ±K(x+3) tai y = 1+(±K)(x+3).<br />
Merkitään vakiota ±K jälleen symbolilla C, joka voi nyt<br />
siis olla mielivaltainen reaaliluku. Saamme silloin<br />
differentiaaliyhtälön ratkaisuksi y = 1+C(x+3).<br />
Alkuehto oli y(−1) = 1+C(−1+3) = 0 eli C = −1/2.<br />
Alkuarvotehtävän siis ratkaisee funktio<br />
y = − 1 2 − 1 2 x.<br />
6.1.2 Lineaariset yhtälöt<br />
Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen yhtälö on muotoa<br />
a 1 (x) dy<br />
dx +a 0(x)y = b(x), (6.4)<br />
missä kertoimet a 1 (x), a 0 (x) ja oikea puoli b(x) voivat<br />
riippua vain vapaasta muuttujasta x mutta eivät<br />
riippuvasta muuttujasta y.<br />
Esimerkiksi yhtälö<br />
x 2 sinx−(cosx)y = (sinx) dy<br />
dx<br />
on selvästikin lineaarinen. Yhtälö<br />
y dy<br />
dx +(sinx)y3 = e x +1<br />
sen sijaan ei ole lineaarinen, sillä sen lisäksi että<br />
derivaatan kertoimena on riippuva muuttuja y esiintyy<br />
yhtälössä muuttujan y kuutiollinen termi.<br />
Olettaen, että kerroin a 1 (x) yhtälössä (6.4) on<br />
tarkasteltavalla välillä nollasta poikkeava, ensimmäisen<br />
kertaluvun yhtälö on kirjoitettavissa standardimuotoon<br />
dy<br />
+p(x)y = q(x). (6.5)<br />
dx<br />
Jos asetetaan q(x) = 0 yhtälöä sanotaan homogeeniseksi,<br />
alkuperäistä täydelliseksi. Homogeenisen yhtälön kaikissa<br />
termeissä esiintyy siis ainoastaan y:n tai y ′ ensimmäistä<br />
potenssia.<br />
Ratkaisussa kannattaa lähteä liikkeelle homogeenisen<br />
yhtälön ratkaisusta:<br />
I) Homogeeninen yhtälö (HY):<br />
Ratkeaa separoimalla:<br />
dy<br />
dx +p(x)y = 0<br />
dy<br />
y = −p(x)dx<br />
∫<br />
⇒ ln|y| = − p(x)dx+A<br />
[ ∫ ]<br />
⇒ y = Cexp − p(x)dx<br />
missä C = ±e A on integroimisvakio. Tämä on HY:n<br />
yleinen ratkaisu.<br />
41
<strong>II</strong>) Täydellinen yhtälö (TY):<br />
Nyt riittää löytää joku ratkaisu TY:lle, olkoon se y 0 (x).<br />
Tällöin TY:n yleinen ratkaisu on HY:n ja TY:n<br />
ratkaisujen summa,<br />
y TY (x) = y HY (x)+y 0 (x)<br />
missä y HY on yllä lasketty HY:n yleinen ratkaisu.<br />
Todistus:<br />
1. y TY (x) on selvästi TY:n ratkaisu<br />
2. Olkoon y 1 (x) TY:n mielivaltainen ratkaisu. Tällöin<br />
y 1 (x)−y 0 (x) on selvästi HY:n joku ratkaisu, joten<br />
y 1 (x) = y HY (x)+y 0 (x).<br />
Kuinka TY:n ratkaisu löydetään?<br />
Arvaus: toimii usein, mutta pitää keksiä!<br />
Esim. y ′ +xy = x: selvästi yksi TY:n ratkaisu on y = 1.<br />
Vakion variointi: Etsitään ratkaisua niin että HY:n<br />
ratkaisun vakio “ylennetään” x:n funktioksi:<br />
∫<br />
y = C(x)e − p(x)dx<br />
∫ ∫<br />
y ′ = C ′ e − pdx −Cpe − pdx<br />
∫<br />
= C ′ e − pdx −py<br />
Sijoitetaan tämä TY:hyn:<br />
∫<br />
C ′ e − pdx −py +py = q<br />
∫<br />
⇒ C ′ pdx<br />
= qe<br />
∫ ∫<br />
⇒ C = qe<br />
pdx dx<br />
Siis TY:n yleinen ratkaisu saadaan muotoon<br />
∫ [ ∫ ∫ ]<br />
y(x) = e − pdx<br />
C + qe<br />
pdx dx<br />
(6.6)<br />
Tässä C -termi on HY:n yleinen ratkaisu. Tätä muotoa ei<br />
kannata muistaa, menetelmä kyllä!<br />
Esim. Etsi yhtälön 1 dy<br />
x dx − 2y<br />
x<br />
= xcosx yleinen ratkaisu<br />
2<br />
Yhtälö on lineaarinen, joten kirjoitetaan se ensin<br />
standardimuotoon kertomalla se tekijällä x:<br />
dy<br />
dx − 2 x y = x2 cosx.<br />
Nyt homogeeninen yhtälö on siis y ′ − 2 xy = 0, joka<br />
ratkeaa separoimalla:<br />
dy<br />
y = 2 dx ⇒ ln|y| = 2ln|x|+A ⇒ y = Cx2<br />
x<br />
Täydellinen yhtälö ratkeaa vakion varioinnilla:<br />
y = Cx 2 ⇒ y ′ = C ′ x 2 +C2x<br />
Siis TY:n yleinen ratkaisu on siis näiden kahden ratkaisun<br />
summa:<br />
y = (C +sinx)x 2<br />
Vakio C määräytyy nyt alkuehdosta.<br />
Esim. Etsi yhtälön y ′ −2y = 2 yleinen ratkaisu<br />
Yhtälö on lineaarinen:<br />
HY:<br />
dy<br />
dx −2y = 0<br />
⇒ dy y = 2dx<br />
⇒ ln|y| = 2x+A ⇒ y = Ce 2x<br />
TY: Täydellisen yhtälön ratkaisu voidaan etsiä vakion<br />
varioinnilla, mutta tässä tapauksessa nähdään helposti<br />
että y = −1 toteuttaa TY:n. Siis yleinen ratkaisu on<br />
y = Ce 2x −1.<br />
Esim. Putoava kappale:kappale jonka massa on m putoaa<br />
ilmassa maan vetovoiman vaikutuksesta. Hetkellä t = 0<br />
kappale on levossa. Mikä on kappaleen nopeus ajan<br />
funktiona?<br />
Kappaleeseen vaikuttavat voimat:<br />
maan vetovoima: mg<br />
ilmanvastus: −kv (pitää paikkansa jos nopeus v on pieni).<br />
Newtonin liikelaki<br />
F = ma ⇒ m dv<br />
dt<br />
= mg −kv<br />
Kyseessä on lineaarinen 1. kertaluvun differentiaaliyhtälö.<br />
HY on<br />
mv ′ = −kv ⇒ 1 v dv = − k m dt<br />
⇒ ln|v| = − k t+A ⇒ v = Ce−kt/m<br />
m<br />
TY:n yksittäisratkaisu saadan vakion varioinnilla, tai<br />
jälleen arvaamalla: selvästi v = mg/k toteuttaa TY:n,<br />
joten yleinen ratkaisu on<br />
v(t) = Ce −kt/m +mg/k<br />
Hetkellä t = 0 nopeus v(0) = 0 ⇒ C = −mg/k, joten<br />
alkuehdon toteuttava ratkaisu on<br />
v(t) = mg<br />
k (1−e−kt/m )<br />
Kun t on pieni (t ≪ m/k), kappaleen nopeus v ≈ gt,<br />
mutta kun t → ∞, nopeus lähestyy raja-arvoa mg/k.<br />
ja TY:<br />
C ′ x 2 +C2x− 2 x Cx2 = x 2 cosx ⇒ C ′ = cosx ⇒ C = sinx<br />
42
6.2 Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt<br />
Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti<br />
hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen.<br />
Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta,<br />
toisen kertaluvun lineaarista ja vakiokertoimista<br />
differentiaaliyhtälöä.<br />
Toisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö on<br />
muotoa<br />
a 2 (x) d2 y<br />
dx 2 +a 1(x) dy<br />
dx +a 0(x)y = b(x),<br />
ts. se sisältää enintään y:n toista derivaattaa (toinen<br />
kertaluku) ja sen termit ovat verrannollisia ainoastaan y 1<br />
tai y 0 (lineaarinen differentiaaliyhtälö). (siinä ei siis<br />
esiinny termejä y 2 , y ′ y, e y jne.)<br />
Jos kertoimet a 0 , a 1 ja a 2 ovat vakioita, sanotaan yhtälön<br />
olevan vakiokertoimisen.<br />
Lineaarisen toisen kertaluvun yhtälön standardimuoto on<br />
d 2 y<br />
dx 2 +p(x)dy +q(x)y = g(x), (6.7)<br />
dx<br />
missä p(x) = a 1 (x)/a 2 (x), q(x) = a 0 (x)/a 2 (x) ja<br />
g(x) = b(x)/a 2 (x) (olettaen, että a 2 (x) ≠ 0<br />
tarkasteltavalla välillä).<br />
Standardimuotoon (6.7) liittyvä homogeeninen yhtälö on<br />
d 2 y<br />
dx 2 +p(x)dy +q(x)y = 0. (6.8)<br />
dx<br />
Jos standardimuotoisessa yhtälössä (6.7) g(x) ≠ 0,<br />
sanotaan yhtälön olevan ei-homogeeninen tai täydellinen.<br />
2. kertaluvun lineaarisen dy:n ratkaisujen<br />
ominaisuuksia<br />
Toisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön<br />
ratkaisu etenee samaan tapaan kuin ensimmäisen<br />
kertaluvun:<br />
1. Etsitään homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu,<br />
y HY (x).<br />
2. Etsitään täydellisen yhtälön joku ratkaisu y 0 (x). Nyt<br />
täydellisen yhtälön yleinen ratkaisu on muotoa<br />
y TY (x) = y HY (x)+y 0 (x).<br />
Tämä ominaisuus seuraa samalla perusteella kuten 1. kl:n<br />
yhtälölläkin.<br />
Voidaan osoittaa, että homogeenisen yhtälön (HY) (6.8)<br />
yleinen ratkaisu (jossain joukossa x ∈ I) voidaan<br />
kirjoittaa muodossa<br />
y HY (x) = C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x) (6.9)<br />
missä C 1 , C 2 ovat vakioita jotka voidaan kiinnittää<br />
alkuehdoista ja y 1 (x) ja y 2 (x) ovat kaksi mielivaltaista<br />
lineaarisesti riippumatonta HY:n ratkaisua. Tässä<br />
tapauksessa lineaarinen riippumattomuus tarkoittaa että<br />
a 1 y 1 (x)+a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0<br />
kaikilla x ∈ I.<br />
Helposti nähdään että jos y 1 ja y 2 ovat HY:n ratkaisuja<br />
niin y HY on myös ratkaisu.<br />
Normaalisti ratkaisujen lineaarinen riippumattomuus on selvää.<br />
Tarkemmin se voidaan laskea Wronskin determinantista:<br />
∣ W[y 1 ,y 2 ](x) = ∣ y 1(x) y 2 (x) ∣∣<br />
y 1 ′(x) y′ 2 (x) (6.10)<br />
= y 1 (x)y 2 ′(x)−y 2(x)y 1 ′(x) on = 0 jos ja vain jos y 1 ja y 2 ovat lineaarisesti riippuvia<br />
ratkaisuja.<br />
Käytännössä lineaarista riippuvuutta ei useinkaan testatata<br />
Wronskin determinantilla, ei ainakaan silloin kun on kyse tutuista<br />
funktioista. On helppo nähdä, että esimerkiksi kaikki eri<br />
potenssifunktiot (x r , potenssit r erisuuria) ovat toisistaan<br />
lineaarisesti riippumattomia. Tästä seuraa se, että kaikki eri<br />
eksponenttifunktiotkin (e rx , eri kertoimet r) ovat toisistaan<br />
riippumattomia sen lisäksi, että ne ovat riippumattomia myös<br />
potenssifunktioista. Samoin sini- ja kosinifunktiot ovat toisistaan<br />
rippumattomia. Sen sijaan esim. kosinifunktio riippuu lineaarisesti<br />
(kompleksisista) eksponenttifunktioista (Eulerin kaava:<br />
cosx = 1 2 (eix +e −ix )). Tästä voidaan toisaalta päätellä, että<br />
funktiot cosrx (kertoimet r itseisarvoltaan erisuuria) ovat<br />
riippumattomia sekä toisistaan että funktioista sinrx.<br />
Esim. Funktiot y 1 (x) = e 2x cos3x ja y 2 (x) = e 2x sin3x<br />
ratkaisevat homogeenisen yhtälön y ′′ −4y ′ +13y = 0. Etsi<br />
ratkaisu, joka toteuttaa alkuehdot y(0) = 2 ja y ′ (0) = −5<br />
y 1 ja y 2 ovat lineaarisesti riippumattomia. Yleinen<br />
ratkaisu on siis<br />
Tämän derivaatta on<br />
y(x) = c 1 e 2x cos3x+c 2 e 2x sin3x<br />
y ′ (x) = c 1 (2e 2x cos3x−3e 2x sin3x)<br />
+c 2 (2e 2x sin3x+3e 2x cos3x).<br />
Asetetaan y(0) = 2 ja y ′ (0) = −5, jolloin saadaan yhtälöt<br />
c 1 = 2<br />
2c 1 +3c 2 = −5.<br />
Ratkaisut ovat c 1 = 2 ja c 2 = −3. Alkuehdot toteuttava<br />
differentiaaliyhtälön ratkaisu on siten<br />
y(x) = 2e 2x cos3x−3e 2x sin3x.<br />
6.2.1 Vakiokertoimiset toisen kertaluvun<br />
homogeeniset lineaariset yhtälöt<br />
<strong>MAPU</strong>lla rajoitumme ratkaisemaan vakiokertoimisia 2.<br />
kertaluvun differentiaaliyhtälöitä. Nämä ratkaistaan<br />
ratkaisemalla ensin homogeeninen yhtälö (HY), mikä on<br />
muotoa<br />
ay ′′ +by ′ +cy = 0, (6.11)<br />
43
missä a, b ja c ovat vakiota ja a ≠ 0. Yhtälön mukaan siis<br />
vakioilla kerrotun funktion ja sen derivaattojen summan<br />
pitäisi olla identtisesti nolla. Ratkaisua kannattaisi<br />
varmaankin etsiä sellaisten funktioiden joukosta, joiden<br />
derivaatat ovat keskenään ja itse funktion kanssa samaa<br />
muotoa, mahdollisesti vakiotekijöillä kerrottuna. Ratkaisu<br />
saattaisi siten löytyä funktioiden e rx joukosta (r vakio).<br />
Sijoitetaan tämä yrite yhtälöön (6.11), jolloin saadaan<br />
ar 2 e rx +bre rx +ce rx = 0.<br />
Koska eksponenttifunktio e rx on aina nollasta poikkeava,<br />
voimme jakaa yhtälön sillä ja päädytään ns.<br />
karakteristiseen yhtälöön<br />
ar 2 +br +c = 0. (6.12)<br />
Toisen asteen yhtälönä karakteristinen yhtälö on helppo<br />
ratkaista:<br />
r 1<br />
r 2<br />
= −b+√ b 2 −4ac<br />
2a<br />
= −b−√ b 2 −4ac<br />
.<br />
2a<br />
Funktiot y 1 = e r1x ja y 2 e r2x ratkaisevat siten<br />
differentiaaliyhtälön (6.11).<br />
Tapaus 1: b 2 > 4ac:<br />
Tässä tapauksessa karakteristisen yhtälön ratkaisut r 1 ja<br />
r 2 ovat reaalisia, ja r 1 ≠ r 2 . Tällöin e r1x ja e r2x ovat<br />
lineaarisesti riippumattomia. (Nähdään myös Wronskin<br />
determinantista). Yleinen ratkaisu y on näiden<br />
superpositio<br />
y(x) = c 1 e r1x +c 2 e r2x .<br />
Esim. Yhtälön y ′′ +5y ′ −6y = 0 yleinen ratkaisu<br />
Karakteristinen yhtälö on nyt<br />
ja sen ratkaisut<br />
r 2 +5r −6 = 0<br />
r 1,2 = −5±√ 25+24<br />
2<br />
Yleinen ratkaisu on siten<br />
{<br />
=<br />
y(x) = c 1 e x +c 2 e −6x .<br />
1<br />
−6.<br />
Esim. Alkuarvotehtävä y ′′ +2y ′ −y = 0, kun y(0) = 0 ja<br />
y ′ (0) = −1<br />
Karakteristisen yhtälön r 2 +2r −1 = 0 ratkaisut ovat<br />
r 1 = −1+ √ 2 ja r 2 = −1− √ 2. Yleinen ratkaisu on niin<br />
ollen<br />
y(x) = c 1 e (−1+√ 2)x +c 2 e (−1−√ 2)x .<br />
Alkuehdot johtavat yhtälöihin<br />
0 = y(0) = c 1 e 0 +c 2 e 0 = c 1 +c 2<br />
−1 = y ′ (0) = (−1+ √ 2)c 1 e 0 +(−1− √ 2)c 2 e 0<br />
= (−1+ √ 2)c 1 +(−1− √ 2)c 2 ,<br />
joiden ratkaisuina ovat c 1 = − √ 2/4 ja c 2 = √ 2/4.<br />
Alkuarvoprobleeman siis toteuttaa funktio<br />
√ √<br />
2 2<br />
y(x) = −<br />
4 e(−1+√ 2)x +<br />
4 e(−1−√ 2)x .<br />
Tapaus 2: b 2 < 4ac<br />
Nyt karakteristisen yhtälön<br />
juuret ovat kompleksiset:<br />
ar 2 +br +c = 0<br />
r 1,2 = 1<br />
2a (−b±i√ |b 2 −4ac|) ≡ α±iβ<br />
missä α = −b/(2a) ja β = √ 4ac−b 2 /(2a) ovat reaalisia.<br />
Juuret ovat siis toistensa liittolukuja, r 1 = r ∗ 2. Nyt siis<br />
differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu saadaan edelleen<br />
eksponenttifunktioiden summasta<br />
y = C 1 e r1x +C 2 e r2x<br />
= e αx (C 1 e iβx +C 2 e −iβx )<br />
= e αx (Acosβx+Bsinβx)<br />
missä nyt A = C 1 +C 2 ja B = iC 1 −iC 2 . Yllä viimeisin<br />
muoto antaa reaalisen ratkaisun (y(x) ∈ R), jos A,B ∈ R.<br />
Esim. Yhtälön y ′′ +2y ′ +4y = 0 yleinen ratkaisu<br />
Karakteristisen yhtälön r 2 +2r +4 = 0 ratkaisut ovat<br />
Silloin funktiot<br />
r = −2±√ 4−16<br />
2<br />
= −1±i √ 3.<br />
y 1 (x) = e −x cos √ 3x ja y 2 (x) = e −x sin √ 3x<br />
ovat yhtälön lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja.<br />
Yleinen ratkaisu on siten<br />
y(x) = c 1 e −x cos √ 3x+c 2 e −x sin √ 3x.<br />
Esim. Vaimennettu harmoninen värähtelijä<br />
Olkoon meillä kappale (massa m) joka liikkuu x -akselia<br />
pitkin ja joka on kiinnitetty jousella kiintopisteeseen.<br />
Olkoon kappaleen paikka x(t). Jousi aiheuttaa<br />
kappaleeseen harmonisen voiman F jousi = −kx (k > 0),<br />
missä x = 0 on piste missä kappale on levossa. Lisäksi<br />
kappaleeseen vaikuttaa nopeuteen verrannollinen<br />
kitkavoima γv = −γx ′ (t).<br />
44
Newtonin lain mukaan F = ma = mx ′′ ⇒<br />
−kx−γx ′ = mx ′′<br />
Tämä on 2. kertaluvun lineaarinen homogeeninen<br />
vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö. Karakteristinen<br />
yhtälö on<br />
−k −γr = mr 2 ⇒ r = 1<br />
2m (−γ ±√ γ 2 −4mk)<br />
Jos γ 2 < 4km (pieni vaimennus), ratkaisu on<br />
x(t) = e −γt/(2m) (Acosωt+Bsinωt)<br />
missä ω = √ 4mk −γ 2 /(2m). Kappale siis värähtelee<br />
vaimenevasti taajuudella ω. Jos γ = 0, värähtely ei<br />
vaimene.<br />
Jos taas γ 2 > 4km (voimakas vaimennus), ratkaisu on<br />
x(t) = Ae r1t +Be r2t<br />
missä<br />
r 1,2 = 1<br />
2m (−γ ±√ γ 2 −4mk) < 0<br />
ovat reaalisia.<br />
Tapaus 3: b 2 = 4ac<br />
Karakteristisen yhtälön<br />
ar 2 +br +c = 0<br />
juuret ovat yhtäsuuret, jos b 2 −4ac = 0. Ainoa juuri on<br />
tällöin reaalinen ja suuruudeltaan<br />
r 0 = − b<br />
2a<br />
ja e r0x on siten ainoa muotoa e rx oleva ratkaisu.<br />
Tiedämme toisaalta, että toisen kertaluvun yhtälöllä on<br />
aina kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua.<br />
Etsitään toinen ratkaisu vakion varioinnilla: yrite<br />
vie differentiaaliyhtälömme<br />
y(x) = v(x)e r0x<br />
ay ′′ +by ′ +cy = 0.<br />
Sijoitamme tähän yritteemme ja derivaatat<br />
y ′ = v ′ e r0x +r 0 ve r0x<br />
y ′′ = v ′′ e r0x +2r 0 v ′ e r0x +r 2 0ve r0x .<br />
Hieman ryhmittäen saadaan<br />
(<br />
av ′′ +(2ar 0 +b)v ′ +(ar 2 0 +br 0 +c)v ) e r0x = 0.<br />
Funktion v täytyy siis toteuttaa yhtälö<br />
av ′′ +(2ar 0 +b)v ′ +(ar 2 0 +br 0 +c)v = 0.<br />
Sijoitetaan tähän r 0 = −b/2a ja nähdään että<br />
ja<br />
2ar 0 +b = −2a b<br />
2a +b = 0<br />
ar0 2 +br 0 +c = a b2<br />
4a 2 −b b +c = −b2<br />
2a 4a +c<br />
= − b2 −4ac<br />
= 0,<br />
4a<br />
koska diskriminantti oli b 2 −4ac = 0. Päädymme siten<br />
yhtälöön<br />
av ′′ = 0<br />
ratkaisu on v(x) = C 1 x+C 2 . Tästä nähdään että<br />
y(x) = xe r0x on niin ollen eräs alkuperäisen yhtälömme<br />
ratkaisu, ja on helppo nähdä, että tämä on lineaarisesti<br />
riippumaton ratkaisusta e r0x .<br />
Olemme saaneet aikaan reseptin:<br />
Jos yhtälöön<br />
ay ′′ +by ′ +cy = 0<br />
liittyvän karakteristisen yhtälön<br />
ar 2 +br +c = 0<br />
molemmat juuret ovat yhtäsuuret, r 0 , niin yleinen<br />
ratkaisu on<br />
y(x) = C 1 e r0x +C 2 xe r0x .<br />
Esim. Yhtälön y ′′ +4y ′ +4y = 0 yleinen ratkaisu<br />
Karakteristinen yhtälö on<br />
r 2 +4r +4 = (r +2) 2 = 0,<br />
jonka molemmat juuret ovat −2. Yleinen ratkaisu on<br />
silloin<br />
y(x) = c 1 e −2x +c 2 xe −2x .<br />
Vakion variointi soveltuu yleisemminkin tilanteisiin, missä<br />
tunnetaan jokin erikoisratkaisu ja pitäisi etsiä toinen tästä<br />
lineaarisesti riippumaton ratkaisu.<br />
Olkoon g jokin yhtälön<br />
y ′′ +py ′ +qy = 0<br />
ratkaisu. Sijoittamalla tähän y(x) = g(x)v(x) päädytään yhtälöön<br />
gv ′′ +2g ′ v ′ +g ′′ v +pg ′ v +pgv ′ +qgv = 0.<br />
Uudelleen ryhmittäen voidaan kirjoittaa<br />
gv ′′ +(2g ′ +pg)v ′ +(g ′′ +pg ′ +qg)v = 0.<br />
Koska g toteutti alkuperäisen yhtälön, g ′′ +pg ′ +qg = 0, saamme<br />
gv ′′ +(2g ′ +pg)v ′ = 0.<br />
Tämä on funktiolle v ′ = u ensimmäisen kertaluvun yhtälö<br />
g(x) du<br />
dx +[2g′ (x)+p(x)g(x)]u = 0.<br />
45
Tämä separoitavissa yhtälöksi<br />
∫ du<br />
u = − ∫ 2g ′ (x)+p(x)g(x)<br />
jolloin saadaan<br />
ln|u| = ln<br />
Eksponenttiointi antaa<br />
v ′ (x) = u(x) =<br />
g(x)<br />
∫<br />
1<br />
[g(x)] 2 −<br />
p(x)dx.<br />
dx,<br />
∫<br />
1 p(x)dx ,<br />
[g(x)] 2e−<br />
josta vielä kerran integroimalla saadaan v.<br />
6.2.2 Epähomogeeninen vakiokertoiminen<br />
lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö<br />
Nyt differentiaaliyhtälö (täydellinen yhtälö, TY) on<br />
muotoa<br />
ay ′′ +by ′ +cy = f(x) (6.13)<br />
Helposti nähdään että jos y 1 on TY:n joku ratkaisu ja y 0<br />
on homogeenisen yhtälön (HY, f(x) = 0) joku ratkaisu<br />
niin y = y 0 +y 1 on myös TY:n ratkaisu. Koska 2.<br />
kertaluvun lineaarisen yhtälön täydellinen ratkaisu<br />
riippuu kahdesta vakiosta, saadaan<br />
TY:n täydellinen ratkaisu = HY:n täydellinen ratkaisu +<br />
TY:n joku yksittäisratkaisu.<br />
Kuinka siis löytää TY:n yksittäisratkaisu?<br />
1. Arvaus/yrite:<br />
toimii hyvin etenkin jos f(x) on polynomi. Tällöin<br />
kannattaa yrittää y(x) polynomi, jonka asteluku = f:n<br />
asteluku.<br />
Esim. y ′′ +ay ′ +by = c: yritetään y = α, vakio. Siis<br />
by = bα = c ⇒ α = c/b.<br />
Arvaus toimii myös usein jos f(x) = e αx , sillä f:n kaikki<br />
derivaatat ovat verrannollisia e αx :ään:<br />
y ′′ +ay ′ +by = e αx<br />
Yrite: y = Ae αx , sijoitus yhtälöön antaa<br />
A(α 2 +aα+b)e αx = e αx ⇒ A = (α 2 +aα+b) −1<br />
Tämä toimii jollei e αx satu olemaan HY:n ratkaisu<br />
(jolloin α 2 +aα+b = 0). Tällöin kannattaa kokeilla<br />
yritettä Axe αx , ellei sekin satu olemaan HY:n ratkaisu<br />
(tällöin α on HY:n karakterisen polynomin<br />
kaksinkertainen juuri). Siinä tapauksessa yrite on Ax 2 e αx .<br />
2. Integrointi kahdessa vaiheessa:<br />
Tämä on yleisempi menetelmä täydellisen yhtälön<br />
ratkaisuun. Tässä menetelmässä yhtälöä ryhmitellään<br />
muotoon jossa sitä voidaan integroidan suoraan, ja<br />
homogeenista yhtälöä ei tarvitse ratkaista erikseen.<br />
Kirjoitetaan yhtälö ensin muotoon (jaetaan y ′′ :n<br />
kertoimella, jos tarpeen)<br />
y ′′ +ay ′ +by = (D 2 +aD +b)y = f(x)<br />
missä D ≡ d<br />
dx , D2 ≡ d2 on merkintätapa.<br />
dx 2<br />
HY:n karakteristinen yhtälö on r 2 +ar +b = 0, jonka<br />
ratkaisut ovat r 1 ,r 2 . Näiden juurien avulla voimme<br />
kirjoittaa karakteristisen polynomin muotoon<br />
r 2 +ar +b = (r −r 1 )(r −r 2 )<br />
Täten differentiaaliyhtälökin voidaan kirjoittaa<br />
(D 2 +aD +b)y(x) = (D −λ 1 )(D −λ 2 )y(x) = f(x)<br />
Määritellään nyt u ≡ (D −λ 2 )y, jolloin saamme dy:n:<br />
(D −λ 1 )u = f(x)<br />
Tämä on lineaarinen 1. kl:n vakiokertoiminen dy, mikä<br />
ratkeaa edellä kuvatulla menetelmällä. Nyt voimme sitten<br />
ratkaista y:n yhtälöstä<br />
(D −λ 2 )y = u(x)<br />
mikä siis antaa alkuperäisen TY:n ratkaisun.<br />
Esim. y ′′ +y ′ −2y = e x HY:n karakteristinen yhtälö on<br />
r 2 +r −2 = 0 ⇒ r = 1 2 (−1±√ 1+8) = − 1 2 ± 3 2 = 1,−2<br />
Täten voimme kirjoittaa<br />
y ′′ +y ′ −2y = (D −1)(D +2)y = e x<br />
1.vaihe: olkoon nyt u(x) = (D +2)y, jolloin u:n<br />
differentiaaliyhtälö on<br />
(D −1)u(x) = u ′ (x)−u(x) = e x<br />
tämän HY:<br />
∫ ∫ du<br />
u ′ −u = 0 ⇒<br />
u = dx ⇒ u(x) = Ce x<br />
TY:n ratkaisu saadaan vakion varioinnilla:<br />
u(x) = C(x)e x ⇒ u ′ (x) = C ′ e x +Ce x , joten sijoitus<br />
(C ′ +C)e x −Ce x = e x ⇒ C ′ = 1 ⇒ C = x+A<br />
Siis TY:n täydellinen ratkaisu on<br />
u(x) = Ce x +xe x<br />
2.vaihe: ratkaistaan y yhtälöstä<br />
(D +2)y = y ′ +2y = u(x) = (C +x)e x<br />
HY: y ′ = −2y ⇒ y = Be −2x<br />
TY: jälleen vakion varioinnilla B → B(x):<br />
y ′ = B ′ e −2x −2Be x .<br />
46
Sijoitus differentiaaliyhtälöön antaa<br />
(B ′ −2B)e −2x +2Be −2x = (C +x)e x<br />
⇒ B ′ = (C +x)e 3x<br />
∫<br />
⇒ B = (C +x)e 3x dx = C 3 e3x + x ∫ 1<br />
3 e3x −<br />
3 e3x<br />
= ( C 3 − 1 9 )e3x + x 3 e3x +D<br />
= Ee 3x + x 3 e3x +D<br />
missä viimeisessä vaiheessa otettiin käyttöön uusi vakio<br />
E = C/3−1/9.<br />
Siis TY:n ratkaisu on<br />
y = (Ee 3x + x 3 e3x +D)e −2x = De −2x +(E + x 3 )ex<br />
mikä onkin myös TY:n yleinen ratkaisu. Vakion variointi<br />
antaakin yleisesti koko ratkaisun kaupan päälle<br />
yksittäisratkaisun lisäksi, vakioista riippuvat osat ovat<br />
HY:n yleinen ratkaisu.<br />
Edellisen esimerkin yhtälöön<br />
Nyt e i2x ei ole HY:n ratkaisu, joten TY:n<br />
yksittäisratkaisu löytyy yrittellä z = Ae i2x :<br />
⇒ A =<br />
A[(2i) 2 +2i−2]e i2x = 4e i2x<br />
Siis TY:n yleinen ratkaisu on<br />
ja<br />
4<br />
−6+2i = 2(−3−i)<br />
(−3+i)(−3−i) = −3−i<br />
5<br />
z = C 1 e x +C 2 e −2x + −3−i e i2x<br />
5<br />
y = Imz = A 1 e x +A 2 e −2x − 1 5 cos2x− 3 5 sin2x<br />
missä A 1 = ImC 1 , A 2 = ImC 2 .<br />
y ′′ +y ′ −2y = e x<br />
voi myös soveltaa arvausmenetelmää. HY:n<br />
karakteristinen yhtälö on r 2 +r −2 = 0, minkä juuret<br />
ovat r = 1,−2. Koska nyt siis e x on HY:n ratkaisu, TY:n<br />
yksittäisratkaisu voidaan löytää yritteellä<br />
y = Axe x :<br />
y ′ = A(e x +xe x ), y ′′ = A(2e x +xe x )<br />
Nyt dy tulee muotoon<br />
A(2+x)e x +A(1+x)e x −2Axe x = e x ⇒ 3A = 1<br />
Siis TY:n yksittäisratkaisu on y = x 3 ex , ja TY:n<br />
täydellinen ratkaisu on HY:n täydellisen ratkaisun ja<br />
TY:n yksittäisratkaisun summa:<br />
y = Ae x +Be −2x + x 3 ex<br />
Eksponenttifunktioyritteestä on usein myös hyötyä jos<br />
f(x) ∼ sinx, cosx (esim. värähtelevä pakkovoima<br />
harmonisella oskillaattorilla).<br />
Esim: y ′′ +y ′ −2y = 4sin2x<br />
Tämän voi toki ratkaista integroinnilla kahdessa<br />
vaiheessa, mutta kirjoitammekin yhtälön muotoon<br />
z ′′ +z ′ −2z = 4e i2x .<br />
Tällöin ottamalla imaginaariosa yhtälöstä saadaan<br />
alkuperäinen yhtälö, ja y = Imz.<br />
HY:n karakteristinen yhtälö on<br />
r 2 +r −2 = 0 ⇒ r = 1 2 (−1±√ 1+8) = 1,−2<br />
joten HY:n ratkaisu on<br />
z HY = C 1 e x +C 2 e −2x<br />
47
7. Vektorit ja differentiaalilaskenta<br />
7.1 Yhden muuttujan vektorifunktiot<br />
Liikkuvan kappaleen paikka avaruudessa muuttuu ajan<br />
kuluessa. Matemaattisesti voimme ilmaista tämän<br />
sanomalla, että kappaleen paikkaa kuvaava radiusvektori<br />
r on ajan t funktio r(t), ts. vektorin<br />
r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k<br />
komponentit x, y ja z riippuvat yhdestä muuttujasta t.<br />
Samoin yhden muuttujan, ajan, vektorifunktioita ovat<br />
myös kyseisen kappaleen nopeus ja kiihtyvyys. Usein<br />
puhutaan lyhyesti vain vektorifunktioista kun<br />
tarkoitetaan yhden muuttujan vektoriarvoisia funktioita.<br />
7.1.1 Vektorifunktion derivaatta<br />
Olkoon A(u) jokin yhden muuttujan u vektorifunktio<br />
A(u) = A x (u)i+A y (u)j+A z (u)k.<br />
) K <br />
Kuva 7.1 Vektorin derivaatta<br />
) K , K ) K <br />
) K , K <br />
Vektorifunktion derivaatta määritellään analogisesti<br />
skalaarifunktion derivaatan kanssa eli<br />
dA(u)<br />
du<br />
= lim<br />
∆u→0<br />
A(u+∆u)−A(u)<br />
. (7.1)<br />
∆u<br />
Kirjoitetaan määritelmä (7.1) komponenteittain,<br />
dA(u)<br />
du<br />
[<br />
Ax (u+∆u)−A x (u)<br />
= lim<br />
i<br />
∆u→0 ∆u<br />
+ A y(u+∆u)−A y (u)<br />
j<br />
∆u<br />
+ A ]<br />
z(u+∆u)−A z (u)<br />
k<br />
∆u<br />
= dA x(u)<br />
du i+ dA y(u)<br />
du j+ dA z(u)<br />
du k,<br />
jolloin nähdään, että vektorifunktio derivoidaan<br />
derivoimalla sen komponentit.<br />
Esim. Nopeus v, v, kiihtyvyys a ja a kun paikka on<br />
r = sinti+costj+k<br />
Nopeus on nyt<br />
v = dr<br />
dt = ṙ = dx(t)<br />
dt<br />
= costi−sintj.<br />
Vauhti puolestaan on<br />
v = |v| =<br />
i+ dy(t)<br />
dt<br />
√<br />
cos 2 t+sin 2 t = 1.<br />
Kiihtyvyys saadaan derivoimalla nopeus,<br />
ja sen itseisarvo on<br />
j+ dz(t)<br />
dt<br />
a = dv<br />
dt = v . .ṙ<br />
= = −sinti−costj,<br />
a = |a| =<br />
√<br />
sin 2 t+cos 2 t = 1.<br />
Derivaatan ominaisuuksia<br />
Olkoot A(u) ja B(u) muuttujan u vektorifunktioita.<br />
Lasketaan pistetulon A·B derivaatta:<br />
dA·B<br />
du<br />
= d<br />
du (A xB x +A y B y +A z B z )<br />
= dA x<br />
du B dB x<br />
x +A x<br />
du<br />
=<br />
+ dA y<br />
du B dB y<br />
y +A y<br />
du<br />
+ dA z<br />
du B dB z<br />
z +A z<br />
(<br />
du<br />
dAx<br />
du i+ dA y<br />
du j+ dA )<br />
z<br />
du k ·<br />
(B x i+B y j+B z k)<br />
+(A x i+A y j+A z k)·<br />
( dBx<br />
du i+ dB y<br />
du j+ dB )<br />
z<br />
du k<br />
= dA<br />
du<br />
·B+A· dB<br />
du .<br />
Näemme, että pistetulon derivointiin soveltuu<br />
skalaarifunktioista tuttu derivointisääntö (2.17) kunhan<br />
vain korvataan tavallinen tulo pistetulolla.<br />
Yleensäkin on helppo todeta, että luonnollisella tavalla<br />
modifioidut tutut säännöt ovat voimassa myös vektoreille:<br />
d<br />
(αA+βB) = αdA<br />
du<br />
d(φA)<br />
du<br />
d(A·B)<br />
du<br />
d(A×B)<br />
du<br />
du +βdB du<br />
= dφ<br />
du A+φdA du<br />
= dA<br />
du<br />
= dA<br />
du<br />
dB ·B+A·<br />
du<br />
dB<br />
×B+A×<br />
k<br />
du . (7.2)<br />
48
6<br />
+<br />
Tässä α ja β ovat mielivaltaisia skalaarivakioita ja φ(u)<br />
mielivaltainen derivoituva muuttujan u skalaarifunktio.<br />
Analogisesti skalaarifunktion differentiaalin kanssa<br />
määrittelemme vektorifunktion differentiaalin:<br />
dA = idA x +jdA y +kdA z .<br />
Koska vektorin komponentit A i ovat nyt vain yhden<br />
muuttujan u funktioita, ovat niiden differentiaalit muotoa<br />
du ja vektorin A(u) differentiaali niin ollen<br />
dA i<br />
du<br />
( dAx<br />
dA = du<br />
du i+ dA y<br />
du j+ dA )<br />
z<br />
du k<br />
7.1.2 Avaruuskäyrät<br />
Tangentti<br />
Olkoon<br />
r(u) = x(u)i+y(u)j+z(u)k<br />
= dA du. (7.3)<br />
du<br />
muuttujasta u riippuva paikkavektori. Muuttujan u<br />
käydessä läpi arvoalueensa vektorin r kärki piirtää<br />
käyrän kolmiulotteisessa avaruudessamme. Derivaatta dr<br />
du<br />
on konstruktionsa perusteella (kuva 7.1) ilmeisestikin<br />
tämän käyrän pisteeseen r(u) piirretyn tangentin<br />
suuntainen. Käyrän tangentin suuntainen yksikkövektori<br />
T on niin ollen<br />
T = dr<br />
du /|dr |. (7.4)<br />
du<br />
@ H<br />
H K <br />
on käyrän tangentin suuntainen. Tämän vektorin pituus<br />
on ∣ ∣∣∣ dr<br />
dt∣ = √ (2t) 2 +16+(4t−6) 2 ,<br />
joten yksikkötangentti on<br />
T = dr /∣ ∣∣∣ dr<br />
dt dt∣ = √ 2ti+4j+(4t−6)k<br />
(2t)2 +16+(4t−6) 2.<br />
Erikoisesti pisteessä, missä t = 2, yksikkötangentti on<br />
T = 4i+4j+2k √<br />
42 +4 2 +2 2 = 2 3 i+ 2 3 j+ 1 3 k.<br />
Koska derivaatta dr<br />
du<br />
on yksikkötangentin suuntainen, niin<br />
toki silloin myös differentiaali<br />
dr = du dr<br />
du<br />
on yksikkötangentin suuntainen. Voimme siis kirjoittaa<br />
dr = Tds<br />
missä olemme symbolilla ds merkinneet differentiaalin dr<br />
pituutta<br />
ds = |dr| = √ dx 2 +dy 2 +dz 2 .<br />
Voimme siis kirjoittaa yksikkötangentin myös muodossa<br />
T = dr<br />
ds . (7.5)<br />
Kaaren pituus<br />
Differentiaali ds oli infinitesimaalisen muutoksen dr<br />
suuruus. Koska muutos dr oli käyrän tangentin<br />
suuntainen, on ds siten käyrän kaaren pituuden s<br />
infinitesimaalinen muutos.<br />
Kuva 7.2 Käyrän tangentti<br />
Esim. Käyrän x = t 2 +1, y = 4t−3, z = 2t 2 −6t<br />
yksikkötangentti kun t = 2<br />
Käyrän piirtää vektorin<br />
I <br />
I I @ I<br />
@ H<br />
r = xi+yj+zk<br />
= (t 2 +1)i+(4t−3)j+(2t 2 −6t)k<br />
kärki kun t käy läpi kaikki arvonsa (kun muuta ei ole<br />
sanottu, arvoalueena on yleensä koko reaalilukualue).<br />
Paikkavektorin derivaatta<br />
dr<br />
dt<br />
= i d dt (t2 +1)+j d dt (4t−3)+k d dt (2t2 −6t)<br />
= 2ti+4j+(4t−6)k<br />
Kuva 7.3 Käyrän kaaren pituus<br />
Käyrän C kaaren pituus s saadaan summaamalla pitkin<br />
käyrää laskettuja differentiaalisia kaaren pituuksia.<br />
Formaalisti voimme ilmaista tämän, kuten<br />
∫<br />
s = ds. (7.6)<br />
C<br />
49
Käyrän ulottuessa äärettömyyteen on yleensä on myös<br />
spesifioitava integroinnin alkukohta eli kaaren pituuden<br />
nollakohta. Kuvassamme tämä voisi olla vaikkapa piste s 0 .<br />
Laskettaessa kaaren pituutta kaavalla (7.6) integroinnin<br />
suunnaksi otetaan differentiaalin dr suunta eli tangentin<br />
suunta. Pituus s siis kasvaa kun edetään käyrällä<br />
tangentin osoittamaan suuntaan. Jos nyt käyrän yhtälö<br />
on annettu muodossa<br />
r = r(u),<br />
niin tangentti osoittaa vektorin<br />
dr = dr du = r(u+du)−r(u)<br />
du<br />
suuntaan eli suuntaan johon u kasvaa. Pituus s on siten<br />
muuttujan u kasvava funtio ja derivaatta ds<br />
du silloin<br />
positiivinen. Differentiaali ds oli määritelty itseisarvona<br />
|dr|, joten on<br />
ds = |dr| =<br />
dr<br />
∣du∣ du,<br />
kun du > 0. Toisaalta derivaatta ds<br />
du<br />
oli positiivinen, joten<br />
voimme kirjoittaa ∣ ∣∣∣ dr<br />
du∣ = ds<br />
du . (7.7)<br />
Jos ratkaisemme relaatiosta s = s(u) muuttujan u<br />
pituuden s funktiona, u = u(s), niin voimme pitää käyrää<br />
piirtävää vektoriakin kaaren pituuden funktiona: r = r(s).<br />
Esim. Käyrän x = sint, y = cost, z = 0 kaaren pituus<br />
lähtien pisteestä, missä t = 0<br />
Käyrän piirtää vektori<br />
r = isint+jcost+0k = isint+jcost.<br />
Differentiaali dr on<br />
dr = dr dt = (icost−jsint)dt<br />
dt<br />
ja differentiaali ds siten<br />
√<br />
ds = |dr| = cos 2 t+sin 2 tdt = √ 1dt = dt,<br />
kun etenemme muuttujan t kasvavaan suuntaan (dt > 0).<br />
Kaaren pituus on siis<br />
∫<br />
s(t) =<br />
C<br />
ds =<br />
∫ t<br />
0<br />
dt = t.<br />
Kaarevuussäde<br />
Avaruuskäyrän r = r(s), s kaaren pituus,<br />
yksikkötangentti on kaavan (7.5) mukaisesti<br />
T = dr<br />
ds .<br />
Vektori T on sekin kaaren pituuden s funktio, joten<br />
voimme laskea derivaatan<br />
Olkoon nyt N vektorin dT<br />
ds<br />
missä on merkitty<br />
Voimme siis kirjoittaa<br />
dT<br />
ds = d2 r<br />
ds 2.<br />
N = 1 κ<br />
suuntainen yksikkövektori<br />
dT<br />
ds ,<br />
κ =<br />
dT<br />
∣ds∣ . (7.8)<br />
dT<br />
ds<br />
= κN. (7.9)<br />
Suuretta κ sanotaan käyrän kaarevuudeksi ja sen<br />
käänteisarvoa<br />
ρ = 1 κ = 1<br />
∣ dT<br />
∣<br />
ds<br />
(7.10)<br />
käyrän kaarevuussäteeksi. Yksikkötangentti T on nimensä<br />
mukaisesti yksikön mittainen, joten on<br />
T 2 = T·T = |T| 2 = 1.<br />
Derivoidaan relaatio T·T = 1 kaaren pituuden suhteen,<br />
jolloin saadaan<br />
d dT dT<br />
(T·T) = ·T+T·<br />
ds ds ds<br />
= 2κT·N = 0,<br />
= 2T· dT<br />
ds<br />
kun on sijoitettu lauseke (7.9). Päädymme yhtälöön<br />
T·N = 0, (7.11)<br />
eli vektori N on kohtisuorassa tangenttia T vastaan ja<br />
siten myös kohtisuorassa ko. avaruuskäyrää vastaan.<br />
Tämän vuoksi vektoria N sanotaan käyrän<br />
päänormaaliksi.<br />
Esim. Käyrän x = 3cost, y = 3sint, z = 4t<br />
yksikkötangentti, päänormaali, kaarevuus ja<br />
kaarevuussäde<br />
Käyrän<br />
r = i3cost+j3sint+k4t<br />
eräs tangentti on<br />
dr<br />
dt = −i3sint+j3cost+k4.<br />
Normitetaan tämä, ts. muodostetaan yksikön mittainen<br />
saman suuntainen vektori jakamalla vektori pituudellaan.<br />
50
Tangentin pituus on<br />
dr<br />
∣dt∣ = √ (−3sint) 2 +(3cost) 2 +4 2<br />
√<br />
= 9(sin 2 t+cos 2 t)+16<br />
= √ 9+16 = 5.<br />
Yksikkötangentti on siten<br />
T = −i3sint+j3cost+k4 ∣<br />
∣dr∣<br />
Yksikkötangentiksi saatiin siis<br />
dt<br />
= −i 3 5 sint+j3 5 cost+k4 5 .<br />
T = −i 3 5 sint+j3 5 cost+k4 5 .<br />
Derivoidaan tämä muuttujan t suhteen:<br />
dT<br />
dt = −i3 5 cost−j3 5 sint.<br />
Toisaalta, koska kaaren pituus s on jokin muuttujan t<br />
funktio, voimme ketjusäännön perusteella kirjoittaa<br />
joten<br />
dT<br />
dt = dT ds<br />
ds dt ,<br />
dT<br />
ds = dT / ds<br />
dt dt<br />
Aikaisemmin (kaava (7.7)) totesimme, että kaaren<br />
pituuden derivaatta käyrää parametrisoivan muuttujan<br />
suhteen noudattaa kaavaa<br />
∣ ds ∣∣∣<br />
dt = dr<br />
dt∣<br />
eli<br />
dT<br />
ds = dT<br />
dt<br />
/∣ ∣∣∣ dr<br />
dt∣<br />
Määritelmän (7.9) mukaan on siis<br />
κN = dT<br />
ds = dT /∣ ∣∣∣ dr<br />
dt dt∣<br />
= −i3 5 cost−j3 5 sint<br />
5<br />
= −i 3<br />
25 cost−j 3<br />
25 sint.<br />
Kaarevuus<br />
Koska N on yksikön mittainen, on voimassa<br />
dT<br />
∣ds∣ = |κ||N| = κ, κ ≥ 0.<br />
on silloin<br />
√ ( ) 2 3<br />
κ = (sin 2 t+cos<br />
25<br />
2 t) = 3<br />
25<br />
ja kaarevuussäde<br />
ρ = 1 κ = 25 3 .<br />
Esim. Ympyräliike<br />
Ajan t funktiona massapisteen paikkavektori olkoon<br />
r = r(t). Nopeus on tällöin<br />
v = dr<br />
dt = ṙ.<br />
Kun piste kulkee pitkin origokeskeisen R säteisen<br />
ympyrän kehää, on vektorin r pituus vakio R: |r| = R tai<br />
Tämän derivointi antaa<br />
r·r = R 2 .<br />
2ṙ·r = 2v·r = 0.<br />
Nopeus on kohtisuorassa radiusvektoria r vastaan (eli<br />
kohtisuorassa ympyrän sädettä vastaan, ympyrän<br />
tangentin suuntainen).<br />
Tarkastellaan erikoisesti sellaista xy-tason liikettä, missä<br />
r = iRcosωt+jRsinωt<br />
kun ω on vakio. Nyt<br />
√<br />
|r| = R 2 (cos 2 ωt+sin 2 ωt) = R,<br />
joten kyseessä on ympyräliike.<br />
Nopeus on<br />
v = ṙ = −iRωsinωt+jRωcosωt.<br />
Kuten todettiin, tämä on kohtisuorassa paikkavektoria r<br />
vastaan. Vauhti on nyt<br />
√<br />
|v| = (ωR) 2 (cos 2 ωt+sin 2 ωt) = ωR,<br />
joten liikkeen vauhtikin on vakio. Kiihtyvyys taas on<br />
a = . v = −iRω 2 cosωt−jRω 2 sinωt.<br />
Vauhdin vakioisuudesta (v·v = ω 2 R 2 = vakio) seuraa<br />
että kiihtyvyys on kohtisuorassa nopeutta vastaan (ja<br />
siten joko radiusvektorin suuntainen tai sille<br />
vastakkaissuuntainen). Itseasiassa näemme, että<br />
a = −ω 2 r.<br />
Kiihtyvyyden suuruus on sekin vakio, sillä<br />
|a| = |−ω 2 r| = ω 2 R.<br />
51
7.2 Gradientti, divergenssi, roottori<br />
Osittaisderivaatta ja kentät<br />
Olkoon f koordinaattipisteen r = (x,y,z) funktio,<br />
f(r) = f(x,y,z). funktion osittaisderivaattaa esim.<br />
muuttujan x suhteen merkitään<br />
∂f(r)<br />
∂x = ∂f(x,y,z) = ∂ x f(r)<br />
∂x<br />
ja se lasketaan derivoimalla x:n suhteen pitämällä muut<br />
muuttujat vakiona.<br />
Esim. Olkoon f(x,y,z) = xyz +x 2 y. Nyt<br />
∂f ∂f<br />
= yz +2xy,<br />
∂x<br />
∂y = xz +x2 ,<br />
∂f<br />
∂z = xy<br />
Avaruudessa (x,y,z) ∈ R 3 tai sen osajoukossa<br />
määriteltyä funktiota kutsutaan usein kentäksi.<br />
Jos f on reaaliluku, f(r) ∈ R, kyseessä on skalaarifunktio<br />
eli skalaarikenttä, jos taas funktio on vektori,<br />
⃗v(r) = iv x (r)+jv y (r)+kv z (r) ∈ R 3 , kyseessä on<br />
vektorifunktio eli vektorikenttä.<br />
Esim. skalaarikenttiä (-funktioita) ovat ilman paikallinen<br />
lämpötila T(r), paine p(r), sähkövarauksen tiheys ρ(r).<br />
Vektorikenttiä ovat esim. kaasun (nesteen) virtausnopeus<br />
v(r), sähkökenttä E(r), sähkövirran tiheys J(r)...<br />
Nabla<br />
Määritellään “derivaattavektori” nabla:<br />
∇ ≡ i ∂<br />
∂x +j ∂ ∂y +k ∂ ∂z = ∑ i<br />
ê i<br />
∂<br />
∂x i<br />
(7.12)<br />
Nabla ∇ on siis yhtä aikaa derivaatta ja vektori. Sillä<br />
voidaan operoida skalaari- tai vektorifunktioihin:<br />
∇f(r) gradientti (vektori)<br />
∇·v(r) divergenssi (skalaari)<br />
∇×v(r) roottori (vektori)<br />
7.2.1 Gradientti<br />
Olkoon φ(r) skalaarifunktio. Funktion gradientti on<br />
vektorifunktio<br />
∇φ = ∂φ ∂φ ∂φ<br />
i+ j+<br />
∂x ∂y ∂z k = ∑ i<br />
ê i<br />
∂φ<br />
∂r i<br />
(7.13)<br />
Graafisesti: gradientti ∇f(r) on vektori, joka on<br />
kohtisuorassa pintaa f(r) = vakio vastaan, ja |∇f| kertoo<br />
kuinka nopeasti funktio muuttuu ko. suuntaan.<br />
Vielä havainnollisemmin: kartta ja korkeuskäyrät<br />
(kahdessa ulottuvuudessa): olkoon φ(x,y) maaston<br />
korkeus koordinaattipisteessä (x,y). Nyt yhtälö<br />
φ(x,y) = vakio määrittelee korkeuskäyrän, jossa korkeus<br />
on vakio, ja ∇φ osoittaa suuntaan mihin φ kasvaa<br />
jyrkimmin. |∇φ|:n pituus on korkeuden kulmakerroin<br />
∇φ:n suuntaan.<br />
φ=vakio<br />
φ=vakio<br />
Kuva 7.4 Gradientti ∇φ<br />
∆<br />
φ<br />
tangenttitaso<br />
Todistus: tehdään pieni muutos r → r+∆r. Nyt<br />
f(r+∆r) = f(x+∆x,y +∆y,z +∆z)<br />
= f(r)+ ∂f ∂f ∂f<br />
∆x+ ∆y +<br />
∂x ∂y ∂z ∆z +O(∆2 )<br />
= f(r)+(∇f)·(∆r)<br />
Pistetulosta näkee, että funktion muutos<br />
∆f = f(r+∆r)−f(r)<br />
on suurin, kun ∆r ‖ ∇f<br />
on = 0, kun ∆r ⊥ ∇f<br />
Siis:<br />
– pinnan f = vakio yksikkönormaali on ∇f/|∇f|<br />
– pinnan f = vakio tangenttitaso on vektoria ∇f<br />
kohtisuoraan<br />
– funktion f kasvunopeus suuntaan ˆn on ˆn·∇f (ˆn<br />
yksikkövektori)<br />
Näistä viimeisimmän näkee valitsemalla yllä ∆r ‖ ˆn.<br />
Esim. Funktion φ(x,y,z) = 3x 2 y −y 3 z 2 gradientti ∇φ<br />
pisteessä (1,−2,−1)<br />
Gradientti mielivaltaisessa pisteessä (x,y,z) on<br />
∇φ =<br />
(<br />
i ∂<br />
∂x +j ∂ ∂y +k ∂ ∂z<br />
)<br />
(3x 2 y −y 3 z 2 )<br />
= i ∂<br />
∂x (3x2 y −y 3 z 2 )+j ∂ ∂y (3x2 y −y 3 z 2 )<br />
+k ∂ ∂z (3x2 y −y 3 z 2 )<br />
= 6xyi+(3x 2 −3y 2 z 2 )j−2y 3 zk,<br />
joten pisteessä (1,−2,−1) se on<br />
∇φ = 6(1)(−2)i+(3(1) 2 −3(−2) 2 (−1) 2 )j<br />
−2(−2) 3 (−1)k<br />
= −12i−9j−16k.<br />
Suunnattu derivaatta<br />
Edellisestä esimerkistä yleistäen voimme todeta, että<br />
skalaarikentän φ muutos pituusyksikköä kohti suunnassa<br />
52
n, |n| = 1, on ∇φ·n. Sanomme, että suure<br />
n·∇φ = (∇φ)·n, |n| = 1 (7.14)<br />
on funktion φ suunnattu derivaatta (suuntaan n). Kuten<br />
olemme nähneet, suunnattu derivaatta on suurimmillaan<br />
gradientin suunnassa.<br />
Huom: voimme kirjoittaa derivaattaoperaattorin<br />
suuntaan n<br />
n·∇ = ∑ ∂<br />
n i<br />
∂r<br />
i i<br />
Jos esim. n ‖ i, saamme tavallisen osittaisderivaatan x:n<br />
suuntaan.<br />
Esim. Funktion φ = x 2 yz +4xz 2 derivaatta pisteessä<br />
(1,−2,−1) suuntaan 2i−j−2k<br />
Gradientti pisteessä (1,−2,−1) on<br />
∇φ = (2xyz +4z 2 )i+x 2 zj+(x 2 y +8xz)k<br />
= (2(1)(−2)(−1)+4(−1) 2 )i<br />
+(1) 2 (−1)j+((1) 2 (−2)+8(1)(−1))k<br />
= 8i−j−10k.<br />
Vektorin A = 2i−j−2k suuntainen yksikkövektori on<br />
a = A A = 2i−j−2k √<br />
22 +1 2 +2 2<br />
= 2 3 i− 1 3 j− 2 3 k.<br />
Tähän suuntaan laskettu derivaatta on<br />
∇ a φ = ∇φ·a<br />
= (8i−j−10k)·( 2 3 i− 1 3 j− 2 3 k)<br />
= 16 3 + 1 3 + 20<br />
3 = 37 3 .<br />
7.2.2 Divergenssi<br />
Olkoon nyt v(r) = (v x (r),v y (r),v z (r)) vektorikenttä.<br />
Vektorikentän divergenssi on<br />
∇·v) = (i ∂<br />
∂x +j ∂ ∂y +k ∂ ∂z )·(iv x +jv y +kv x )<br />
= ∂v x<br />
∂x + ∂v y<br />
∂y + ∂v z<br />
∂z<br />
Graafisesti: vektorikentän divergenssi on<br />
(yksikkötilavuudessa) syntyvän vuon (vesi!) määrä:<br />
∇·v > 0, lähde (source))<br />
∇·v < 0, nielu (sink)<br />
Jos ∇·v = 0 koko määrittelyjoukossa, sanotaan että<br />
vektorikenttä v on lähteetön<br />
Katsotaan esimerkkinä nesteen virtausta tarkemmin. Jokaisessa<br />
avaruuden pisteessä (ajattelemme nestettä jatkuvasti<br />
jakautuneena aineena unohtaen sen atomaarisen rakenteen)<br />
r = (x,y,z) neste virtaa paikasta riippuvalla nopeudella<br />
v =v(r) = v x(x,y,z)i+v y(x,y,z)j+v z(x,y,z)k.<br />
Jos nesteen massatiheys on ρ (kg/m 3 ), massavirtatiheys µ<br />
((kg/m 3 )(m/s)=kg/(m 2 s)) pisteessä r on<br />
µ = ρv.<br />
N O <br />
N O @ <br />
<br />
N<br />
<br />
N O @ <br />
@ O<br />
Kuva 7.5 Divergenssin tulkinta<br />
<br />
O<br />
@ N<br />
@ <br />
Katsotaan, mitä massavirralle tapahtuu pisteen r<br />
infinitesimaalisessa ympäristössä. Kuvitellaan tätä tarkoitusta<br />
varten ko. piste sijoitetuksi sellaisen suorakulmaisen särmiön<br />
keskelle, jonka särmien pituudet ovat dx, dy ja dz. Virta µ tuo<br />
särmiön pohjan kautta materiaa virtatiheydellä µ z(x,y,z−dz/2),<br />
joten kaiken kaikkiaan pohjan läpi virtaa aikayksikössä särmiöön<br />
materiaa määrä µ z(x,y,z −dz/2)dxdy (kg/s). Vastaavasti<br />
kannen läpi poistuu aikayksikössä materiamäärä<br />
µ z(x,y,z +dz/2)dxdy. Näiden virtausten seurauksena särmiön<br />
nestemäärän vähenemä aikayksikössä on<br />
dm z<br />
= µ z(x,y,z +dz/2)dxdy<br />
=<br />
−µ z(x,y,z −dz/2)dxdy<br />
[<br />
µ ∂µz(x,y,z) dz<br />
z(x,y,z)+<br />
∂z 2<br />
[<br />
− µ ∂µz(x,y,z)<br />
z(x,y,z)+<br />
∂z<br />
]<br />
dxdy<br />
(<br />
− dz 2<br />
)]<br />
dxdy<br />
= ∂µz<br />
∂z dxdydz.<br />
Differentiaalien tulo dxdydz on infinitesimaalisen särmiömme<br />
(infinitesimaalinen) tilavuus<br />
dV = dxdydz.<br />
Pohjan ja pinnan läpi suuntautuvien virtausten aiheuttama<br />
massan nettomuutos (nettopoistuma) aikayksikössä tilavuudessa<br />
dV on siten<br />
dm z = ∂µz<br />
∂z dV.<br />
Vastaava lasku osoittaa, että xz- ja yz-suuntaisten pintojen läpi<br />
kulkevat virrat aiheuttavat aikayksikössä nettopoistumat<br />
dm y<br />
= ∂µy<br />
∂y dV<br />
dm x = ∂µx<br />
∂x dV.<br />
Massan kokonaismuutos aikayksikössä tilavuusalkiossa dV on<br />
siten<br />
dm = dm x +dm y +dm z<br />
( ) ∂µx<br />
=<br />
∂x + ∂µy<br />
∂y + ∂µz dV.<br />
∂z<br />
53
Vektorimerkintää käyttäen voimme kirjoittaa tämän muotoon<br />
(<br />
dm = i ∂<br />
∂x +j ∂<br />
∂y +k ∂ )<br />
·(µ xi+µ yj+µ zk)dV.<br />
∂z<br />
Kun huomaamme, että skalaaritulon ensimmäinen tekijä on<br />
operaattori ∇, saamme tämän kompaktimpaan muotoon<br />
dm = ∇·µdV.<br />
Massatieyden muutos dm/dV pisteessä (x,y,z)<br />
voi aiheutua mm. siitä, että<br />
dm/dV = ∇·µ<br />
• neste puristuu kokoon tai laajenee, jolloin ∂ρ<br />
∂t ≠ 0,<br />
• ko. pisteeseen ruiskutetaan lisää nestettä eli pisteessä on<br />
lähde tai ko. pisteestä poistetaan nestettä eli pisteessä on<br />
nielu.<br />
Massatiheyden muutos (pienennys) voidaan siten ilmaista kahden<br />
termin summana<br />
dm/dV = − ∂ρ<br />
∂t +ψ,<br />
missä jälkimmäinen termi ψ kuvaa nielujen ja lähteiden<br />
vaikutusta. Näin olemme johtaneet nesteiden (ja kaasujen)<br />
virtausta hallitsevan kontinuiteettiyhtälön<br />
∇·(ρv)+ ∂ρ = ψ, (7.15)<br />
∂t<br />
muistaen, että massavirtatiheys oli µ = ρv.<br />
Sähkömagnetismi, Maxwellin yhtälöt:<br />
∇·E = 1 ǫ 0<br />
ρ<br />
∇·B = 0<br />
Tässä E on sähkökenttä, B magneettikenttä, ρ<br />
sähkövaraustiheys (lähde sähkökentälle!). Magneettisia<br />
varauksia ei ole olemassa (magneettinen monopoli), joten<br />
magneettikentän lähdetermi = 0, ja magneettikenttä on<br />
lähteetön.<br />
7.2.3 Roottori<br />
Vektorikentän v(r) roottori ∇×v lasketaan seuraavasti:<br />
∣ i j k ∣∣∣∣∣<br />
∇×v =<br />
∂ x ∂ y ∂ z (7.16)<br />
∣ v x v y v z<br />
= i(∂ y v z −∂ z v y )−j(∂ x v z −∂ z v x )<br />
+ k(∂ x v y −∂ y v x ) (7.17)<br />
Tämä on siis tavallinen ristitulo vektoreille, mutta<br />
derivaatta vaikuttaa aina eteenpäin, “alariville”:<br />
∣ ∂ ∣<br />
x ∂ y ∣∣∣<br />
= ∂<br />
v x v y −∂ y v x<br />
y<br />
v x<br />
Roottori kuvaa vektorikentän pyörteisyyttä:<br />
Esim. v = xi+yj+zk<br />
∇·v = 3 lähde (kaikilla r!)<br />
∇×v = i(∂ y z −∂ z y)−j(∂ x z −∂ z x)+k(∂ x y −∂ y x) = 0<br />
Kyseessä on pyörteetön kenttä<br />
Esim. v = −yi+xj<br />
∇·v = 0 lähteetön<br />
∇×v = 2k ≠ 0, pyörre<br />
Esim. Maxwellin yhtälöt:kuvaavat sähködynamiikkaa<br />
∇·E = 1 ǫ 0<br />
ρ<br />
∇·B = 0<br />
∇×B− 1 c 2 ∂E<br />
∂t = µ 0j<br />
∇×E+ ∂B<br />
∂t = 0<br />
E sähkö, B magneettikenttä, ρ sähkövaraustiheys, j<br />
sähkövirrantiheys, c valon nopeus, ǫ 0 tyhjiön<br />
permittiivisyys ja µ 0 permeabiliteetti (vakioita).<br />
Vektorikenttä v on pyörteetön, jos ∇×v = 0.<br />
Esim. r on pyörteetön:<br />
∇×r =<br />
∣<br />
i j k<br />
∂ x ∂ y ∂ z<br />
x y z ∣ = 0<br />
Esim. Gradientti ∇f(r) on pyörteetön:<br />
∇×(∇f) = (∇×∇)f = 0<br />
(näin voidaan tehdä, sillä ∇:n vektorikomponentit<br />
menevät tavallisen ristitulon tapaan, ja derivaatat kaikki<br />
vaikuttavat f:ään.)<br />
Huom: usein käytetään derivaattaoperaattoreita v·∇ ja<br />
v×∇. Näissä ei derivoida v:tä, derivaatta ei ole vielä<br />
operoinut! Siis esim.<br />
v·∇ = ∑ i v i∂ i<br />
v×∇ = i(v y ∂ z −v z ∂ y )+j...<br />
Laplacen operaattori<br />
Määritellään<br />
∇·∇ ≡ ∇ 2 = ∂ 2 x +∂ 2 y +∂ 2 z = ∑ i<br />
∂ 2<br />
∂r 2 i<br />
Tämä on skalaaridifferentiaalioperaattori, jota käytetään<br />
usein fysiikassa.<br />
Roottori mikroskooppisesti<br />
Tarkastellaan jälleen ρ-tiheyksisen nesteen virtausta. Kun<br />
virtausnopeus pisteessä r = (x,y,z) on v(r), on µ = ρv<br />
massavirtatiheys tässä pisteessä. Tutkitaan tällä kertaa, miten<br />
pyörteellistä virtaus on. Katsotaan esimerkkinä pisteen (x,y,z)<br />
ympäri kiertyvää virtausta. Lasketaan erikseen nettokiertymät<br />
kunkin koordinaattitason suuntaisissa virtauksissa, esimerkkinä<br />
54
xy-tason suuntainen taso.<br />
O N @ N O <br />
N N O @ O <br />
N O <br />
N N O @ O <br />
Kuva 7.6 Virtauksen kiertymä<br />
O N @ N O <br />
Kuvitellaaan piste (x,y,z) (kuvassa z-koordinaattia ei ole<br />
merkitty) sijoitetuksi tässä tasossa dxdy-sivuisen suorakaiteen<br />
keskelle. Suorakaiteen alalaidalla kokonaisvirtaus positiiviseen<br />
kiertosuuntaan on µ x(x,y −dy/2,z)dx, oikeanpuoleista laidalla<br />
µ y(x+dx/2,y,z)dy, ylälaidalla −µ x(x,y +dy/2,z)dx ja<br />
vasemmanpuoleisella laidalla −µ y(x−dx/2,y,z)dy. z-akselin<br />
ympäri kiertyvä kokonaisvirtaus dS z (kg/(ms)) on näiden neljän<br />
termin summa<br />
dS z<br />
= µ x(x,y −dy/2,z)dx+µ y(x+dx/2,y,z)dy<br />
−µ x(x,y +dy/2,z)dx−µ y(x−dx/2,y,z)dy<br />
= [µ y(x+dx/2,y,z)−µ y(x−dx/2,y,z)]dy<br />
−[µ x(x,y +dy/2,z)−µ x(x,y −dy/2,z)]dx<br />
= ∂µy ∂µx<br />
dxdy −<br />
∂x ∂y dydx<br />
[ ] ∂µy<br />
=<br />
∂x − ∂µx dxdy. (7.18)<br />
∂y<br />
Jakamalla tämä suorakaiteen pinta-alalla dxdy saamme z-akselin<br />
ympäri aikayksikössä kiertyväksi massatiheydeksi<br />
s z = dSz<br />
dxdy = ∂µy<br />
∂x − ∂µx<br />
∂y .<br />
Menettelemme samoin kuin kulmanopeuden tapauksessa ja<br />
muodostamme pyörteisyydeksi sanotun vektorisuureen s z, jonka<br />
pituus ilmoittaa aikayksikössä kiertyvän massatiheyden määrän ja<br />
suunta kiertoakselin, ts.<br />
[ ] ∂µy<br />
s z = s zk =<br />
∂x − ∂µx k.<br />
∂y<br />
Vastaavasti x- ja y-akseleiden suuntaiset pyörteisyydet ovat<br />
[ ] ∂µz<br />
s x =<br />
∂y − ∂µy i<br />
∂z<br />
[ ] ∂µx<br />
s y =<br />
∂z − ∂µz j.<br />
∂x<br />
Vektoreiden s x, s y ja s z resultantin s pituus kertoo silloin<br />
pisteeseen (x,y,z) asetetun resultanttivektorin ympäri<br />
aikayksikössä kiertyvän massatiheyden kokonaismäärän.<br />
Virtauskentän pyörteisyys on siis<br />
[ ∂µz<br />
s =<br />
∂y − ∂µy<br />
∂z<br />
[ ∂µy<br />
+<br />
∂x − ∂µx<br />
∂y<br />
] [ ∂µx<br />
i+<br />
]<br />
k.<br />
∂z − ∂µz<br />
∂x<br />
]<br />
j<br />
Nähdään helposti että s voidaan kirjoittaa determinantin avulla<br />
muotoon<br />
∣ i j k ∣∣∣∣<br />
s ∂ ∂ ∂<br />
=<br />
∂x ∂y ∂z = ∇×µ<br />
∣ µ x µ y µ z<br />
Siis s on µ:n roottori.<br />
Laskusääntöjä<br />
Nablalle on helppo näyttää mm. seuraavat laskusäännöt:<br />
∇(a+b) = ∇a+∇b<br />
∇(ab) = (∇a)b+a(∇b)<br />
∇·(u+v) = ∇·u+∇·v<br />
∇·(au) = (∇a)·u+a∇·⃗u<br />
∇×(u+v) = ∇×u+∇×v<br />
∇×(au) = (∇a)×u+a∇×u<br />
∇×(∇a) = ∇×∇a = 0 eli ∇a on pyörteetön<br />
∇·(∇×v) = (∇×∇)·v = 0 eli ∇×v on lähteetön<br />
(tässä käytettiin skalaarikolmituloa,<br />
a·(b×c) = (a×b)·c<br />
Joskus esiintyy myös<br />
∇×(∇×u) = ∇(∇·u)−(∇·∇)u<br />
missä käytettiin vektorikolmitulon laskusääntöä.<br />
Siis sääntö: derivaattaosa - käytä derivoimissääntöjä,<br />
vektoriosa - vektoreiden laskusääntöjä.<br />
Huom: jos kehität ∇-lausekkeita skalaari- tai kolmitulon<br />
avulla, muista järjestys:<br />
Esim: u×(∇×v) = ∇(u c ·v)−(u·∇)v<br />
missä siis u c pidetään vakiona derivoinnissa.<br />
Samoin esim.<br />
∇·(u×v) = ∇·(u×v c )+∇·(u c ×v) = v·(∇×u)+u·(∇×v).<br />
Esim. Olkoon u = xyi+yzj+zxk.Nyt<br />
∇×(∇×u) = ∇(∇·u)−∇ 2 u = ∇(y+z+x)−0 = i+j+k<br />
Tai suoraan<br />
∇×u =<br />
∣<br />
ja<br />
∇×(∇×u) =<br />
∣<br />
i j k<br />
∂ x ∂ y ∂ z<br />
xy yz zk<br />
i j k<br />
∂ x ∂ y ∂ z<br />
−y −z −x<br />
= −iy −jz −kx<br />
∣<br />
Esim. ∇×A pisteessä (1−1,1), kun<br />
A = xz 3 i−2x 2 yzj+2yz 4 k<br />
Nyt<br />
( ∂<br />
∇×A =<br />
∂x i+ ∂ ∂y j+ ∂ )<br />
∂z k ×<br />
=<br />
=<br />
∣ = i+j+k<br />
(xz 3 i−2x 2 yzj+2yz 4 k)<br />
∣ i j k ∣∣∣∣∣<br />
∂ ∂ ∂<br />
∂x ∂y ∂z<br />
∣ xz 3 −2x 2 yz 2yz 4<br />
[ ∂<br />
∂y (2yz4 )− ∂ yz)]<br />
∂z (−2x2 i<br />
[ ∂<br />
−<br />
∂x (2yz4 )− ∂ ]<br />
∂z (xz3 ) j<br />
[ ∂<br />
+<br />
∂x (−2x2 yz)− ∂ ]<br />
∂y (xz3 ) k<br />
55
= (2z 4 +2x 2 y)i+3xz 2 j−4xyzk<br />
= (2(1) 4 +2(1) 2 (−1))i+3(1)(1) 2 j<br />
−4(1)(−1)(1)k<br />
= 3j+4k.<br />
Esim. ∇×(∇×A), kun A = x 2 yi−2xzj+2yzk<br />
Nyt<br />
i j k<br />
∇×(∇×A) = ∇×<br />
∂ ∂ ∂<br />
∂x ∂y ∂z<br />
∣ x 2 y −2xz 2yz ∣<br />
= ∇×[(2x+2z)i−(x 2 +2z)k]<br />
i j k<br />
=<br />
∂ ∂ ∂<br />
∂x ∂y ∂z<br />
∣ 2x+2z 0 −x 2 −2z ∣<br />
= (2x+2)j.<br />
ja<br />
∇ 21 r = ∇·(∇1 r ) = ∇·( r r 3) = 3 r 3 −3 r r 4 · r<br />
r = 0<br />
Jos pätee ∇ 2 f = 0, funktio f(r) on harmoninen.<br />
Samoin edelleen<br />
∇ 2 f(r) = ∇·∇f(r) = ∇·(f ′ (r) r r )<br />
= f ′′ (r) r r )· r<br />
r +f′ (r) 3 r −f′ (r) r r 2 · r<br />
r<br />
= f ′′ (r)+ 2 r f′ (r)<br />
7.2.4 Paikkavektorin derivaatat<br />
Paikkavektori on<br />
r = xi+yj+zk, r = √ x 2 +y 2 +z 2 = |r|<br />
Nyt saamme heti tulokset<br />
∇·r = ∑ i<br />
∂ i r i = ∑ i<br />
1 = 3 (7.19)<br />
∇×r = 0 (ks. aiemmin) (7.20)<br />
∇r = r = ˆr r:n suuntainen 1-vektori (7.21)<br />
r<br />
Viimeisin tulee siitä, että<br />
∂ x r = 1 2 (x2 +y 2 +z 2 ) −1/2 2x = x/r, joten<br />
∇r = ∑ i<br />
ê i ∂ i r = ∑ i<br />
ê i<br />
r i<br />
r = r r<br />
Jos nyt f(r) on r:n funktio, niin ketjusääntö saa muodon<br />
∇f(r) = f ′ (r)∇r = f ′ (r) r r<br />
Tämä tulee suoraan tavallisesta ketjusäännöstä:<br />
i∂ x f(r) = if ′ (r)∂ x r = if ′ (r)r/r.<br />
Näin esim<br />
∇·(rf(r)) = ∂ x (xf(r))+∂ y (yf(r))+∂ z (zf(r))<br />
tai suoraan:<br />
= 3f(r)+xf ′ (r) x r +yf′ (r) y r +zf′ (r) z r<br />
= 3f(r)+rf ′ (r)<br />
∇·(rf(r)) = f(r)∇·r+r·∇f(r) = 3f(r)+rf ′ (r)<br />
Usein tavataan<br />
∇ 1 r = d dr<br />
( 1<br />
r)<br />
∇r = − 1 r 2 r<br />
r = − r r 3<br />
56
+<br />
.<br />
)<br />
*<br />
8. Viiva-, pinta- ja<br />
tilavuusintegrointi<br />
8.1 Viivaintegraali<br />
Luvussa 7.1.2 käsiteltiin viivan pituuden integrointia.<br />
Tässä luvussa yleistetään integrointi avaruuskäyrää,<br />
viivaa pitkin. Olkoon meillä käyrä C, jonka piirtää<br />
paikkavektori<br />
r = r(u) = x(u)i+y(u)j+z(u)k.<br />
Oletamme edelleen, että pistettä A vastaa paikkavektori<br />
r(a) ja pistettä B paikkavektori r(b). Käyrällä C laskettu<br />
differentiaali dr on<br />
dr = idx+jdy +kdz = dr<br />
du du<br />
ja osoittaa, kuten aiemmin olemme nähneet (ks. (7.4)),<br />
käyrän tangentin suuntaan.<br />
Käyrää C pitkin voidaan muodostaa useita viiva- eli<br />
polkuintegraaleja:<br />
Jos f(r) on skalaarifunktio, saamme f:n integraalin<br />
viivan pituuden suhteen<br />
missä<br />
∫<br />
C<br />
f(r)ds =<br />
∣ √<br />
ds ∣∣∣<br />
du = dr<br />
( du∣ = dr x<br />
du<br />
∫ b<br />
a<br />
f(r) ds<br />
du du<br />
) 2<br />
+<br />
(dr y<br />
du<br />
) 2 (dr z<br />
) 2<br />
+<br />
du<br />
Jos f(r) = 1, integraali antaa käyrän C pituuden.<br />
Jos nyt F(r) on vektorifunktio, saamme erittäin yleisen<br />
viivaintegraalin<br />
) *<br />
H = <br />
H > <br />
@ H<br />
H K <br />
Kuva 8.1 Viivaintegraali<br />
∫<br />
C<br />
F(r)·dr<br />
∫<br />
= (F x dx+F y dy +F z dz) (8.1)<br />
=<br />
C<br />
∫ b<br />
a<br />
(<br />
dx(u)<br />
F x<br />
du +F dy(u)<br />
y<br />
du +F z<br />
)<br />
dz(u)<br />
du.<br />
du<br />
Geometrisesti viivaintegraali ∫ F·dr tarkoittaa vektorin<br />
C<br />
F käyrän C tangentin suuntaisten projektioiden summaa.<br />
Integrointitiellä on määrätty suunta: kussakin käyrän<br />
pisteessä etenemissuunta on sama kuin käyrällä lasketun<br />
differentiaalin suunta. Kun siis tien C kuvaaja on<br />
r = r(u), niin integrointi etenee parametrin u kasvavaan<br />
suuntaan. Jos nyt −C on muuten sama käyrä kuin C<br />
mutta suunnaltaan päinvastainen, niin näemme että<br />
∫ ∫<br />
F·dr = − F·dr, (8.2)<br />
−C<br />
sillä käyrällä C laskettu differentiaali on<br />
vastakkaisuuntainen käyrällä −C lasketulle<br />
differentiaalille.<br />
H = H = > > <br />
+ H K <br />
+ H = > K <br />
Kuva 8.2 Suunnan vaihto<br />
C<br />
H > H = > = <br />
Kuvassa integroinnin alku- ja loppupisteitä yhdistävä tie<br />
on C : r(u). Kuvan mukaisesti pistettä A vastaa<br />
paikkavektori r(a) ja pistettä B paikkavektori r(b). Jos<br />
nyt a > b, niin käyrän ja siis integroinnin suunta on<br />
pisteestä A pisteeseen B. Integroinnin suunnan kääntö<br />
voidaan toteuttaa helposti esimerkiksi vaihtamalla<br />
parametri u käyrän C kuvaajassa parametriksi a+b−u,<br />
ts. käännettyä integrointisuuntaa vastaava tie on<br />
−C : p(u) = r(a+b−u).<br />
Vielä selvemmäksi geometrinen merkitys käy, kun<br />
kirjoitamme differentiaalin dr muotoon<br />
dr = T(r)ds.<br />
Tässä T on käyrän yksikkötangentti ja s käyrän kaaren<br />
pituus (mitattuna jostakin pisteestä). Viivaintegraalissa<br />
esiintyvä skalaaritulo on tällöin<br />
F(r)·dr = |F(r)||T(r)|cosθds = F(r)cosθds,<br />
missä θ on vektorin F ja integrointitien tangentin välinen<br />
kulma. Viivaintegraali saadaan nyt muotoon<br />
∫ ∫<br />
F(r)·dr = F(r)cosθds.<br />
C<br />
Tästä muodosta nähdään esimerkiksi, että vektorin F<br />
ollessa massapisteeseen vaikuttava voima tarkoittaa<br />
viivaintegraali tehtyä työtä siirrettäessä massapistettä<br />
pitkin käyrää C.<br />
Esim. Integraali ∫ F·dr pitkin xy-tason käyrää y = 2x2<br />
C<br />
pisteestä (0,0) pisteeseen (1,2), kun F = 3xyi−y 2 j<br />
Parametrisoidaan käyrä C siten, että x = t ja y = 2t 2 .<br />
Tällöin alkupisteessä t = 0 ja loppupisteessä t = 1.<br />
C<br />
57
)<br />
)<br />
*<br />
*<br />
Differentiaali dr on<br />
dr = dxi+dyj<br />
(<br />
= i dx )<br />
dt +jdy dt<br />
dt<br />
= (i+4tj)dt.<br />
Viivaintegraali on siis<br />
∫ ∫<br />
F·dr = (3xyi−y 2 j)·(dxi+dyj)<br />
C<br />
=<br />
=<br />
=<br />
C<br />
∫ 1<br />
0<br />
∫ 1<br />
0<br />
(3(t)(2t 2 )i−(2t 2 ) 2 j)·(i+4tj)dt<br />
(6t 3 −16t 5 )dt =<br />
[ 3<br />
2 − 8 3]<br />
−[0] = − 7 6 .<br />
1/ [ 6<br />
4 t4 − 16 ]<br />
6 t6<br />
Käyrää parametrisoivaksi muuttujaksi voidaan usein<br />
ottaa jokin muuttujista x, y tai z. Esimerkiksi xy-tason<br />
käyrät esitetään monesti muodossa<br />
y = y(x).<br />
Esim. Integraali ∫ F·dr pitkin xy-tason käyrää y = 2x2<br />
C<br />
pisteestä (0,0) pisteeseen (1,2), kun F = 3xyi−y 2 j<br />
Otetaan käyrää C parametrisoivaksi muuttujaksi x,<br />
jolloin y = 2x 2 . Alkupisteessä x = 0 ja loppupisteessä<br />
x = 1. Differentiaali dr on<br />
dr = dxi+dyj<br />
= dxi+j dy<br />
dx dx<br />
= (i+4xj)dx.<br />
Viivaintegraali on siis<br />
∫ ∫<br />
F·dr = (3xyi−y 2 j)·(dxi+dyj)<br />
C<br />
=<br />
=<br />
=<br />
C<br />
∫ 1<br />
0<br />
∫ 1<br />
0<br />
(3x(2x 2 )i−(2x 2 ) 2 j)·(i+4xj)dx<br />
(6x 3 −16x 5 )dx =<br />
[ 3<br />
2 − 8 3]<br />
−[0] = − 7 6 .<br />
0<br />
1/<br />
0<br />
[ 6<br />
4 x4 − 16<br />
6 x6 ]<br />
Esim. Tehty työ siirrettäessä kappale xy-tasossa pisteestä<br />
A = (0,0) pisteeseen B = (2,1), kun kappaleeseen<br />
vaikuttava voima on F = xyi−y 2 j<br />
Nyt<br />
F·dr = (xyi−y 2 j)·(dxi+dyj) = xydx−y 2 dy.<br />
Tehty työ on<br />
∫<br />
W =<br />
C<br />
∫<br />
F·dr =<br />
a) Otetaan integrointitieksi suora<br />
jolloin<br />
C<br />
y = 1 2 x,<br />
dy = 1 2 dx.<br />
O N <br />
Kuva 8.3 Integrointitie a)<br />
Tehty työ on nyt<br />
W a =<br />
=<br />
=<br />
∫<br />
C<br />
∫ 2<br />
0<br />
∫ 2<br />
0<br />
(xydx−y 2 dy).<br />
(xydx−y 2 dy)<br />
[<br />
x 1 ( ) ] 2 1<br />
2 xdx− 2 x 1<br />
2 dx<br />
3<br />
8 x2 dx =<br />
2/<br />
0<br />
x 3<br />
8 = 1.<br />
b) Integroidaan ensin pitkin y-akselia pisteestä (0,0)<br />
pisteeseen (0,1) ja sitten x-akselin suuntaisesti pisteestä<br />
(0,1) pisteeseen (2,1).<br />
Kuva 8.4 Integrointitie b)<br />
Reitillä (0,0) → (0,1) on x = 0 ja dx = 0. Reitillä<br />
(0,1) → (2,1) taas on y = 1 ja dy = 0. Työ on siten<br />
W b =<br />
∫ 1<br />
y=0<br />
∫ 2<br />
+<br />
((0)y(0)−y 2 dy)<br />
x=0<br />
(x(1)dx−(1)(0))<br />
58
=<br />
1/<br />
0<br />
) (− y3<br />
+<br />
3<br />
2/<br />
0<br />
x 2<br />
2 = −1 3 +2 = 5 3 .<br />
Konservatiiviset kentät<br />
Edellisen esimerkin tapauksessa tehty työ riippui<br />
siirtoreitistä. Toisaalta hyvin monissa kiinnostavissa<br />
fysikaalisissa syteemeissä työ riippuu ainoastaan<br />
siirroksen alku- ja loppupisteistä mutta ei lainkaan näitä<br />
pisteitä yhdistävästä reitistä. Tällöin siis pisteitä P 1 ja P 2<br />
yhdistävää käyrää myöten laskettu voiman F<br />
viivaintegraali<br />
W =<br />
∫ P2<br />
P 1<br />
F·dr<br />
on tiestä riippumaton ja voimakentän F sanotaan olevan<br />
konservatiivinen.<br />
Oletetaan nyt, että kenttä F on konservatiivinen. Silloin<br />
pisteitä P 1 = (x 1 ,y 1 ,z 1 ) ja P = (x,y,z) yhdistävää tietä<br />
myöten laskettu viivaintegraali<br />
φ(x,y,z) =<br />
∫ (x,y,z)<br />
(x 1,y 1,z 1)<br />
F·dr<br />
määrittelee yksikäsitteisesti integrointitiestä<br />
riippumattoman ja vain integroinnin loppupisteestä<br />
(pidetään alkupistettä kiinnitettynä) riippuvan<br />
skalaarikentän φ. Olkoon<br />
r = u(t)<br />
jokin sellainen pisteitä P 1 ja P yhdistävä käyrä, että<br />
(x 1 ,y 1 ,z 1 ) = u(t 1 ) ja (x,y,z) = u(t).<br />
Tällä käyrällä on<br />
dr = du<br />
dt dt,<br />
joten tätä käyrää myöten laskettuna kentän φ arvoksi<br />
saadaan ∫ t<br />
φ(x,y,z) = F· du<br />
t 1<br />
dt dt.<br />
Kentän φ argumentteja voidaan näin pitää<br />
integrointimuuttujan t funktioina. Tällöin ensinnäkin<br />
integraalifunktion määritelmän (4.1) mukaan on<br />
dφ<br />
dt<br />
= F· du<br />
dt .<br />
Toiseksi, koska kentän φ differentiaali käyrällä r = u(t) on<br />
dφ = ∇φ·du,<br />
derivaatta parametrin t suhteen on kirjoitettavissa myös<br />
muotoon<br />
dφ du<br />
= ∇φ·<br />
dt dt .<br />
Näemme siis, että kenttä φ toteuttaa ehdon<br />
∇φ· du<br />
dt<br />
= F· du<br />
dt<br />
tai<br />
(∇φ−F)· du<br />
dt = 0.<br />
Koska u(t) oli mielivaltainen pisteitä P 1 ja P yhdistävä<br />
käyrä, täytyy olla<br />
F = ∇φ.<br />
Konservatiivinen kenttä on siis esitettävissä jonkin<br />
skalaarikentän gradienttina.<br />
Oletetaan nyt, että vektorikenttä F on skalaarikentän φ<br />
gradientti, ts.<br />
F = ∇φ.<br />
Lasketaan pisteestä P 1 pisteeseen P 2 pitkin käyrää C<br />
viivaintegraalia<br />
W =<br />
∫ P2<br />
P 1<br />
F·dr =<br />
∫ P2<br />
Skalaarifunktion φ differentiaali on<br />
P 1<br />
∇φ·dr.<br />
dφ(x,y,z) = ∇φ·dr,<br />
joten työ W on kirjoitettavissa muotoon<br />
Olkoon nyt<br />
W =<br />
∫ P2<br />
P 1<br />
dφ.<br />
r = r(t)<br />
sellainen käyrän C parametriesitys, että<br />
(x 1 ,y 1 ,z 1 ) = r(t 1 ) ja (x 2 ,y 2 ,z 2 ) = r(t 2 ).<br />
Tällä käyrällä kenttä φ saa arvot φ(x(t),y(t),z(t)) eli<br />
voimme pitää käyrällä kenttää yhden muuttujan t<br />
funktiona<br />
ψ(t) = φ(x(t),y(t),z(t)).<br />
Käyrällä laskettu differentiaali on<br />
dφ = dψ(t) = dψ(t) dt,<br />
dt<br />
eli pitkin käyrää C tehty työ on nyt<br />
W =<br />
∫ P2<br />
P 1<br />
dφ =<br />
∫ t2<br />
t 1<br />
dψ(t)<br />
dt<br />
dt<br />
= t2<br />
/<br />
t 1<br />
ψ(t) = ψ(t 2 )−ψ(t 1 )<br />
= φ(x 2 ,y 2 ,z 2 )−φ(x 1 ,y 1 ,z 1 ).<br />
Integraalin arvo riippuu näin ollen ainoastaan<br />
päätepisteistä eikä lainkaan valitusta integrointitiestä.<br />
59
Olemme johtaneet lauseen<br />
Integraali ∫ P 2<br />
P 1<br />
F·dr on riippumaton integrointitiestä (ts.<br />
F on konservatiivinen) jos ja vain jos kenttä F on<br />
esitettävissä jonkin skalaarifunktion φ gradienttina<br />
F = ∇φ.<br />
Eräs operaattoriin ∇ liittyvä ominaisuus oli<br />
∇×(∇φ) = 0<br />
olipa φ mikä tahansa skalaarikenttä. Jos siis kenttä F on<br />
konservatiivinen ja siten ilmaistavissa jonkin<br />
skalaarikentän gradienttina, sen roottori häviää:<br />
∇×F = 0.<br />
Oletetaan nyt että kentän F roottori on nolla, ts.<br />
∣ i j k ∣∣∣∣∣<br />
∇×F =<br />
∂ ∂ ∂<br />
∂x ∂y ∂z<br />
∣ F x F y F z<br />
( ∂Fz<br />
=<br />
∂y − ∂F ) (<br />
y ∂Fx<br />
i+<br />
∂z ∂z − ∂F z<br />
∂x<br />
+<br />
= 0.<br />
( ∂Fy<br />
∂x − ∂F x<br />
∂y<br />
)<br />
k<br />
)<br />
j<br />
Kentän komponenttien osittaisderivaatat toteuttavat siis<br />
ehdot<br />
∂F z<br />
∂y = ∂F y<br />
∂z , ∂F x<br />
∂z = ∂F z<br />
∂x ja ∂F y<br />
∂x = ∂F x<br />
∂y .<br />
Lasketaan viivaintegraali<br />
∫ ∫<br />
F·dr = (F x dx+F y dy +F z dz)<br />
C<br />
C<br />
pisteestä P 1 = (x 1 ,y 1 ,z 1 ) pisteeseen P = (x,y,z) pitkin<br />
käyrää C. Valitaan erikoisesti täksi käyräksi<br />
koordinaattiakselien suuntaiset viivasegmentit pisteestä<br />
(x 1 ,y 1 ,z 1 ) pisteeseen (x,y 1 ,y 2 ), siitä pisteeseen (x,y,z 1 )<br />
ja tästä lopuksi pisteeseen (x,y,z). Olkoon φ(x,y,z) tätä<br />
käyrää myöten laskettu viivaintegraalin arvo, ts.<br />
φ(x,y,z) =<br />
∫ x<br />
+<br />
+<br />
x 1<br />
F x (x,y 1 ,z 1 )dx<br />
∫ y<br />
y 1<br />
F y (x,y,z 1 )dy<br />
∫ z<br />
z 1<br />
F z (x,y,z)dz.<br />
Tästä esityksestä funktion φ osittaisderivaataksi<br />
muuttujan z suhteen saadaan<br />
∂φ<br />
∂z = F z(x,y,z).<br />
Muuttujan y suhteen osittaisderivaatta on<br />
∂φ<br />
∂y<br />
= F y (x,y,z 1 )+<br />
= F y (x,y,z 1 )+<br />
∫ z<br />
∂F z (x,y,z)<br />
dz<br />
z 1<br />
∂y<br />
∂F y (x,y,z)<br />
dz<br />
z 1<br />
∂z<br />
∫ z<br />
= F y (x,y,z 1 )+ z /<br />
z 1<br />
F y (x,y,z)<br />
= F y (x,y,z 1 )+F y (x,y,z)−F y (x,y,z 1 )<br />
= F y (x,y,z),<br />
missä olemme käyttäneet hyväksi roottorin häviämisestä<br />
seuranneita ehtoja.<br />
Funktion φ osittaisderivaatta muuttujan x suhteen on<br />
∂φ<br />
∂x = F x(x,y 1 ,z 1 )+<br />
+<br />
∫ z<br />
∫ y<br />
∂F z (x,y,z)<br />
dz<br />
z 1<br />
∂x<br />
= F x (x,y 1 ,z 1 )+<br />
∫ z<br />
+<br />
∂F y (x,y,z 1 )<br />
y 1<br />
∂x<br />
∫ y<br />
∂F x (x,y,z)<br />
z 1<br />
∂z<br />
∂F x (x,y,z 1 )<br />
y 1<br />
∂y<br />
dz<br />
= F x (x,y 1 ,z 1 )+ y /<br />
y 1<br />
F x (x,y,z 1 )+ z /<br />
z 1<br />
F x (x,y,z)<br />
= F x (x,y 1 ,z 1 )+F x (x,y,z 1 )−F x (x,y 1 ,z 1 )<br />
+F x (x,y,z)−F(x,y,z 1 )<br />
= F x (x,y,z),<br />
missä jälleen olemme käyttäneet osittaisderivaattojen<br />
välisiä ehtoja.<br />
Kenttä F voidaan siis kirjoittaa muodossa<br />
F = ∂φ ∂φ ∂φ<br />
i+ j+<br />
∂x ∂y ∂z k = ∇φ.<br />
Skalaarikentän gradienttina kenttä F on siten edellisen<br />
lauseemme mukaisesti konservatiivinen.<br />
Olemme saaneet kentän konservatiivisuudelle kätevän<br />
kriteerin:<br />
Vektorikenttä on konservatiivinen (ts. esitettävissä<br />
skalaarifunktion gradienttina) jos ja vain jos sen roottori<br />
häviää.<br />
Lausetta ∫ johtaessamme muodostimme sellaisia derivaattoja kuin<br />
∂<br />
∂y φ(x,y)dx siirtämällä derivoinnin integraalin sisälle, ts.<br />
∫ ∫<br />
∂ ∂φ(x,y)<br />
φ(x,y)dx = dx.<br />
∂y<br />
∂y<br />
Tämä on sallittua silloin kun integraalit ovat kyllin<br />
”siistejä”(tasaisesti suppenevia). Fysikaalisissa systeemeissä<br />
voidaan useimmiten näin olettaa.<br />
Konservatiivista kenttää vastaavaa skalaarifunktiota<br />
sanotaan kentän potentiaaliksi.<br />
dy<br />
dy<br />
60
Jos integrointitie C on suljettu, ts. integrointitien<br />
alkupiste yhtyy loppupisteeseen, on viivaintegraalista<br />
tapana käyttää merkintää<br />
∮ ∫<br />
F·dr = F·dr. (8.3)<br />
C<br />
Jos kenttä on konservatiivinen, niin pitkin mitä tahansa<br />
suljettua käyrää C myöten laskettu viivaintegraali on<br />
nolla, ∮<br />
F·dr = 0. (8.4)<br />
C<br />
Tämä on voimassa myös toisin päin. Oletetaan siis, että<br />
mitä tahansa suljettua käyrää myöten laskettu<br />
viivaintegraali häviää. Olkoot P a ja P b kaksi avaruuden<br />
pistettä ja C 1 jokin pisteestä P a pisteeseen P b kulkeva<br />
käyrä. Jos C 2 on jokin toinen käyrä välillä P a −→ P b , niin<br />
∫ ∫ ∮<br />
F·dr− F·dr = F·dr<br />
C 1 C 2 C<br />
= 0,<br />
kun C on yhdistetty suljettu käyrä<br />
C<br />
P a −→<br />
C1<br />
P b −→<br />
−C2<br />
P a .<br />
Viivaintegraali<br />
∫ Pb<br />
∫ ∫<br />
F·dr = F·dr = F·dr<br />
P a C 1 C 2<br />
ei siis riipu lainkaan integrointitiestä, joten kenttä F on<br />
konservatiivinen.<br />
Esim. Onko kenttä F = (2xy +z 3 )j+x 2 j+3xz 2 k<br />
konservatiivinen?<br />
Lasketaan kentän roottori<br />
∣ i j k ∣<br />
∇×F =<br />
=<br />
∂ ∂ ∂<br />
∂x ∂y ∂z<br />
∣ 2xy +z 3 x 2 3xz2 ∣<br />
( ∂(3xz 2 )<br />
)<br />
− ∂(x2 )<br />
i<br />
∂y ∂z<br />
( ∂(2xy +z 3 )<br />
+ − ∂(3xz2 )<br />
∂z ∂x<br />
( ∂(x 2 )<br />
+<br />
∂x − ∂(2xy )<br />
+z3 )<br />
k<br />
∂y<br />
= 0,<br />
)<br />
j<br />
joten kenttä F on konservatiivinen.<br />
Esim. Kenttää F = (2xy +z 3 )j+x 2 j+3xz 2 k vastaava<br />
skalaaripotentiaali<br />
Edellisen esimerkin perusteella F on konservatiivinen,<br />
joten on olemassa sellainen potentiaali φ, että<br />
F = ∇φ.<br />
On siis etsittävä sellainen φ, että<br />
∂φ<br />
∂x<br />
∂φ<br />
∂y<br />
∂φ<br />
∂z<br />
= 2xy +z3<br />
= x 2<br />
= 3xz 2 .<br />
Integroimalla nämä lausekkeet saamme<br />
⎧<br />
⎨ x 2 y + xz 3 + f(y,z)<br />
φ = x 2 y + g(x,z)<br />
⎩<br />
xz 3 + h(x,y)<br />
Tulokset ovat yhtäpitäviä, kun valitsemme f(y,z) = 0,<br />
g(x,z) = xz 3 ja h(x,y) = x 2 y. Haettu skalaaripotentiaali<br />
on siis<br />
φ = x 2 y +xz 3 ,<br />
mihin voidaan vielä lisätä mielivaltainen vakio.<br />
Esim. Tehty työ siirrettäessä massapistettä pisteestä<br />
P 1 = (1,−2,1) pisteeseen P 2 = (3,1,4), kun vaikuttava<br />
voima on F = (2xy +z 3 )j+x 2 j+3xz 2 k<br />
Konservatiivista kenttää F vastaava skalaaripotentiaali on<br />
edellisen esimerkin perusteella<br />
φ = x 2 y +xz 3 .<br />
Voiman konservatiivisuudesta johtuen tehty työ on<br />
∫ P2<br />
W = F·dr = φ(3,1,4)−φ(1,−2,1)<br />
P 1<br />
= 201−(−1) = 202.<br />
Muita viivaintegraaleja<br />
Edellä käsittelimme integraaleja ∫ C fds ∫ C F·dr.<br />
Muunkinnäköisiä yhdistelmiä esiintyy:<br />
∫ ∫ ∫<br />
fdr, Fds, F×dr<br />
C<br />
C<br />
Nämä kaikki muunnetaan tavallisiksi integraaleiksi<br />
käyräparametrin u yli: r(u) = (x(u),y(u),z(u)). Näistä<br />
esim<br />
∫<br />
C<br />
F×dr =<br />
∫ b<br />
a<br />
∫ b<br />
a<br />
F× dr ∫ b<br />
du du = a ∣<br />
C<br />
[i(F y z ′ −F z y ′ )+j...]<br />
i j k<br />
F x F y F z<br />
x ′ y ′ z ′ ∣ ∣∣∣∣∣<br />
du =<br />
Esim. (x,y)-tason käyrän C rajoittaman alueen<br />
ala:Olkoon r käyrän C koordinaattivektori, ja dr<br />
differentiaali C:n suuntaisesti. Näiden vektoreiden<br />
61
virittämän kolmion ala on 1 2<br />
|r×dr|. Koko alueen ala<br />
saadaan integroimalla (piirrä kuva!)<br />
1<br />
2<br />
∮<br />
C(r×dr) z = 1 2<br />
∮<br />
C<br />
(xdy −ydx)<br />
Tämä toimii riippumatta siitä onko origo käyrän C sisällä<br />
vai ei.<br />
8.2 Pintaintegraali tasoalueen yli<br />
Olkoon meillä funktio f(x,y) jonka haluamme integroida<br />
yli tason alueen A:<br />
y (x)<br />
2<br />
y-akselin (vakio x) suuntaiset suorat enintään 2 kertaa.<br />
Jos näin ei ole, alue täytyy joko jakaa kahteen tai<br />
useampaan säännölliseen osaan tai vaihtaa<br />
integroimismuuttujia. Usein riittä että vaihdetaan vain x,<br />
y-integrointijärjestystä.<br />
8.2.1 Muuttujien vaihto pintaintegraalissa<br />
Usein kannattaa vaihtaa koordinaatistosysteemi johonkin<br />
muuhun kuin karteesiseen (x,y)-koordinaatistoon,<br />
integroimisalueen tai funktion mukaan. (esim. integraali<br />
riippuu vain vektorin r pituudesta, ei suunnasta).<br />
1-ulotteisessa tapauksessa muuttujan vaihto x → u<br />
tapahtui muuttamalla differentiaalia: du = du<br />
dxdx. Tämä<br />
yleistyy myös tasolle (tai useampaankin ulottuvuuteen:<br />
jos vaihdetaan muuttujat (x,y) ↔ (u,v), niin<br />
y<br />
v<br />
y (x)<br />
1<br />
x<br />
x<br />
1 2<br />
Kuva 8.5 Pintaintegraali<br />
I =<br />
=<br />
∫<br />
A<br />
∫ x2<br />
∫ ∫<br />
f(x,y)da = f(x,y)dxdy<br />
x 1<br />
dx<br />
∫ y2(x)<br />
y 1(x)<br />
dyf(x,y)<br />
Tämä palautuu siis kahdeksi sisäkkäiseksi integraaliksi.<br />
Tässä da = dxdy on infintesimaalinen pinta-alaelementti.<br />
Huom: joskus pintaintegraaleja merkitään kahdella, joskus yhdellä<br />
integraalimerkillä: ∫ fdxdy = ∫ ∫ fdxdy. Kaksi integraalimerkkiä<br />
on tarpeen jos merkitään eksplisiittisesti muuttujien rajat. Näissä<br />
muistiinpanoissa käytetään pääsääntöisesti vain yhtä<br />
integraalimerkkiä.<br />
On syytä huomata että ∫ ...dxdy ei spesifioi integrointien<br />
suoritusjärjestystä eikä myöskään kerro eksplisiittisesti<br />
integrointirajoja. Nämä valitaan tilanteen mukaan, useista<br />
vaihtoehdoista tietenkin helpoimmin laskettava. Usein käytetään<br />
myös sellaisia samaa tarkoittavia merkintöjä kuin ∫ dx ∫ dy....<br />
Vastaavia merkintöjä käytetään myös kolmi- ja useampiulotteisille<br />
integroinneille.<br />
Esim: Alueen A pinta-ala on ∫ A dxdy<br />
Esim: Olkoon A pisteiden (0,0), (1,0), (1,1) määräämä<br />
kolmio, ja f(x,y) = x+y. Nyt<br />
∫ ∫ 1 ∫ x<br />
fdxdy = dx dy(x+y)<br />
A<br />
∫ 1<br />
=<br />
0<br />
dx<br />
0<br />
0<br />
x/<br />
(xy + 1 2 y2 ) =<br />
0<br />
= 1 1/<br />
x 3 = 1 2 2<br />
0<br />
∫ 1<br />
0<br />
dx(x 2 + 1 2 x2 )<br />
Huom: jako ∫ A da = ∫ dx ∫ y 2(x)<br />
y 1(x)<br />
dy toimii vain jos alue on<br />
riittävän säännöllinen, ts. että suljettu käyrä C leikkaa<br />
Kuva 8.6 Koordinaattien vaihto<br />
{ u = u(x,y)<br />
tai kääntäen<br />
v = v(x,y)<br />
u<br />
x<br />
Differentiaaleille pätee<br />
dxdy =<br />
∣∣<br />
tai kääntäen,<br />
dudv =<br />
∣∣<br />
∂x<br />
∂u<br />
∂y<br />
∂u<br />
∂u<br />
∂x<br />
∂v<br />
∂x<br />
∂x<br />
∂v<br />
∂y<br />
∂v<br />
∂u<br />
∂y<br />
∂v<br />
∂y<br />
{ x = x(u,v)<br />
y = y(u,v)<br />
∣∣ dudv<br />
∣∣ dudv<br />
(||J||, determinantin itseisarvo). Determinanttia<br />
kutsutaan Jacobin determinantiksi.<br />
Osoitetaan tämä: tutkitaan kuinka kuvautuu pinta-alan<br />
differentiaali dudv xy-tasolle. Olkoon r = x(u,v)i+y(u,v)j<br />
tason koordinaattivektori.<br />
Jos u → u+du, v vakio, r:n muutos on<br />
∆ ur = ∂ urdu = (∂ uxi+∂ uyj)du.<br />
Samoin jos v → v +dv, r:n muutos on<br />
∆ vr = ∂ vrdv = (∂ vxi+∂ vyj)dv.<br />
Vektorien ∆ ur ja ∆ vr virittämän suunnikkaan pinta-ala on<br />
i j k<br />
∣ ∣∣<br />
|∆ ur×∆ vr| = |<br />
∂ ux ∂ uy 0<br />
∣ ∂ vx ∂ uy 0 ∣ |dudv = | ∂ ux ∂ uy<br />
∂ vx ∂ uy<br />
Siis: jos vaihdetaan muuttujia (x,y) → (u,v), eli<br />
sijoitetaan x = x(u,v), y = y(u,v),<br />
∫ ∫<br />
f(x,y)dxdy = f(x(u,v),y(u,v))|<br />
∂(x,y)<br />
∣<br />
A ∂(u,v) ∣ |dudv<br />
′<br />
A<br />
∣<br />
∣|dudv<br />
62
O<br />
N<br />
N<br />
<br />
H<br />
<br />
<br />
O<br />
missä A ′ on sama alue mutta ilmaistu u,v-koordinaateilla.<br />
Siis saamme I = √ π.<br />
8.2.2 Napakoordinaatisto<br />
Kaksiulotteisen tason rφ-napakoordinaatiston<br />
määrittelevät yhtälöt<br />
x = rcosφ<br />
y = rsinφ.<br />
(8.5)<br />
8.2.3 Tilavuusintegraalit<br />
Tilavuusintegraali yleistyy suoraan tasointegraalista:<br />
∫<br />
V<br />
f(x,y,z)dV =<br />
∫ z2<br />
z 1<br />
dz<br />
∫ y2(z)<br />
y 1(z)<br />
dy<br />
∫ x2(y,z)<br />
x 1(y,z)<br />
dxf(x,y,z)<br />
A B<br />
B<br />
A H<br />
B L = E <br />
N O <br />
H L = E <br />
Kuva 8.7 Napakoordinaatisto<br />
Tämän muunnoksen Jacobin determinantti on<br />
∣ ∂ ∣ rx ∂ φ x<br />
∣∣∣ ∂ r y ∂ φ y ∣ = cosφ −rsinφ<br />
sinφ rcosφ ∣ = r<br />
Siis saamme tuloksen dxdy = rdrdθ, ja<br />
∫ ∫<br />
f(x,y)dxdy = frdrdφ<br />
A<br />
A ′<br />
Esim. Integroidaan f = r = √ x 2 +y 2 1-ympyrän alan<br />
yli:<br />
1. karteesisissa (x,y)-koordinaateissa:<br />
(tai joku muu x,y,z-järjestys!). Jos f = 1, integraali<br />
antaa suoraan alueen V tilavuuden. Tässä tilavuuden<br />
differentiaali dV = dxdydz.<br />
Esim. Määritellään tilavuus niin että x,y,z > 0, ja<br />
x+y +z < 1 (tetraedri). Lasketaan tämän tilavuus. Nyt<br />
kiinteällä z, 0 < z < 1, pätee 0 < y < 1−z. Samoin<br />
kiinteällä y,z 0 < x < 1−y −z. Siis<br />
∫<br />
V<br />
dV =<br />
=<br />
=<br />
∫ 1<br />
0<br />
∫ 1<br />
0<br />
∫ 1<br />
0<br />
dz<br />
dz<br />
∫ 1−z<br />
0<br />
∫ 1−z<br />
0<br />
dy<br />
∫ 1−y−z<br />
0<br />
dx<br />
dy(1−y −z) =<br />
∫ 1<br />
dz[(1−z) 2 − 1 2 (1−z)2 ] = 1 6<br />
0<br />
dz<br />
1−z /<br />
Muuttujan vaihto: tapahtuu jälleen Jacobin<br />
determinantin avulla, (x,y,z) → (u,v,t):<br />
∣∣ ∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣ dxdydz = |<br />
∂r<br />
∂ u x ∂ v x ∂ t x<br />
∣∂u∣ |dudvdt = ∂ u y ∂ v y ∂ t y<br />
∂ u z ∂ v z ∂ t z ∣∣ dudvdt<br />
Kaksi tärkeää erikoistapausta: sylinterikoordinaatisto ja<br />
pallokoordinaatisto<br />
0<br />
(1−z)y − 1 2 y2<br />
∫ 1<br />
0<br />
∫ √ 1−x 2<br />
dx<br />
− √ dy √ x 2 +y 2 = ...<br />
1−x 2<br />
2. napakoordinaatistossa:<br />
∫ 2π<br />
0<br />
dφ<br />
∫ 1<br />
0<br />
drrr = 2π 3<br />
ei yksinkertainen!<br />
Helppoa! Kannattaa valita siis koordinaatisto ongelman<br />
mukaan!<br />
Esim. Mikä on I = ∫ ∞<br />
−∞ e−x2 dx?Käytetään tässä<br />
seuraava temppua ja muutetaan integraali<br />
tasointegraaliksi:<br />
∫ ∞ ∫ ∞ ∫<br />
I 2 = dxe −x2 dye −y2 = dxdye −(x2 +y 2 )<br />
−∞ −∞ R<br />
∫ ∫ 2 2π ∫ ∞<br />
= dθdrre −r2 = dθ drre −r2<br />
R 2 0 0<br />
∞/<br />
= 2π<br />
0<br />
− 1 2 e−r2 = π<br />
8.2.4 Sylinterikoordinaatisto<br />
Sylinterikoordinaatiston ρφz määrittelevät yhtälöt<br />
H L = E <br />
L = E <br />
B<br />
B<br />
H<br />
x = ρcosφ<br />
y = ρsinφ<br />
z = z.<br />
H L = E <br />
B L = E <br />
A B<br />
A H<br />
Kuva 8.8 Sylinterikoordinaatisto<br />
A <br />
B L = E <br />
L = E <br />
H<br />
(8.6)<br />
63
N<br />
N<br />
<br />
<br />
H<br />
H<br />
O<br />
O<br />
Kuten kuvasta nähdään, on ρ pisteen xy-tasolla olevan<br />
projektion etäisyys origosta, φ tämän projektion<br />
napakulma ja z pisteen korkeus xy-tasosta mitattuna.<br />
Koordinaattikäyrät ovat<br />
• ρ-käyrät: z-akselia vastaan kohtisuorat (= xy-tason<br />
suuntaiset) ja sitä leikkaavat suorat.<br />
• φ-käyrät: z-akselikeskeiset ja sitä vastaan kohtisuorat<br />
ympyrät.<br />
• z-käyrät: z-akselin suuntaiset suorat.<br />
Sylinterikoordinaatiston yksikkövektorit nähdään suoraan<br />
kuvasta:<br />
e ρ = icosφ+jsinφ<br />
e φ = −isinφ+jcosφ (8.7)<br />
e z = k.<br />
olevan projektion ja x-akselin välisenä atsimuuttikulmana<br />
φ.<br />
B<br />
G<br />
H I E G<br />
H I E G I E B<br />
H ? I G<br />
H I E G ? I B<br />
Kuva 8.10 Pallokoordinaatit<br />
Kuvasta nähdään, että pallokoordinaateista rθφ<br />
siirrytään karteesisiin koordinaatteihin kaavoilla<br />
Sylinterikoordinaatistossa tilavuuden differentiaali antaa<br />
Jacobin determinantin<br />
cosφ −ρsinφ 0<br />
dV = dxdydz = |<br />
sinφ ρcosφ 0<br />
|dρdφdz = ρdρdφdz<br />
∣ 0 0 1 ∣<br />
Siis: dV = ρdρdφdz.<br />
Tämän näkee myös tutkimalla suoraan<br />
tilavuuselementtiä:<br />
H<br />
@ B<br />
@ 8<br />
@ H<br />
@ <br />
H @ B<br />
H L = E <br />
G L = E <br />
B <br />
B<br />
G<br />
x = rsinθcosφ<br />
y = rsinθsinφ<br />
z = rcosθ.<br />
H<br />
G L = E <br />
B L = E <br />
H L = E <br />
G <br />
B L = E <br />
Kuva 8.11 Pallokoordinaatiston<br />
koordinaattikäyrät<br />
(8.8)<br />
Kuva 8.9 Tilavuuselementti sylinterikoordinaatistossa<br />
Kuvasta nähdään, että sylinterikoordinaattien<br />
differentiaalisia muutoksia dρ, dφ ja dz vastaa<br />
tilavuuselementti dV = ρdρdφdz.<br />
Esim. laske ∫ fdV, kun V on sylinteri 0 ≤ z ≤ 1,<br />
V<br />
x 2 +y 2 = ρ 2 ≤ 1, ja f = ρ 2 :<br />
∫<br />
V<br />
ρ 2 dV =<br />
∫ 2π<br />
0<br />
dφ<br />
∫ 1<br />
0<br />
dz<br />
∫ 1<br />
0<br />
dρρρ 2 = π 2<br />
8.2.5 Pallokoordinaatisto<br />
Pallokoordinaatistossa pisteen paikka ilmoitetaan<br />
etäisyytenä r origosta, paikkavektorin ja z-akselin<br />
välisenä korkeuskulmana θ sekä paikkavektorin xy-tasolla<br />
Pallokoordinaatiston koordinaattikäyrät ovat<br />
• r-käyrät: origon kautta kulkevat suorat.<br />
• θ-käyrät: origokeskiset ympyrät, joiden halkaisijana<br />
on z-akselin suuntaiset origokeskiset janat (= joiden<br />
taso on kohtisuorassa xy-tasoa vastaan).<br />
• φ-käyrät: z-akselikeskeiset ja sitä vastaan<br />
kohtisuorassa olevat (= xy-tason suuntaiset)<br />
ympyrät.<br />
Pallokoordinaatistossa Jacobin determinantti on<br />
∂(x,y,z)<br />
∣∣∂(r,θ,φ)<br />
∣∣ = r2 sinθ<br />
Siis nyt dV = r 2 sinθdrdθdφ = r 2 drd(cosθ)dφ.<br />
64
Esim. Laske integraali ∫ fdV, kun tilavuus V on<br />
V<br />
pallonkuori 1 ≤ r ≤ 2 ja f = 1/r 2 :<br />
∫<br />
V<br />
∫<br />
1 2π<br />
r 2dV = dφ<br />
0<br />
∫ π<br />
0<br />
dθsinθ<br />
∫ 1<br />
0<br />
drr 2 1 r 2 = 4π<br />
Usein merkitään kulmaosia yhdessä avaruuskulmalla Ω:<br />
∫ ∫ ∫<br />
dV = dΩ drr 2<br />
V<br />
4π<br />
Tässä siis ∫ 4π dω = ∫ 2π<br />
0<br />
dφ ∫ π<br />
0 dθsinθ<br />
8.2.6 Nabla sylinteri- ja pallokoordinaatistoissa:<br />
Samoin kuin integaaleja voidaan sylinteri- ja<br />
pallokoordinaateissa, joskus on edullista laskea myös<br />
differentiaaleja ko. koordinaateissa. Näiden osoittaminen<br />
on varsin suoraviivaista mutta työlästä, joten annetaan<br />
tässä vain tulokset:<br />
Sylinterikoordinaatisto<br />
• Muunnoskaavat<br />
• Kantavektorit<br />
• Gradientti<br />
• Divergenssi<br />
e ρ<br />
e φ<br />
x = ρcosφ<br />
y = ρsinφ<br />
z = z.<br />
= icosφ+jsinφ<br />
= −isinφ+jcosφ<br />
e z = k.<br />
∂ψ<br />
∇ψ = e ρ<br />
∂ρ +e 1∂ψ<br />
φ<br />
ρ ∂φ +e ∂ψ<br />
z<br />
∂z .<br />
∇·A = 1 ∂<br />
ρ∂ρ (ρA ρ)+ 1 ρ<br />
• Laplacen operaattori<br />
∇ 2 ψ = 1 ∂<br />
ρ∂ρ<br />
(<br />
ρ ∂ψ<br />
∂ρ<br />
∂A φ<br />
∂φ + ∂A z<br />
∂z .<br />
)<br />
+ 1 ρ 2 ∂ 2 ψ<br />
∂φ 2 + ∂2 ψ<br />
∂z 2 .<br />
• Kantavektorit<br />
e r<br />
e θ<br />
e φ<br />
• Gradientti<br />
• Divergenssi<br />
= isinθcosφ+jsinθsinφ+kcosθ<br />
= icosθcosφ+jcosθsinφ−ksinθ<br />
= −isinφ+jcosφ.<br />
∂ψ<br />
∇ψ = e r<br />
∂r + e θ ∂ψ<br />
r ∂θ + e φ ∂ψ<br />
rsinθ ∂φ .<br />
∇·A = 1 ∂ (<br />
r 2 ) 1<br />
r 2 A r +<br />
∂r<br />
+ 1<br />
rsinθ<br />
• Laplacen operaattori<br />
∇ 2 ψ = 1 r 2 ∂<br />
∂r<br />
(<br />
r 2∂ψ<br />
∂r<br />
∂A φ<br />
∂φ .<br />
)<br />
+<br />
1 ∂ 2 ψ<br />
+<br />
r 2 sin 2 θ ∂φ 2.<br />
rsinθ<br />
1<br />
r 2 sin 2 θ<br />
∂<br />
∂θ (A θsinθ)<br />
(<br />
∂<br />
sin 2 θ ∂ψ )<br />
∂θ ∂θ<br />
8.3 Pintaintegraali yli käyrän pinnan<br />
8.3.1 Skalaarifunktion integraalit<br />
Olkoon φ(x,y,z) on jokin skalaarifunktio, A jokin<br />
kolmiulotteisen avaruuden pinta ja dA tämän pinnan<br />
infinitesimaalinen pinta-alkio. Tehtävänä on nyt laskea<br />
pintaintegraali ∫<br />
I = φ(x,y,z)dA.<br />
A<br />
Samalla tavoin kuin tavallisen yhden muuttujan<br />
integraalinkin tapauksessa tämä tarkoittaa sitä, että<br />
1. jaetaan pinta A pieniin ∆A suuruisiin palasiin,<br />
2. lasketaan kussakin palasessa funktion φ(x,y,z) arvo<br />
ja kerrotaan tämä palasen pinta-alalla ∆A,<br />
3. summataan yhteen kaikki termit φ(x,y,z)∆A ja<br />
4. annetaan palasten pinta-alan lähestyä nollaa.<br />
Pallokoordinaatisto<br />
• Muunnoskaavat<br />
x = rsinθcosφ<br />
y = rsinθsinφ<br />
z = rcosθ.<br />
Pintaintegraali on usein helpompi laskea palauttamalla se<br />
koordinaattien yli suoritettaviksi integroinneiksi. Jos<br />
esimerkiksi pinta A voidaan esittää muodossa z = f(x,y),<br />
kannattaa yleensä integroida muuttujien x ja y yli, ts.<br />
viedä integraali muotoon<br />
∫ y1<br />
[∫ x1<br />
]<br />
I = φ(x,y,f(x,y))h(x,y)dx dy.<br />
y 0 x 0<br />
65
N<br />
<br />
)<br />
<br />
<br />
O<br />
Tässä h(x,y) on skaalaustekijä, jolla xy-tason pinta-alkio<br />
dA 0 = dxdy on kerrottava, jotta saataisiin pinnan alkio<br />
dA. Integrointien rajat riippuvat pinnasta. Se,<br />
kannattaako ensin integroida muuttujan x (kuten yo.<br />
lausekkeessa) vai muuttujan y yli riippuu paitsi pinnasta<br />
niin myös funktiosta φ.<br />
@ ) <br />
@ O<br />
Kuva 8.12 Pintaintegraali<br />
C<br />
@ N<br />
@ )<br />
Kuten kuvasta nähdään, xy-tason pinta-alkiota dA 0 ja<br />
sitä pinnalla A vastaavaa alkiota sitoo toisiinsa relaatio<br />
dA 0 = dxdy = dA cosγ, (8.9)<br />
missä γ on pinnan normaalin n ja z-akselin välinen<br />
kulma. Tässä tapauksessa pintaintegraali on siis<br />
kirjoitettavissa muotoon<br />
∫<br />
I =<br />
A<br />
∫<br />
φdA =<br />
φ(x,y,z) dxdy<br />
cosγ .<br />
Oletetaan nyt, että pinnan A yhtälö on annettu muodossa<br />
g(x,y,z) = C.<br />
Kyseessä on siis skalaarikentän g eräs tasa-arvopinta.<br />
Kuten gradientin yhteydessä näimme, on skalaarin<br />
gradientti kohtisuorassa tasa-arvopintaa vastaan. Eräs<br />
pinnan A normaali on niin ollen ∇g ja normaalin<br />
suuntainen yksikkövektori silloin<br />
n = ∇g<br />
|∇g| .<br />
Tämän projektio z-akselille on<br />
n·k = cosγ =<br />
∂g<br />
∂z<br />
|∇g| .<br />
Pintaintegraalimme on nyt kirjoitettavissa muotoon<br />
∫<br />
I = φ(x,y,z) |∇g| dxdy. (8.10)<br />
∂g<br />
∂z<br />
Jos pinta A on annettu muodossa<br />
niin asettamalla<br />
z = f(x,y),<br />
g = z −f(x,y)<br />
pinnan yhtälö on<br />
g = 0.<br />
Tällöin kaavassa (8.10) tarvittavat osittaisderivaatat ovat<br />
∂g<br />
∂x = ∂f<br />
∂x , ∂g<br />
∂y = ∂f<br />
∂y<br />
ja<br />
∂g<br />
∂z = 1<br />
ja pintaelementin skaalaustekijä vastaavasti<br />
√ (∂f ) 2<br />
1<br />
cosγ = |∇g| = +<br />
∂x<br />
Pinta-integraali I on nyt<br />
√<br />
∫ (∂f ) 2<br />
I = φ(x,y,f(x,y)) +<br />
∂x<br />
( ) 2 ∂f<br />
+1.<br />
∂y<br />
Esim. Funktion φ = z integraali puolipallon<br />
x 2 +y 2 +z 2 = R 2 , z ≥ 0 pinnan yli<br />
Nyt<br />
z = √ R 2 −x 2 −y 2 = f(x,y),<br />
jolloin<br />
ja<br />
∂f<br />
∂x = − x<br />
√<br />
R2 −x 2 −y 2<br />
∂f<br />
∂y<br />
1<br />
cos 2 γ<br />
y<br />
= −√ R2 −x 2 −y 2<br />
= 1+<br />
( ) 2 ∂f<br />
+<br />
∂x<br />
x 2 +y 2<br />
= 1+<br />
R 2 −x 2 −y 2<br />
R 2<br />
=<br />
R 2 −x 2 −y 2.<br />
( ) 2 ∂f<br />
+1dxdy.<br />
∂y<br />
(8.11)<br />
( ) 2 ∂f<br />
∂y<br />
Integrointialueena xy-tasossa on puolipallon pinnan<br />
projektio eli kehän<br />
x 2 +y 2 = R 2 ; z = 0<br />
rajoittama ympyrä. xy-tason integraali kannattaa tehdä<br />
nyt napakoordinaatteja käyttäen: ρ 2 = x 2 +y 2 :<br />
∫ R<br />
∫ ∫ 2π<br />
1<br />
I = φdA = dφ dρρz<br />
A 0 0 cosγ<br />
∫ R<br />
= 2π dρρ √ √<br />
R 2 −ρ 2 R 2<br />
R 2 −ρ 2<br />
0<br />
= 2π/<br />
R R 1<br />
0 2 ρ2 = πR 3<br />
66
H<br />
8.3.2 Vuointegraalit: vektoreiden pintaintegraalit<br />
Tavallisin tapaus pintaintegraaleista on laskea<br />
vektorikentän vuo pinnan läpi: Tarkastellaan pintaa A ja<br />
sillä pisteessä P(x,y,z) olevaa pinta-alkiota dA.<br />
Määritellään vektoriaalinen pinta-alkio dA siten, että<br />
dA = ndA,<br />
missä n on pisteessä P laskettu pinnan normaalin<br />
suuntainen yksikkövektori. Olkoon F(x,y,z) jokin<br />
(integroituva) vektorikenttä. Eräs vektorikentän F<br />
pintaintegraali on<br />
∫ ∫<br />
F·dA = F·ndA. (8.12)<br />
A<br />
Tämä integraali kuvaa vektorin F vuota pinnan A läpi.<br />
Huom: jos kyseessä on suljettu pinta, integraalia<br />
merkitään ∮<br />
F·dA.<br />
A<br />
Jos pinta ei ole suljettu, sillä on luonnollisesti reunaviiva.<br />
Esim. Nesteen virtaus<br />
Jos ρ on nesteen tiheys ja v sen nopeus, niin<br />
A<br />
ρv·dA = ρv·ndA<br />
on pintaelementin dA läpi aikayksikössä kulkevan nesteen<br />
määrä. Vektorin µ = ρv vuo pinnan A läpi, ∫ µ·dA, on<br />
A<br />
aikayksikössä pinnan A läpi kulkevan nesteen määrä.<br />
Muunlaisia pintaintegraaleja ovat esim.<br />
∫ ∫ ∫ ∫<br />
F×dA = F×ndA; φdA; φdA.<br />
A<br />
A<br />
Esim. Radiaalikenttä pallokuoren yli:<br />
Olkoon v = rf(r), ja pallonkuori |r| 2 = r 2 = R 2 . Nyt<br />
n = r/r, ja<br />
∮ ∮<br />
∮<br />
v·dA = f(R)r·r/RdA = f(R)R dA = 4πR 3 f(R)<br />
A<br />
A<br />
A<br />
missä käytettiin tietoa pallon ala = 4πR 2 .<br />
Esim. I = ∫ (∇×F)·dA, kun F = −yi+xj+zk, ja A<br />
A<br />
on puolipallon x 2 +y 2 +z 2 = R 2 ; z ≥ 0 pinta<br />
Nyt<br />
i j k<br />
∇×F =<br />
∂ ∂ ∂<br />
∂x ∂y ∂z<br />
∣ −y x z ∣ = 2k.<br />
Pinnan A yhtälö on<br />
joten<br />
A<br />
g = x 2 +y 2 +z 2 = R 2 ,<br />
∇g = 2xi+2yj+2zk = 2r.<br />
Pallopinnan A yksikkönormaali n on siis<br />
n = ∇g<br />
|∇g| = r r = xi+yj+zk ,<br />
r<br />
A<br />
eli radiusvektorin suuntainen yksikkövektori.<br />
Edelleen<br />
∇×F·dA = 2k·ndA = 2cosθdA,<br />
missä θ on radiusvektorin ja z-akselin välinen kulma.<br />
H I E G<br />
@ B<br />
G<br />
@ G<br />
@ )<br />
H @ G<br />
H I E G @ B<br />
Kuva 8.13 Pintaelementti pallolla<br />
Kuvassa φ radiusvektorin xy-tasolla olevan projektion ja<br />
x-akselin välinen kulma. Kuten kuvasta nähdään, pallon<br />
pinnalla pallokoordinaattien θ ja φ differentiaalisia<br />
muutoksia dθ ja dφ vastaava pintaelementti dA on<br />
dA = r 2 sinθdθdφ. (8.13)<br />
Puolipallon pinnalla kulmat θ ja φ saavat arvot<br />
Integraali I on siis<br />
∫<br />
I =<br />
=<br />
A<br />
∫ π/2<br />
0<br />
0 ≤ θ ≤ π 2<br />
0 ≤ φ ≤ 2π.<br />
∇×F·ndA<br />
dθ<br />
∫ 2π<br />
0<br />
dφ2cosθR 2 sinθ<br />
∫ π/2<br />
= 4πR 2 cosθsinθdθ<br />
0<br />
π/2<br />
/<br />
= 4πR 2<br />
0<br />
sin 2 θ<br />
2<br />
= 2πR 2 .<br />
8.4 Gaussin lause<br />
Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen<br />
pallon pinnan läpi, tuloksella<br />
∮<br />
A<br />
v·dA = 4πR 3 f(R)<br />
Lasketaan nyt ∇·v integroituna pallon tilavuuden yli: nyt<br />
∇·v = ∇·(rf(r)) = f(r)∇·r+r·f ′ (r)∇r = 3f(r)+rf ′ (r)<br />
67
)<br />
N<br />
<br />
=<br />
D<br />
O<br />
Siis<br />
∫ ∫<br />
∇·vdV = dΩ<br />
V<br />
∫ R<br />
Saimme siis tuloksen<br />
∮ ∫<br />
v·dA =<br />
A<br />
0<br />
drr 2 (3f(r)+rf ′ (r)) = 4π<br />
V<br />
∫ R<br />
∇·vdV (8.14)<br />
missä A on alueen V pinta. Tämä tulos pätee yleisesti,<br />
kaikille vektorikentille ja tilavuuksille, ja sitä sanotaan<br />
Gaussin laiksi: vektorin v normaalikomponentin integraali<br />
yli suljetun pinnan on sama kuin sen divergenssin<br />
integraali pinnan sulkeman tilavuuden yli.<br />
Toisin: kentän v vuo suljetun pinnan läpi = kentän v<br />
lähteet pinnan sisällä!<br />
Gaussin laki on 3-ulotteinen yleistys 1-ulotteisia<br />
integraaleja koskevalle totuudelle<br />
∫ b<br />
a<br />
df<br />
dx = f(b)−f(a)<br />
dx<br />
Gaussin lauseen tarkempi todistus<br />
Kirjoitetaan vektori F komponenteittain:<br />
ja tarkastellaan integraalia<br />
∫∫∫<br />
<br />
F = F xi+F yj+F zk,<br />
) <br />
@ N<br />
@ O 4<br />
V<br />
∂F z<br />
∂z dV.<br />
Kuva 8.14 Gaussin lauseen todistus<br />
Olkoot A 1 ja A 2 tilavuutta V ympäröivän suljetun pinnan A alaja<br />
yläpinta, joita esittävät yhtälöt<br />
A 1 : z = f 1 (x,y)<br />
A 2 : z = f 2 (x,y).<br />
Olkoon R pinnan A (tai A 1 tai A 2 ) projektio xy-tasolla.<br />
Tällöin<br />
∫∫∫<br />
V<br />
∂F z<br />
∂z dV = ∫∫∫<br />
=<br />
=<br />
∫<br />
∫<br />
∂F z<br />
∂z dzdxdy<br />
V<br />
[∫ f2 (x,y)<br />
R<br />
R<br />
f 1 (x,y)<br />
0<br />
∂F z<br />
∂z dz ]<br />
dxdy<br />
[F z(x,y,f 2 )−F z(x,y,f 1 )] dxdy<br />
Olkoon n pinnan A yksikkönormaali, n 1 alapinnan A 1<br />
yksikkönormaali ja n 2 yläpinnan A 2 yksikkönormaali. Nyt<br />
dr∂ r (r 3 f(r)) = 4πR 3 f(R) alapinnalla: dxdy = −k·n 1 dA 1<br />
yläpinnalla: dxdy =k·n 2 dA 2<br />
pinnalla: dxdy =k·ndA,<br />
68<br />
joten<br />
∫<br />
Saamme siis<br />
[F z(x,y,f 2 )−F z(x,y,f 1 )] dxdy<br />
R<br />
∫ ∫<br />
=<br />
=<br />
F zk·n 2 dA 2 +<br />
A<br />
∫<br />
2<br />
A<br />
∫∫∫<br />
V<br />
F zk·ndA.<br />
A 1<br />
F zk·n 1 dA 1<br />
∂F z<br />
∂z<br />
∫A<br />
dV = F zk·ndA.<br />
Vastaavasti voidaan osoittaa, että<br />
∫∫∫<br />
∂F y<br />
∂y dV = F yj·ndA<br />
∫A<br />
V<br />
∫∫∫<br />
∂F x<br />
∂x dV = F xi·ndA,<br />
∫A<br />
V<br />
joten kaiken kaikkiaan on<br />
∫∫∫<br />
eli<br />
∫∫∫<br />
V<br />
V<br />
=<br />
( ∂Fx<br />
∂x + ∂Fy<br />
∂y + ∂Fz<br />
∂z<br />
∫<br />
A<br />
∇·FdV =<br />
)<br />
dV<br />
( Fxi+F yj+F zk )·ndA,<br />
∫<br />
A<br />
F·ndA =<br />
∫<br />
A<br />
F·dA.<br />
Esim. Vektorin r vuo a-säteisen ja h-korkuisen sylinterin<br />
pinnan läpi<br />
Olkoon A sylinteriä rajoittava pinta (mukaan lukien<br />
pohjat) ja V sylinterin tilavuus.<br />
Kuva 8.15 Sylinteri<br />
a) Divergenssilauseen perusteella vuo I on<br />
∫ ∫<br />
I = r·dA = ∇·rdV.<br />
A<br />
V
Koska<br />
on<br />
joten<br />
r = xi+yj+zk,<br />
∇·r = ∂x<br />
∂x + ∂y<br />
∂y + ∂z<br />
∂z = 3,<br />
∫<br />
I = 3 dV = 3V = 3πa 2 h.<br />
V<br />
b) Lasketaan vuo pintaintegraalina.<br />
(i) Yläpinnalla n = k ja<br />
joten<br />
∫<br />
yläpinta<br />
(ii) Pohjalla n = −k ja<br />
joten<br />
r·n = r·k = z = h,<br />
∫<br />
r·ndA = hdA = πa 2 h.<br />
∫<br />
r·n = −z = 0,<br />
pohja<br />
r·ndA = 0.<br />
(iii) Vaipalla yksikkönormaali on<br />
sillä vaipan yhtälö on<br />
ja niin ollen vektori<br />
n = xi+yj ,<br />
a<br />
f = x 2 +y 2 = a 2 ,<br />
∇f = 2xi+2yj<br />
on kohtisuorassa vaippaa vastaan. Nyt<br />
joten<br />
∫<br />
vaippa<br />
r·n = x2 +y 2<br />
a<br />
∫<br />
r·ndA = a<br />
= a2<br />
a = a,<br />
Laskemalla kaikki vuot yhteen saadaan<br />
I = 3πa 2 h.<br />
dA = a·2πah.<br />
Esim. Newtonin gravitaatiopotentiaali φ toteuttaa<br />
yhtälön<br />
∇ 2 φ = 4πGρ,<br />
missä G on gravitaatiovakio ja ρ massatiheys.<br />
Määritetään gravitaatiokenttävoimakkuus<br />
pallosymmetrisessä tapauksessa<br />
Merkitään<br />
K = −∇φ,<br />
jolloin<br />
∇·K = −∇ 2 φ = −4πGρ.<br />
Jos tilavuudessa V oleva kokonaismassa on M, niin<br />
∫<br />
V<br />
∫<br />
∇·KdV = −4πG ρdV<br />
V<br />
= −4πGM.<br />
Toisaalta Gaussin lauseen mukaan on<br />
∫ ∫<br />
∇·KdV = K·dA,<br />
V<br />
kun A on tilavuutta V rajoittava pinta.<br />
Oletetaan, että M-massainen kappale on<br />
pallosymmetrinen ja otetaan tilavuudeksi V ko. kappaleen<br />
sisäänsä sulkeva r-säteinen kappalekeskinen pallo. Tällöin<br />
ilmeisestikin |K| on vakio pallon pinnalla ja K on<br />
radiusvektorin suuntainen (tai vastakkaissuuntainen), ts.<br />
voidaan kirjoittaa<br />
A<br />
K = K(r)e r ,<br />
missä e r on radiusvektorin suuntainen yksikkövektori.<br />
Vektori e r on tietystikin myös yksikkönormaali ko. pallon<br />
pinnalla, joten<br />
∫<br />
r-säteinen pallo<br />
∫<br />
K·dA = K(r)e r ·e r dA<br />
∫<br />
= K(r) dA = K(r)·4πr 2<br />
= −4πGM.<br />
Saamme siis tutun Newtonin gravitaatiolain<br />
tai vektoriaalisesti<br />
K(r) = − GM<br />
r 2 ,<br />
K(r) = − GM<br />
r 2 e r.<br />
8.5 Stokesin lause<br />
Roottorin fysikaalista tulkintaa etsiessämme saimme<br />
tuloksen (7.18), jonka mukaan xy-tasossa pisteen (x,y)<br />
ympäri kiertyvä virtaus oli<br />
dS z<br />
= µ x (x,y −dy/2,z)dx+µ y (x+dx/2,y,z)dy<br />
=<br />
−µ x (x,y +dy/2,z)dx−µ y (x−dx/2,y,z)dy<br />
[ ∂µy<br />
∂x − ∂µ ]<br />
x<br />
dxdy.<br />
∂y<br />
69
O<br />
"<br />
N<br />
!<br />
<br />
@ N<br />
Kuva 8.16 xy-tason pinta-alkio<br />
@ )<br />
@ O<br />
Kuvan mukaisesti voimme kirjoittaa tämän muotoon<br />
4∑<br />
µ·dr i = (∇×µ) z dxdy,<br />
i=1<br />
missä vektoriaaliset differentiaalit ovat dr 1 = dxi,<br />
dr 2 = dyj, dr 3 = −dxi sekä dr 4 = −dyj ja virtatiheys on<br />
laskettava aina vastaavalla infinitesimaalisen suorakaiteen<br />
sivulla. Yhtälön oikeakin puoli on lausuttavissa<br />
kompaktimmin, kun otamme käyttöön vektoriaalisen<br />
pinta-alkion dA = dxdyk. Näin päädymme relaatioon<br />
4∑<br />
µ·dr = (∇×µ)·dA,<br />
i=1<br />
missä nyt sekä dr että µ on laskettava summausindeksiin<br />
liittyvällä suorakaiteen sivulla. Tämä yhtälö on toki<br />
voimassa mielivaltaisellekin (differentioituvalle)<br />
vektorikentälle F ja miten tahansa orientoituneelle<br />
pintaelementille dA:<br />
4∑<br />
F·dr = (∇×F)·dA, (8.15)<br />
i=1<br />
missä vasemmalla puolen kierretään dA vastapäivään.<br />
Tarkastellaan nyt mielivaltaista pintaa A. Jaetaan A<br />
infinitesimaalisiin palasiin dA i . Kussakin pinta-alkiossa on<br />
voimassa<br />
4∑<br />
(∇×F)·dA i = F·dr,<br />
j=1<br />
missä vasemmalla puolen roottori lasketaan alueen dA i<br />
keskipisteessä ja oikealla puolen seka F että differentiaalit<br />
alueen dA i summausindeksistä j riippuvalla reunalla.<br />
Summataan yli kaikkien palasten, jolloin<br />
∑<br />
(∇×F)·dA i = ∑<br />
i<br />
i<br />
4∑<br />
F·dr. (8.16)<br />
j=1<br />
Tarkastellaan kahta vierekkäistä pinta-alkiota, sanotaan<br />
alkioita 1 ja 2. Näiden yhteisellä reunalla toisen<br />
suorakaiteen dr on vastakkainen toisen suorakaiteen<br />
vastaavalle differentiaalille kun taas kenttä F on sama.<br />
Summassa (8.16) yhteisiin reunoihin liittyvät termit<br />
kumoutuvat, joten jäljelle jäävät vain alueen A reunoihin<br />
rajoittuvien pinta-alkioiden ulkoreunat eli<br />
∑ ∑<br />
(∇×F)·dA i = F·dr.<br />
i<br />
A:n ulkoreuna<br />
Yhtälön vasen puoli on suureen ∇×F pintaintegraali yli<br />
pinnan A ja oikea puoli viivaintegraali pintaa A<br />
rajoittavan reunakäyrän C ympäri. Koska jokainen<br />
pinta-elementti yhtälön (8.15) ja kuvan 8.16 mukaisesti<br />
kierrettiin positiiviiseen kiertosuuntaan, samaan suuntaan<br />
kierretään myös pinta A. Olemme näin päätyneet<br />
Stokesin lauseena tunnettuun pinta- ja viivaintegraaleja<br />
sitovaan relaatioon<br />
∮ ∫<br />
F·dr = (∇×F)·dA. (8.17)<br />
C<br />
A<br />
Sanallisesti Stokesin lause on ilmaistavissa muodossa<br />
Vektorikentän F viivaintegraali pinnan A reunakäyrän C<br />
ympäri on sama kuin kentän F roottorin<br />
normaalikomponentin pintaintegraali pinnan A yli.<br />
Huom. Integraalin arvo ei muutu sellaisissa<br />
integrointipinnan deformaatioissa, joissa reunakäyrä<br />
säilyy muuttumattomana.<br />
∫<br />
Esim. ∇×F·dA kun F = −yi+xj+zk ja A on<br />
A<br />
puolipallon x 2 +y 2 +z 2 = a 2 ;z ≥ 0 pinta<br />
1) Suoraan pintaintegraalina. Katso edellä<br />
(pintaintegraalit).<br />
2) Viivaintegraalina Stokesin lausetta soveltaen. Nyt<br />
F·dr = (−yi+xj+zk)·(dxi+dyj+dzk)<br />
= −ydx+xdy +zdz.<br />
Puolipallon pinnan A reunakäyrä C on xy-tason ympyrä<br />
Tällä käyrällä<br />
x 2 +y 2 = a 2 ; z = 0.<br />
x = acosθ<br />
y = asinθ<br />
z = 0,<br />
kun θ on vektorin r = (x,y,0) ja x-akselin välinen kulma.<br />
Tällöin<br />
joten käyrällä C<br />
dx = −asinθdθ<br />
dy = acosθdθ<br />
dz = 0,<br />
F·dr = −ydx+xdy<br />
= a 2 sin 2 θdθ +a 2 cos 2 θdθ<br />
= a 2 dθ.<br />
70
Stokesin lauseen mukaan on<br />
∫ ∮<br />
(∇×F)·dA =<br />
A<br />
C<br />
= 2πa 2 .<br />
F·dr =<br />
∫ 2π<br />
0<br />
a 2 dθ<br />
3) Pintaintegraali on sama mille tahansa käyrän C<br />
rajoittamalle pinnalle. Valitaan xy-tason ympyrä. Koska<br />
∇×F = 2k,<br />
on<br />
∫<br />
∫<br />
(∇×F)·dA = 2k·kdA<br />
x 2 +y 2 ≤a 2 x 2 +y 2 ≤a 2<br />
= 2A = 2πa 2 .<br />
Stokesin lauseen perusteella pyörteettömälle kentälle F on<br />
voimassa<br />
∮ ∫<br />
F·dr = (∇×F)·dA = 0,<br />
C<br />
A<br />
olipa C mikä tahansa suljettu käyrä ja A sen sisäänsä<br />
sulkema pinta. Tähän tulokseen päädyimme jo<br />
viivaintegraalien yhteydessä konservatiivisia<br />
vektorikenttiä tarkastellessamme (ks. kaava (8.4).<br />
71
9. Lineaarikuvaukset, matriisit<br />
9.1 Vektoriavaruudet<br />
Aiemmin olemmme puhuneet tason (R 2 ) ja kotiavaruuden<br />
(R 3 ) vektoreista. Nämä (kuten myös pelkkä R) ovat<br />
esimerkkejä reaalisista vektoriavaruuksista.<br />
Yleisesti vektoriavaruudet ovat joukkoja V joille on<br />
määritelty<br />
1. Yhteenlasku: x+y ∈ V, jos x ja y ∈ V.<br />
2. Skalaarilla kertominen: ax ∈ V, jos x ∈ V ja a ∈ R.<br />
Vektoriavaruus sisältää yksikäsitteisen nollavektorin:<br />
0 ∈ V siten, että x+0 = x.<br />
Lisäksi jokaisella alkiolla x ∈ V on vastavektori −x ∈ V:<br />
x+(−x) = 0.<br />
Erilaiset vektoriavaruudet ovat matematiikassa ja<br />
fysiikassa hyvin yleisiä. R n :n lisäksi usein puhutaan<br />
funktionaalisista avaruuksista, esim. asteluvun n<br />
polynomit muodostavat n+1-ulotteisen<br />
vektoriavaruuden: p(x) = ∑ n<br />
i=0 a ix i (polynomeja voidaan<br />
laskea yhteen ja kertoa skalaarilla, ja tuloksena on edellen<br />
polynomi).<br />
Vektoriavaruuden V aliavaruus S on sellainen V:n<br />
alijoukko S, että:<br />
jos x,y ∈ S ja a ∈ R, niin<br />
x+y ∈ S ja<br />
ax ∈ S<br />
Esim. R 3 :n aliavaruuksia ovat esim. kaikki origon kautta<br />
kulkevat suorat ja tasot. Myös {0} ja R 3 ovat R 3 :n<br />
aliavaruuksia. Sen sijaan esim. R 3 :n yksikkövektorien<br />
joukko (|x| = 1) ei ole aliavaruus.<br />
Vektoriavaruuksissa R n on määritelty muitakin<br />
laskusääntöjä, esim. vektorien pistetulo x·y. Oletetaan<br />
jatkossa että pistetulo on määritelty.<br />
Lineaarinen riippumattomuus<br />
Muistetaan, että vektorit v 1 ...v k ovat lineaarisesti<br />
riippumattomia (eli vapaita), jos<br />
k∑<br />
a i v i = 0<br />
i=1<br />
vain jos kaikki a 1 = a 2 = ... = a k = 0. Muussa<br />
tapauksessa vektorit ovat lineaarisesti riippuvia, ja<br />
ainakin yksi vektori voidaan lausua muiden<br />
lineaarikombinaationa.<br />
n-ulotteisessa vektoriavaruudessa voidaan valita enintään<br />
n:n keskenään lineaarisesti riippumattoman vektorin<br />
joukko. Kolmiulotteisessa avaruudessa on enintään 3<br />
vektorin joukko keskenään lineaarisesti riippumaton.<br />
Jos vektorit e 1 , e 2 ...e n ovat lineaarisesti riippumattomia<br />
n-ulotteisen vektoriavaruuden V alkioita, sanotaan että<br />
ne virittävät V:n: mikä tahansa v ∈ V voidaan esittää<br />
niiden lineaarikombinaatioina:<br />
n∑<br />
v = a i e i ≡ a i e i<br />
i=1<br />
Huom: ylläolevan kaltainen lineaarikombinaatio<br />
vektoreista on niin yleinen, että siitä usein käytetään<br />
oikeanpuoleista merkintätapaa: toistuvan indeksin yli<br />
summataan automaattisesti (implisiittisesti). Einsteinin<br />
summaussääntö.<br />
Sanotaan että vektorit e i muodostavat V:n kannan, ja<br />
a i :t ovat v:n komponentit tässä kannassa.<br />
Kanta ei ole yksikäsitteinen. Yksinkertaisin kanta on<br />
ortonormaali kanta:<br />
e i ·e j = δ ij =<br />
{<br />
1, jos i = j<br />
0, jos i ≠ j<br />
Tässä δ ij on nimeltään Kroneckerin delta. Siis<br />
ortonormaalit vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan<br />
ja niiden pituus |⃗e i | = 1.<br />
Ortonormaalissa kannassa kahden vektorin a, b pistetulo<br />
on<br />
n∑ n∑ n∑<br />
a·b = a i e i · b j e j = a i b j<br />
i=1<br />
j=1<br />
i=1<br />
Tai lyhyemmin: a·b = a i b i .<br />
Tutuin esimerkki ortonormaalista kannasta on R 3 :n kanta<br />
i, j, k.<br />
Palaamme myöhemmin siihen miten ei-ortonormaalista<br />
kannasta voidaan tehdä ortonormaali.<br />
Huom: ortonormitetussa kannassa<br />
eli<br />
e j ·a = ∑ i<br />
a i e j ·e i = ∑ i<br />
a i = a·e i<br />
a i δ ij = a j<br />
Kertoimet a i siis ilmaisevat vektorin a projektion e i<br />
suuntaan.<br />
9.2 Lineaarikuvaus<br />
Olkoon A kuvaus (funktio) vektoriavaruudesta V<br />
vektoriavaruuteen U: jos nyt<br />
A(x+y) = A(x)+A(y),<br />
A(αx) = αA(x)<br />
kaikilla x,y ∈ V ja α ∈ R, niin A on lineaarikuvaus.<br />
Esim. Kuvaus A : R → R, A(x) = cx, c vakio, on<br />
lineaarikuvaus:<br />
A(x+y) = c(x+y) = cx+cy = A(x)+A(y)<br />
A(αx) = cαx = αA(x)<br />
Esim. Kuvaus B : R → R, B(x) = cx+d, d ≠ 0, ei ole<br />
lineaarinen (HT).<br />
Lineaarikuvaukset ovat hyvin rajoitettu funktiojoukko, ja<br />
pelkästään R:n kuvauksina ne ole kovinkaan<br />
mielenkiintoisia (tavallisin sovellus: yleisen funktion f(x)<br />
approksimaatio lineaarisesti). Useampiulotteisissa<br />
avaruuksissa sen sijaan niillä on paljon käyttöä!<br />
72
9.2.1 Tason kuvaus itselleen<br />
Tarkastellaan tason vektorien lineaarikuvausta A, joka<br />
muuttaa tason vektorin v = (x,y) toiseksi tason<br />
vektoriksi v ′ = (x ′ ,y ′ ): A(v) = v ′ , tai<br />
{<br />
x<br />
′<br />
= a 11 x+a 12 y<br />
y ′ = a 21 x+a 22 y<br />
Tässä a ij ovat lukuja, jotka määrittelevät A:n. Kyseessä<br />
on todellakin lineaarikuvaus (HT):<br />
A(v 1 +v 2 ) = A(v 1 )+A(v 2 )<br />
A(αv) = αA(v)<br />
On kätevää ottaa käyttöön pystyvektorit ja matriisit:<br />
Merkitään nyt<br />
( ) ( )<br />
x<br />
v = v ′ x<br />
′<br />
=<br />
y y ′<br />
ja<br />
a 21<br />
A =<br />
( )<br />
a11 a 12<br />
a 21 a 22<br />
Tässä notaatiossa merkitään<br />
( ) ( )( )<br />
x<br />
′ a11 a<br />
y ′ = 12 x<br />
=<br />
a 22 y<br />
(<br />
a11 x+a 12 y<br />
a 21 x+a 22 y<br />
Siis esimerkiksi<br />
( ) ( )( ) ( )<br />
x<br />
′ a11 a<br />
= 12 x a11 x+a<br />
= 12 y<br />
·′<br />
· · y ·<br />
Siis: tulosvektorin rivi k lasketaan siten, että kerrotaan<br />
matriisin rivin k alkiot elementti elementiltä alkuperäisen<br />
vektorin elementeillä, ja lasketaan yhteen.<br />
Vielä systemaattisemmin: merkitään<br />
v =<br />
(<br />
v1<br />
v 2<br />
)<br />
Nyt ( )<br />
v<br />
′<br />
1<br />
v 2<br />
′ =<br />
tai lyhyesti ja ytimekkäästi<br />
v ′ i = ∑ j<br />
(<br />
a11 a 12<br />
a 21<br />
v ′ =<br />
(<br />
v<br />
′<br />
1<br />
v ′ 2<br />
)<br />
a 22<br />
)(<br />
v1<br />
v 2<br />
)<br />
a ij v j = a ij v j<br />
Yleinen lineaarikuvaus R n → R m<br />
Kuvaus A : R n → R m voidaan myös esittää<br />
matriisimuodossa: jos y ∈ R m ja x ∈ R n , niin<br />
n∑<br />
y = Ax ⇔ y i = a ij x j , 1 ≤ j ≤ m<br />
eli eksplisiittisesti<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
y 1<br />
y 2<br />
⎜ .<br />
⎝<br />
⎟<br />
. ⎠ = ⎜<br />
⎝<br />
y m<br />
j=1<br />
⎞⎛<br />
a 11 a 12 ··· a 1n<br />
a 21 a 22 ··· a 2n<br />
.<br />
⎟⎜<br />
. ⎠⎝<br />
a m2 ··· a mn<br />
a m1<br />
⎞<br />
x 1<br />
x 2<br />
. ⎟<br />
. ⎠<br />
x n<br />
)<br />
Tässä siis A:n on oltava m vaakariviä ja n pystyriviä,<br />
jotta lasku yllä voidaan tehdä! A on siis m×n -matriisi.<br />
Jos m = n, on A neliömatriisi<br />
Erikoisasemassa ovat yksikkömatriisi (neliömatriisi)<br />
⎛<br />
I = ⎜<br />
⎝<br />
1 0 ··· 0<br />
0 1 ··· 0<br />
.<br />
0 0 ··· 1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
eli I ij = δ ij . Se kuvaa vektorin itselleen: Ix = x<br />
nollamatriisi: ⎛ ⎞<br />
0 ··· 0<br />
0 ··· 0<br />
0 = ⎜<br />
⎟<br />
⎝ . ⎠<br />
0 ··· 0<br />
mikä kuvaa kaikki vektorit nollavektoreiksi: 0x = 0.<br />
Rotaatio tasossa<br />
Tärkeä tason lineaarikuvaus on rotaatio: vektorien kierto<br />
kulman θ verran origon suhteen positiiviseen suuntaan.<br />
Matriiseina<br />
( x<br />
′<br />
y ′ )<br />
=<br />
( )( )<br />
cosθ −sinθ x<br />
=<br />
sinθ cosθ y<br />
( cosθx−sinθy<br />
sinθx+cosθy<br />
eli x ′ = R(θ)x.<br />
Rotaatio kääntää vektoria muuttamatta sen pituutta:<br />
|x ′ | = |x|, kuten helposti nähdään.<br />
Vektorien väliset kulmat säilyvät rotaatioissa (pituuden<br />
lisäksi): jos x ja y ovat kaksi vektoria, niin<br />
(R(θ)x)·(R(θ)y) = x·y<br />
kuten suoraviivaisesti nähdään laskemalla.<br />
Standardikannan kuvautuminen<br />
R n :n standardikanta e 1 ...e n on sellainen jossa<br />
⎛ ⎞<br />
0<br />
.<br />
e k =<br />
1<br />
⎜ ⎟<br />
⎝<br />
. ⎠<br />
0<br />
k:s rivi<br />
eli (e k ) i = δ ki (vektorin e k elementti i).<br />
Se kuvautuu lineaarikuvauksessa A seuraavasti:<br />
eli<br />
(Ae k ) i = ∑ j<br />
a ij (e k ) j = ∑ j<br />
⎛<br />
Ae k = ⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
a 1k<br />
a 2k<br />
. ⎟<br />
. ⎠<br />
a nk<br />
a ij δ kj = a ik<br />
)<br />
73
Tuloksena on siis A:n pystyrivin k alkioista muodostuva<br />
vektori.<br />
Kääntäen, jos tunnemme kuinka standardikanta kuvautuu<br />
lineaarikuvauksessa A, saamme A:n matriisiesityksen. Siis<br />
jos tiedämme, että<br />
Ae k = f k ,<br />
täytyy olla<br />
⎛<br />
⎞<br />
(f 1 ) 1 (f 2 ) 1 ··· (f n ) 1<br />
(f 1 ) 2 (f 2 ) 2 ··· (f n ) 2<br />
A = ⎜<br />
⎝<br />
.<br />
⎟<br />
. ⎠ = (f 1,f 2 ,···,f n )<br />
(f 1 ) n (f 2 ) n ··· (f n ) n<br />
missä viimeinen merkintätapa tarkoittaa että kyseessä on<br />
vektoreista f i koottu matriisi.<br />
Esim. Etsi R 3 :n lineaarikuvauksen matriisi, joka vie<br />
standardikannan i, j, k vektoreiksi<br />
⎛<br />
Ai = ⎝<br />
1<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ ≡ f 1 , Aj = ⎝<br />
1<br />
0<br />
1<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ ≡ f 2 , Ak = ⎝<br />
Edellisen mukaan siis on oltava<br />
⎛ ⎞<br />
1 1 0<br />
A = ⎝ 1 0 0 ⎠ = (f 1 ,f 2 ,f 3 )<br />
0 1 1<br />
9.3 Kuvausten yhdistäminen: matriisien<br />
kertolasku<br />
Kuten yhdistetyissä funktioissa yleensä, matriiseilla<br />
voidaan myös tehdä yhdistetty kuvaus: olkoon<br />
lineaarikuvaukset<br />
A : R s → R m ja<br />
B : R n → R s<br />
Nyt yhdistetty kuvaus AB : R n → R m on lineaarikuvaus.<br />
Kuvauksen AB matriisi on A:n m×s -matriisin ja B:n<br />
s×n-matriisin matriisitulo. Sen saamme<br />
(AB) ij =<br />
s∑<br />
A ik B kj = A ik B kj<br />
k=1<br />
Huom: B:ssä on oltava sama määrä vaakarivejä kuin<br />
A:ssa on pystyrivejä (s), muuten matriisituloa ei ole<br />
määritelty!<br />
Siis<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎞<br />
· · ·<br />
· (AB) ij · ⎠ =<br />
· · ·<br />
⎛<br />
· · · ·<br />
A i1 A i2 ··· A is<br />
· · · ·<br />
⎞<br />
⎞ · B 1j ·<br />
⎠<br />
· B 2j ·<br />
⎜<br />
⎝ ·<br />
⎟<br />
. · ⎠<br />
· B sj ·<br />
0<br />
0<br />
1<br />
⎞<br />
⎠ ≡ f 3<br />
Nyt<br />
Eli: tulomatriisin elementti ij, (AB) ij , saadaan<br />
kertomalla A:n i:s vaakarivi ja B:n j:s pystyrivi alkio<br />
alkiolta keskenään ja laskemalla yhteen.<br />
Tämä on helppo näyttää tutkimalla mielivaltaisen<br />
vektorin v ∈ R n kuvausta:<br />
(ABv) i = (A(Bv)) i = A ij (Bv) j = A ij B jk v k<br />
ja toisaalta (ABv) i = (AB) ik v k .<br />
Huom: matriiseille ei yleensä päde AB = BA! Sanotaan<br />
että matriisitulo ei kommutoi.<br />
Huom: Jos B on m×1-matriisi, matriisitulo AB palautuu<br />
matriisin ja vektorin tuloksi. Siis vektori = matriisi, jossa<br />
on vain yksi pystyrivi.<br />
Esim. Olkoon lineaarikuvaukset A : R 3 → R 2 ja<br />
B : R 2 → R 3 , ja niiden matriisiesitykset<br />
AB =<br />
=<br />
=<br />
A =<br />
(<br />
0 1 0<br />
1 0 1<br />
(<br />
0 1 0<br />
1 0 1<br />
) ⎛ ⎝<br />
)<br />
, B =<br />
1 1<br />
0 2<br />
1 0<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎝<br />
1 1<br />
0 2<br />
1 0<br />
( )<br />
0·1+1·0+0·1 0·1+1·2+0·0<br />
1·1+0·0+1·1 1·1+0·2+1·0<br />
( )<br />
0 2<br />
2 1<br />
on kuvaus R 2 → R 2 ja<br />
⎛<br />
BA = ⎝<br />
1 1 1<br />
2 0 2<br />
0 1 0<br />
on kuvaus R 3 → R 3 .<br />
Sen sijaan tulot AA tai BB eivät ole määriteltyjä,<br />
johtuen siitä että A ja B eivät ole neliömatriiseja.<br />
Esim. Rotaatioiden yhdistäminen<br />
Rotaatiomatriisi tasossa oli<br />
( ) cosθ −sinθ<br />
R(θ) =<br />
sinθ cosθ<br />
Jos teemme peräkkäin kaksi rotaatiota, niin matriisituloa<br />
ja sinin ja kosinin laskusääntöjä käyttäen saamme (HT)<br />
⎞<br />
⎠<br />
R(θ 2 )R(θ 1 ) = R(θ 1 +θ 2 )<br />
9.4 Matriisilaskentoa<br />
Matriiseille (ja niiden määrittämille lineaarikuvauksille)<br />
on määritelty<br />
Yhteenlasku: (A+B) ij = A ij +B ij . Tässä A:n ja B:n<br />
täytyy olla samankokoisia (m×n) matriiseja.<br />
⎞<br />
⎠<br />
74
Skalaarilla kertominen: (λA) ij = λA ij . vektorit: Otetaan nyt käyttöön merkintätapa R n :n<br />
Matriisien kertolasku: (AB) ij = A ik B kj , missä A on n×r pystyvektoreille ⎛ ⎞<br />
ja B on r ×m matriisi. Jos m ≠ n, tule BA ei ole<br />
x 1<br />
määritelty.<br />
x 2<br />
Diagonaalimatriisi: neliömatriisia A sanotaan<br />
x = ⎜ .<br />
⎝<br />
⎟<br />
. ⎠<br />
diagonaaliseksi, jos se on muotoa<br />
x n<br />
⎛<br />
⎞<br />
A 11 0 ··· 0 (ilman lihavointia x, kompaktiuden vuoksi). Tämä on siis<br />
0 A 22 ··· 0<br />
n×1 -matriisi. Transponoimalla saamme vaakavektorin<br />
A = ⎜<br />
⎝<br />
⎟<br />
. ⎠<br />
x T = (x 1 x 2 ··· x n )<br />
0 0 ··· A nn<br />
(1×n -matriisi!)<br />
Jos kaikki A 11 = A 22 = ... = λ, voidaan A kirjoittaa Jos nyt x ja y ovat R n :n (pysty)vektoreita, niin<br />
muotoon A = λI missä I on yksikkömatriisi I ij = δ ij .<br />
⎛ ⎞<br />
Jos A on neliömatriisi, niin AI = IA = A.<br />
x 1<br />
Transpoosi A T<br />
y T ⎜<br />
x = (y 1 ··· y n ) .<br />
⎝<br />
⎟<br />
. ⎠ = y i x i = y·x<br />
Kaikille matriiseille A voidaan määritellä transpoosi A T .<br />
x n<br />
Sen elementit ovat<br />
y T x antaa siis vektoreiden pistetulon.<br />
(A T ) ij = A ji<br />
Jos taas kerrotaan pystyvektorilla vaakavektori, saadaan<br />
matriisi:<br />
(joskus merkitään A T = Ã). Siis vaakarivit käännetään ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
x<br />
pystyriveiksi ja päinvastoin.<br />
1 x 1 y 1 ··· x 1 y n<br />
Esim.<br />
xy T ⎜<br />
= .<br />
⎝<br />
⎟ ⎜<br />
. ⎠(y 1 ··· y n ) =<br />
⎝<br />
.<br />
⎟<br />
. ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
x<br />
( )<br />
n x n y 1 ··· x n y n<br />
1 4<br />
1 2 3<br />
A = ⇒ A T = ⎝ 2 5 ⎠<br />
4 5 6<br />
tai (xy T ) ij = x i y j .<br />
3 6 Esim. Tason rotaatioille pätee R T R = I, mikä nähdään<br />
suoraan laskemalla. Sen saa myös siitä että rotaatiot<br />
Jos A on n×m-matriisi, on A T m×n -matriisi. säilyttävät pistetulon:<br />
Transpoosille on voimassa seuraava tärkeä tulos:<br />
y T x = (Ry) T (Rx) = y T R T Rx ⇒ R T R = I<br />
(AB) T = B T A T<br />
Tässä tapauksessa sanotaan että R T on R:n<br />
Todistus: nyt<br />
käänteismatriisi.<br />
[(AB) T ] ij = (AB) ji = A jk B ki<br />
Konjugaatti A ∗<br />
Toisaalta<br />
(B T A T ) ij = (B T ) ik (A T Yleistetään lineaarikuvaukset kompleksisiin avaruuksiin,<br />
) kj = B ki A jk = A jk B ki .<br />
ts. olkoon A : C n → C m . Nyt A:ta voidaan kuvata<br />
Huom: viimeisessä vaiheessa järjestys voidaan vaihtaa,<br />
matriisilla jonka elementit ovat kompleksilukuja. Tälle<br />
sillä A jk ,B ki ovat pelkkiä lukuja (matriisin elementtejä),<br />
matriisille ovat voimassa kaikki samat tulokset kuin yllä<br />
eivät matriiseja! Yleensä matriisien järjestystä ei voida<br />
reaaliselle matriisillekin.<br />
vaihtaa.<br />
Matriisin A konjugaatti A ∗ on matriisi jonka kaikki<br />
Olkoon A neliömatriisi. Silloin A on<br />
symmetrinen, jos A T elementit ovat A:n elementtien kompleksikonjugaatteja:<br />
= A eli A ij = A ji . (samat elementit<br />
symmetrisesti diagonaalin molemmin puolin!)<br />
(A ∗ ) ij = A ∗<br />
antisymmetrinen, jos A T ij<br />
= −A eli A ij = −A ji .<br />
Antisymmetristen matriisien diagonaalielementit Jos pätee A ∗ = A, matriisi on reaalimatriisi.<br />
häviävät, ts. A ii = −A ii = 0.<br />
Hermiittinen konjugaatti A<br />
Useimmat matriisit eivät ole symmetrisiä eivätkä<br />
†<br />
Hermiittinen konjugointi on transpoosin ja konjugoinnin<br />
antisymmetrisiä.<br />
yhdistelmä:<br />
Ilmeisesti pätee:<br />
(A T ) T = A, (A+B) T = A T +B T A † = (A ∗ ) T = (A T ) ∗ , (A † ) ij = (A ji ) ∗<br />
75
A on hermiittinen, jos A † = A, ja antihermiittinen, jos<br />
A † = −A.<br />
Ominaisuuksia:<br />
(A † ) † = A, (A+B) † = A † +B † , (AB) † = B † A †<br />
Esim. Paulin spinmatriisit<br />
( ) ( 0 1 0 −i<br />
σ 1 = , σ<br />
1 0 2 =<br />
i 0<br />
) ( 1 0<br />
, σ 3 =<br />
0 −1<br />
)<br />
σ 1 ja σ 3 ovat symmetrisiä: σ T 1 = σ 1 , σ T 3 = σ 3 .<br />
σ 2 on antisymmetrinen: σ T 2 = −σ 2 .<br />
σ 1 ja σ 3 ovat reaalimatriiseja: σ ∗ 1 = σ 1<br />
Kaikki σ i ovat hermiittisiä, esim. σ † 2 = σ 2.<br />
Jos x,y ∈ C n eli ovat n-komponenttisia<br />
kompleksivektoreita, niin niiden sisätulo (eli pistetulo)<br />
voidaan esittää muodossa<br />
x † y = x ∗ iy i , y † x = y ∗ ix i = (x † y) ∗<br />
Käänteismatriisi A −1<br />
Olkoot A ja B n×n -neliömatriiseja. Jos pätee<br />
AB = BA = I<br />
matriisia B kutsutaan A:n käänteismatriisiksi ja<br />
merkitään A −1 . Siis<br />
A −1 A = AA −1 = I<br />
Huom. Kaikille neliömatriiseille ei löydy<br />
käänteismatriisia.<br />
Jos A −1 on olemassa, sanotaan että A on säännöllinen eli<br />
kääntyvä<br />
Jos A −1 ei ole olemassa, A on singulaarinen tai<br />
ei-säännöllinen.<br />
Käänteismatriisi on yksikäsitteinen: jos sekä B että C<br />
ovat A:n käänteismatriiseja, niin välttämättä B = C.<br />
Todistus: B(AC) = (BA)C ⇒ BI = IC ⇒ B = C.<br />
76
Käänteismatriiseille pätee<br />
(AB) −1 = B −1 A −1<br />
Todistus:<br />
(B −1 A −1 )(AB) = B −1 B = I, ja<br />
(AB)(B −1 A −1 ) = A −1 A = I.<br />
Siis (AB) −1 = B −1 A −1 .<br />
Jos käänteismatriisi on olemassa, niin pätee<br />
(A T ) −1 = (A −1 ) T , (A † ) −1 = (A −1 ) † .<br />
Tod. (A −1 ) T A T = (AA −1 ) T = I T = I, eli (A −1 ) T on<br />
A T :n käänteismatriisi.<br />
Ei-singulaarisen matriisin käänteismatriisin löytäminen ei<br />
ole aina kovin yksinkertaista. Myöhemmin palataan<br />
konsteihin joilla käänteismatriisi voidaan löytää.<br />
Suurten matriisien käänteismatriisien löytäminen<br />
numeerisesti onkin oma tieteenalansa, ja yksi<br />
tärkeimmistä numeeristen algoritmien luokasta.<br />
Esim. Matriisi ( ) 1 1<br />
A =<br />
0 1<br />
on säännöllinen, sen käänteismatriisi on<br />
( )<br />
A −1 1 −1<br />
=<br />
0 1<br />
AA −1 = A −1 A = I (tarkista!)<br />
Matriisi ( ) 1 1<br />
B =<br />
1 1<br />
on puolestaan singulaarinen: jos C on mielivaltainen<br />
2×2-matriisi,<br />
( )( ) ( )<br />
1 1 c11 c<br />
BC =<br />
12 c11 +c<br />
= 21 c 12 +c 22<br />
1 1 c 21 c 22 c 11 +c 21 c 12 +c 22<br />
mikä selvästikään ei voi olla yksikkömatriisi millään c ij :n<br />
arvoilla.<br />
Neliömatriisi on ortogonaalinen, jos<br />
ja unitaarinen, jos<br />
A T = A −1 .<br />
A † = A −1<br />
Ortogonaaliset matriisit säilyttävät reaalivektorien<br />
pistetulon:<br />
(Ay) T (Ax) = y T A T Ax = y T A −1 Ax = y T x<br />
ja unitaariset matriisit kompleksivektorien:<br />
Esim. Paulin spinmatriisit ovat kaikki unitaarisia: esim.<br />
( )( ) ( )<br />
σ † 0 1 0 1 1 0<br />
1 σ 1 = =<br />
1 0 1 0 0 1<br />
Samoin σ † 2 σ 2 = I, σ † 3 σ 3 = I.<br />
σ 1 ja σ 3 ovat myös ortogonaalisia, mutta σ 2 ei ole.<br />
9.5 Matriisin jälki TrA ja determinantti<br />
detA<br />
Neliömatriisien jälki (engl. trace) ja sen determinantti<br />
ovat tärkeimpiä matriiseja karakterisoivia lukuja. Ne ovat<br />
määriteltyjä ainoastaan neliömatriiseille.<br />
9.5.1 Jälki TrA<br />
Neliömatriisin jälki on sen diagonaalielementtien summa:<br />
TrA = A 11 +A 22 +...+A nn = ∑ i<br />
A ii<br />
Jos A on n×m matriisi ja B on n×m-matriisi, niin AB<br />
on n×n ja<br />
Tr(AB) =<br />
BA on taas m×m ja<br />
n∑<br />
(AB) ii =<br />
i=1<br />
j=1<br />
n∑<br />
i=1 j=1<br />
j=1 i=1<br />
m∑<br />
A ij B ji<br />
m∑ m∑ n∑<br />
Tr(BA) = (BA) jj = B ji A ij<br />
(Tai lyhyesti Tr(AB) = (AB) ii = A ij B ji jne.) Siis pätee<br />
mikä yleistyy muotoon<br />
Tr(AB) = Tr(BA)<br />
Tr(A 1 A 2 ...A k ) = Tr(A k A 1 ...A k−1 )<br />
eli matriiseja voi permutoida syklisesti ilman että jälki<br />
muuttuu.<br />
Esim. Tr(ABC) = Tr(CAB) = Tr(BAC).<br />
Heti nähdään että myös<br />
Tr(A+B) = TrA+ TrB<br />
9.5.2 Determinantti detA<br />
Tarkastellaan tason lineaarikuvausta<br />
( ) (<br />
y1 1 1<br />
y = Ax ⇔ =<br />
y 2 −1 2<br />
)(<br />
x1<br />
x 2<br />
)<br />
(Ay) † (Ax) = y † A † Ax = y † x<br />
Huom: jos A on reaalimatriisi, A T = A † .<br />
Tämä kuvaa tason neliöt suunnikkaiksi (yleinen<br />
lineaarikuvausten ominaisuus!). Esim. yksikköneliö<br />
kuvautuu seuraavasti:<br />
77
(0,0) → (0,0)<br />
(1,0) → (1,−1)<br />
(0,1) → (1,2)<br />
(1,1) → (2,1)<br />
Nämä pisteet muodostavat todellakin suunnikkaan<br />
(piirrä!). Yksikköneliön pinta-ala on 1, ja suunnikkaan<br />
pinta-ala saadaan esim. ristitulosta<br />
|(1,−1)×(1,2)| =<br />
∣∣<br />
i j k<br />
1 −1 0<br />
1 2 0<br />
∣∣ = |1×2+1×1| = 3<br />
Huomataan myös että detA = 2+1 = 3.<br />
Tämä tulos pätee täysin yleisesti: mielivaltainen 2×2<br />
matriisi A kuvaa pinta-alan a pinta-alaksi adet(A).<br />
Tämä yleistyy: n×n-matriisi A kuvaa n-ulotteisen<br />
tilavuuselementin detA-kertaiseksi, missä detA on<br />
matriisin determinantti.<br />
Vertaa Jacobin determinanttiin! Se pohjautuu juuri tähän<br />
tulokseen.<br />
Katsotaan nyt kuinka determinantti lasketaan.<br />
2×2 ja 3×3-matriisien determinantti tuli jo tutuksi<br />
vektorien kolmitulon yhteydessä. Yleisesti n×n-matriisin<br />
A determinantti on<br />
n∑<br />
detA = ǫ ijk... A 1i A 2j A 3k ...<br />
ijk...=1<br />
missä indeksejä ijk... on n kappaletta. Tässä ǫ ijk... on<br />
Levi-Civita symboli:<br />
⎧<br />
⎨ +1, kun ijk... on 123... parillinen permutaatio<br />
ǫ ijk... = −1, kun ijk... on 123... pariton permutaatio<br />
⎩<br />
0, kun mikä tahansa indeksi toistuu<br />
Siis: valitaan matriisin jokaiselta vaakariviltä yksi alkio<br />
siten, että ne ovat aina eri pystyriveiltä ja kerrotaan<br />
keskenään. Jos rivit ovat 123...:n pariton permutaatio<br />
kerrotaan -1:llä. Käydään läpi kaikki permutaatiot ja<br />
summataan yhteen.<br />
Esim. 2×2-matriisin determinanttiNyt ǫ 12 = −ǫ 21 = 1,<br />
ǫ 11 = ǫ 22 = 0.<br />
( )<br />
a11 a<br />
detA = det 12<br />
a 21 a 22<br />
=<br />
2∑<br />
ǫ ij a 1i a 2j<br />
ij=1<br />
= ǫ 11 a 11 a 21 +ǫ 12 a 11 a 22 +ǫ 21 a 12 a 21 +ǫ 22 a 12 a 22<br />
= a 11 a 22 −a 12 a 21<br />
mikä on sama tulos kuin aiemmin. Samoin 3×3<br />
-matriisin determinantti palautuu vanhaan tulokseen.<br />
Kirjoitetaan mukavuuden vuoksi matriisi A pystyriviensä<br />
A i avulla:<br />
A = (A 1 ,A 2 ,...,A n )<br />
Determinantin määritelmästä voidaan suoraviivaisesti<br />
nähdä<br />
det(...,A i ,...,A j ,...) = −det(...,A j ,...,A i ,...)<br />
eli determinantti vaihtaa etumerkkiä jos kaksi pystyriviä<br />
(tai vaakariviä) vaihdetaan keskenään.<br />
det(A 1 ,...,λA i ,...) = λdet(A 1 ,...,A i ,...)<br />
missä λ on reaali- tai kompleksiluku. Tästä seuraa<br />
det(λA) = λ n detA<br />
jos A on n×n matriisi.<br />
Determinantin kehittäminen vaakarivin suhteen:<br />
Determinantti voidaan kehittää mielivaltaisen vaakarivin<br />
i suhteen seuraavasti:<br />
n∑<br />
detA = A ij cofA ij<br />
missä kofaktori on<br />
j=1<br />
cofA ij = (−1) i+j D ij (9.1)<br />
ja missä D ij on sen (n−1)×(n−1) matriisin<br />
determinantti mikä saadaan poistamalla matriisista A<br />
vaakarivi i ja pystyrivi j. Tätä sääntöä käytettiin<br />
aiemmin 3×3 matriisien determinantteihin.<br />
Tämä pätee myös mielivaltaisille pystyriville j:<br />
detA =<br />
n∑<br />
A ij cofA ij<br />
i=1<br />
Determinantille pätee:<br />
detA = 0, jos A:ssa on kaksi samaa vaaka- tai pystyriviä<br />
detA ei muutu, jos sen johonkin vaaka/pystyriviin<br />
lisätään tai siitä vähennetään muiden vaaka/pystyrivien<br />
mielivaltainen lineaarikombinaatio<br />
Näitä sääntöjä voidaan käyttää determinanttien<br />
“sieventämiseen” ja oikomaan niiden laskemista.<br />
Esim. Lasketaan<br />
∣<br />
1 0 3 1<br />
1 2 3 1<br />
0 1 1 1<br />
−1 1 1 0<br />
lisäämällä ja vähentämällä lineaarikombinaatioita niin<br />
että 1. vaakarivi tulee nollaksi, paitsi 1. elementti.<br />
Vähennetään 3×(pystyrivi 1) pystyrivistä 3, vähennetään<br />
pystyrivi 1 pystyrivistä 4, ja kehitetään 1. vaakarivin<br />
suhteen:<br />
=<br />
∣<br />
1 0 0 0<br />
1 2 0 0<br />
0 1 1 1<br />
−1 1 4 1<br />
∣<br />
= (−1) 1+1 1×<br />
∣<br />
∣<br />
2 0 0<br />
1 1 1<br />
1 4 1<br />
∣<br />
78
Kehitetään jälleen 1. rivin suhteen:<br />
= (−1) 1+1 2<br />
∣ 1 1<br />
4 1 ∣ = 2(1−4) = −6<br />
HUOM: kuten yllä, determinanttia merkitään usein<br />
samalla merkinnällä kuin itseisarvoa: |A| = detA. Tällöin<br />
determinantin itseisarvoa merkitään ||A||.<br />
Matriisien tulon determinantille pätee tärkeä tulos<br />
det(AB) = detAdetB<br />
Tämän näkee suoraviivaisella mutta hieman työläällä<br />
pyörittämisellä, ja jätetään todistus tässä väliin.<br />
Käänteismatriisi ja determinantti<br />
Determinantti ilmoittaa suoraan onko matriisi A<br />
säännöllinen, ts. löytyykö A −1 :<br />
detA ≠ 0 ⇔ A säännöllinen ⇔ A −1 olemassa<br />
Käänteismatriisin elementit ovat<br />
(A −1 ) ij = cofA ji<br />
detA = (−1)i+j D ji<br />
detA<br />
missä kofaktorit määriteltiin kaavassa (9.1). Huomaa<br />
että kofaktorin indeksit tulevat “väärässä” järjestyksessä.<br />
Näytetään tämä: muistetaan että<br />
∑<br />
detA = A ik cofA ik<br />
k<br />
vaivattomin tapa laskea sitä (suurille matriiseille), vaan<br />
käytetään esim. Gaussin eliminointimenetelmää<br />
(myöhemmin).<br />
Esim. 2×2 matriisin käänteismatriisi: Olkoon<br />
A =<br />
( a b<br />
c d<br />
)<br />
, detA ≠ 0<br />
Nyt D ij on se determinantti mikä saadaan poistamalla<br />
A:sta rivi i ja pystyrivi j. 2×2 matriiseille tämä on<br />
yksinkertaisesti ( )<br />
d c<br />
D =<br />
b a<br />
Nyt siis<br />
eli<br />
Esim.<br />
A −1 = 1 (<br />
d −b<br />
detA −c a<br />
(A −1 ) ij = (−1)i+j D ji<br />
detA<br />
A =<br />
)<br />
=<br />
(<br />
1 2<br />
2 3<br />
(<br />
1 d −b<br />
ad−bc −c a<br />
Nyt detA = −1 ≠ 0, siis A −1 on olemassa. Nyt<br />
( )<br />
3 2<br />
D =<br />
2 1<br />
)<br />
)<br />
Nyt huomataan että<br />
∑<br />
k<br />
A jk cofA ik = δ ji detA<br />
sillä jos j ≠ i, niin kaavan vasen puoli vastaa sellaisen matriisin<br />
determinanttia mikä saadaan A:sta korvaamalla rivi i rivillä j.<br />
Koska nyt matriisissa on kaksi samaa vaakariviä, sen<br />
determinantti = 0.<br />
Jakamalla detA:lla saadaan<br />
∑ cofA ik<br />
∑<br />
A jk<br />
detA = A jk B ki = δ ji<br />
k<br />
k<br />
eli<br />
missä B ki = cofA ik /detA.<br />
AB = I<br />
Tämä näytti että jos detA on olemassa, käänteismatriisin lauseke<br />
saadaan sen ja kofaktorin avulla.<br />
Näytetään vielä että jos matriisi A on säännöllinen (siis<br />
A −1 on olemassa), siitä seuraa että detA ≠ 0:<br />
detI = 1 = det(A −1 A) = detAdetA −1 ⇒ detA ≠ 0.<br />
Lisäksi nähdään<br />
detA −1 = 1/detA<br />
HUOM: yllä esitetty tapa antaa käänteismatriisin<br />
suljetussa muodossa. Se ei kuitenkaan ole tavallisesti<br />
ja<br />
eli<br />
(A −1 ) ij = 1<br />
detA (−1)i+j D ji =<br />
A −1 =<br />
(<br />
−3 2<br />
2 −1<br />
9.6 Lineaariset yhtälöryhmät<br />
Monissa yhteyksissä tapaamme lineaarisen yhtälöryhmän,<br />
esim.<br />
eli lyhyesti<br />
)<br />
A 11 x 1 +A 12 x 2 = b 1<br />
A 21 x 1 +A 22 x 2 = b 2<br />
Ax = b<br />
Tässä siis A on joku tunnettu kerroinmatriisi, b annettu<br />
vektori ja halutaan ratkaista x.<br />
Kukin kahdesta yo. yhtälöstä määrää suoran<br />
(x 1 ,x 2 )-koordinaateissa. Kahden yhtälön yhtälöryhmällä<br />
siis pyritään määräämään suorien leikkauspiste.<br />
Milloin yo. yhtälöryhmällä on ratkaisu? Jos nyt<br />
detA ≠ 0, käänteismatriisi A −1 on olemassa ja<br />
A −1 Ax = x = A −1 b<br />
79
on yhtälön ainoa ratkaisu.<br />
Entä jos detA = A 11 A 22 −A 12 A 21 = 0? Tällöin ei yleensä<br />
ratkaisua ole, ellei sitten käy niin että yllä molemmat<br />
yhtälöistä ovat vakiokerrointa vaille samat. Nimittäin<br />
tällöin A:n ensimmäinen ja toinen rivi ovat kerrointa<br />
vaille samat, ja detA = 0. Tässä tapauksessa yhtälöt<br />
määräävät saman suoran, ja ratkaisuja on äärettömästi:<br />
x 2 = 1<br />
A 12<br />
(b 1 −A 11 x 1 )<br />
Siis:<br />
a) jos detA ≠ 0, suorat eivät ole yhdensuuntaisia ja ∃<br />
ratkaisu x = A −1 b.<br />
b) jos detA = 0, suorat ovat yhdensuuntaiset. Nyt<br />
riippuu vektorista b kuvaavatko yhtälöt kahta<br />
yhdensuuntaista suoraa (ei ratkaisua) vai samaa suoraa<br />
(äärettömästi ratkaisuja).<br />
Tämä kaikki yleistyy luonnollisesti n×n-matriiseihin.<br />
Siis, jos detA ≠ 0, yhtälöryhmällä<br />
Ax = b<br />
on yksikäsitteinen ratkaisu x = A −1 b. Erityisesti yhtälöllä<br />
Ax = 0<br />
on vain ratkaisu x = 0, jos detA ≠ 0. Kirjoittamalla tämä<br />
muotoon ∑<br />
A ij x j = 0 ⇒ ∑ Â j x j = 0<br />
j<br />
j<br />
vain jos x j = 0, ja missä Âi on A:n pystyrivistä i<br />
koostuva pystyvektori, niin nähdään seuraava tulos:<br />
detA ≠ 0 ⇔ A:n pystyvektorit lineaarisesti<br />
riippumattomia.<br />
Sama pätee myös vaakavektoreille.<br />
9.6.1 Yhtälöryhmän ratkaisu<br />
eliminointimenetelmällä<br />
Olkoon meillä yhtälö (detA ≠ 0)<br />
Ax = b ⇒ x = A −1 b<br />
Tässä tapauksessa käänteismatriisia ei useimmiten<br />
kannata laskea, vaan ratkaista yhtälöryhmä<br />
eliminointimenetelmällä:<br />
Esim.<br />
(<br />
2 1<br />
1 −2<br />
)(<br />
x<br />
y<br />
)<br />
=<br />
(<br />
2x+y<br />
x−2y<br />
)<br />
=<br />
(<br />
5<br />
−5<br />
Nyt detA = −5 ≠ 0, joten yhtälö kääntyy. Pyrkimyksenä<br />
on eliminoida jälkimmäisestä yhtälöstä x lisäämällä<br />
ensimmäinen yhtälö sopivasti kerrottuna. Lisäksi<br />
ensimmäisestä eliminoidaan y. Tämä voidaa<br />
systematisoida seuraavasti:<br />
)<br />
( )( ) 2 1 5 ×1/2<br />
(<br />
1 −2<br />
)(<br />
−5<br />
)<br />
1 1/2 5/2<br />
(<br />
1 −2<br />
)(<br />
−5<br />
)<br />
väh. rivi 1<br />
1 1/2 5/2<br />
0 −5/2 −15/2 ×−2/5<br />
( )( )<br />
1 1/2 5/2 väh. rivi 2 ×1/2<br />
(<br />
0 1<br />
)( )<br />
3<br />
1 0 1<br />
0 1 3<br />
Yhtälön ratkaisu on siis x = (1 3) T , mikä voidaan heti<br />
tarkistaa.<br />
Päämäärä on siis lisätä ja vähentää rivejä sopivasti<br />
kerrottuina niin että vasemmalle saadaan yksikkömatriisi.<br />
Esim.<br />
⎛<br />
⎝<br />
1 −1 1<br />
1 1 −1<br />
1 2 −3<br />
⎞⎛<br />
⎠⎝<br />
x<br />
y<br />
z<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ = ⎝<br />
Eliminoidaan ⎛ ⎞⎛<br />
⎞<br />
1 −1 1 0<br />
⎝ 1 1 −1 ⎠⎝<br />
1 ⎠ −rv.1<br />
1 2 −3 −1 −rv.1<br />
⎛<br />
⎝ 1 −1 1<br />
⎞⎛<br />
0 2 −2 ⎠⎝ 0 ⎞<br />
1 ⎠ +(1/2)rv.2<br />
×1/2<br />
0 3 −4 −1 −(3/2)rv.2<br />
⎛ ⎞⎛<br />
⎞<br />
1 0 0 1/2<br />
⎝ 0 1 −1 ⎠⎝<br />
1/2 ⎠ −rv.3<br />
0 0 −1 −5/2 ×−1<br />
⎛<br />
⎞⎛<br />
1 0 0<br />
⎝ 0 1 0 ⎠⎝<br />
0 0 1<br />
Siis ratkaisu on<br />
1/2<br />
3<br />
5/2<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎛<br />
x = ⎝<br />
1/2<br />
3<br />
5/2<br />
0<br />
1<br />
−1<br />
Huom: jos matriisin det = 0, eliminointimenetelmä kertoo<br />
sen: ei voida konstruoida I-matriisia.<br />
9.6.2 Matriisin kääntäminen Gaussin<br />
eliminointimenetelmällä<br />
Eliminointimenetelmällä voidaan (lähes) samalla vaivalla<br />
ratkaista usea muotoa<br />
⎞<br />
⎠<br />
Ax = b i , i = 1...n<br />
oleva yhtälö: kirjoitetaan vain rinnan<br />
(A)(b 1 )(b 2 )...<br />
ja eliminoidaan rivejä niin että A:n tilalle tulee<br />
yksikkömatriisi, ja tehdään sama eliminointi kaikille b i .<br />
Lopputuloksena voimme lukea b i :n paikalta yhtälöryhmän<br />
Ax = b i ratkaisun.<br />
⎞<br />
⎠<br />
80
Tämä toimii myös jos b i = ê i , standardikannan vektori.<br />
Nyt lopputuloksena saadaan A:n käänteismatriisi.<br />
Esim. Edellisen esimerkin matriisin<br />
⎛<br />
⎝<br />
1 −1 1<br />
1 1 −1<br />
1 2 −3<br />
käänteismatriisi: ⎛<br />
⎝ 1 −1 1<br />
⎞⎛<br />
1 1 −1 ⎠⎝ 1 0 0<br />
⎞<br />
0 1 0 ⎠ −rv.1<br />
1 2 −3 0 0 1 −rv.1<br />
⎛ ⎞⎛<br />
⎞<br />
1 −1 1 1 0 0 +(1/2)rv.2<br />
⎝ 0 2 −2 ⎠⎝<br />
−1 1 0 ⎠ ×1/2<br />
0 3 −4 −1 0 1 −(3/2)rv.2<br />
⎛ ⎞⎛<br />
⎞<br />
1 0 0 1/2 1/2 0<br />
⎝ 0 1 −1 ⎠⎝<br />
−1/2 1/2 0 ⎠ −rv.3<br />
⎛<br />
0 0 −1<br />
⎞⎛<br />
1/2 −3/2 1<br />
⎞<br />
×−1<br />
1 0 0 1/2 1/2 0<br />
⎝ 0 1 0 ⎠⎝<br />
−1 2 −1 ⎠<br />
0 0 1 −1/2 3/2 −1<br />
Siis käänteismatriisi on<br />
⎛ ⎞<br />
1/2 1/2 0<br />
⎝ −1 2 −1 ⎠<br />
−1/2 3/2 −1<br />
mikä nähdään kokeilemalla.<br />
HUOM: joskus diagonaalille uhkaa tulla 0. Tämä ei ole<br />
ongelma, sillä tähän riviin voidaan lisätä/vähentää<br />
sopivasti joku alla olevista riveistä niin että diagonaalille<br />
tulee 1. Jos tämä ei millään onnistu, on det = 0.<br />
Usein eliminointi on helpompaa tehdä niin että ei tule<br />
murtolukuja.<br />
Esim. Matriisin<br />
⎛<br />
A = ⎝<br />
2 3 5<br />
1 2 4<br />
3 1 0<br />
käänteismatriisi. ⎛ ⎞⎛<br />
⎞<br />
2 3 5 1 0 0<br />
⎝ 1 2 4 ⎠⎝<br />
0 1 0 ⎠ ×2−(rv.1)<br />
3 1 0 0 0 1 −3×(rv.2)<br />
⎛ ⎞⎛<br />
⎞<br />
2 3 5 1 0 0 −3×(rv.2)<br />
⎝ 0 1 3 ⎠⎝<br />
−1 2 0 ⎠<br />
⎛<br />
0 −5 −12<br />
⎞⎛<br />
0 −3<br />
⎞<br />
1 +5×(rv.2)<br />
2 0 −4 4 −6 0 ×3+4×(rv.3)<br />
⎝ 0 1 3 ⎠⎝<br />
−1 2 0 ⎠ −(rv.3)<br />
0 0 3 −5 7 1<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎝<br />
6 0 0<br />
0 1 0<br />
0 0 3<br />
1 0 0<br />
0 1 0<br />
0 0 1<br />
⎞⎛<br />
⎠⎝<br />
⎞⎛<br />
⎠⎝<br />
−8 10 4<br />
4 −5 −1<br />
−5 7 1<br />
⎞<br />
⎠<br />
−4/3 5/3 2/3<br />
4 −5 −1<br />
−5/3 7/3 1/3<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎠<br />
×1/6<br />
×1/3<br />
⎞<br />
⎠<br />
Käänteismatriisi on siis<br />
⎛<br />
A −1 = 1 ⎝<br />
3<br />
−4 5 2<br />
12 −15 −3<br />
−5 7 1<br />
9.7 Ominaisarvot ja -vektorit<br />
Jos A on n×n-matriisi, ja jos löytyy vektori x ≠ 0 siten<br />
että<br />
Ax = λx<br />
missä λ on skalaari (yleisesti kompleksiluku), sanotaan<br />
että<br />
x on A:n ominaisvektori ja<br />
λ on vektoriin x liittyvä ominaisarvo<br />
Ominaisvektorit siis säilyttävät suuntansa<br />
lineaarikuvauksissa. Ne ovat aina erityisasemassa, ja<br />
vastaavat kuvausten “pääakseleita”.<br />
Ominaisarvoille pätee: A on säännöllinen ↔ A:n kaikki<br />
ominaisarvot ≠ 0.<br />
Tod. Jos λ = 0, niin vastaava ominaisvektori Ax = 0.<br />
Koska x ≠ 0, tämä toteutuu jos ja vain jos detA = 0, siis<br />
A ei ole säännöllinen.<br />
Ominaisvektorit eivät ole yksikäsitteisiä: ne voidaa kertoa<br />
vakiolla ja ne ovat edelleen ominaisvektoreita. Samalla<br />
ominaisarvolla voi myös olla useita lineaarisesti<br />
riippumattomia ominaisvektoreita.<br />
Esim. Yksikkömatriisi I toteuttaa Ix = x kaikilla x. Siis<br />
kaikki vektorit ovat sen ominaisvektoreita ominaisarvolla<br />
1.<br />
Pätee: A:n ominaisarvot ovat yhtälön<br />
det(A−λI) = 0<br />
juuret.<br />
Tod. Jos λ on ominaisarvo, on<br />
Ax = λx = λIx ⇒ (A−λI)x = 0. Tällä on ratkaisu kun<br />
x ≠ 0 vain jos det(A−λI) = 0.<br />
Jos A on n×n-matriisi, det(A−λI) on n:n asteen<br />
polynomi λ:n suhteen:<br />
det(A−λI) =<br />
∣<br />
Yhtälö<br />
⎞<br />
⎠<br />
A 11 −λ A 12 ··· A 1n<br />
A 21 A 22 −λ ··· A 2n<br />
.<br />
A n1 ··· A nn −λ<br />
P n (λ) = 0<br />
≡ P n (λ)<br />
∣<br />
(9.2)<br />
on A:n karakteristinen yhtälö, ja sen ratkaisut ovat A:n<br />
ominaisarvot. Näiden avulla P n voidaan kirjoittaa<br />
muotoon<br />
∏ n<br />
P n (λ) = (−1) n (λ−λ 1 )(λ−λ 2 )... ≡ (−1) n (λ−λ i )<br />
i=1<br />
(9.3)<br />
81
(nähdään kaavasta (9.2) että λ n :n kerroin on (−1) n ).<br />
Tästä seuraa että<br />
P n (0) =<br />
n∏<br />
λ i = detA<br />
i=1<br />
Kertalukuun λ n−1 on otettava (9.2) diagonaalilta kaikki<br />
λ:t paitsi vuorollaan yksi A ii . Samoin karakteristisen<br />
polynomin ekspansiosta (9.3):<br />
termi λ n−1 :<br />
Siis saamme tulokset:<br />
Esim. Matriisin<br />
∑<br />
A ii (−λ) n−1 = (−λ) n−1∑<br />
i<br />
i<br />
detA = λ 1 λ 2 ... =<br />
n∏<br />
i=1<br />
TrA = λ 1 +λ 2 +... =<br />
A =<br />
( 2 1<br />
0 1<br />
)<br />
λ i<br />
n∑<br />
i=1<br />
ominaisarvot:<br />
det(A−λI) =<br />
∣ 2−λ 1<br />
0 1−λ ∣ = (2−λ)(1−λ) = 0<br />
minkä ratkaisut ovat λ = 2 ja λ = 1. Tässä tapauksessa<br />
karakteristinen yhtälö oli yksinkertainen.<br />
Esim. Yleinen 2×2-matriisi<br />
A =<br />
( a b<br />
c d<br />
)<br />
,<br />
λ i<br />
λ i<br />
= −(2−λ)(1+λ)(1−λ)+4(1−λ)+6−3(1−λ)<br />
= −λ 3 +2λ 2 −6λ+5 = (1−λ)(λ 2 −λ+5) = 0<br />
Ominaisarvot ovat siis<br />
λ 1 = 1, λ 2,3 = 1 2 ± 1 2<br />
√<br />
1−20 =<br />
1<br />
2 (1±i√ 19)<br />
Ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori saadaan<br />
yhtälöstä<br />
Av = λv<br />
Esim. jos<br />
A =<br />
( 1 1<br />
2 0<br />
niin sen ominaisarvot ovat<br />
det(A−λI) =<br />
∣ 1−λ 1<br />
2 −λ ∣ = λ2 −λ+2 = 0<br />
joten ominaisarvot λ 1 = 2, λ 2 = −1.<br />
1. Ominaisvektori:<br />
( )( ) ( )<br />
1 1 x1 x1<br />
= 2<br />
2 0 y 1 y 1<br />
)<br />
{<br />
x1 +y<br />
⇒ 1 = 2x 1<br />
2x 1 = 2y 1<br />
minkä ratkaisu on x 1 = y 1 (molemmista sama ehto). Siis<br />
ominaisarvoa λ 1 = 2 vastaava ominaisvektori<br />
( )<br />
1<br />
v 1 = vakio<br />
1<br />
2. ominaisvektori:<br />
( 1 1<br />
2 0<br />
)( ) ( )<br />
x2 x2<br />
= −1<br />
y 2 y 2<br />
{<br />
Karakteristinen yhtälö on<br />
x2 +y<br />
⇒ 2 = −x 2<br />
⇒ y det(A−λI) =<br />
∣ a−λ b<br />
2x 2 = −y 2 = −2x 2<br />
2 c d−λ ∣ = λ2 −(a+d)λ+(ad−bc) Siis ominaisarvoa λ 2 = −1 vastaava ominaisvektori<br />
= λ 2 ( )<br />
− TrAλ+detA = 0<br />
1<br />
v 2 = vakio<br />
−2<br />
Huom: tämä pätee vain 2×2-matriiseille.<br />
Esim. Etsitään matriisin<br />
Ominaisvektorit on usein tapana normittaa: määrätään<br />
⎛ ⎞ vakio niin että |v| = 1. Edellä normitetut vektorit ovat siis<br />
2 −2 3<br />
A = ⎝ 2 −1 0 ⎠<br />
−1 1 1<br />
v 1 = 1 ( )<br />
1<br />
√ v 2 1 2 = 1 ( )<br />
1<br />
√<br />
5 −2<br />
2−λ −2 3<br />
Pystyvektorit ovat ortogonaalisia, jos niiden välinen<br />
ominaisarvot: det(A−λI) =<br />
2 −1−λ 0<br />
pistetulo (sisätulo) häviää:<br />
∣ −1 1 1−λ ∣<br />
= (2−λ)<br />
∣ −1−λ 0<br />
∣ ∣∣∣ 1 1−λ ∣ −(−2) 2 0<br />
n∑<br />
−1 1−λ ∣ +<br />
x † y = x ∗ iy i = 0<br />
i=1<br />
3<br />
2 −1−λ<br />
∣ −1 1 ∣<br />
Olkoon matriisi A hermiittinen, ts. A † = A. Sille pätee<br />
82
Hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaaliset, ja eri<br />
ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ortogonaaliset<br />
Tod. Olkoon Ax = λx. Nyt<br />
ja toisaalta<br />
x † Ax = λx † x<br />
x † Ax = x † A † x = (Ax) † x = (λx) † x = λ ∗ x † x<br />
Siis λ ∗ = λ.<br />
Olkoon nyt λ 1 , λ 2 kaksi erisuurta ominaisarvoa, ja niiden<br />
ominaisvektorit x 1 , x 2 . Nyt<br />
x † 2 Ax 1 = λ 1 x † 2 x 1.<br />
Toisaalta<br />
x † 2 A† x 1 = (Ax 2 ) † x 1 = λ 2 x † 2 x 1<br />
Koska λ 2 ≠ λ 1 , tämä voi pitää paikkansa vain jos<br />
x † 2 x 1 = 0.<br />
Liite A. Kreikkalaiset kirjaimet<br />
Pienet kirjaimet<br />
α alfa θ theta π pi<br />
β beta ι iota ρ ro<br />
γ gamma κ kappa σ sigma<br />
δ delta λ lambda τ tau<br />
ǫ epsilon µ my υ ypsilon<br />
ζ zeta ν ny φ fi<br />
η eta ξ xi χ khi<br />
ψ psi ω omega<br />
Isot kirjaimet<br />
Γ Gamma Λ Lambda Σ Sigma<br />
∆ Delta Ξ Xi Υ Ypsilon<br />
Θ Theta Π Pi Φ Fi<br />
Ψ Psi Ω Omega<br />
83
Liite B. Joukko-oppia<br />
Joukko koostuu alkioista (jäsenistä, elementeistä). Kun<br />
halutaan ilmoittaa, että joukon A alkiot ovat a 1 ,a 2 ,...<br />
käytetään usein merkintää<br />
A = {a 1 ,a 2 ,...}.<br />
Joukko voi olla tyhjä, ts. siinä ei ole yhtään jäsentä.<br />
Tyhjästä joukosta käytetään merkintää ∅.<br />
Jos joukon A jäsenet toteuttavat jonkun tietyn ehdon,<br />
merkitään<br />
A = {x|ehto x:lle}.<br />
Esimerkiksi<br />
I = {x|0 ≤ x ≤ 1}<br />
on välillä 0 ja 1 olevien (reaali)lukujen joukko.<br />
Merkintä a ∈ A ilmoittaa, että a on joukon A jäsen, a<br />
kuuluu joukkoon A. Jos kaikki joukon A alkiot ovat myös<br />
joukon B alkioita, merkitään A ⊂ B (B ⊃ A) ja<br />
sanotaan, että A kuuluu joukkoon B tai että A on joukon<br />
B osajoukko.<br />
Joukkojen A ja B yhtäsuuruus tarkoittaa, että<br />
molemmissa joukoissa on samat jäsenet, ts. A ⊂ B ja<br />
B ⊂ A. Luonnollinen merkintä yhtäsuuruudelle on A = B.<br />
Kahden joukon A ja B yhteisistä jäsenistä koostuvaa<br />
joukkoa A∩B sanotaan leikkaukseksi. Ilmeisestikin on<br />
voimassa A∩B = B ∩A, A∩B ⊂ A ja A∩B ⊂ B.<br />
Yhdiste A∪B on molempien joukkojen A ja B alkioista<br />
koostuva joukko. Se toteuttaa mm. relaatiot<br />
A∪B = B ∪A, A ⊂ A∪B ja B ⊂ A∪B.<br />
Liite C. Kvanttorit<br />
Matematiikassa käytetään usein ilmauksia on olemassa<br />
ja kaikilla. Esimerkkilauseita voisivat olla vaikkapa: on<br />
olemassa sellainen reaaliluku x, että x 2 = a kun a ≥ 0<br />
tai<br />
kaikilla reaaliluvuilla x on voimassa x 2 ≥ 0.<br />
Päästään hieman vähemmällä kirjoittamisella, kun<br />
otetaan käyttöön formaalin logiikan kvanttorit ∃ ja ∀<br />
ilmaisemaan olemassaoloa (eksistenssiä) ja<br />
yleispätevyyttä (universaalisuutta). Kvanttoreiden avulla<br />
esimerkkilauseet voitaisiin kirjoittaa vaikkapa muotoihin<br />
∃x ∈ R siten, että x 2 = a kun a ≥ 0<br />
ja<br />
x 2 ≥ 0 ∀x ∈ R.<br />
Symbolilla R on tässä merkitty reaalilukujen joukkoa.<br />
84
Liite D. Intervalleja, jatkuvuuksia, ...<br />
Reaaliakselin yhtenäisistä osista intervalleista käytetään<br />
usein merkintöjä<br />
suljettu väli [a,b] tarkoittaa reaaliakselin väliä<br />
a ≤ x ≤ b, ts. alku- ja loppupisteet kuuluvat mukaan.<br />
avoin väli (a,b) tarkoittaa väliä a < x < b, ts. alku- ja<br />
loppupisteet eivät kuulu väliin.<br />
puoliavoimet välit (a,b] ja [a,b) tarkoittavat<br />
vastaavasti välejä, joissa vain toinen päätepiste<br />
kuuluu joukkoon.<br />
Funktio f(x) on<br />
rajoitettu jos tarkasteltavalla välillä on |f(x)| ≤ M,<br />
missä 0 ≤ M < ∞.<br />
jatkuva jos se ei ”hyppää”pisteestä toiseen,<br />
paloittain jatkuva funktio jos se on jatkuva muualla<br />
paitsi mahdollisesti äärellisen monessa tarkasteltavan<br />
välin pisteessä.<br />
85