Yksittäisen kuvan geometrisista ominaisuuksista - Fotogrammetrian ...

AC H
OA
OC
sin(
AOC)
AD H
OA
OD
sin(
AOD)
. (21)
BC H
OB
OC
sin(
BOC)
BD H
OB
OD
sin(
BOD)
Yhtälöissä esim. merkintä AOC tarkoittaa janojen OA ja OD välistä kulmaa. Pisteiden A, B,
C ja D kaksoissuhde voidaan nyt supistaa:
AC AD sin( AOC)
sin( AOD)
: : vakio
. (22)
BC BD sin( BOC)
sin( BOD)
[16], [3]
Lauseke siis riippuu vain säteiden välisistä kulmista! Kuvasta 10 on nähtävissä, kuinka
tämän perusteella sama kaksoissuhde toimii myös kuvapisteille A’, B’, C’ja D’. Nyt
voidaan kirjoittaa [3]:
AC AD A'
C'
A'
D'
: : vakio
. (23)
BC BD B'
C'
B'
D'
Yksiulotteisessa tapauksessa voidaan merkitä pisteiden A, B, C ja D koordinaatteja
merkinnöillä x , x , x ja x , sekä pisteiden A’, B’, C’ ja D’ koordinaatteja
' ' ' '
A, xB
, xC
ja xD
A
B
C
D
x . Nyt voidaan kaksoissuhde kirjoittaa auki [3]:
x
x
C
C
x
x
A
B
x
:
x
D
D
x
x
A
B
x
x
'
C
'
C
x
x
'
A
'
B
x
:
x
'
D
'
D
x
x
'
A
'
B
. (24)
Jos ratkaistaan yhtälö
x D
:n suhteen, saadaan lineaarinen murtofunktio
x
D
a x b
, (25)
a x b
'
1
'
2
'
D
'
D
'
1
'
2
' ' ' '
missä parametrit a1 , a2,
b1
, b2
ovat kolmen tunnetun koordinaatin pitkähköjä funktioita.
Parametrien determinantti ei saa olla nolla, jotta muunnos olisi myös kääntäen mahdollinen:
a
a
'
1
'
2
b
b
'
1
'
2
0
. (26)
' '
Determinanttiehdon mukaan jompikumpi parametreista a
2
, b2
0
, joten yhtälö voidaan
jakaa jommallakummalla parametrilla. Yhtälö kirjoitetaan yleensä yleisessä muodossa:
a1
x b
1
X . (27)
a x 1
2
12