osa2 - Helsinki.fi
osa2 - Helsinki.fi
osa2 - Helsinki.fi
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
LORENTZIN MUUNNOSTEN<br />
FYSIKAALISIA SEURAAMUKSIA<br />
• Lorentzin kontraktio: ”liikkuva sauva näyttää kutistuvan”<br />
• Aikadilataatio: ”liikkuva kello näyttää jätättävän”<br />
nämä fysikaaliset efektit johtavat myös arkijärjen kannalta vaikeasti<br />
ymmärrettäviin seuraamuksiin, ”paradokseihin”:<br />
Lorentzin kontraktio lipputankoparadoksi;<br />
aikadilataatio kaksosparadoksi<br />
1
Lorentzin kontraktio<br />
K’=sauvan<br />
lepokoordinaatisto<br />
K’ eli sauva liikkuu K:ssa<br />
l0 x'<br />
( x v t)<br />
l 0<br />
x'<br />
x<br />
l<br />
K’<br />
K<br />
päät mitataan<br />
samanaikaisesti Δt = 0<br />
l<br />
1<br />
l<br />
0<br />
2<br />
1 l<br />
0<br />
v/ c<br />
liikkuva sauva ”lyhenee” – ts. sauvan suhteen liikkuva havaitsija<br />
mittaa sen pituudeksi pienemmän numeron kuin sen suhteen<br />
levossa oleva havaitsija<br />
2
esimerkki: l 0 = 100 cm<br />
β<br />
l [cm]<br />
0.9 43.6<br />
0.99 14.1<br />
0.999 4.5<br />
kaikki avaruudelliset etäisyydet näyttävät liikkuvan<br />
havaitsijan mielestä lyhyemmiltä.<br />
esim. havaitsija aurinkokunnan läpi kiitävässä raketissa<br />
näkee Aurinko-Maa –etäisyyden lyhyenevän yo. tavalla<br />
3
LIPPUTANKOPARADOKSI<br />
valittu mukavuussyistä<br />
lipputanko omassa lepokoordinaatistossaan:<br />
l 0 = 10 m<br />
v<br />
3c / 2<br />
tallin lepokoordinaatistossa:<br />
2<br />
l l 5<br />
1<br />
0<br />
m<br />
mahtuu talliin!<br />
5 m<br />
nopeus aina suhteellista:<br />
lipputangon lepokoordinaatistossa<br />
v<br />
3c / 2<br />
l 0 = 10 m<br />
1<br />
l 5m<br />
2, 5m<br />
7,5 m tankoa jää ulkopuolelle? 4
Ongelman ratkaisu liittyy samanaikaisuuden määritelmään: pituusmittaus<br />
tapahtuu määritelmän mukaan mittaamalla päätepisteet samanaikaisesti.<br />
Mutta miten tietää, että lipputanko on tallin sisällä?<br />
signaali etenee korkeintaan<br />
valon nopeudella<br />
tieto saapuu toiseen päähän ajassa<br />
t l0<br />
/<br />
tässä ajassa lipputanko on kulkenut max matkan<br />
c<br />
3<br />
v t c l0<br />
/ c 8. 7 m<br />
2<br />
eli takapää saa tiedon kun se on 8.7-7.5 m = 1.2 m tallin sisäpuolella<br />
mutta ei ole olemassa absoluuttisen jäykkiä kappaleita: joko lipputanko tai<br />
vaihtoehtoisesti tallin takaseinä on murskautunut jo aikapäiviä sitten kun<br />
tangon takapäähän saapuu viimein tieto seinäkontaktista<br />
5
Aikadilataatio<br />
v<br />
K’ on kellon<br />
lepokoordinaatisto<br />
K K’<br />
ajan mittaus =<br />
kaksi tapahtumaa<br />
t ' t 2<br />
' t1'<br />
x'<br />
0<br />
kellon paikka<br />
ei muutu<br />
K:ssa<br />
t<br />
t<br />
v<br />
' x'<br />
2<br />
c<br />
t<br />
'<br />
t<br />
1<br />
2<br />
K liikkuu K’:n suhteen<br />
nopeudella -v<br />
=0<br />
”aika venyy”; ”liikkuvassa koordinaatistossa<br />
aika kuluu hitaammin”<br />
6
oikeammin: K:n suhteen liikkuva kello näyttää K:n mielestä jätättävän<br />
verrattuna K:n lepokoordinaatistossa olevaan kelloon<br />
aika ei kulu hitaammin K’:ssa: kello on siellä levossa<br />
mutta liike on suhteellista: K’:sta katsottuna K:n kello näyttää jätättävän<br />
verrattuna K’:n lepokoordinaatistossa olevaan kelloon<br />
kumpikin on oikeassa: ei ole olemassa<br />
oikeaa (absoluuttista) aikaa<br />
esimerkki: Δt = 1 vuosi<br />
β<br />
Δt’ [päiviä]<br />
0.9 159<br />
0.99 51.4<br />
0.999 16.4<br />
0.9999 5.16<br />
entä jos Maasta (K) lähetetään raketti (K’), joka<br />
palaa takaisin niin, että K ja K’ voivat lopulta<br />
verrata kellojaan – kumman kello on jätättänyt?<br />
= kaksosparadoksi (kelloparadoksi)<br />
tähän palataan myöhemmin<br />
7
ESIMERKKI: epästabiilit hiukkaset<br />
korkeaenergisia myoneja syntyy ilmakehän yläkerroksissa kosmisten säteiden<br />
(esim. protonien) aiheuttamissa reaktioissa. Myoni on epästabiili ja hajoaa<br />
keskimäärin ajassa T 0 = 1.56 10 -6 s eli kulkee keskimäärin matkan c T 0 = 450 m<br />
myoneja nähdään kuitenkin<br />
paljon!<br />
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/relativ/relcon.html#relcon<br />
selitys: suhteellisuusteoria<br />
8
myonin kello liikkuu Maahan nähden ja siis jätättää<br />
9
Lorentz-kontraktio selittää ilmiön identtisellä tavalla: myonin<br />
näkemä matka on lyhentynyt<br />
10
DOPPLERIN ILMIÖ<br />
lähetetään valonsäde K’:sta K:hon<br />
v<br />
f hav<br />
f läh<br />
K K’<br />
mikä frekvenssi f hav havaitaan K:ssa kun K’:sta lähteneen valon frekvenssi on f läh ?<br />
• K ja K’ päällekkäin kun t=0<br />
• fotoni lähtee liikkeelle hetkellä t 1 K:n aikaa K’:sta<br />
• fotonin kulkema matka on x = vt ennen kuin se saapuu K:hon<br />
x<br />
c<br />
c( t t1)<br />
t t<br />
c v<br />
intervalli t 2 -t 1 vastaanotetaan intervallina<br />
1<br />
c<br />
c v<br />
( t 2<br />
t1)<br />
11
Mikä siis on t 2 -t 1 K’:ssa?<br />
Valonsäde saapuu K:hon K’:n kellon mukaan kun<br />
t '<br />
t<br />
2<br />
v<br />
v<br />
x |<br />
x vt<br />
t 1 1<br />
2 2<br />
c<br />
c<br />
2<br />
t<br />
K’:n intervalli t 2 ’-t 1 ’ vastaanotetaan siis intervallina<br />
t<br />
1<br />
2 1<br />
' t1<br />
' 1 ( t2<br />
t1)<br />
( t2<br />
1)<br />
1<br />
1<br />
2<br />
t<br />
lähetetty frekvenssi<br />
f läh<br />
1<br />
t<br />
'<br />
f<br />
hav<br />
1<br />
1<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
f<br />
läh<br />
lähestyvälähde<br />
f<br />
hav<br />
1<br />
1<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
f<br />
läh<br />
loittonevalähde<br />
12
läh<br />
läh<br />
läh<br />
läh<br />
läh<br />
hav<br />
f<br />
f<br />
f<br />
f<br />
f<br />
f<br />
)<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
(1<br />
)<br />
|<br />
) |<br />
)<br />
(<br />
)<br />
((<br />
|<br />
|<br />
(1<br />
...)<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
...)(1<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
(1<br />
...)<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
(1<br />
...)<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
(1<br />
|<br />
|<br />
1<br />
|<br />
|<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
4<br />
1<br />
8<br />
3<br />
8<br />
3<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
4<br />
1<br />
2<br />
8<br />
3<br />
2<br />
1<br />
2<br />
8<br />
3<br />
2<br />
1<br />
2<br />
8<br />
3<br />
2<br />
1<br />
2<br />
8<br />
3<br />
2<br />
1<br />
normaali Doppler:<br />
frekvenssi pienenee<br />
aallonpituus suurenee<br />
= punasiirtymä<br />
1. suhteellisuusteoreettinen<br />
korjaus<br />
loittonevalle kohteelle<br />
13
AVARUUSAIKA<br />
Suhteellisuusteoria voidaan kätevällä tavalla esittää formalismilla, jossa kolmiavaruus ja<br />
aika yhdessä muodostavat neliulotteisen avaruusajan. Kyseinen neliulotteinen avaruusaika<br />
ei kuitenkaan ole euklidinen vaan ns. Minkowskin avaruus sen 1907 ensimmäisenä esittäneen<br />
matemaatikko Hermann Minkowskin mukaan<br />
Tarkastellaan siis neliulotteista avaruutta, jonka koordinaatit ovat<br />
x<br />
(<br />
3<br />
x0,<br />
x1,<br />
x2,<br />
x ) ( ct,<br />
x,<br />
y,<br />
z)<br />
missä x on nelivektori<br />
Huom! Kurssilla käytetään notaatiota, jossa nelivektori x ei eroa muuttujasta x;<br />
yhteydestä käy kuitenkin aina selväksi, kumpaa tarkoitetaan<br />
Minkowskin huomio oli, että muoto<br />
c<br />
2<br />
t<br />
2<br />
x<br />
2<br />
y<br />
2<br />
z<br />
2<br />
c<br />
2<br />
t<br />
2<br />
x<br />
2<br />
säilyy invarianttina Lorentz-muunnoksissa, ts. on Lorentz-invariantti<br />
14
todistetaan tämä (voidaan rajoittua yksinkertaisuuden<br />
vx<br />
vuoksi 1+1:een ulottuvuuteen: t'<br />
( t )<br />
1 aika, 1 avaruus<br />
x'<br />
( x<br />
vt)<br />
c<br />
2<br />
c<br />
2<br />
t '<br />
2<br />
x'<br />
2<br />
2<br />
2<br />
[ c<br />
2<br />
[( c<br />
( t<br />
2<br />
vx/<br />
c<br />
2<br />
) t<br />
täten myös etäisyysmitta<br />
v<br />
2<br />
2<br />
)<br />
2<br />
(1<br />
c<br />
2<br />
( x<br />
2<br />
/ c<br />
vt)<br />
siitä, missä koordinaatistossa se lasketaan<br />
Erityisesti lepokoordinaatistossa laskettuna saadaan arvo<br />
v<br />
t<br />
2<br />
2<br />
(<br />
2<br />
) x<br />
]<br />
2<br />
x<br />
]<br />
2<br />
2<br />
c<br />
[ c<br />
2<br />
y<br />
t<br />
2<br />
2<br />
2<br />
t<br />
2<br />
x<br />
z<br />
v<br />
2<br />
2<br />
2<br />
)<br />
x<br />
2<br />
/ c<br />
4<br />
2tvx<br />
x<br />
on invariantti, ts. ei riipu<br />
2<br />
v<br />
2<br />
t<br />
2<br />
2tvx]<br />
c<br />
2<br />
t<br />
2<br />
lepo<br />
c<br />
2<br />
2<br />
missä on nimeltään invariantti itseisaika<br />
15
invariantti itseisaika on siis relatoitu kelloaikaan t<br />
c<br />
2<br />
2<br />
c<br />
2<br />
t<br />
2<br />
(<br />
x<br />
2<br />
y<br />
2<br />
z<br />
2<br />
)<br />
d<br />
dt<br />
1<br />
1<br />
c<br />
2<br />
dx<br />
dt<br />
2<br />
dy<br />
dt<br />
2<br />
dz<br />
dt<br />
2<br />
dt<br />
1<br />
2<br />
v ( t)<br />
2<br />
c<br />
ja erityisesti lepokoordinaatistossa kelloaika = itseisaika:<br />
d<br />
dt<br />
koska d on invariantti, se voidaan laskea missä koordinaatistossa hyvänsä<br />
16
invariantin itseisajan (-aikaintervallin) neliö voi olla myös nolla tai negatiivinen<br />
c 2 Δ 2 = 0 valonlaatuinen<br />
> 0 ajanlaatuinen<br />
< 0 paikanlaatuinen<br />
avaruusaika voidaan esittää avaruusaikadiagramman avulla:<br />
ct<br />
x = -ct<br />
ct<br />
x = ct<br />
tulevaisuus<br />
+<br />
+<br />
valokartio<br />
-<br />
-<br />
-<br />
+<br />
+<br />
-<br />
x<br />
45 o valo kulkee pitkin valokartiota<br />
x<br />
maailmanviiva<br />
menneisyys<br />
17
• maailmanviivat pysyvät valokartion sisällä; tapahtumat ovat ajanlaatuisia<br />
• maailmanviivat näyttävät erilaisilta eri koordinaatistoissa<br />
• valokartion muoto ei muutu Lorentz-muunnoksissa sillä<br />
c<br />
2<br />
t '<br />
2<br />
x '<br />
2<br />
ct<br />
2<br />
x<br />
2<br />
• kaikki tapahtumat ovat koordinaatteja avaruusaika-diagrammissa<br />
ct<br />
v=3c/5<br />
valo kulkee valokartion<br />
kanssa<br />
samansuuntaisesti<br />
esimerkki: avaruusraketti<br />
lähtee K:sta ajanhetkellä<br />
t = 1 nopeudella v = 3c/5<br />
x<br />
18
KAKSOSPARADOKSI ELI KELLOPARADOKSI<br />
• A jää Maahan koordinaatistoon K<br />
• A:n kaksonen B lähtee avaruusmatkalle lähes valon nopeudella<br />
• A:n mielestä B:n kello jätättää, B:n mielestä A:n kello jätättää<br />
• B kääntyy ja palaa takaisin Maahan, jolloin A ja B voivat vertailla kellojaan<br />
samassa lepokoordinaatistossa<br />
kumman kello on jätättänyt?<br />
• B kokee luonnollisesti kiihtyvyyksiä sekä lähtiessä, kääntyessä että<br />
pysähtyessään koordinaatistoon K. Kiihtyvä liike edellyttää yleistä<br />
suhteellisuusteoriaa, mutta ongelman ratkaisu ei ole kiihtyvyyksissä<br />
(osoitetaan myöhemmin)<br />
• ongelmaa voidaan tarkastella monella tavoin; seurataan tässä, miten<br />
A ja B vertailevat kellojaan<br />
• kelloja voidaan vertailla vain lähettämällä signaaleja Maan ja avaruusraketin<br />
välillä<br />
19
oletetaan konkreettisuuden vuoksi seuraavaa:<br />
• B tekee matkan Maasta Siriukseen, jonka etäisyys on 8 vv<br />
• B kulkee sekä meno- että paluumatkan tasaisella nopeudella v = 4c/5 A:n suhteen<br />
• oletetaan, että kiihdytykset ja jarrutukset tapahtuvat äärettömän nopeasti<br />
• A:n koordinaatistossa K raketti kulkee siis kaikkiaan 16 vv ja palaa takaisin<br />
ajassa 16 5/4 = 20 v<br />
• A lähettää B:lle signaaleja, jotka kertovat, paljonko kello lähetyshetkellä on K:ssa<br />
• saatuaan signaalin B kuittaa sen välittömästi lähettämällä A:lle signaalin, jossa<br />
kertoo, paljonko kello lähetyshetkellä on K’:ssa<br />
• voimme ajatella, että signaalit lähetetään tasaisin välein niin, että voimme<br />
hyödyntää frekvenssikaavoja<br />
loittoneva:<br />
f<br />
hav<br />
1<br />
1<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
f<br />
läh<br />
t<br />
'<br />
1<br />
1<br />
|<br />
|<br />
|<br />
t<br />
|<br />
lähestyvä:<br />
f<br />
hav<br />
1<br />
1<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
f<br />
läh<br />
t<br />
'<br />
1<br />
1<br />
|<br />
|<br />
|<br />
t<br />
|<br />
20
kun raketti loittonee Maasta, se saa A:n viestin välein<br />
1 | | 9 / 5<br />
t ' t t 3<br />
1 | | 1/ 5<br />
t<br />
esimerkki: Maasta vuoden välein lähetetyt viestit saadaan K’:ssa<br />
kolmen vuoden välein; kuitatut, 3’ vuoden välein lähetetyt viestit<br />
saadaan K:ssa 3 3 = 9 vuoden välein<br />
kun raketti lähestyy Maata, se saa A:n viestin välein<br />
1 | | 1/ 5<br />
1<br />
t ' t t<br />
3<br />
1 | | 9 / 5<br />
t<br />
A lähettää B kuittaa B saa viestin A saa viestin<br />
B loittonee B loittonee Δt’ = 3Δt läh 9Δt läh<br />
B loittonee B lähestyy Δt’ = 3Δt 1 +Δt 2 /3<br />
B lähestyy B lähestyy Δt’ = Δt läh /3 Δt läh /9<br />
21
ct<br />
20<br />
A saa vuonna 1 lähetetyn<br />
signaalin takaisin vuonna 9<br />
A päättelee: B sai signaalin<br />
A:n aikaa vuonna 1+8/2=5<br />
B:n maailmanviiva<br />
toisaalta A tietää, että B sai<br />
viestin kun t´= 3’ vuotta<br />
3<br />
t '<br />
5<br />
t<br />
valosignaalin<br />
maailmanviiva<br />
10<br />
samanaikaisuus<br />
Lorentz-muunnoksen avulla<br />
1<br />
2 3<br />
t ' t dt 1 ( 4 5)<br />
5<br />
t<br />
OK<br />
4 8<br />
x<br />
22
lähtee<br />
A:sta<br />
B:ssä tyyppi takaisin<br />
A:ssa<br />
1 3’ 3 3 9 5<br />
2 6’ 3 3 18 10<br />
B:ssä A-<br />
aikaa<br />
5 7’ 3 1 / 3 18 1 / 3 11 2 / 3<br />
8 8’ 3 1 / 3 18 2 / 3 13 1 / 3<br />
11 9’ 1<br />
/ 3<br />
1<br />
/ 3 19 15<br />
tämän jälkeen<br />
lähetetyt viestit<br />
B saa paluumatkallaan<br />
14 10’ 1<br />
/ 3<br />
1<br />
/ 3 19 1 / 3 16 2 / 3<br />
17 11’ 1<br />
/ 3<br />
1<br />
/ 3 19 2 / 3 18 2 / 3<br />
20 12’ 20 20<br />
Esim: signaali lähtee A:sta kun t = 5<br />
1 | | 1 | |<br />
1<br />
t ' 2<br />
3 3 2<br />
3<br />
1 | | 1 | |<br />
3<br />
7'<br />
loittonee<br />
lähenee<br />
B palaa Maahan nuorempana 23
20<br />
lähestyy<br />
A:n aika<br />
0<br />
0 12<br />
B:n aika<br />
loittonee<br />
24
MITÄ B NÄKEE?<br />
ensimmäiset 3 1 / 3 ’ vuotta A vanhenee 2 vuotta<br />
aikadilataatio 2/3 1 / 3 =3/5 OK<br />
seuraavat 5 1 / 3 ’ vuotta B lähettää signaalinsa poispäin mennessä ja vastaanottaa<br />
ne takaisin tullessaan<br />
tämän aikana A vanhenee kaikkiaan 16 vuotta<br />
viimeiset 3 1 / 3 ’ vuotta A vanhenee 2 vuotta<br />
2+16+2=20<br />
25
Nuorempi on se, joka vaihtaa inertiaalikoordinaatistoa<br />
A pysyy koko ajan samassa lepokoordinaatistossa,<br />
B vaihtaa Siriuksessa koordinaatistoa<br />
http://www.helsinki.<strong>fi</strong>/~enqvist/artikkeli.dir/kaksos.html<br />
mistä A tietää ettei ole vaihtanut inertiaalikoordinaatistoa? Vaatii<br />
kiihtyvyysmittauksen<br />
26
Maa<br />
A:n koordinaatistossa<br />
raketti liikkuu<br />
Sirius<br />
8 vv<br />
B:n koordinaatistossa<br />
Maa<br />
Sirius<br />
Lorentzkontraktio<br />
4.8 vv<br />
raketti paikoillaan<br />
Maa ja Sirius liikkuvat jäykkänä kappaleena<br />
etäisyys on Lorentz-kontrahoitunut<br />
27
MATEMAATTINEN TODISTUS<br />
itseisaika on invariantti:<br />
2<br />
v ( t)<br />
d dt 1<br />
2<br />
c<br />
lasketaan A:n lepokoordinaateissa<br />
ct<br />
B:n rata<br />
(<br />
(<br />
)<br />
)<br />
B<br />
A<br />
t<br />
paluu<br />
dt<br />
1<br />
2<br />
v ( t)<br />
c<br />
0 2<br />
t<br />
0<br />
paluu<br />
dt<br />
t<br />
paluu<br />
(<br />
t<br />
paluu<br />
)<br />
B<br />
1<br />
v<br />
c<br />
2<br />
keskim<br />
2<br />
t<br />
paluu<br />
ct paluu<br />
A:n kelloaika > B:n kelloaika<br />
A:n lepokoordinaatisto<br />
x<br />
kun kelloja viimein vertaillaan A:n lepokoordinaatistossa, se on myös<br />
silloin B:n lepokoordinaatisto itseisaika on sama kuin kelloaika<br />
( ) t ( ) t<br />
A<br />
B<br />
'<br />
kun kelloja verrataan koordinaatistossa<br />
28<br />
K
MINKOWSKIN AVARUUS<br />
avaruuden määrittämiseksi tarvitaan vielä pistetulo<br />
kolmiavaruus:<br />
r<br />
x<br />
( x<br />
1<br />
, x2,<br />
x3)<br />
( x,<br />
y,<br />
z)<br />
x<br />
x<br />
x<br />
2<br />
y<br />
2<br />
z<br />
2<br />
invariantti kierroissa:<br />
x<br />
Rx<br />
x'<br />
x<br />
Minkowskin avaruus:<br />
x<br />
(<br />
3<br />
x x<br />
x0,<br />
x1,<br />
x2,<br />
x ) ( ct,<br />
x,<br />
y,<br />
z)<br />
( x,<br />
y,<br />
z)<br />
R<br />
T<br />
R<br />
y<br />
z<br />
x'<br />
x'<br />
x<br />
x<br />
määritellään pistetulo siten, että vektorin pituus on invariantti Lorentzin<br />
muunnoksissa<br />
29
x<br />
x<br />
c<br />
2<br />
t<br />
2<br />
x<br />
2<br />
y<br />
2<br />
z<br />
2<br />
c<br />
2<br />
t<br />
2<br />
x<br />
2<br />
c<br />
2<br />
t '<br />
2<br />
x'<br />
2<br />
x'<br />
x'<br />
pistetulo invariantti Lorentzin<br />
muunnoksen määrittämissä<br />
4-ulotteisen avaruuden<br />
”kierroissa”<br />
x<br />
x<br />
x<br />
L(<br />
v)<br />
x x'<br />
( ct,<br />
x,<br />
y,<br />
z)<br />
L<br />
T<br />
L<br />
ct<br />
x<br />
y<br />
z<br />
x'<br />
x'<br />
x<br />
x<br />
Minkowskin avaruus epäeuklidinen<br />
x<br />
x<br />
c<br />
2<br />
t<br />
2<br />
x<br />
2<br />
Formaalisti euklidinen 4-avaruus x ( x 0<br />
, x,<br />
y,<br />
z)<br />
Minkowskin avaruus kun<br />
x 0<br />
ict<br />
(etumerkki ei oleellinen)<br />
30
ETÄISYYDEN MÄÄRITELMÄ<br />
kahden pisteen välinen etäisyys euklidisessa 3-avaruudessa:<br />
x<br />
1<br />
dl<br />
2<br />
( x,<br />
y,<br />
z),<br />
x<br />
( x<br />
1<br />
x<br />
2<br />
)<br />
2<br />
2<br />
( x<br />
dx<br />
2<br />
dx,<br />
y<br />
dy<br />
2<br />
dy,<br />
z<br />
dz<br />
2<br />
dz)<br />
dx<br />
dx<br />
0<br />
Minkowskin avaruuden neliulotteinen etäisyys on vastaavasti<br />
ds<br />
2<br />
2<br />
2 2 2 2 2<br />
( x1<br />
x2)<br />
dx dx c dt dx dy dz<br />
Minkowskin avaruuden etäisyyden neliö voi siis<br />
olla myös negatiivinen<br />
0<br />
0<br />
0<br />
yleisesti<br />
ds 2<br />
g<br />
dx<br />
dx<br />
Einsteinin summasääntö: summa on<br />
yli toistuvien indeksien ,<br />
0,1,2,3<br />
metriikka<br />
usein käytetään yläindeksejä; suppeassa<br />
suhteellisuusteoriassa ylä- ja alaindekseillä<br />
31<br />
ei ole eroa, yleisessä suhteellisuusteoriassa on
Yleinen metriikka on 4 x 4 matriisi<br />
Pistetulo määrittää Minkowskin avaruuden metriikan:<br />
ds<br />
2<br />
g<br />
dx<br />
dx<br />
c<br />
2<br />
dt<br />
2<br />
dx<br />
2<br />
dy<br />
2<br />
dz<br />
2<br />
dx<br />
dx<br />
yleinen notaatio Minkowskin metriikalle<br />
diag(1, 1, 1, 1)<br />
NOTAATIO<br />
• kreikkalaiset indeksit , , ... = 0, ..., 3<br />
• latinalaiset indeksit i, j = 1, ..., 3<br />
32
Minkowskin avaruuden 4-ulotteinen karteesinen koordinaatisto: yksikkövektrorit e<br />
Huom! koordinaatisto ei ole euklidinen!<br />
e e , e e , e e 0<br />
0 0<br />
1<br />
i j ij 0 j<br />
e<br />
e<br />
Mielivaltainen nelivektori x voidaan kirjoittaa tässä karteesisessa koordinaatistossa<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
0<br />
0<br />
0<br />
e<br />
e<br />
e<br />
0<br />
0<br />
0<br />
x<br />
xe<br />
r<br />
1<br />
e<br />
x<br />
1<br />
x<br />
2<br />
ye<br />
e<br />
y<br />
2<br />
x<br />
ze<br />
3<br />
z<br />
e<br />
3<br />
kahden nelivektorin x ja y välinen pistetulo<br />
x y<br />
x<br />
x<br />
0<br />
0<br />
y<br />
y<br />
0<br />
0<br />
x<br />
1<br />
y<br />
1<br />
x y<br />
x<br />
2<br />
y<br />
2<br />
x<br />
3<br />
y<br />
3<br />
Toisessa, K:n suhteen x-akselin suuntaan liikkuvassa koordinaatistossa K’<br />
x<br />
' L(<br />
v<br />
x)<br />
x ( x0<br />
x)<br />
e0<br />
( x x0<br />
e ) xe<br />
x<br />
ye<br />
y<br />
ze<br />
z<br />
nelivektori muuntuu aina toiseksi nelivektoriksi 33
esimerkki<br />
x<br />
3e<br />
e e e<br />
2 2<br />
0 1<br />
2<br />
3<br />
x<br />
x<br />
9<br />
[(<br />
2)<br />
2<br />
(<br />
2)<br />
2<br />
(<br />
1)<br />
2<br />
]<br />
0<br />
nelivektorin pituus voi siis olla = 0 vaikka vektori itsessään on 0<br />
y<br />
2e<br />
2e<br />
3e<br />
e<br />
0<br />
toinen esimerkki 1 2 3<br />
y<br />
y<br />
4<br />
[(<br />
2)<br />
2<br />
(<br />
3)<br />
2<br />
(<br />
1)<br />
2<br />
]<br />
10<br />
x<br />
y<br />
3<br />
2<br />
[(<br />
2<br />
2)<br />
(<br />
2<br />
3)<br />
(1<br />
1)]<br />
3<br />
34
x'<br />
x'<br />
T<br />
xL <br />
Lx<br />
<br />
1<br />
x<br />
x<br />
nelivektorin pituuden neliö on invariantti = sama luku<br />
koordinaatistosta riippumatta<br />
x'<br />
y'<br />
T<br />
xL <br />
L y<br />
<br />
1<br />
x<br />
y<br />
kahden nelivektorin pistetulo on invariantti = sama luku<br />
koordinaatistosta riippumatta<br />
kannattaa laskea invariantit koordinaatistossa, jossa<br />
lasku on kaikkein helpoin<br />
35
nelivektori voi yleisesti olla ajan ja paikan funktio; komponentti on tällöin<br />
A<br />
( x , x);<br />
0<br />
A<br />
'<br />
L<br />
A<br />
nelivektorit muuntuvat nelivektoreiksi<br />
totutellaan notaatioon jossa summattavat<br />
indeksit ovat eri kerroksissa<br />
tässäkin tapauksessa<br />
A<br />
A<br />
A<br />
A<br />
A<br />
A<br />
A<br />
A<br />
A<br />
A<br />
A<br />
2<br />
2 2 2 2<br />
0 0 x y z<br />
voimme sanoa, että nelivektorit A ja B ovat kohtisuorassa toisiaan vasten jos<br />
A<br />
B<br />
A<br />
B<br />
A<br />
B<br />
0<br />
36
LISÄÄ MINKOWSKIN AVARUUDEN FORMALISMIA<br />
Kolmiavaruudessa nopeus muuntuu kuten vektori. Minkowskin avaruudessa sen<br />
vastine on nelivektorin lailla muuntuva nelinopeus<br />
dx/dt ei nyt kuitenkaan käy, sillä<br />
dx<br />
dt<br />
dL(<br />
v)<br />
x<br />
dt'<br />
L(<br />
v)<br />
dx<br />
dt<br />
itseisaika d<br />
on invariantti; määritellään siis nelinopeus u<br />
u<br />
dx<br />
d<br />
1<br />
ce<br />
0<br />
1<br />
v<br />
2<br />
1<br />
/ c<br />
v<br />
2<br />
1<br />
v<br />
2<br />
/ c<br />
c<br />
2<br />
dt<br />
dt<br />
e<br />
( c,<br />
v)<br />
dx<br />
dt<br />
0<br />
dx<br />
dt<br />
nelinopeuden määritelmä<br />
nelinopeus muuntuu kuten nelivektori<br />
u ' L(<br />
v)<br />
u<br />
37
nelinopeuden neliö on<br />
u<br />
u<br />
u<br />
c<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
c<br />
2<br />
u<br />
u<br />
2<br />
v<br />
2<br />
nelinopeuden neliö on aina vakio<br />
... sillä se on nelivektori<br />
esimerkki<br />
v<br />
x<br />
0.6c;<br />
v v 0 v 0.6ce<br />
y<br />
z<br />
1<br />
u<br />
1<br />
c<br />
0.6<br />
2<br />
e<br />
0<br />
1<br />
0.6c<br />
0.6<br />
2<br />
e<br />
1<br />
1.25ce<br />
0<br />
0.75ce<br />
1<br />
38
NELIKIIHTYVYYS<br />
voimme edelleen määritellä nelikiihtyvyyden<br />
a<br />
du<br />
d<br />
d<br />
d<br />
2<br />
x<br />
2<br />
nelikiihtyvyys muuntuu kuten nelivektori<br />
a ' L(<br />
v)<br />
a<br />
nelikiihtyvyys on aina (Minkowsjkin avaruuden mielessä) kohtisuorassa nelinopeutta vastaan:<br />
u<br />
u<br />
c<br />
2<br />
d<br />
d<br />
u<br />
u<br />
2u<br />
du<br />
d<br />
0<br />
a<br />
u<br />
0<br />
39