osa2 - Helsinki.fi

LORENTZIN MUUNNOSTEN
FYSIKAALISIA SEURAAMUKSIA
• Lorentzin kontraktio: ”liikkuva sauva näyttää kutistuvan”
• Aikadilataatio: ”liikkuva kello näyttää jätättävän”
nämä fysikaaliset efektit johtavat myös arkijärjen kannalta vaikeasti
ymmärrettäviin seuraamuksiin, ”paradokseihin”:
Lorentzin kontraktio lipputankoparadoksi;
aikadilataatio kaksosparadoksi
1

Lorentzin kontraktio
K’=sauvan
lepokoordinaatisto
K’ eli sauva liikkuu K:ssa
l0 x'
( x v t)
l 0
x'
x
l
K’
K
päät mitataan
samanaikaisesti Δt = 0
l
1
l
0
2
1 l
0
v/ c
liikkuva sauva ”lyhenee” – ts. sauvan suhteen liikkuva havaitsija
mittaa sen pituudeksi pienemmän numeron kuin sen suhteen
levossa oleva havaitsija
2

esimerkki: l 0 = 100 cm
β
l [cm]
0.9 43.6
0.99 14.1
0.999 4.5
kaikki avaruudelliset etäisyydet näyttävät liikkuvan
havaitsijan mielestä lyhyemmiltä.
esim. havaitsija aurinkokunnan läpi kiitävässä raketissa
näkee Aurinko-Maa –etäisyyden lyhyenevän yo. tavalla
3

LIPPUTANKOPARADOKSI
valittu mukavuussyistä
lipputanko omassa lepokoordinaatistossaan:
l 0 = 10 m
v
3c / 2
tallin lepokoordinaatistossa:
2
l l 5
1
0
m
mahtuu talliin!
5 m
nopeus aina suhteellista:
lipputangon lepokoordinaatistossa
v
3c / 2
l 0 = 10 m
1
l 5m
2, 5m
7,5 m tankoa jää ulkopuolelle? 4

Ongelman ratkaisu liittyy samanaikaisuuden määritelmään: pituusmittaus
tapahtuu määritelmän mukaan mittaamalla päätepisteet samanaikaisesti.
Mutta miten tietää, että lipputanko on tallin sisällä?
signaali etenee korkeintaan
valon nopeudella
tieto saapuu toiseen päähän ajassa
t l0
/
tässä ajassa lipputanko on kulkenut max matkan
c
3
v t c l0
/ c 8. 7 m
2
eli takapää saa tiedon kun se on 8.7-7.5 m = 1.2 m tallin sisäpuolella
mutta ei ole olemassa absoluuttisen jäykkiä kappaleita: joko lipputanko tai
vaihtoehtoisesti tallin takaseinä on murskautunut jo aikapäiviä sitten kun
tangon takapäähän saapuu viimein tieto seinäkontaktista
5

Aikadilataatio
v
K’ on kellon
lepokoordinaatisto
K K’
ajan mittaus =
kaksi tapahtumaa
t ' t 2
' t1'
x'
0
kellon paikka
ei muutu
K:ssa
t
t
v
' x'
2
c
t
'
t
1
2
K liikkuu K’:n suhteen
nopeudella -v
=0
”aika venyy”; ”liikkuvassa koordinaatistossa
aika kuluu hitaammin”
6

oikeammin: K:n suhteen liikkuva kello näyttää K:n mielestä jätättävän
verrattuna K:n lepokoordinaatistossa olevaan kelloon
aika ei kulu hitaammin K’:ssa: kello on siellä levossa
mutta liike on suhteellista: K’:sta katsottuna K:n kello näyttää jätättävän
verrattuna K’:n lepokoordinaatistossa olevaan kelloon
kumpikin on oikeassa: ei ole olemassa
oikeaa (absoluuttista) aikaa
esimerkki: Δt = 1 vuosi
β
Δt’ [päiviä]
0.9 159
0.99 51.4
0.999 16.4
0.9999 5.16
entä jos Maasta (K) lähetetään raketti (K’), joka
palaa takaisin niin, että K ja K’ voivat lopulta
verrata kellojaan – kumman kello on jätättänyt?
= kaksosparadoksi (kelloparadoksi)
tähän palataan myöhemmin
7

ESIMERKKI: epästabiilit hiukkaset
korkeaenergisia myoneja syntyy ilmakehän yläkerroksissa kosmisten säteiden
(esim. protonien) aiheuttamissa reaktioissa. Myoni on epästabiili ja hajoaa
keskimäärin ajassa T 0 = 1.56 10 -6 s eli kulkee keskimäärin matkan c T 0 = 450 m
myoneja nähdään kuitenkin
paljon!
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/relativ/relcon.html#relcon
selitys: suhteellisuusteoria
8

myonin kello liikkuu Maahan nähden ja siis jätättää
9

Lorentz-kontraktio selittää ilmiön identtisellä tavalla: myonin
näkemä matka on lyhentynyt
10

DOPPLERIN ILMIÖ
lähetetään valonsäde K’:sta K:hon
v
f hav
f läh
K K’
mikä frekvenssi f hav havaitaan K:ssa kun K’:sta lähteneen valon frekvenssi on f läh ?
• K ja K’ päällekkäin kun t=0
• fotoni lähtee liikkeelle hetkellä t 1 K:n aikaa K’:sta
• fotonin kulkema matka on x = vt ennen kuin se saapuu K:hon
x
c
c( t t1)
t t
c v
intervalli t 2 -t 1 vastaanotetaan intervallina
1
c
c v
( t 2
t1)
11

Mikä siis on t 2 -t 1 K’:ssa?
Valonsäde saapuu K:hon K’:n kellon mukaan kun
t '
t
2
v
v
x |
x vt
t 1 1
2 2
c
c
2
t
K’:n intervalli t 2 ’-t 1 ’ vastaanotetaan siis intervallina
t
1
2 1
' t1
' 1 ( t2
t1)
( t2
1)
1
1
2
t
lähetetty frekvenssi
f läh
1
t
'
f
hav
1
1
|
|
|
|
f
läh
lähestyvälähde
f
hav
1
1
|
|
|
|
f
läh
loittonevalähde
12

läh
läh
läh
läh
läh
hav
f
f
f
f
f
f
)
|
|
|
|
(1
)
|
) |
)
(
)
((
|
|
(1
...)
|
|
|
|
|
|
...)(1
|
|
|
|
(1
...)
|
|
|
|
(1
...)
|
|
|
|
(1
|
|
1
|
|
1
2
2
1
2
4
1
8
3
8
3
2
1
2
1
2
4
1
2
8
3
2
1
2
8
3
2
1
2
8
3
2
1
2
8
3
2
1
normaali Doppler:
frekvenssi pienenee
aallonpituus suurenee
= punasiirtymä
1. suhteellisuusteoreettinen
korjaus
loittonevalle kohteelle
13

AVARUUSAIKA
Suhteellisuusteoria voidaan kätevällä tavalla esittää formalismilla, jossa kolmiavaruus ja
aika yhdessä muodostavat neliulotteisen avaruusajan. Kyseinen neliulotteinen avaruusaika
ei kuitenkaan ole euklidinen vaan ns. Minkowskin avaruus sen 1907 ensimmäisenä esittäneen
matemaatikko Hermann Minkowskin mukaan
Tarkastellaan siis neliulotteista avaruutta, jonka koordinaatit ovat
x
(
3
x0,
x1,
x2,
x ) ( ct,
x,
y,
z)
missä x on nelivektori
Huom! Kurssilla käytetään notaatiota, jossa nelivektori x ei eroa muuttujasta x;
yhteydestä käy kuitenkin aina selväksi, kumpaa tarkoitetaan
Minkowskin huomio oli, että muoto
c
2
t
2
x
2
y
2
z
2
c
2
t
2
x
2
säilyy invarianttina Lorentz-muunnoksissa, ts. on Lorentz-invariantti
14

todistetaan tämä (voidaan rajoittua yksinkertaisuuden
vx
vuoksi 1+1:een ulottuvuuteen: t'
( t )
1 aika, 1 avaruus
x'
( x
vt)
c
2
c
2
t '
2
x'
2
2
2
[ c
2
[( c
( t
2
vx/
c
2
) t
täten myös etäisyysmitta
v
2
2
)
2
(1
c
2
( x
2
/ c
vt)
siitä, missä koordinaatistossa se lasketaan
Erityisesti lepokoordinaatistossa laskettuna saadaan arvo
v
t
2
2
(
2
) x
]
2
x
]
2
2
c
[ c
2
y
t
2
2
2
t
2
x
z
v
2
2
2
)
x
2
/ c
4
2tvx
x
on invariantti, ts. ei riipu
2
v
2
t
2
2tvx]
c
2
t
2
lepo
c
2
2
missä on nimeltään invariantti itseisaika
15

invariantti itseisaika on siis relatoitu kelloaikaan t
c
2
2
c
2
t
2
(
x
2
y
2
z
2
)
d
dt
1
1
c
2
dx
dt
2
dy
dt
2
dz
dt
2
dt
1
2
v ( t)
2
c
ja erityisesti lepokoordinaatistossa kelloaika = itseisaika:
d
dt
koska d on invariantti, se voidaan laskea missä koordinaatistossa hyvänsä
16

invariantin itseisajan (-aikaintervallin) neliö voi olla myös nolla tai negatiivinen
c 2 Δ 2 = 0 valonlaatuinen
> 0 ajanlaatuinen
< 0 paikanlaatuinen
avaruusaika voidaan esittää avaruusaikadiagramman avulla:
ct
x = -ct
ct
x = ct
tulevaisuus
+
+
valokartio
-
-
-
+
+
-
x
45 o valo kulkee pitkin valokartiota
x
maailmanviiva
menneisyys
17

• maailmanviivat pysyvät valokartion sisällä; tapahtumat ovat ajanlaatuisia
• maailmanviivat näyttävät erilaisilta eri koordinaatistoissa
• valokartion muoto ei muutu Lorentz-muunnoksissa sillä
c
2
t '
2
x '
2
ct
2
x
2
• kaikki tapahtumat ovat koordinaatteja avaruusaika-diagrammissa
ct
v=3c/5
valo kulkee valokartion
kanssa
samansuuntaisesti
esimerkki: avaruusraketti
lähtee K:sta ajanhetkellä
t = 1 nopeudella v = 3c/5
x
18

KAKSOSPARADOKSI ELI KELLOPARADOKSI
• A jää Maahan koordinaatistoon K
• A:n kaksonen B lähtee avaruusmatkalle lähes valon nopeudella
• A:n mielestä B:n kello jätättää, B:n mielestä A:n kello jätättää
• B kääntyy ja palaa takaisin Maahan, jolloin A ja B voivat vertailla kellojaan
samassa lepokoordinaatistossa
kumman kello on jätättänyt?
• B kokee luonnollisesti kiihtyvyyksiä sekä lähtiessä, kääntyessä että
pysähtyessään koordinaatistoon K. Kiihtyvä liike edellyttää yleistä
suhteellisuusteoriaa, mutta ongelman ratkaisu ei ole kiihtyvyyksissä
(osoitetaan myöhemmin)
• ongelmaa voidaan tarkastella monella tavoin; seurataan tässä, miten
A ja B vertailevat kellojaan
• kelloja voidaan vertailla vain lähettämällä signaaleja Maan ja avaruusraketin
välillä
19

oletetaan konkreettisuuden vuoksi seuraavaa:
• B tekee matkan Maasta Siriukseen, jonka etäisyys on 8 vv
• B kulkee sekä meno- että paluumatkan tasaisella nopeudella v = 4c/5 A:n suhteen
• oletetaan, että kiihdytykset ja jarrutukset tapahtuvat äärettömän nopeasti
• A:n koordinaatistossa K raketti kulkee siis kaikkiaan 16 vv ja palaa takaisin
ajassa 16 5/4 = 20 v
• A lähettää B:lle signaaleja, jotka kertovat, paljonko kello lähetyshetkellä on K:ssa
• saatuaan signaalin B kuittaa sen välittömästi lähettämällä A:lle signaalin, jossa
kertoo, paljonko kello lähetyshetkellä on K’:ssa
• voimme ajatella, että signaalit lähetetään tasaisin välein niin, että voimme
hyödyntää frekvenssikaavoja
loittoneva:
f
hav
1
1
|
|
|
|
f
läh
t
'
1
1
|
|
|
t
|
lähestyvä:
f
hav
1
1
|
|
|
|
f
läh
t
'
1
1
|
|
|
t
|
20

kun raketti loittonee Maasta, se saa A:n viestin välein
1 | | 9 / 5
t ' t t 3
1 | | 1/ 5
t
esimerkki: Maasta vuoden välein lähetetyt viestit saadaan K’:ssa
kolmen vuoden välein; kuitatut, 3’ vuoden välein lähetetyt viestit
saadaan K:ssa 3 3 = 9 vuoden välein
kun raketti lähestyy Maata, se saa A:n viestin välein
1 | | 1/ 5
1
t ' t t
3
1 | | 9 / 5
t
A lähettää B kuittaa B saa viestin A saa viestin
B loittonee B loittonee Δt’ = 3Δt läh 9Δt läh
B loittonee B lähestyy Δt’ = 3Δt 1 +Δt 2 /3
B lähestyy B lähestyy Δt’ = Δt läh /3 Δt läh /9
21

ct
20
A saa vuonna 1 lähetetyn
signaalin takaisin vuonna 9
A päättelee: B sai signaalin
A:n aikaa vuonna 1+8/2=5
B:n maailmanviiva
toisaalta A tietää, että B sai
viestin kun t´= 3’ vuotta
3
t '
5
t
valosignaalin
maailmanviiva
10
samanaikaisuus
Lorentz-muunnoksen avulla
1
2 3
t ' t dt 1 ( 4 5)
5
t
OK
4 8
x
22

lähtee
A:sta
B:ssä tyyppi takaisin
A:ssa
1 3’ 3 3 9 5
2 6’ 3 3 18 10
B:ssä A-
aikaa
5 7’ 3 1 / 3 18 1 / 3 11 2 / 3
8 8’ 3 1 / 3 18 2 / 3 13 1 / 3
11 9’ 1
/ 3
1
/ 3 19 15
tämän jälkeen
lähetetyt viestit
B saa paluumatkallaan
14 10’ 1
/ 3
1
/ 3 19 1 / 3 16 2 / 3
17 11’ 1
/ 3
1
/ 3 19 2 / 3 18 2 / 3
20 12’ 20 20
Esim: signaali lähtee A:sta kun t = 5
1 | | 1 | |
1
t ' 2
3 3 2
3
1 | | 1 | |
3
7'
loittonee
lähenee
B palaa Maahan nuorempana 23

20
lähestyy
A:n aika
0
0 12
B:n aika
loittonee
24

MITÄ B NÄKEE?
ensimmäiset 3 1 / 3 ’ vuotta A vanhenee 2 vuotta
aikadilataatio 2/3 1 / 3 =3/5 OK
seuraavat 5 1 / 3 ’ vuotta B lähettää signaalinsa poispäin mennessä ja vastaanottaa
ne takaisin tullessaan
tämän aikana A vanhenee kaikkiaan 16 vuotta
viimeiset 3 1 / 3 ’ vuotta A vanhenee 2 vuotta
2+16+2=20
25

Nuorempi on se, joka vaihtaa inertiaalikoordinaatistoa
A pysyy koko ajan samassa lepokoordinaatistossa,
B vaihtaa Siriuksessa koordinaatistoa
http://www.helsinki.fi/~enqvist/artikkeli.dir/kaksos.html
mistä A tietää ettei ole vaihtanut inertiaalikoordinaatistoa? Vaatii
kiihtyvyysmittauksen
26

Maa
A:n koordinaatistossa
raketti liikkuu
Sirius
8 vv
B:n koordinaatistossa
Maa
Sirius
Lorentzkontraktio
4.8 vv
raketti paikoillaan
Maa ja Sirius liikkuvat jäykkänä kappaleena
etäisyys on Lorentz-kontrahoitunut
27

MATEMAATTINEN TODISTUS
itseisaika on invariantti:
2
v ( t)
d dt 1
2
c
lasketaan A:n lepokoordinaateissa
ct
B:n rata
(
(
)
)
B
A
t
paluu
dt
1
2
v ( t)
c
0 2
t
0
paluu
dt
t
paluu
(
t
paluu
)
B
1
v
c
2
keskim
2
t
paluu
ct paluu
A:n kelloaika > B:n kelloaika
A:n lepokoordinaatisto
x
kun kelloja viimein vertaillaan A:n lepokoordinaatistossa, se on myös
silloin B:n lepokoordinaatisto itseisaika on sama kuin kelloaika
( ) t ( ) t
A
B
'
kun kelloja verrataan koordinaatistossa
28
K

MINKOWSKIN AVARUUS
avaruuden määrittämiseksi tarvitaan vielä pistetulo
kolmiavaruus:
r
x
( x
1
, x2,
x3)
( x,
y,
z)
x
x
x
2
y
2
z
2
invariantti kierroissa:
x
Rx
x'
x
Minkowskin avaruus:
x
(
3
x x
x0,
x1,
x2,
x ) ( ct,
x,
y,
z)
( x,
y,
z)
R
T
R
y
z
x'
x'
x
x
määritellään pistetulo siten, että vektorin pituus on invariantti Lorentzin
muunnoksissa
29

x
x
c
2
t
2
x
2
y
2
z
2
c
2
t
2
x
2
c
2
t '
2
x'
2
x'
x'
pistetulo invariantti Lorentzin
muunnoksen määrittämissä
4-ulotteisen avaruuden
”kierroissa”
x
x
x
L(
v)
x x'
( ct,
x,
y,
z)
L
T
L
ct
x
y
z
x'
x'
x
x
Minkowskin avaruus epäeuklidinen
x
x
c
2
t
2
x
2
Formaalisti euklidinen 4-avaruus x ( x 0
, x,
y,
z)
Minkowskin avaruus kun
x 0
ict
(etumerkki ei oleellinen)
30

ETÄISYYDEN MÄÄRITELMÄ
kahden pisteen välinen etäisyys euklidisessa 3-avaruudessa:
x
1
dl
2
( x,
y,
z),
x
( x
1
x
2
)
2
2
( x
dx
2
dx,
y
dy
2
dy,
z
dz
2
dz)
dx
dx
0
Minkowskin avaruuden neliulotteinen etäisyys on vastaavasti
ds
2
2
2 2 2 2 2
( x1
x2)
dx dx c dt dx dy dz
Minkowskin avaruuden etäisyyden neliö voi siis
olla myös negatiivinen
0
0
0
yleisesti
ds 2
g
dx
dx
Einsteinin summasääntö: summa on
yli toistuvien indeksien ,
0,1,2,3
metriikka
usein käytetään yläindeksejä; suppeassa
suhteellisuusteoriassa ylä- ja alaindekseillä
31
ei ole eroa, yleisessä suhteellisuusteoriassa on

Yleinen metriikka on 4 x 4 matriisi
Pistetulo määrittää Minkowskin avaruuden metriikan:
ds
2
g
dx
dx
c
2
dt
2
dx
2
dy
2
dz
2
dx
dx
yleinen notaatio Minkowskin metriikalle
diag(1, 1, 1, 1)
NOTAATIO
• kreikkalaiset indeksit , , ... = 0, ..., 3
• latinalaiset indeksit i, j = 1, ..., 3
32

Minkowskin avaruuden 4-ulotteinen karteesinen koordinaatisto: yksikkövektrorit e
Huom! koordinaatisto ei ole euklidinen!
e e , e e , e e 0
0 0
1
i j ij 0 j
e
e
Mielivaltainen nelivektori x voidaan kirjoittaa tässä karteesisessa koordinaatistossa
x
x
x
x
0
0
0
e
e
e
0
0
0
x
xe
r
1
e
x
1
x
2
ye
e
y
2
x
ze
3
z
e
3
kahden nelivektorin x ja y välinen pistetulo
x y
x
x
0
0
y
y
0
0
x
1
y
1
x y
x
2
y
2
x
3
y
3
Toisessa, K:n suhteen x-akselin suuntaan liikkuvassa koordinaatistossa K’
x
' L(
v
x)
x ( x0
x)
e0
( x x0
e ) xe
x
ye
y
ze
z
nelivektori muuntuu aina toiseksi nelivektoriksi 33

esimerkki
x
3e
e e e
2 2
0 1
2
3
x
x
9
[(
2)
2
(
2)
2
(
1)
2
]
0
nelivektorin pituus voi siis olla = 0 vaikka vektori itsessään on 0
y
2e
2e
3e
e
0
toinen esimerkki 1 2 3
y
y
4
[(
2)
2
(
3)
2
(
1)
2
]
10
x
y
3
2
[(
2
2)
(
2
3)
(1
1)]
3
34

x'
x'
T
xL
Lx
1
x
x
nelivektorin pituuden neliö on invariantti = sama luku
koordinaatistosta riippumatta
x'
y'
T
xL
L y
1
x
y
kahden nelivektorin pistetulo on invariantti = sama luku
koordinaatistosta riippumatta
kannattaa laskea invariantit koordinaatistossa, jossa
lasku on kaikkein helpoin
35

nelivektori voi yleisesti olla ajan ja paikan funktio; komponentti on tällöin
A
( x , x);
0
A
'
L
A
nelivektorit muuntuvat nelivektoreiksi
totutellaan notaatioon jossa summattavat
indeksit ovat eri kerroksissa
tässäkin tapauksessa
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
2
2 2 2 2
0 0 x y z
voimme sanoa, että nelivektorit A ja B ovat kohtisuorassa toisiaan vasten jos
A
B
A
B
A
B
0
36

LISÄÄ MINKOWSKIN AVARUUDEN FORMALISMIA
Kolmiavaruudessa nopeus muuntuu kuten vektori. Minkowskin avaruudessa sen
vastine on nelivektorin lailla muuntuva nelinopeus
dx/dt ei nyt kuitenkaan käy, sillä
dx
dt
dL(
v)
x
dt'
L(
v)
dx
dt
itseisaika d
on invariantti; määritellään siis nelinopeus u
u
dx
d
1
ce
0
1
v
2
1
/ c
v
2
1
v
2
/ c
c
2
dt
dt
e
( c,
v)
dx
dt
0
dx
dt
nelinopeuden määritelmä
nelinopeus muuntuu kuten nelivektori
u ' L(
v)
u
37

nelinopeuden neliö on
u
u
u
c
2
0
2
2
c
2
u
u
2
v
2
nelinopeuden neliö on aina vakio
... sillä se on nelivektori
esimerkki
v
x
0.6c;
v v 0 v 0.6ce
y
z
1
u
1
c
0.6
2
e
0
1
0.6c
0.6
2
e
1
1.25ce
0
0.75ce
1
38

NELIKIIHTYVYYS
voimme edelleen määritellä nelikiihtyvyyden
a
du
d
d
d
2
x
2
nelikiihtyvyys muuntuu kuten nelivektori
a ' L(
v)
a
nelikiihtyvyys on aina (Minkowsjkin avaruuden mielessä) kohtisuorassa nelinopeutta vastaan:
u
u
c
2
d
d
u
u
2u
du
d
0
a
u
0
39