Luento 2

Elektrodynamiikka 2010
Luennot 21.1.2010
Elina Keihänen
1. Sähkökentän laskeminen tunnetusta varausjakaumasta
-Esimerkki: ääretön viivavaraus
2. Gaussin laki (tärkeä!)
-Esimerkkejä
3. Johteet
4. Sähkökentän multipolikehitelmä
Ilmoittautukaa WebOodissa laskariryhmiin 24.1. mennessä.

Kertaus:
Varausjakauman sähkökenttä
E(r) = 1
4πǫ 0
∫V
r − r ′
|r − r ′ | 3 ρ(r′ )dV ′
ja potentiaali
ϕ(r) = 1
4πǫ 0
∫V
ρ(r ′ )
|r − r ′ | dV ′
E = −∇ϕ(r)

Tavallinen laskuongelma:
Tunnetaan varausjakauma, pitää laskea sähkökenttä.
Kenttä vai potentiaali?
Valittava tapauskohtaisesti.
Potentiaali on skalaarikenttänä monesti helpompi käsitellä.
Sähkökenttä saadaan gradienttina.
Potentiaaliteoria tarjoaa joukon työkaluja (Laplacen/Poissonin
yhtälöiden ratkaiseminen).
Joissakin tapauksissa helpompaa laskea sähkökenttä suoraan.
Esimerkiksi
- Symmetrinen varausjakauma: voidaan käyttää Gaussin lakia
- Tarvitaan sähkökentän arvo vain yhdessä pisteessä
- Äärettömyyteen ulottuva varausjakauma.
Sähkökenttä on fysikaalinen, mitattava suure. Joskus tilanne helpompi
hahmottaa sen kautta.

Esimerkki:
Äärettömän pitkän varauslangan aiheuttama kenttä ja potentiaali.

Gaussin laki
Pistevaraus origossa:
E(r) =
q r
4πǫ 0 r 3
Olkoon V jokin tilavuus varauksen ympärillä ja S sen reuna.
Tarkastellaan sähkökentän vuota pinnan S läpi.
∮
E · dS =
q r · dS
r 3 dS
Geometrinen tarkastelu osoittaa että
mistä seuraa
S
r
r · dS = r2 dΩ
kun varaus on alueen V sisällä.
∮
joten
S
4πǫ 0
∮S
∮
S
E · dS = q/ǫ 0
Jos varaus on alueen ulkopuolella, ∮ S
E · dS = 0.
Helppo ymmärtää voimaviivojen kautta.
∮
r · dS
r 3 = dΩ = 4π
S

Tulos yleistyy varausjakaumalle
∮
E · n dS = 1 ∫
ρ dV
ǫ 0
S
V
joka on Gaussin laki integraalimuodossa (tärkeä!)
Divergenssiteoreeman eli Gaussin lauseen mukaan riittävän siistille
vektorikentälle u pätee
∮ ∫
u · n dS = ∇ · u dV
Sovelletaan tätä Gaussin lakiin,
∫
∇ · EdV = 1 ∫
ǫ 0
S
V
V
V
ρ dV
Tämä on riippumaton tilavuuden V valinnasta, joten
∇ · E = ρ/ǫ 0
Tämä on Gaussin laki differentiaalimuodossa
eli Maxwellin ensimmäinen yhtälö.

∮
E · n dS = 1 ∫
ρ dV
ǫ 0
S
V
Esimerkkejä gaussin lain soveltamisesta
1. Sähkökenttä tunnettu:
Halutaan laskea varausjakauma.
a. Jatkuva varausjakauma ja jatkuva sähkökenttä
- Sovella Maxwellin I yhtälöä: ρ/ǫ 0 = ∇ · E
b. Pintavaraus ja epäjatkuva kenttä
- Gaussin laki!
σ = ǫ 0 (n · E + − n · E − )

∮
S
E · n dS = 1 ǫ 0
∫
V
ρ dV
2. Varausjakauma tunnettu: Halutaan laskea sähkökenttä.
Gaussin laki yksin ei riitä.
Tarvitaan lisätietoa, esim. symmetria.
Esimerkkejä:
- Pallosymmetrinen jakauma
- Ääretön varauslanka

Johteet
Johteessa on runsaasti vapaita varauksia jotka kykenevät kuljettamaan
virtaa.
Varaukset liikkuvat kunnes ulkoinen kenttä kumoutuu.
Sähköstaattisten johteiden yleiset ominaisuudet:
- Johteen sisällä ei ole kenttää (E = 0)
- Johteen pinnalla kenttä on pintaa vastaa kohtisuorassa.
- Johteen sisällä ei ole nettovarausta. Tämän voi perustella Gaussin lailla.
- Mahdollinen nettovaraus on pinnalla.
- Potentiaali on vakio koko kappaleessa

Esimerkkejä:
1. Muuten tyhjässä avaruudessa johdekappale, johon on tuotu varaus Q.
- Varaus asettuu pinnalle.
- Sähkökenttä on suurin terävien kärkien kohdalla.
2. Johdekappale ulkoisessa sähkökentässä:
- Varaus kappaleessa järjestyy pinnalle niin että pintavarauksen kenttä
kappaleen sisällä kumoaa ulkoisen kentän.
3. Johdekappaleen sisällä olevassa onkalossa ei ole kenttää, jos onkalossa
ei ole varauksia. Tämän voi perustella voimaviivojen avulla.
4. Sähkökenttä johteen pinnan lähellä on verrannollinen pintavaraukseen.
E = σ ǫ 0
n

Maadoitus
Maadoitus asettaa johdekappaleen nollapotentiaaliin = äärettömyys.
Johdekappale ajatellaan kytketyksi johtimella hyvin kaukana
(äärettömyydessä) sijaitsevaan potentiaalin nollatasoon, “maahan”.
“Maa” ajatellaan kaukana sijaitsevaksi loputtomaksi varausvarastoksi,
joka voi syöttää johteeseen nettovarausta.
Maadoitetun johdekappaleen pinnalta lähtevät voimaviivat voivat päättyä
vain toiseen, maadoittamattomaan kappaleeseen/varaukseen.
Jos ulkoisia varauksia ei ole, maadoitetun kappaleen pinnalla ei ole
varauskatetta, eikä sen ulkopuolella sähkökenttää.

Sähkökentän multipolikehitelmä
Tarkastellaan äärellisen varausjakauman kenttää kaukana jakaumasta.
Jos kokonaisvaraus poikkeaa nollasta, kenttä kaukaisuudessa lähestyy
pistelähteen kenttää (Coulombin kenttä).
Jos kokonaisvaraus on nolla, kenttä heikkenee nopeammin kuin 1/r 2 .

Sähköinen dipoli
Origossa varaus −q, pisteessä d varaus q.
r
r–d
–q q
d
Potentiaali
ϕ(r) =
q 1
(
4πǫ 0 |r − d| − 1
|r| )

Potentiaali
Kaukana varauksista (|r| ≫ |d)
ϕ(r) =
q 1
(
4πǫ 0 |r − d| − 1
|r| )
|r − d| −1 = [r 2 − 2r · d + d 2 ] −1/2 = 1 r
joten potentiaaliksi saadaan
ϕ(r) =
q 1
4πǫ 0 r
[ r · d
r 2 + O(( d ]
r )2 )
Sähköinen dipoli saadaan raja-arvona d → 0, qd → p,
Sähkökentäksi saadaan
ϕ(r) = 1 p · r
4πǫ 0 r 3
E(r) = 1
4πǫ 0
[ 3r · p
r 5 r − p r 3 ]
[
1 + r · d ]
r 2 + ...

z
x

Sähkökentän multipolikehitelmä
Tarkastellaan mielivaltaista varausjakaumaa ρ(r ′ ) origon ympäristössä.
Potentiaali pisteessä r on
ϕ(r) = 1
4πǫ 0
∫V
ρ(r ′ )
|r − r ′ | dV ′
Kehitetään |r − r ′ | −1 sarjaksi, kun r ≫ r ′ ja kootaan termit r ′ :n
potenssien mukaisessa järjestyksessä.
|r − r ′ | −1 = (r 2 − 2r · r ′ + r ′2 ) −1/2
{
= 1 r
1 − 1 2
2r · r′
[−
r 2 + r ′2 ]
r 2 + 3 8
= 1 r + r · r′
r 3 − 1 r ′2
2 r 3 + 3 (r · r ′ ) 2
2 r 5 + O(r ′3 )
2r · r′
[−
r 2 + r ′2 ] 2
}
r 2 + ...

Sijoitetaan edellinen tulos potentiaalin lauesekkeeseen, kirjoitetaan auki
komponenteittain ja siirretään r ′ :sta riippumattomat koordinaatit ulos
integraalista.
∫
1 1
ϕ(r) = ρ(r ′ )dV ′
4πǫ 0 r V
[
+ 1 ∫
∫
∫ ]
1
4πǫ 0 r 3 x x ′ ρ(r ′ )dV ′ + y y ′ ρ(r ′ )dV ′ + z z ′ ρ(r ′ )dV ′
V
V
V
{
+ 1 1 x 2 ∫
4πǫ 0 r 5 (2x ′2 − y ′2 − z ′2 )ρ(r ′ )dV ′
2 V
y 2 ∫
(2y ′2 − x ′2 − z ′2 )ρ(r ′ )dV ′
2 V
z 2 ∫
(2z ′2 − x ′2 − y ′2 )ρ(r ′ )dV ′
2 V∫
∫
+3xy x ′ y ′ ρ(r ′ )dV ′ + 3xz x ′ z ′ ρ(r ′ )dV ′
V
V
∫ }
+3yz y ′ z ′ ρ(r ′ )dV ′
V

Tämä voidaan kirjoittaa tiiviimmin
ϕ(r) =
[ ∫
1 1
ρ(r ′ )dV ′ + r ∫ ]
4πǫ 0 r V r 3 · r ′ ρ(r ′ )dV ′
V
+ 1 3∑ 3∑ 1 x i x j
4πǫ 0 2 r
∫V
5 (3x i ′ j ′ − δ ij r ′2 )ρ(r ′ )dV ′ + . . .
i=1 j=1
missä x i :t ovat paikkavektoreiden karteesisia komponentteja ja δ ij on
Kroneckerin delta {
0, i ≠ j
δ ij =
1, i = j

Nyt on saatu potentiaalin multipolikehitelmän 3 ensimmäistä termiä:
⎧ ⎫
ϕ(r) = 1 ⎨
Q
4πǫ 0 ⎩ r + r · p 3∑ 3∑ 1 x i x
⎬
j
r 3 +
2 r 5 Q ij + ...
⎭
i=1 j=1
Multipolikehitelmän ensimmäinen tekijä (monopoli) vastaa origoon
sijoitettua pistevarausta.
∫
Q = ρ(r ′ )dV ′
Toinen tekijä (dipolimomentti) vastaa origoon sijoitettua dipolia.
∫
p = r ′ ρ(r ′ )dV ′
V
V
Kolmas termi
Q ij =
3∑
3∑
i=1 j=1
∫
1
(3x i ′ x j ′ − δ ij r ′2 )ρ(r ′ )dV ′
2 V
on kvadrupolimomenttitensori.

Kaukana varausjakaumasta potentiaali on likimain ensimmäisen nollasta
poikkeavan termin aiheuttama potentiaali.
Jos monopoli häviää, dipolimomentin arvo ei riipu origon valinnasta.
Jos sekä monopoli että dipoli häviävät, kvadrupolimomentti on origon
valinnasta riippumaton.
Korkeammat multipolit ovat tärkeitä ydinfysiikassa.

Potentiaaliteoriaa

Poissonin/Laplacen yhtälö ja sen ratkaiseminen
Jos staattinen varausjakauma kaikkialla tunnetaan, voidaan sähkökenttä
ja potentiaali määrittää Coulombin lain perusteella:
ϕ(r) = 1
4πǫ 0
N ∑
i=1
q i
|r − r i | + 1
4πǫ 0
∫V
Useinkaan koko varausjakaumaa ei tunneta.
ρ(r ′ )
|r − r ′ | dV ′ + 1
4πǫ 0
∫S
σ(r ′ )
|r − r ′ | dS ′

Tavanomainen ongelma elektrodynamiikassa:
Tunnettu varausjoukko, “ulkoiset varaukset”
Sen lisäksi on on joukko eriste- tai johdekappaleita, joiden paikat ja
muodot tunnetaan.
Kappaleiden sisälle syntyy jokin varausjakauma, jota lähtökohtaisesti ei
tunneta, vaan joka syntyy vasteena ulkoisten varausten tuottamaan
kenttään. Indusoituva varausjakauma puolestaan muuttaa kenttää
kappaleen ulkopuolella.
Kappaleiden sähköiset ominaisuudet tunnetaan
- eristeen tapauksessa permeabiliteetti ǫ
- johde: ideaalijohde
Halutaan määrittää
- sähkökenttä kappaleiden ulkopuolisessa alueessa
kenties myös
- sähkökenttä kappaleiden sisällä
- kappaleiden sisälle indusoitunut varausjakauma
Tarvitaan potentiaaliteoriaa