Harjoitus 3 - Koppa

Jyväskylän yliopiston avoin yliopisto
MaLuOpe-koulutus
LASKENNALLINEN LINEAARINEN ALGEBRA JA GEOMETRIA
Harjoitus 3 la 12.12.2009
Ratkaise tehtävät käsin laskemalla. Tulosten tarkistamisessa saa (ja kannattaa) käyttää MATLABia,
jos se on mahdollista. Muistathan tehdä tehtäviä vähintään kurssin suorittamiseen vaaditun määrän.
1. a) Havaintopisteille (1, 1.8), (2, 2.7), (3, 3.4), (4, 3.8) ja (5, 3.9) halutaan löytää muotoa
y(x) = a 1 x + a 2 x 2
oleva PNS-sovitus. Muodosta tarvittavat matriisit ja matriisiyhtälö, jonka pienimpien neliöiden ratkaisusta
kertoimet a 1 ja a 2 saadaan. Piirrä lisäksi havaintopisteet koordinaatistoon.
b) Kuten kohta a) havaintopisteille (1, 7.9), (2, 5.4) ja (3, −9) ja funktiolle y(x) = A cos x + B sin x.
Pienimpien neliöiden ratkaisua ei tässä tehtävässä tarvitse ryhtyä laskemaan käsin, vaan teemme sen
viimeisellä tapaamiskerralla pääteohjauksissa.
2. Voiko matriisin
[ √ ]
3 2
A = √
0 3
ominaisvektoreista muodostaa avaruuden R 2 kannan? Jos voi, etsi jokin ominaisvektorikanta.
3. Voiko matriisin
A =
⎡
⎣ −3 −5 −3
1 3 3
3 3 1
ominaisvektoreista muodostaa avaruuden R 3 kannan? Jos voi, etsi jokin ominaisvektorikanta.
(Tehtävän lyhentämiseksi: matriisin A ominaisarvot ovat 1 ja −2.)
⎤
⎦
4. Laske A 5 , kun A = P DP −1 , missä
[ ]
5 7
P =
2 3
ja D =
[
2 0
0 1
]
.
5. Diagonalisoi matriisi
[ ]
16 −4
A =
−4 1
ortogonaalisesti. Toisin sanoen muodosta ortogonaalinen matriisi Q ja diagonaalimatriisi D siten, että
D = Q T AQ.
6. Laske matriisin
⎡
A = ⎣ 7 1
⎤
0 0 ⎦
5 5
singulaariarvot. Mitä voit sanoa matriisia A vastaavan lineaarikuvauksen injektiivisyydestä, surjektiivisuudesta
tai bijektiivisyydestä dimensiolauseen ja lauseen 10.3.1. perusteella?
Käännä

Kirjalliset tehtävät 3
Palautus kirjallisena viimeistään lauantaina 12.12.2009 harjoitusten 3 yhteydessä.
Jos postitat kirjalliset tehtävät viimeistään ti 8.12.2009 tai lähetät ne sähköpostin liitetiedostona
viimeistään ke 9.12.2009, saat tehtävät takaisin tarkistettuna ja pisteytettynä lauantaina 12.12. (ellen
sairastu tms.). Samalla saat tietää, oletko tehnyt kirjallisia tehtäviä riittävästi kurssin suorittamista
varten. Lauantaina 12.12. palautettujen kirjallisten tehtävien pisteet tulevat Korppiin aikaisintaan ti
15.12.
Nämä kirjalliset tehtävät käsittelevät neliömuotoja. Apua tehtäviin löytyy luentojen lisäksi esimerkiksi
kurssin Approbatur 1A kurssikirjasta luvusta Neliömuoto. (Verkkokirjan linkki on kurssimme
kotisivulla.)
1. Funktiota q : R n → R sanotaan neliömuodoksi, jos q voidaan esittää muodossa
jollekin n × n-matriisille A.
a) Laske x T Ax, kun x = [ x 1 x 2 ] T ja
[ ]
4 0
(i) A =
(ii) A =
0 3
q(x) = x T Ax
[
3 −2
−2 7
]
(iii) A =
[
3 0
−4 7
b) Kirjoita lauseke
2x 2 1 + 4x 1 x 2 + 5x 2 2
muodossa x T Ax, missä x = [ x 1 x 2 ] T ja A on symmetrinen 2×2-matriisi. Tarkista tulos toteamalla,
että tulo x T Ax antaa lausekkeen 2x 2 1 + 4x 1 x 2 + 5x 2 2 . (Matriisia A käytetään seuraavissa tehtävissä,
jolloin väärä matriisi voi aiheuttaa ongelmia.)
2. Määrää tehtävän 1 kohdassa b) saamasi symmetrisen matriisin A ominaisarvot ja -vektorit. Diagonalisoi
matriisi A ortogonaalisesti, ts. muodosta ortogonaalinen matriisi Q ja diagonaalimatriisi D
siten, että D = Q T AQ. (Tarkista sijoittamalla, että saamasi ominaisarvot ja -vektorit ovat oikein, ja
totea, että tulosta Q T AQ tulee tulokseksi D.)
3. a) Tarkastellaan nyt yhtälöä
(1) 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 5x 2 2 = 6,
joka tehtävän 1 kohdan b) perusteella voidaan kirjoittaa muodossa x T Ax = 6. Käyttämällä tehtävän
2 diagonalisointia
D = Q T AQ ⇐⇒ QDQ T = QQ T A QQ T ⇐⇒ A = QDQ T
} {{ } } {{ }
=I =I
saadaan
x T Ax = 6 ⇐⇒ x T QDQ T x = 6 ⇐⇒ (Q T x) T DQ T x = 6.
Kun merkitään y = Q T x, viimeinen yhtälö voidaan kirjoittaa lyhyemmin muodossa y T Dy = 6 eli
[ ] T [ ]
y1 y1
(2)
D = 6.
y 2 y 2
Laske yhtälö (2) auki. Minkä tasokäyrän yhtälö saamasi yhtälö on?
b) Yhtälö (1) ja kohdassa a) yhtälöstä (2) saamasi yhtälö ovat yhtäpitävät ja ne määrittelevät saman
ratkaisujoukon. Alkuperäisessä yhtälössä (1) x 1 ja x 2 ovat ratkaisujoukon vektoreiden koordinaatit
luonnollisessa kannassa, yhtälöstä (2) saamassasi yhtälössä y 1 ja y 2 puolestaan ovat ratkaisujoukon
vektoreiden koordinaatit ominaisvektorikannassa. Kohdassa a) saamaasi muotoa sanotaan
neliömuodon normaalimuodoksi tai pääakseliesitykseksi. Ominaisvektoreiden määräämät suorat ovat
neliömuodon pääakselit.
Piirrä koordinaatistoon ominaisvektoreiden (tehtävästä 2) määräämät suorat ja niiden avulla kohdassa
a) saamasi tasokäyrä.
]
.