JOUKKO-OPIN ALKEITA 1 Joukon käsite

Tässäkin oletetaan kvantifioitavan perusjoukon alkioiden yli.
Predikaattilogiikan kielessä, jossa on käytettävissä identiteetti ’=’ ja kaksipaikkaiset
predikaattisymbolit ’∈’ ja’⊆’, nämä määritelmät vastaavat kaavoja
∀x ∀y ( x = y ↔∀z(z ∈ x ↔ z ∈ y) )
ja
∀x ∀y ( x ⊆ y ↔∀z(z ∈ x → z ∈ y) ) .
Näin formaalia kieltä käytetään erityisesti aksiomaattisessa joukko-opissa. 3
Jos U on perusjoukko, niin joukko-opillista erotusta U \ A kutsutaan joukon A
komplementiksi (perusjoukon U suhteen). Jos perusjoukosta ei ole epäselvyyttä, voidaan
merkitä A (myös merkintää −A käytetään).
Esimerkki 11. Olkoon perusjoukkona W = {w 1 ,w 2 ,w 3 ,...}, A = {w 1 ,w 2 }, B =
{w 1 ,w 3 ,w 5 ,...} ja C = {w 2 ,w 4 ,w 6 ,...}. Tällöin
A = {w 3 ,w 4 ,w 5 ,...},
B = C,
C = B.
2.2 Venn-diagrammi
Joukkoja ja niiden välisiä operaatioita voidaan havainnollistaa ns. Venn-diagrammien
avulla:
B
A
a
U
c
a ∈ A, c/∈ A, B ⊆ A,
U perusjoukko
B
B
A
A
A ∪ B
A ∩ B
3 Käytämme siis puoliformaalissa kielessä kaksoisnuolia ⇒ ja ⇔ lyhenteinä ilmaisuille ’jos ...,
niin ...’ja’... jos ja vain jos ...’. Logiikan objektikielessä näitä vastaavat merkinnät → ja ↔.
5