JOUKKO-OPIN ALKEITA 1 Joukon käsite
JOUKKO-OPIN ALKEITA 1 Joukon käsite
JOUKKO-OPIN ALKEITA 1 Joukon käsite
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Esimerkki 70. Kaavan p → (q ∧¬r) rakennepuu on<br />
p → (q ∧ ¬r)<br />
<br />
p q ∧ ¬r<br />
<br />
q ¬ r<br />
|<br />
r .<br />
Senalikaavojenjoukkoon{p → (q ∧¬r),p,q∧¬r, q, ¬r, r}.<br />
Sijoituksella A[p/B] tarkoitetaan kaavaa, joka saadaan kaavasta A korvaamalla<br />
siinä jokainen lausemuuttujan p esiintymä kaavalla B. Josp ei esiinny kaavassa A,<br />
sijoitus on tyhjä ja saadaan kaava A itse.<br />
Esimerkki 71. Olkoon A = p ∨ (q ∧¬p). Tällöin<br />
A[p/r] =r ∨ (q ∧¬r),<br />
A[r/p] =A (koska r ei esiinny kaavassa A),<br />
A[p/(q ∨¬q)] = (q ∨¬q) ∨ (q ∧¬(q ∨¬q)).<br />
Yleisesti sijoituksella A[q 1 /B 1 ,q 2 /B 2 ,...,q k /B k ] tarkoitetaan kaavaa, joka saadaan<br />
kaavasta A korvaamalla (jokainen lausemuuttujan q i esiintymä kaavalla B i<br />
(i =1, 2,...,k). Nämä korvaamiset on tehtävä samanaikaisesti.<br />
Sijoitus A[q 1 /B 1 ,...,q k /B k ] voidaan määritellä induktiivisesti toteamalla, että<br />
yhdistetyille kaavoille pätevät säännöt<br />
(¬B)[q 1 /B 1 ,...,q k /B k ]=¬B[q 1 /B 1 ,...,q k /B k ],<br />
(B ◦ C)[q 1 /B 1 ,...,q k /B k ]=B[q 1 /B 1 ,...,q k /B k ] ◦ C[q 1 /B 1 ,...,q k /B k ],<br />
jossa ◦∈{∧, ∨, →, ↔} , ja määrittelemällä lausemuuttujille<br />
{<br />
B i , jos ∃i ∈{1, 2,...,k}: q = q i<br />
q[q 1 /B 1 ,...,q k /B k ]=<br />
q muulloin.<br />
Esimerkki 72. Olkoon A = p → (q → p). Tällöin<br />
A[p/B, q/C] =B → (C → B),<br />
A[p/B, q/B] =B → (B → B).<br />
Lisää esimerkkejä logiikan käsitteiden induktiivisista määritelmistä ja niihin liittyvistä<br />
induktiotodistuksista löytyy mm. oppikirjasta Rantala & Virtanen: Johdatus<br />
modaalilogiikkaan, 2003. Esimerkkejä luonnollisten lukujen ominaisuuksien induktiotodistuksista<br />
löytyy oppikirjasta Merikoski, Virtanen, Koivisto: Diskreetti matematiikka<br />
I, 2000. Jälkimmäisen avulla lukija voi perehtyä muutenkin tarkemmin joukkoihin,<br />
relaatioihin ja kuvauksiin liittyviin käsitteisiin ja niitä koskevien tulosten täsmällisiin<br />
todistuksiin.<br />
30