JOUKKO-OPIN ALKEITA 1 Joukon käsite

Esimerkki 70. Kaavan p → (q ∧¬r) rakennepuu on
p → (q ∧ ¬r)
p q ∧ ¬r
q ¬ r
|
r .
Senalikaavojenjoukkoon{p → (q ∧¬r),p,q∧¬r, q, ¬r, r}.
Sijoituksella A[p/B] tarkoitetaan kaavaa, joka saadaan kaavasta A korvaamalla
siinä jokainen lausemuuttujan p esiintymä kaavalla B. Josp ei esiinny kaavassa A,
sijoitus on tyhjä ja saadaan kaava A itse.
Esimerkki 71. Olkoon A = p ∨ (q ∧¬p). Tällöin
A[p/r] =r ∨ (q ∧¬r),
A[r/p] =A (koska r ei esiinny kaavassa A),
A[p/(q ∨¬q)] = (q ∨¬q) ∨ (q ∧¬(q ∨¬q)).
Yleisesti sijoituksella A[q 1 /B 1 ,q 2 /B 2 ,...,q k /B k ] tarkoitetaan kaavaa, joka saadaan
kaavasta A korvaamalla (jokainen lausemuuttujan q i esiintymä kaavalla B i
(i =1, 2,...,k). Nämä korvaamiset on tehtävä samanaikaisesti.
Sijoitus A[q 1 /B 1 ,...,q k /B k ] voidaan määritellä induktiivisesti toteamalla, että
yhdistetyille kaavoille pätevät säännöt
(¬B)[q 1 /B 1 ,...,q k /B k ]=¬B[q 1 /B 1 ,...,q k /B k ],
(B ◦ C)[q 1 /B 1 ,...,q k /B k ]=B[q 1 /B 1 ,...,q k /B k ] ◦ C[q 1 /B 1 ,...,q k /B k ],
jossa ◦∈{∧, ∨, →, ↔} , ja määrittelemällä lausemuuttujille
{
B i , jos ∃i ∈{1, 2,...,k}: q = q i
q[q 1 /B 1 ,...,q k /B k ]=
q muulloin.
Esimerkki 72. Olkoon A = p → (q → p). Tällöin
A[p/B, q/C] =B → (C → B),
A[p/B, q/B] =B → (B → B).
Lisää esimerkkejä logiikan käsitteiden induktiivisista määritelmistä ja niihin liittyvistä
induktiotodistuksista löytyy mm. oppikirjasta Rantala & Virtanen: Johdatus
modaalilogiikkaan, 2003. Esimerkkejä luonnollisten lukujen ominaisuuksien induktiotodistuksista
löytyy oppikirjasta Merikoski, Virtanen, Koivisto: Diskreetti matematiikka
I, 2000. Jälkimmäisen avulla lukija voi perehtyä muutenkin tarkemmin joukkoihin,
relaatioihin ja kuvauksiin liittyviin käsitteisiin ja niitä koskevien tulosten täsmällisiin
todistuksiin.
30