JOUKKO-OPIN ALKEITA 1 Joukon käsite

Esimerkki 69. Määritellään induktiivisesti vasemmanpuoleisten (lp) ja oikeanpuoleisten
(rp) sulkujen lukumäärät seuraavasti:
lp p i =rpp i =0,
lp ¬B =lpB,
rp ¬B =rpB,
lp(B ∧ C) =lpB +lpC +1,
rp(B ∧ C) =rpB +rpC +1.
Todistetaan induktiolla, että aina kun A on kaava, niin
(∗)
lpA =rpA.
Kun A = p i , niin lp A = 0 = rpA, ja väite on voimassa. Oletetaan (induktio-oletus),
että lp B =rpB ja lp C =rpC. Tällöin
lp ¬B =lpB I.O.
=rpB =rp¬B
ja
lp(B ∧ C) =lpB +lpC +1 I.O.
=rpB +rpC +1=rp(B ∧ C).
(Määritelmät ja todistukset ovat konnektiivien ∨, → ja ↔ kohdalla täysin vastaavat
kuin konnektiivin ∧ kohdalla.) Induktioväite on näin todistettu ja induktioperiaatteen
perusteella väite (∗) on voimassa.
Sekä induktio kaavan pituuden suhteen että induktio luonnollisten lukujen suhteen
ovat erikoistapauksia yleisestä induktiivisen konstruktion käsitteestä. 11
Induktiiviset määritelmät
Sen lisäksi, että kielen induktiivinen määrittely oikeuttaa induktiolla tapahtuvat todistukset,
se myös mahdollistaa monien kaavoja koskevien käsitteiden induktiivisen eli
rekursiivisen määrittelemisen (edellä oli esimerkki sulkujen lukumäärän täsmällisestä
määrittelemisestä). Tarkastelemme tässä vain konnektiiveja ¬ ja ∧ vastaavia kohtia,
mutta määritelmät on suoraviivaista yleistää koskemaan myös muita konnektiiveja.
Kaavan A rakennepuu T (A) määritellään seuraavasti:
T (p i )=p i , T(¬B) =
¬B
|
T (B)
, T(B ∧ C) =
B ∧ C
.
T (B) T (C)
Kaavan A rakennepuussa esiintyviä kaavoja kutsutaan kaavan A alikaavoiksi. Kaavan
A alikaavojen joukko sub A voidaan induktiivisesti määritellä seuraavasti:
sub p i = {p i },
sub ¬A = {¬A}∪sub A,
sub(A ∧ B) ={(A ∧ B)}∪sub A ∪ sub B.
11 Ks. Väänänen, Matemaattinen logiikka, 1987, ss. 13–17.
29