JOUKKO-OPIN ALKEITA 1 Joukon käsite

Esimerkki 43. Kaikkein yksinkertaisin ekvivalenssirelaatio on alkioiden samuus
x ∼ y ⇔ x = y.
Alkioiden eroavuus
x ∼ y ⇔ x ≠ y
ei sen sijaan ole ekvivalenssi, sillä se ei ole refleksiivinen (eikä myöskään transitiivinen).
Esimerkki 44. Looginen ekvivalenttisuus lauselogiikassa (ja yleensäkin) on ekvivalenssirelaatio.
Kun nimittäin A, B ja C ovat mielivaltaisia kaavoja, niin
• A ↔ A on tautologia
• jos A ↔ B on tautologia, myös B ↔ A on tautologia
• jos A ↔ B ja B ↔ C ovat tautologioita, myös A ↔ C on tautologia.
Esimerkki 45. Relaatiot ’syntyneet samana päivänä’, ’syntyneet samalla paikkakunnalla’,
’yhtä vanhat’, ’yhtä pitkät’, ’asuvat vakituisesti samassa kaupunginosassa’,
’asuvat vakituisesti samassa asunnossa’, ’omaavat saman äidinkielen’, ’ovat samaa
sukupuolta’ ja ’yhdensuuntaiset suorat’ ovat ekvivalensseja. Relaatio ’saman
maan kansalaiset’ ei ole ekvivalenssi, kun sallitaan kaksoiskansalaisuus.
Olkoon ∼ joukossa X määritelty ekvivalenssi ja a ∈ X. Tarkastellaan joukkoa
[a] ={ x ∈ X| x ∼ a },
jota kutsutaan alkion a määräämäksi ekvivalenssiluokaksi. Se on siis kaikkien niiden
alkioiden joukko, jotka ovat a:n kanssa ekvivalentteja. Ekvivalenssin refleksiivisyydestä
seuraa, että a ∈ [a].
Esimerkki 46. Joukossa X = {1, 2, 3, 4, 5} määritelty relaatio ∼
= {〈1, 1〉, 〈2, 2〉, 〈3, 3〉, 〈4, 4〉, 〈5, 5〉, 〈1, 2〉, 〈2, 1〉, 〈1, 3〉, 〈3, 1〉, 〈2, 3〉, 〈3, 2〉, 〈4, 5〉, 〈5, 4〉}
on ekvivalenssi. Alkion 1 määräämä ekvivalenssiluokka
[1] = { x ∈ X| x ∼ 1 } = {1, 2, 3}
ja vastaavasti
[2] = [3] = {1, 2, 3}, [4] = [5] = {4, 5}.
Ekvivalenssiluokkia on siis kaksi: {1, 2, 3} ja {4, 5}. Digraafissa ekvivalenssiluokat
erottuvat erillisiksi ”saarekkeiksi”, ja kussakin saarekkeessa nuoli kulkee jokaisesta
pisteestä jokaiseen muuhun pisteeseen.
1 2 3 4 5
19