JOUKKO-OPIN ALKEITA 1 Joukon käsite

Esimerkki 32. Joukossa X = {1, 2, 3, 4, 5} määritelty relaatio
ei ole
• refleksiivinen, sillä 1̸R1
• irrefleksiivinen, sillä 4R4
• symmetrinen, sillä 1R2, mutta 2̸R1
• antisymmetrinen, sillä 2R3 ja3R2
R = {〈1, 2〉, 〈2, 3〉, 〈3, 1〉, 〈3, 2〉, 〈4, 4〉}
• transitiivinen, sillä 1R2 ja2R3, mutta 1̸R3
• vertailullinen, sillä 3̸R4 ja4̸R3
• euklidinen, sillä 3R2ja3R1, mutta 2̸R1 (vaihtoehtoinen perustelu: 3R2 ja3R2,
mutta 2̸R2)
• seriaalinen, sillä ei ole olemassa sellaista alkiota y , että 5Ry.
Kaikki tässä luetellut relaation ominaisuudet voidaan ilmaista predikaattilogiikassa:
6 • refleksiivisyys: ∀xR(x, x)
• irrefleksiivisyys: ∀x¬R(x, x)
• symmetrisyys: ∀x∀y ( R(x, y) → R(y, x) )
• antisymmetrisyys: ∀x∀y ( R(x, y) ∧ R(y, x) → x = y )
• transitiivisuus: ∀x∀y∀z ( R(x, y) ∧ R(y, z) → R(x, z) )
• vertailullisuus: ∀x∀y ( R(x, y) ∨ R(y, x) )
• euklidisuus: ∀x∀y∀z ( R(x, y) ∧ R(x, z) → R(y, z) )
• seriaalisuus: ∀x∃yR(x, y).
Kun relaatio R on symmetrinen, alkioiden järjestyksellä ei ole merkitystä, ja voimme
käyttää ilmausta ”(x ja y) ovatrelaatiossaR (keskenään)”.
Esimerkki 33. Lukujen yhtäsuuruus ’=’ on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen
relaatio: Jokainen luku on itsensä kanssa yhtäsuuri; jos x on yhtäsuuri y:n
kanssa, niin myös y on yhtäsuuri x:n kanssa; jos sekä luvut x ja y että y ja z ovat
yhtäsuuret, niin myös luvut x ja z ovat yhtäsuuret.
6 Käytämme samaa merkintää R sekä logiikan kielen kaksipaikkaiselle predikaattisymbolille että
kaksipaikkaiselle relaatiolle, joka on siis järjestettyjen parien joukko.
17