JOUKKO-OPIN ALKEITA 1 Joukon kÃ¤site

More documents

Recommendations

Info

• Symmetrisyys: vain kaksoisnuolia ja mahdollisesti luuppeja. symmetrinen ei symmetrinen • Antisymmetrisyys: ei ollenkaan kaksoisnuolia, luupit sallittuja. antisymmetrinen ei antisymmetrinen • Transitiivisuus: Ei ole sellaista kolmea solmua, että ensimmäiestä menee nuoli toiseen ja toisesta kolmanteen, mutta ensimmäisestä ei mene kolmanteen. Lisäksi jos on kaksoisnuolia, niin kummassakin päätepisteessä on luuppi. transitiivinen ei transitiivinen • Vertailullisuus: valitaanpa mitkä tahansa kaksi solmua, niin niiden välillä on nuoli ainakin toiseen suuntaan ja lisäksi jokaisessa solmussa luuppi. vertailullinen ei vertailullinen • Euklidisuus: Aina, kun jostain solmusta menee nuoli kahteen muuhun, näiden kahden välillä on kaksoisnuoli. Lisäksi niiden solmujen kohdalla, joihin tulee nuoli, on luuppi. euklidinen ei euklidinen • Seriaalisuus: Jokaisesta solmusta lähtee nuoli. seriaalinen ei seriaalinen 16
Esimerkki 32. Joukossa X = {1, 2, 3, 4, 5} määritelty relaatio ei ole • refleksiivinen, sillä 1̸R1 • irrefleksiivinen, sillä 4R4 • symmetrinen, sillä 1R2, mutta 2̸R1 • antisymmetrinen, sillä 2R3 ja3R2 R = {〈1, 2〉, 〈2, 3〉, 〈3, 1〉, 〈3, 2〉, 〈4, 4〉} • transitiivinen, sillä 1R2 ja2R3, mutta 1̸R3 • vertailullinen, sillä 3̸R4 ja4̸R3 • euklidinen, sillä 3R2ja3R1, mutta 2̸R1 (vaihtoehtoinen perustelu: 3R2 ja3R2, mutta 2̸R2) • seriaalinen, sillä ei ole olemassa sellaista alkiota y , että 5Ry. Kaikki tässä luetellut relaation ominaisuudet voidaan ilmaista predikaattilogiikassa: 6 • refleksiivisyys: ∀xR(x, x) • irrefleksiivisyys: ∀x¬R(x, x) • symmetrisyys: ∀x∀y ( R(x, y) → R(y, x) ) • antisymmetrisyys: ∀x∀y ( R(x, y) ∧ R(y, x) → x = y ) • transitiivisuus: ∀x∀y∀z ( R(x, y) ∧ R(y, z) → R(x, z) ) • vertailullisuus: ∀x∀y ( R(x, y) ∨ R(y, x) ) • euklidisuus: ∀x∀y∀z ( R(x, y) ∧ R(x, z) → R(y, z) ) • seriaalisuus: ∀x∃yR(x, y). Kun relaatio R on symmetrinen, alkioiden järjestyksellä ei ole merkitystä, ja voimme käyttää ilmausta ”(x ja y) ovatrelaatiossaR (keskenään)”. Esimerkki 33. Lukujen yhtäsuuruus ’=’ on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen relaatio: Jokainen luku on itsensä kanssa yhtäsuuri; jos x on yhtäsuuri y:n kanssa, niin myös y on yhtäsuuri x:n kanssa; jos sekä luvut x ja y että y ja z ovat yhtäsuuret, niin myös luvut x ja z ovat yhtäsuuret. 6 Käytämme samaa merkintää R sekä logiikan kielen kaksipaikkaiselle predikaattisymbolille että kaksipaikkaiselle relaatiolle, joka on siis järjestettyjen parien joukko. 17
Page 1 and 2: JOUKKO-OPIN ALKEITA Veikko Rantala
Page 3 and 4: 1.3 Osajoukko Joukko A on joukon B
Page 5 and 6: Tässäkin oletetaan kvantifioitava
Page 7 and 8: 2.3 Järjestetty pari ja n-jono Jou
Page 9 and 10: ja A on tosi mahdollisessa maailmas
Page 11 and 12: Esimerkki 21. Mallissa {p 1 ,p 2 ,p
Page 13 and 14: 4.1 Relaatiot logiikassa Predikaatt
Page 15: R 3 1 2 3 4 5 R k ,k≥ 4 1 2 3 4 5
Page 19 and 20: Esimerkki 43. Kaikkein yksinkertais
Page 21 and 22: Esimerkki 50. Pankin asiakkaille an
Page 23 and 24: X 1 2 3 4 5 f Y a b c Jokaisella m
Page 25 and 26: Esimerkki 60. Tässä esimerkissä
Page 27 and 28: X 1 f Y a 2 b 3 c Ei injektio eikä
Page 29 and 30: Esimerkki 69. Määritellään indu

JOUKKO-OPIN ALKEITA 1 Joukon kÃ¤site

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?