JOUKKO-OPIN ALKEITA 1 Joukon kÃ¤site

More documents

Recommendations

Info

Esimerkki 29. Edellä luonnehditussa tamperelaisten joukossa määriteltyjä relaatioita ja niiden käänteisrelaatioita: xRy x on y:n lapsi x on vanhempi kuin y x on naimissa y:n kanssa yR −1 x y on x:n isä tai äiti y on nuorempi kuin x y on naimissa x:n kanssa Seuraavaksi tarkastelemme kahta joukossa X määriteltyä relaatiota R ja S (sallitaan myös, että R = S). Näiden relaatioiden yhdistetty relaatio R ◦ S on relaatio, jonka laki on x(R ◦ S)z ⇔∃y ∈ X : xRy ja ySz. Jos digraafiin on piirretty sekä relaatiota R että relaatiota S esittävät nuolet, niin alkiot x ja z ovat siis keskenään relaatiossa R ◦ S , jos ja vain jos nuolikuviossa alkiosta x päästään relaatiota R esittävää nuolta pitkin johonkin alkioon, josta edelleen päästään relaatiota S esittävää nuolta pitkin alkioon z. JosR = S , niin x(R ◦ R)z , jos vain x:stä päästään täsmälleen kahta nuolta ”käyttämällä” y:hyn. X x R X y S X z R ◦ S Koska R◦(S ◦T )=(R◦S)◦T , voimme useampia relaatioita yhdistettäessä jättää sulut pois ja merkitä yksinkertaisesti R◦S◦T (ja vastaavasti yleisesti R 1 ◦R 2 ◦···◦R n ). Mikäli R on joukossa X määritelty relaatio, merkitsemme R n = R ◦···◦R (n kpl). Relaation R digraafissa alkiosta x päästään alkioon y reitillä, jossa on n nuolta, jos ja vain jos xR n y. Esimerkki 30. Olkoon R = {〈1, 2〉, 〈2, 3〉, 〈3, 4〉, 〈4, 5〉, 〈5, 5〉}. Tällöin ja R R 2 = R ◦ R = {〈1, 3〉, 〈2, 4〉, 〈3, 5〉, 〈4, 5〉, 〈5, 5〉}, R 3 = {〈1, 4〉, 〈2, 5〉, 〈3, 5〉, 〈4, 5〉, 〈5, 5〉} R k = {〈1, 5〉, 〈2, 5〉, 〈3, 5〉, 〈4, 5〉, 〈5, 5〉}, k =4, 5, 6 ... R 2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14
R 3 1 2 3 4 5 R k ,k≥ 4 1 2 3 4 5 Esimerkki 31. Tamperelaisten joukossa määriteltyjä relaatioita ja niistä muodostettuja yhdistettyjä relaatioita: xRy x on y:n lapsi x on vanhempi kuin y x on y:tä vuoden vanhempi x on naimissa y:n kanssa x(R ◦ R)z x on z:n lapsenlapsi x on vanhempi kuin z x on z:taa kaksi vuotta vanhempi x on sama henkilö kuin z 4.3 Relaation ominaisuuksia Olkoon R on joukossa X määritelty relaatio. Sanomme, että R on • refleksiivinen, josjokainenx ∈ X on relaatiossa itsensä kanssa • irrefleksiivinen, jos mikään x ∈ X ei ole relaatiossa itsensä kanssa • symmetrinen, jos aina kun xRy , niin myös kääntäen yRx • antisymmetrinen, josxRy ja yRx, niin x = y (jos siis R on antisymmetrinen, xRy ja y ≠ x, niin y̸Rx) • transitiivinen, jos aina, kun xRy ja yRz, niin xRz • vertailullinen, jos aina, kun x, y ∈ X , niin xRy tai yRx (vertailullinen relaatio on siis aina refleksiivinen) • euklidinen, jos aina, kun xRy ja xRz , niin myös yRz (ja siis myös zRy , yRy ja zRz) • seriaalinen, jos aina, kun x ∈ X , niin on olemassa sellainen y ∈ X , että xRy. Näitä relaation ominaisuuksia vastaa digraafissa seuraavat ominaisuudet: • Refleksiivisyys: luuppi jokaisessa solmussa. refleksiivinen ei refleksiivinen • Irrefleksiivisyys: ei luuppeja. irrefleksiivinen ei irrefleksiivinen 15
Page 1 and 2: JOUKKO-OPIN ALKEITA Veikko Rantala
Page 3 and 4: 1.3 Osajoukko Joukko A on joukon B
Page 5 and 6: Tässäkin oletetaan kvantifioitava
Page 7 and 8: 2.3 Järjestetty pari ja n-jono Jou
Page 9 and 10: ja A on tosi mahdollisessa maailmas
Page 11 and 12: Esimerkki 21. Mallissa {p 1 ,p 2 ,p
Page 13: 4.1 Relaatiot logiikassa Predikaatt
Page 17 and 18: Esimerkki 32. Joukossa X = {1, 2, 3
Page 19 and 20: Esimerkki 43. Kaikkein yksinkertais
Page 21 and 22: Esimerkki 50. Pankin asiakkaille an
Page 23 and 24: X 1 2 3 4 5 f Y a b c Jokaisella m
Page 25 and 26: Esimerkki 60. Tässä esimerkissä
Page 27 and 28: X 1 f Y a 2 b 3 c Ei injektio eikä
Page 29 and 30: Esimerkki 69. Määritellään indu

JOUKKO-OPIN ALKEITA 1 Joukon kÃ¤site

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?