Fymm IIb luentojen betaversio

8
Vakiot α ja β määräytyvät ehdoista y(a) = y a ja y(b) = y b . On selvää, että ääriarvo on minimi eikä
maksimi.
Jos varioitava integrandi ei riipu eksplisiittisesti x:stä, Eulerin yhtälö redusoituu ensimmäisen asteen
yhtälöksi (Beltramin identiteetti):
df
dx
=
Euler
{}}{
=
Koska oletuksen mukaan ∂f/∂x = 0, saadaan:
d
dx
=
(
f − y ′ ∂f
∂y ′ )
∂f
∂x + ∂f
∂y y′ + ∂f
∂y ′ y′′
∂f
∂x + d ∂f
y′
dx ∂y ′ + ∂f
∂f
∂x + d (
y ′ ∂f )
dx ∂y ′ .
= 0
joka on ensimmäisen kertaluvun DY y(x):lle (f annettu).
Esimerkki 2.8 Pienimmän pinta-alan pyörähdyskappale.
A[y]
= 2π
∂y ′ y′′
eli f − y ′ ∂f
∂y ′ = C = vakio, (2.8)
∫ b
a
y √ 1 + (y ′ ) 2 dx , jolloin
δA = 0 =⇒ f − y ′ ∂f
∂y ′ = C
⇐⇒
y ′
y √ 1 + (y ′ ) 2 − y ′ y √
1 + (y ′ ) = 2
⇐⇒ y ′ = 1 C
√
y 2 − C 2 separoituu
=⇒ cosh −1 ( y C ) = (x − C 2)/C
⇐⇒ y = C · cosh( x − C 2
C
) ”katenoidi”.
y
√
1 + (y ′ ) 2 = C
Taas C ja C 2 määräytyvät reunaehdoista ja on selvää, että kyseessä on minimi eikä maksimi.
2.3.1 Yleistys monen funktion funktionaaliin
Tutkittava funktionaali on nyt:
ehdolla
J = J[y 1 , y 2 , . . . , y n ] =
∫ b
a
f(y 1 , . . . , y n , y ′ 1, . . . , y ′ n, x)dx, (2.9)
y i (a) = y ia
y i (b) = y ib
kiinnitetyt, i = 1,...,n .
Varioidaan y i (x) → y i (x) + η i (x) (η i (a) = η i (b) = 0), jolloin:
∫ b n∑
( ∂f
δJ = η i (x) − d ∂f
∂y i dx
a
i=1
=⇒ ∂f − d
∂y i dx
∂f
∂y ′ i
∂y ′ i
)
dx = 0
= 0 i = 1,...,n. (2.10)