Fymm IIb luentojen betaversio
Fymm IIb luentojen betaversio
Fymm IIb luentojen betaversio
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
8<br />
Vakiot α ja β määräytyvät ehdoista y(a) = y a ja y(b) = y b . On selvää, että ääriarvo on minimi eikä<br />
maksimi.<br />
Jos varioitava integrandi ei riipu eksplisiittisesti x:stä, Eulerin yhtälö redusoituu ensimmäisen asteen<br />
yhtälöksi (Beltramin identiteetti):<br />
df<br />
dx<br />
=<br />
Euler<br />
{}}{<br />
=<br />
Koska oletuksen mukaan ∂f/∂x = 0, saadaan:<br />
d<br />
dx<br />
=<br />
(<br />
f − y ′ ∂f<br />
∂y ′ )<br />
∂f<br />
∂x + ∂f<br />
∂y y′ + ∂f<br />
∂y ′ y′′<br />
∂f<br />
∂x + d ∂f<br />
y′<br />
dx ∂y ′ + ∂f<br />
∂f<br />
∂x + d (<br />
y ′ ∂f )<br />
dx ∂y ′ .<br />
= 0<br />
joka on ensimmäisen kertaluvun DY y(x):lle (f annettu).<br />
Esimerkki 2.8 Pienimmän pinta-alan pyörähdyskappale.<br />
A[y]<br />
= 2π<br />
∂y ′ y′′<br />
eli f − y ′ ∂f<br />
∂y ′ = C = vakio, (2.8)<br />
∫ b<br />
a<br />
y √ 1 + (y ′ ) 2 dx , jolloin<br />
δA = 0 =⇒ f − y ′ ∂f<br />
∂y ′ = C<br />
⇐⇒<br />
y ′<br />
y √ 1 + (y ′ ) 2 − y ′ y √<br />
1 + (y ′ ) = 2<br />
⇐⇒ y ′ = 1 C<br />
√<br />
y 2 − C 2 separoituu<br />
=⇒ cosh −1 ( y C ) = (x − C 2)/C<br />
⇐⇒ y = C · cosh( x − C 2<br />
C<br />
) ”katenoidi”.<br />
y<br />
√<br />
1 + (y ′ ) 2 = C<br />
Taas C ja C 2 määräytyvät reunaehdoista ja on selvää, että kyseessä on minimi eikä maksimi.<br />
2.3.1 Yleistys monen funktion funktionaaliin<br />
Tutkittava funktionaali on nyt:<br />
ehdolla<br />
J = J[y 1 , y 2 , . . . , y n ] =<br />
∫ b<br />
a<br />
f(y 1 , . . . , y n , y ′ 1, . . . , y ′ n, x)dx, (2.9)<br />
y i (a) = y ia<br />
y i (b) = y ib<br />
kiinnitetyt, i = 1,...,n .<br />
Varioidaan y i (x) → y i (x) + η i (x) (η i (a) = η i (b) = 0), jolloin:<br />
∫ b n∑<br />
( ∂f<br />
δJ = η i (x) − d ∂f<br />
∂y i dx<br />
a<br />
i=1<br />
=⇒ ∂f − d<br />
∂y i dx<br />
∂f<br />
∂y ′ i<br />
∂y ′ i<br />
)<br />
dx = 0<br />
= 0 i = 1,...,n. (2.10)