Fymm IIb luentojen betaversio

50
Operaattorin A matriisielementti vektoreiden u ja v välillä on 〈u|Av〉. Jos H on separoituva ja
{e i : i ∈ N} on sen o.n. kanta, voidaan kirjoittaa
∞∑
Ae j = e i a ij
missä a ij on matriisielementti 〈e i |Ae j 〉. Jos taas
u =
i=1
∞∑
u i e i ja v =
i=1
niin (vrt. vektori-matriisitoimituksiin A · v ja u ∗ · A · v)
ja
Operaattoritulolle
Av =
∞∑
v i Ae i =
i=1
∞∑
j=1 i=1
〈u|Av〉 =
∞∑
v i e i ,
i=1
∞∑
v i a ji e j =
∞∑
j=1 i=1
(
∞∑ ∑ ∞
)
a ji v i e j (5.6)
j=1
i=1
〈e i |ABe j 〉 = 〈A † e i |Be j 〉
∞∑
(Parseval) → = 〈A † e i |e k 〉〈e k |Be j 〉
=
=
k=1
∞∑
u ∗ ja ji v i . (5.7)
∞∑
〈e i |Ae k 〉〈e k |Be j 〉
k=1
∞∑
a ik b kj (5.8)
k=1
= (AB) ij
Annetussa kannassa voidaan siis operaattoria kuvata (yl. ∞×∞) matriisilla. Adjungoidun operaattorin
matriisi:
a ij = 〈e i |Ae j 〉 = 〈A † e i |e j 〉 = 〈e j |A † e i 〉 ∗ = (a † ji )∗
(
)
eli adjungoidun operaattorin matriisi on siis operaattorin matriisin hermiittinen konjugaatti (M † ) ij = (M) ∗ ji .
5.3 Hermiittiset ja unitaariset operaattorit, projektio
Operaattori on hermiittinen jos A † = A. Tästä seuraa
Separoituvassa Hilbert avaruudessa ({e i } o.n. kanta)
〈u|Av〉 = 〈A † u|v〉 = 〈Au|v〉. (5.9)
a ij = 〈e i |Ae j 〉 = 〈Ae i |e j 〉 = 〈e j |Ae i 〉 ∗ = a ∗ ji,
toisin sanoen hermiittisen operaattorin matriisi on hermiittinen (matriisi on hermiittinen jos M ij =
M ∗ ji ).
Aikaisemmin todistimme: Jos M on Hilbert avaruuden H aliavaruus niin kaikilla u ∈ H on yksikäsitteinen
hajoitelma u = u ′ + u ′′ , missä u ′ ∈ M ja u ′′ ∈ M ⊥ . Määrittelemme projektio-operaattorin:
P M : H → H, P M u = u ′
ja kutsumme u ′ :a vektorin u kohtisuoraksi projektioksi aliavaruudelle M.