Fymm IIb luentojen betaversio

44
Todistus 4.8
|〈v n |u n 〉 − 〈v|u〉| = |〈v n |u n 〉 − 〈v|u n 〉 + 〈v|u n 〉 − 〈v|u〉|
≤ |〈v n |u n 〉 − 〈v|u n 〉| + |〈v|u n 〉 − 〈v|u〉|
≤ ‖u n ‖ ‖v n − v‖ + ‖u n − u‖ ‖v‖
−→ 0,
kun n → ∞.
Lause 4.7 (Plancherel) Olkoon {e 1 , e 2 , . . .} Hilbertin avaruuden H o.n. kanta. Tällöin kaikilla u, v ∈
H pätee
∞∑
〈u|v〉 = 〈u|e n 〉〈e n |v〉. (4.35)
n=1
Todistus 4.9 Määritellään
Nyt apulauseen 4.3 mukaan
u n =
v n =
n∑
〈e i |u〉e i (−→ u) ja
i=1
n∑
〈e i |v〉e i (−→ v).
i=1
〈u|v〉 = lim 〈u n|v n 〉
n→∞
n∑ n∑
= lim 〈u|e i 〉〈e i |e j 〉〈e j |v〉
n→∞
= lim
n→∞
=
i=1 j=1
n∑
〈u|e i 〉〈e i |v〉
i=1
∞∑
〈u|e i 〉〈e i |v〉.
Huom. erikoistapaus u = v, jolloin ‖u‖ = ∑ i |〈e i|u〉| 2 (Parseval).
i=1
Kertauksena u, v ∈ H ovat ortogonaalisia (u⊥v) jos 〈u|v〉 = 0. Olkoon V H:n aliavaruus, sen ortogonaalinen
komplementti on
V ⊥ = {u : u⊥v ∀ v ∈ V } . (4.36)
Myös V ⊥ on H:n aliavaruus:
Se on vektoriavaruus, koska
u, u ′ ∈ V ⊥ =⇒ 〈au + bu ′ |v〉 = a ∗ 〈u|v〉 + b ∗ 〈u ′ |v〉 = 0 + 0 = 0
kaikilla v ∈ V eli au + bu ′ ∈ V ⊥ . Lisäksi se on suljettu, sillä jos u n ∈ V ⊥ ja u n → u, niin
〈u|v〉 = lim
n→∞ 〈u n|v〉 = lim
n→∞ 0 = 0
eli u ∈ V ⊥ .
Huom. V ∩ V ⊥ = {¯0}, sillä jos v ∈ V ∩ V ⊥ , niin 〈v|v〉 = 0 eli v = ¯0.
Lause 4.8 Jos V on Hilbert avaruuden H aliavararuus, niin jokainen u ∈ H voidaan yksikäsitteisesti
hajoittaa muotoon u = u ′ + u ′′ , missä u ′ ∈ V ja u ′′ ∈ V ⊥ .