Fymm IIb luentojen betaversio
Fymm IIb luentojen betaversio
Fymm IIb luentojen betaversio
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
44<br />
Todistus 4.8<br />
|〈v n |u n 〉 − 〈v|u〉| = |〈v n |u n 〉 − 〈v|u n 〉 + 〈v|u n 〉 − 〈v|u〉|<br />
≤ |〈v n |u n 〉 − 〈v|u n 〉| + |〈v|u n 〉 − 〈v|u〉|<br />
≤ ‖u n ‖ ‖v n − v‖ + ‖u n − u‖ ‖v‖<br />
−→ 0,<br />
kun n → ∞.<br />
Lause 4.7 (Plancherel) Olkoon {e 1 , e 2 , . . .} Hilbertin avaruuden H o.n. kanta. Tällöin kaikilla u, v ∈<br />
H pätee<br />
∞∑<br />
〈u|v〉 = 〈u|e n 〉〈e n |v〉. (4.35)<br />
n=1<br />
Todistus 4.9 Määritellään<br />
Nyt apulauseen 4.3 mukaan<br />
u n =<br />
v n =<br />
n∑<br />
〈e i |u〉e i (−→ u) ja<br />
i=1<br />
n∑<br />
〈e i |v〉e i (−→ v).<br />
i=1<br />
〈u|v〉 = lim 〈u n|v n 〉<br />
n→∞<br />
n∑ n∑<br />
= lim 〈u|e i 〉〈e i |e j 〉〈e j |v〉<br />
n→∞<br />
= lim<br />
n→∞<br />
=<br />
i=1 j=1<br />
n∑<br />
〈u|e i 〉〈e i |v〉<br />
i=1<br />
∞∑<br />
〈u|e i 〉〈e i |v〉.<br />
Huom. erikoistapaus u = v, jolloin ‖u‖ = ∑ i |〈e i|u〉| 2 (Parseval).<br />
i=1<br />
Kertauksena u, v ∈ H ovat ortogonaalisia (u⊥v) jos 〈u|v〉 = 0. Olkoon V H:n aliavaruus, sen ortogonaalinen<br />
komplementti on<br />
V ⊥ = {u : u⊥v ∀ v ∈ V } . (4.36)<br />
Myös V ⊥ on H:n aliavaruus:<br />
Se on vektoriavaruus, koska<br />
u, u ′ ∈ V ⊥ =⇒ 〈au + bu ′ |v〉 = a ∗ 〈u|v〉 + b ∗ 〈u ′ |v〉 = 0 + 0 = 0<br />
kaikilla v ∈ V eli au + bu ′ ∈ V ⊥ . Lisäksi se on suljettu, sillä jos u n ∈ V ⊥ ja u n → u, niin<br />
〈u|v〉 = lim<br />
n→∞ 〈u n|v〉 = lim<br />
n→∞ 0 = 0<br />
eli u ∈ V ⊥ .<br />
Huom. V ∩ V ⊥ = {¯0}, sillä jos v ∈ V ∩ V ⊥ , niin 〈v|v〉 = 0 eli v = ¯0.<br />
Lause 4.8 Jos V on Hilbert avaruuden H aliavararuus, niin jokainen u ∈ H voidaan yksikäsitteisesti<br />
hajoittaa muotoon u = u ′ + u ′′ , missä u ′ ∈ V ja u ′′ ∈ V ⊥ .