Fymm IIb luentojen betaversio

42
4.4 Aliavaruudet ja separoituvuus
Vektoriavaruuden V vektorialiavaruus on mikä tahansa joukko W ⊂ V , jonka alkioille pätee u, v ∈
W ⇒ αu + βv ∈ W kaikilla α, β ∈ C. Hilbert avaruudessa määritellään: Hilbertin avaruuden H
aliavaruus H ′ on H:n vektorialiavaruus, joka on lisäksi joukkona suljettu, t.s. jos u n ∈ H ′ ∀ n ja
‖u n − u‖ → 0, niin u ∈ H ′ . Jos W on H:n vektorialiavaruus, sen sulkeuma W on pienin H:n aliavaruus,
joka sisältää W :n. Oleellisesti W saadaan lisäämällä W :hen kaikkien W :n alkioista muodostettujen
suppenevien jonojen raja-arvot. Olkoon K H:n mielivaltainen osajoukko. K:n generoima
vektorialivaruus L(K) on
{ n∑
}
L(K) = α i u i : α i ∈ C, u i ∈ K . (4.32)
i=1
Vastaavasti K:n generoima H:n aliavaruus on L(K).
Kuten aiemmin todettin (ilman todistusta), jos H on separoituva on olemassa numeroituva joukko
K = {u 1 , u 2 , . . .} ⊂ H s.e. H = L(K). Jos H on separoituva, niin lähtien vektoreista u i voimme
Gram-Schmidtin menetelmää käyttäen ja jättäen pois lineaarisesti riippuvia vektoreita muodostaa
ortonormitetun joukon {e 1 , e 2 , . . .} (〈e i |e j 〉 = δ ij ) ja tällöin
H = L(K) ⇐⇒ H = L({e 1 , e 2 , . . .})
eli separoituvalla Hilbert avaruudella on numeroituva ortonormaali kanta.
Lause 4.6 Jos H on separoituva Hilbert avaruus ja {e 1 , e 2 , . . .} on o.n. kanta, niin jokainen u ∈ H
voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa
u =
∞∑
c i e i , (4.33)
i=1
missä c i = 〈e i |u〉.
Lauseen todistamiseksi ensin kaksi aputulosta.
Apulause 4.1 Hilbert avaruuden sisätulo on jatkuva, t.s. kaikilla u ∈ H pätee
lim v n = v =⇒ lim 〈u|v n〉 = 〈u|v〉.
n→∞ n→∞
Todistus 4.5 |〈u|v n 〉−〈u|v〉| = |〈u|v n −v〉| ≤ ‖u‖ ‖v n − v‖ → 0, missä epäyhtälö on Cauchy-Schwarzin
epäyhtälö (4.8). Oikeastaan pelkkä Cauchy-Schwarzin epäyhtälö riittää kun huomaa että sisätulo on
rajoitettu funktionaali.
Apulause 4.2 Jos {e 1 , e 2 , . . .} on Hilbert avaruuden H o.n. kanta ja 〈v|e k 〉 = 0 kaikilla k, niin v = ¯0
Todistus 4.6 Koska H = L({e 1 , e 2 , . . .}), niin v = lim n→∞ v n , missä v n = ∑ N n
i=1 v n,ie i . Lisäksi
〈v|e k 〉 = 0 ∀ k =⇒ 〈v|v n 〉 = 0.
Nyt aputuloksen 4.1 mukaan
eli v = ¯0.
‖v‖ 2 = 〈v|v〉 = lim
n→∞ 〈v|v n〉 = 0